导数与微分ppt课件

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数学分析第十六章课件偏导数与全微分

解: 已知
则
V 2 rh r r 2h
r 20, h 100, r 0.05, h 1
V 2 20100 0.05 202 (1) 200 (cm3)
即受压后圆柱体体积减少了
作业
• P192:1:(单数题) • P193:7;9 • P208:1:(双数题) • P208:3 • P209:9 • P217:1:(1;3);2:(2;4);6 • P223:2;3;8
定理16.1 ３．全微分与偏导数的关系：
f (x, y) 设 (x0 , y0 ) 可微，在表达式中分别令 f 0 x 0 和 x 0 y 0
得
定理１６.2
从而：f 在 p0 的全微分可写成
dz |p0 fx (x0 , y0 )dx f y (x0 , y0 )dy
z f (x) 在某区域 G 内（x，y）点的全微分为
f11,
f12,
f21,
f22
书上记号易混
链式法则的应用
偏微分方程的变换
目的
求解
2）复合函数的全微
设
u
f (x, y),若x, y为自变量，则
du f dx f dy x y
进一步，若x (s,t) y (s,t) 则有
du u ds u dt dx x ds x dt dy y ds y dt
r x 2
2x x2 y2 z2
x r
r z z r
4、计算
的近似值.
解: 设
,则
f x (x, y) y x y1 , f y (x, y) x y ln x
取
则 1.042.02 f (1.04, 2.02 )
1 2 0.04 0 0.02 1.08

高中物理课件-高数第二章-导数与微分--课件

求 f 0
例2．已知 f x0 存在，求
lim f x0 ah f x0 bh
h0
h
3、导数的意义
函数 y f x在点x0 处的导数f x0
是因变量 y在点x0处的变化率,它反
映了在点x0 处因变量随自变量的变
化而变化的快慢程度。
（二）导函数
1、定义：如果函数 y f x 在开区间
四、基本求导法则与导数公式
(一)常数和基本初等函数的导数公式
1. C 0
2. x x1
3. sin x cos x
4. cos x sin x
5. ta n x sec2 x 6. cot x csc2 x
7. sec x sec x tan x 8. csc x csc x cot x
则
k0
lim xx0
f
x f x0 就是曲线C
x x0
在 M0 x0, y0 点处切线的斜率。
二、导数的定义 (一)函数在一点处的导数
1、定义：设函数 y f x在点x0的某个
邻域内有定义,当自变量 x在x0 处取得
增量 x（点 x0
时 , 相应地函数
x 仍在该邻域内）
y 取得增量
chx shx
thx
1 ch2
x
arshx 1 archx 1
1 x2
x2 1
arthx
1
1 x2
例18．求
y cos x2 sin 1 arctan thx x
的导数。
例19．
y sin nxsinn xn为常数，求y
§2-3 高阶导数
（一）二阶导数
1、定义：把 y f x 的导数叫做函数
x xx0 x0

《高数四导数与微分》课件

以通过对弦的长度进行微分得到。
微分在近似计算中的应用
泰勒级数展开
微分可以用来将一个复杂的函数展开成泰勒级数，从而可以用简单的多项式来近似复杂的函数。这在近似计算中非常有用。
误差估计
通过微分，可以估计函数值近似值的误差大小。例如，在求函数在某一点的近似值时，可以通过微分来估计误差的大小。
常数函数的导数
对于常数函数y=c，其导数为dy/dx=0。
幂函数的导数
对于函数y=x^n，其导数为dy/dx=nx^(n-1)。
指数函数的导数
对于函数y=a^x，其导数为dy/dx=a^x*ln(a)。
对数函数的导数
对于函数y=log_a(x)，其导数为dy/dx=(1/x*ln(a)) 。
复合函数的导数
01 复合函数求导法则
对于复合函数y=f(g(x))，其导数为 dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
02 链式法则
对于复合函数y=f(g(x))，其导数为 dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
03 幂函数的链式法则
对于幂函数u=g(x)=x^n，其导数为 du/dx=nx^(n-1)。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率，即函数图像上某一点处的切线与x轴正方向的夹角的正切值。
详细描述
对于可导函数f(x)，其在任意点x处的导数f'(x)表示函数图像上该点处的切线斜率。具体来说，当函数在某点x处可导时，该点的切线斜率即为f'(x)。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义是描述物理量随时间变化的速率，如速度、加速度等。
THANKS
感谢观看
03

高等数学导数的计算教学ppt课件

25
第二章导数与微分
第二节导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
（一）隐函数的导数
显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示的函数称为显函数．例如：
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数：由含x，y的方程F(x, y)=0给出的函数称为隐函数.例如：
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
32
第二章导数与微分
第二节导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数：
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系．其中函数x(t),y(t)可导，且
x (t)0, ，则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
7
第二章导数与微分
第二节导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0．所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解：
y
arcsin
x
3
2x4
，求 y ．
1
3
x
1 4
1 x2 2

《导数概念》课件

《导数概念》PPT课件
欢迎来到《导数概念》PPT课件！本课程将介绍导数的基本概念和应用，帮助你深入理解这一重要数学概念。
什么是导数
导数是描述函数变化率的概念。它表示函数在特定点的切线斜率，是研究曲线变化的关键工具。
导数表示方式
导数可以表示为函数的微分形式或极限形式。微分写作dy/dx，而极限写作 lim[f(x+h)-f(x)]/h。
函数的导数
通过对函数求导数，我们可以得到函数的导函数，即函数的每个点的切线斜率函数。
常见函数的导数
常见函数如多项式、三角函数和指数函数都有特定的导数规律，了解这些规律可以简化求导过程。
导数的几何意义
导数在几何中表示曲线的切线斜率。它可以帮助我们理解曲线的变化率和曲线在特定点的性质。
导数定义的两种方法
导数可以通过函数的微分或极限定义。微分定义使用导数运算符，而极限定义使用导数的极限表达式。
左பைடு நூலகம்数和右导数
在某些函数不连续的情况下，左导数和右导数可以帮助我们确定导数的存在性和特定点的切线斜率。

高数导数与微分 ppt课件

(sec) tan x sec x
(csc) cot x cscx
ppt课件
9
• 对数函数 • 指数函数
( log a
x)
1 x
log
a
e
(ln x) 1 (a e时) x
(a x ) a x ln a
(ex ) ex
ppt课件
10
导数的几何意义
• 函数 y = f(x)在点x0处的导数 f (x0) 表示曲线 y = f(x)上点M（x0,f(x0)）的切线斜率 k,k = tan = f (x0 )
1处的连续性与可导性。
连续性左极限=右极限=函数值
可导性左导数=右导数
ppt课件
17
第二节函数的和、差、积、商求导法则
一、函数的和、差、积、商的导数
定理2-2 （导数的四则运算的法则）若函数u = u(x),v
= v(x)都是 x 的可导函数，则
（1）u v也是x的可导函数，且（u v） u v
导，且( y) 0 ，那么它的反函数 y f (x) 在对
应的区间内可导，且有
dy dx
1 dx
,
或f
(
x)
1
( y)
dy
ppt课件
21
结论概括：反函数的导数等于它的原函数导数的倒数例2-21 求 y arcsinx 的导数例2-22 求 y arctanx 的导数
ppt课件
22
基本初等函数的导数公式
lim y
x0 x
f (x0 x) f (x0 ) 存在，则称函数
x
y=
f(x)在点x0处可导，并称此极限为函数y =
f(x)在点x0处的导数，记做 f (x0) ，即

微积分课件(导数与微分2)资料

设函数 f ( x)在点x0可导,即
lim y x0 x
f ( x0 )
y x

f ( x0 )
0 (x 0) y f ( x0 )x x
lim
x 0
y

lim [
x 0
f
(
x0
)x

x]
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .

1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 ) (1) x 11

1 x2
.
第一节导数的概念
例3 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 3
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x h) sin 2
k y x1 2

( 1 ) x
x1 2

1 x2
x1 2
4
所求切线方程为 y 2 4( x 1), 即 4x y 4 0.
2
法线方程为
y 2 1 ( x 1), 42
即 2x 8 y 15 0.
第一节导数的概念
四、函数可导性与连续性的关系
h0
2h
cos x
2
即 (sin x) cos x
(sin x) x cos x x
3
3
1 2
第一节导数的概念
例4 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
解 (a x ) lim a xh a x

高等数学第三章导数与微分

第一节导数的概念
图3-1-2
第一节导数的概念
四、可导与连续的关系
定理2
如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处连续，其逆不真。
第一节导数的概念
例6 求函数y=f(x)=|x|在x=0处的导数。解很明显，该函数在x=0处是连续的。又
当Δx<0时， =-1
当Δx>0时， =1
这说明，当Δx→0时，极限数f(x)在x=0处不可导。
不存在，即函
第一节导数的概念
五、求导数举例
例7 求函数f(x)=sinx的导数.。解 f′(x) =
=
=
= =cosx•1 =cosx
第二节函数的求导法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则
定理1
设函数u(x)，v(x)在点x处可导，则它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x具有导数，且有以下法则：
导数的概念
函数的求导法则函数的高阶导数
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
偏导数函数的微分及应用
第一节导数的概念
一、引例
1. 变速直线运动的瞬时速度
设做变速直线运动的质点在t时刻所经过的路程为s，即路程 s是时间t的函数 s=f（t）。
则当时间由t0改变到t时，动点在Δt=t-t0这段时间内经过的路程为Δs=f（t）-f（t0）。动点在Δt=t-t0这段时间内的平均速度为
第二节函数的求导法则
例4 求函数y=lnsinx的导数。
解
y′=(lnsinx)′
1
= sin x (sinx)′
= cos x
sin x
=cotx
第二节函数的求导法则

微积分基本公式ppt课件

热力学
温度与热量，熵与绝热过程，热力学第二定律
微积分在经济中的应用实例
01
总结词
边际分析，最优化问题，经济增长模型
最优化问题
最大利润，最小成本，最优解
03
02
边际分析
边际成本，边际收益，边际利润
经济增长模型
索洛模型，哈罗德-多马模型，内生增长模型
04
THANKS
感谢观看
微积分基本公式的应用实例
总结词
微积分基本公式在解决实际问题中有着广泛的应用，例如求解变速直线运动的位移、求解曲线的面积等。
详细描述
通过微积分基本公式，我们可以求解变速直线运动的位移。例如，假设一个物体以速度 v(t)运动，那么物体在时间t到时间t+Δt之间的位移就是∫(v(t)dt)，通过微积分基本公式可以求得该物体的位移。此外，微积分基本公式还可以用于求解曲线的面积，例如求解
要点二
高阶导数的几何意义
掌握高阶导数的计算方法，例如利用莱布尼茨公式计算二阶、三阶等高阶导数。
理解高阶导数在几何上的意义，例如二阶导数表示曲线的凹凸性，三阶导数表示曲线的拐点等。
05
定积分的计算
定积分的计算方法与技巧
积分公式
掌握积分公式是进行定积分计算的基础，包括幂函数的积分公式、三角函数的积分公式等。
微积分基本公式
微积分基本公式的内容与证明
总结词
微积分基本公式是微积分学的基础，它描述了函数在某一点处的导数与该函数在该点附近的变化率之间的关系。
详细描述
微积分基本公式通常表示为∫(f'(x))dx = f(b) - f(a)，其中∫代表积分，f'(x)代表函数f 在点x处的导数，b和a分别代表积分的上限和下限。这个公式在理解函数的积分和导数之间关系上起着关键作用。

导数与微分课件

导数和微分都与函数的局部性质有关，它们都可以用来研究函数的单调性、极值和曲线的形状等
。
导数与微分的区别
导数主要关注函数在某一点的变化率，而微分则更关注函数在某一点附近的局部变化趋势。
导数是函数值的增量之比，而微分则是函数值增量的近似值。
导数是一种数学运算，可以通过求导公式或法则进行计算；而微分则是一种近似计算方法，常常用于近似计算函数的值。
总结词
函数单调性与导数正负相关
详细描述
如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在此区间内单调递增；如果导数小于 0，则函数单调递减。导数的正负可以判断函数的增减性。
极值与导数
总结词
导数变化与极值点的关系
详细描述
函数极值点处的一阶导数为0，但一阶导数为0的点不一定是极值点。需要进一步判断二阶导数的正负来确定是否为极值点。
公式
$f'(x) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$
解释
其中$Delta y = f(x + Delta x) - f(x)$，表示函数在$x$处的变化量，$Delta x$表示自变量的变化量。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率，表示函数图像在该点的切线。
二项式定理
对于多项式函数，可以使用二项式定理进行近似计算。
泰勒级数
将函数展开成泰勒级数，可以用来近似计算函数的值。
误差估计
导数与误差
导数可以用来估计函数值的误差大小。
微分中值定理
利用微分中值定理，可以估计函数在某区间的变化量。
误差传播
在误差传播过程中，可以利用微分知识来估计误差的大小。

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M
P
M0
x0
x0 x
前页后页结束
设函数y=f(x)在点处可导，则曲线y=f(x)在点
处的切线方程为： y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )而. 当时,曲f (线x0 ) 在的切f (线x) 方程M为0
x x0
当 f (x0 ) 0 时,曲线 f ( x) 在 M0 的法线方程为
y x3
在点 (2,8的) 切线与法线的斜率分别为:
k1 y
(3x 2 ) 12,
x2
x2
k2
1 k1
1 12
于是所求的切线方程为: y 8 12(x 2)
即 12x y 16 0
法线方程为: y 8 1 ( x 2) 12
即 x 12 y 98 0
前页后页结束
2.1.4 可导性与连续性的关系
第2章导数与微分本章共六节，大体上分为两部分。其中第一部分是导数，第二部分是微分，从结构上来说它们是平行的。
结束
2.1 导数的概念
2.1.1 引出导数概念的实例例1 平面曲线的切线斜率曲线 y f的(x图) 像如图所示, 在曲线上任取两点 M( x0 , y0 ) 和 N( x0 x, y0 y)，作割线
(2)算比值: (3)取极限:
y 2x x x
y lim y lim (2x x) 2x x0 x x0
同理可得: (x n ) nx n1(n为正整数）
特别地, (x) 1. (n 1)
前页后页结束
例4 求曲线 y 在x3点处(的2,8切) 线与法线方程.
解:因为 (x3 ) ,由3x导2 数几何意义,曲线
当产量从Q0 变到 Q0 Q 时，总成本的平均变化率
C C (Q0 Q) C (Q0 )
Q
Q
当 Q 趋0向于0时，如果极限
lim C lim C(Q0 Q) C(Q0 )
Q Q0
Q0
Q
存在，则称此极限是产量为 Q0 时总成本的变化率。
前页后页结束
2.1.2 导数的概念
定义设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，x0 x 属于该邻域，记 y f ( x0 x) f ( x0 ),
y lim
x0 x
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
y
y f (x) N
y
M
T
x P
O
x0 x0 x x
前页后页结束
例2 产品总成本的变化率
设某产品的总成本C是产量Q的函数，即C=C(Q )，当产
量Q 从Q0 变到 Q0 Q 时，总成本相应地改变量为
C C(Q0 Q) C(Q0 )
定理2 若函数y = f (x)在点x0处可导，则f(x)在点x0 处连续.
证
因为f
(x)在点x0处可导，故有
f
( x0
)
lim
x0
y x
.
根据函数极限与无穷小的关系,可得:
y x
f
(
x0
)
，其中 li ( x0 ) x x
由此可见:
lim
x 0
M，N 割线的斜率为
y
y f (x) N
y
M
T
x P
O
x0 x0 x x
kMN
tan
y x
f (x0 x) x
f (x0)
前页后页结束
这里为割线MN的倾角，设是切线MT的倾角，
当 x 时0，点N沿曲线趋于点M。若上式的
极限存在，记为k，则此极限值k就是所求切线
MT的斜率，即
k tanθ lim tan x0
M
M0
x0
x0 x
前页后页结束
曲线y = f (x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲
线y=f(x)无限接近 M0时的极限位置M0P，因而当 x 0
时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即：
f
( x0 )
lim
x0
y x
lim tan
tan
k
所以，导数 f (x0 ) 的几何意义是曲线y = f (x) 在点M0(x0,f(x0)) 处的切线斜率.
若 lim y lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0 x x0
x
存在，则称其极限值为y = f (x)在点x0 处的导数，记为
f'( x0 )或y'
|
x
x0
,
或
dy dx
|
x
x0
,
或
df dx
| xx0
.
或
f'( x0 )
y lim x0 x
lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 ) .
前页后页结束
三、导数的几何意义
当自变量x0从变化到 x0 x 时，曲线y=f(x)
上的点由M0 (x0 , f (x0 )). 变到M (x0 x, f (x0 x)).
此时x为割线两端点M0，M
的横坐标之差，而 y
则为M0，M 的纵坐标之差，所以即为xy 过M0，M两点的割线的斜率.
前页后页结束
导数定义与下面的形式等价：
f
( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) . x x0
若y =f (x)在x= x0 的导数存在，则称y=f(x)在点x0 处可导，反之称y = f (x)在x = x0 不可导，此时意
味着不存在.函数的可导性与函数的连续性的概念
都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映
1
y
f ( x0 )
(x f ( x0 )
x0 ).
而当 f (x0) 0 时,曲线 f ( x) 在 M0 的法线方程为
x x0 (即法线平行y轴).
前页后页结束
例3 求函数 y 的x 2导数
解: (1)求增量:
y f ( x x) f ( x)
( x x)2 x2 2xx (x)2
右导数:
f(x0 )
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 ).
显然可以用下面的形式来定义左、右导数
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) , x x0
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) . x x0
定理3.1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是 y = f (x)在x=x0 的左、右导数存在且相等.
了函数在一点处变化(增大或减小)的快慢.
前页后页结束
• 书上50页还有几个常见的形式，值得注意的是其中的第二个一般来说只能在已知导数存在的时候使用。另外，导数为无穷只是个记号，不代表导数存在。
前页后页结束
三、左导数与右导数
左导数:
f(x0 )
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 ).