有能量输入或输出的伯努利方程
1. 有能量输入(中间有水泵或者风机)
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2. 有能量输出(中间有水轮机或者汽轮机)
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定常流动的动量方程——应用注意事项
1、合外力种类。外力包括质量力和表面力，应用时应注意，适当地选择控制面，完整地表达出控制体和控制面上的外力，并注意流动方向和投影的正负等
2、矢量的计算。压力、速度、动量都是矢量，计算时注意大小和方向，应用投影方程比较方便。投影值与坐标方向一致为正值，与坐标方向相反为负值。
3、使用相对压力。
一水平放置的弯管，管内流体密度ρ，流量Q，进出口管径为d1、d2，d1处压强为p1，弯管旋转角θ，不计流动损失，求弯管所受流体作用力
液体运动的动量方程
液体运动的动量方程是描述液体在运动过程中动量守恒的基本方程。液体是一种流体，具有自由流动的性质，因此在流体力学中，研究液体运动的动量方程是非常重要的。
动量是物体运动的重要性质，定义为质量乘以速度。在液体中，动量的变化是由外力和内力共同作用引起的。这些力量可以通过动量定理来描述，即力等于动量的变化率。根据动量原理，液体运动的动量方程可以表示为：
$\frac{d}{dt}(\rho V)=\rho \frac{dV}{dt}+\frac{d(\rho V)}{dt}=\rho
a+\frac{d(\rho V)}{dt}$
其中，$\rho$是液体的密度，$V$是液体的速度，$t$是时间，$a$是液体的加速度。
在液体中，动量的变化可以通过流体静力学和流体动力学两个方面来进行研究。流体静力学主要研究液体处于静止状态下的力学性质，而流体动力学则研究液体在运动状态下的力学性质。
在流体动力学中，液体运动的动量方程可以通过欧拉方程和纳维－斯托克斯方程来描述。欧拉方程是描述液体流动过程中速度场变化的方程，可以表示为：
$\frac{\partial V}{\partial t}+V\cdot \nabla V=-\frac{1}{\rho}\nabla p+
g$ 其中，$p$是液体的压力，$g$是重力加速度，$\nabla$是梯度运算符。
纳维－斯托克斯方程是描述液体运动中粘性效应的方程，可以表示为：
$\rho(\frac{\partial V}{\partial t}+V\cdot \nabla V)=-\nabla p+ \mu
\nabla^2 V+ \rho g$
其中，$\mu$是液体的动力粘度。
通过欧拉方程和纳维－斯托克斯方程，可以得到液体运动的动量方程。动量方程可以用来描述液体在不同形状和速度下的运动规律，并可以用于解释液体运动过程中的力学现象。
总结而言，液体运动的动量方程是研究液体在运动过程中动量守恒的基本方程。通过欧拉方程和纳维－斯托克斯方程，可以得到液体运动的动量方程，从而描述液体运动的力学性质。运用动量方程，我们可以进一步研究液体运动的加速度、压力、粘性等特性，为相关领域的研究和应用提供理论基础。
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1 流体动力学基础
知识点一:流场的基本概念
一、迹线
某一质点在某一时段内的运动轨迹线。
图中烟火的轨迹为迹线。
二、流线
1、流线的定义
表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。
如图为流线谱中显示的流线形状。
2、流线的作法
在流场中任取一点，绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很v1.0
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2 近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如此继续下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。
3、流线的性质
a.同一时刻的不同流线，不能相交。
因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向量。
b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。
因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。
c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。
因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面面积成反比。
4、流线的方程
在流线上某点取微元长度dl（不代表位移），dl在各坐标轴上的投影分别为dx、dy、dz，则：
或 流线的微分方程
迹线与流线的比较：
概定 备 v1.0
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3 念 义 注
流
线 流线是表示流体流动趋势的一条曲线，在同一瞬时线上各质点的速度向量都与其相切，它描述了流场中不同质点在同一时刻的运动情况。 流线方程为：
时间t为参变量。
迹
线 迹线是指某一质点在某一时段内的运动轨迹，它描述流场中同一质点在不同时刻的运动情况。 迹线方程为：
式中时间t为自变量。
三、恒定流和非恒定流
1、恒定流
流体质点的运动要素只是坐标的函数，与时间无关。――恒定流动
过流场中某固定点所作的流线，不随时间而改变——流线与迹线重合
4 流体运动的基本概念及方程
【3－1】已知平面流动的速度分布为
，
试计算点（0，1）处的加速度。
【解】先将极坐标的速度分量换算成直角坐标的速度，然后再求直角坐标中的加速度。
将， ， 代入，得
所以有：
在点（0，1）处， ，
算得 ，
【3－2】验证下列速度分布满足不可压缩流体的连续性方程：
（1） ， （2），
（3） ，
【解】:（1） ， ，
（2）
（3）从速度分布的表达式看出，用极坐标比较方便。当然，使用直角坐标也可以进行有关计算，但求导过程较为复杂。
，
【3－3】已知平面流场的速度分布为
， ， 试求t＝1时经过坐标原点的流线方程。
【解】对于固定时刻to，流线的微分方程为
积分得
这就是时刻to的流线方程的一般形式。
根据题意，to＝1时，x＝0，y＝0，因此C＝2
【3－4】如图所示的装置测量油管中某点的速度。已知油的密度为ρ＝800kg/m3，水银密度为ρ’＝13600 kg/m3，水银压差计的读数Δh＝60mm，求该点的流速u。
【解】我们分析管流中的一条流至测压管管口的流线，即如图中的流线1－0。这条流线从上游远处到达“L”形管口后发生弯曲，然后绕过管口，沿管壁面延伸至下游。流体沿这条流线运动时，速度是发生变化的。在管口上游远处，流速为u。当流体靠近管口时，流速逐渐变小，在管口处的点0，速度变为0，压强为po，流体在管口的速度虽然变化为0，但流体质点并不是停止不动，在压差作用下，流体从点0开始作加速运动，速度逐渐增大，绕过管口之后，速度逐渐加大至u。
综上分析，可以看到，流体沿流线运动，在点1，速度为u，压强为p，在点0，速度为0，压强为po，忽略重力影响，沿流线的伯努利方程是
由此可见，只要测出压差为po－p，就可以求出速度u。
不妨设压差计的右侧水银面与流线的高差为l。由于流线平直，其曲率半径很大，属缓变流，沿管截面压强的变化服从静压公式，因此，
