摘要广义积分是定积分的突破被积区间有界性与被积函数无界性的束缚得到的推广形式.在实际应用中，大部分的广义积分不能直接运算，有的积分虽然可以计算，但是过程太复杂，不方便我们的应用，而对广义积分而言，求其值的一个先决条件就是广义积分收敛，否则毫无意义，因此，广义积分的敛散性判别显得十分重要.本文主要论述了广义积分的两种形式：无穷积分和瑕积分.首先简述了无穷积分和瑕积分的定义，性质；其次，重点讨论了无穷积分与瑕积分的收敛与发散的判别，讨论了几种常用的判别方法，并用例题加以说明；最后，讨论了一下无穷积分与瑕积分混合时的反常积分的收敛与发散的判别.关键词：广义积分;无穷积分;瑕积分;收敛;发散.ABSTRACTGeneralized integrals is definite integral breakthrough was integrated interval bounded ness and integrand unbounded sexual ties get promotion form. In practical applications, most of the generalized integrals cannot direct operations, some integral although can calculate, but process is too complex, it is not convenient to our application, and the generalized integrals, let their value as a precondition is generalized integrals convergence, otherwise has no purpose, therefore, the generalized integral scattered sex discrimination folding is extremely important. This article mainly discusses the generalized integral in two forms: infinite integrals and flaw points. First, this paper expounds the infinite integrals and flaw integral definition, properties; Secondly, this paper discusses infinite integrals and the convergence and divergent flaw integral, discussed several discriminate criterion method commonly used instructions, and binders; Finally, discussed the infinite integrals when mixed with a flaw points of convergence in divergent discrimination.Keywords: Generalized integrals; Infinite integrals; Flaw integral; Convergence; Divergent;目录第一章前言 ........................................................................................ - 1 -第二章无穷积分 ...................................................................................... - 3 -2.1 无穷积分的概念与性质............................................ - 3 -2.2 无穷积分的敛散性判别............................................ - 4 -第三章瑕积分......................................................................................... - 15 -3.1瑕积分的概念与性质 ............................................. - 15 -3.2 瑕积分的敛散性判别............................................. - 16 -第四章混合型反常积分.......................................................................... - 23 -第五章结论............................................................................................. - 27 -参考文献............................................................................................. - 29 -致谢 .................................................................................................. - 31 -第一章前言无限区间上的积分或无界函数这两类积分叫作广义积分,又名反常积分.在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性。
第九章 定 积 分练 习 题§1定积分概念习 题1．按定积分定义证明：⎰-=ba ab k kdx ).(2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集{}i ξ，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：（1）⎰∑=+=1012233)1(41:;ni n n i dx x 提示 （2）⎰10;dx e x （3）⎰ba x dx e ; （4）2(0).(:bi adxa b xξ<<=⎰提示取§2 牛顿一菜布尼茨公式1．计算下列定积分：（1）⎰+10)32(dx x ； （2）⎰+-102211dx x x ； （3）⎰2ln e e x x dx ；（4）⎰--102dx e e xx ； （5）⎰302tan πxdx （6）⎰+94;)1(dx xx（7）⎰+40;1x dx（8）⎰eedx x x12)(ln 1 2．利用定积分求极限： （1）);21(1334lim n nn +++∞→ （2）;)(1)2(1)1(1222lim⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→n n n n n n （3）);21)2(111(222lim nn n n n +++++∞→ （4）)1sin 2sin (sin 1lim nn n n n n -+++∞→ ππ3．证明：若f 在[a,b]上可积，F 在[a,b]上连续，且除有限个点外有F ＇（x ）=f (x),则有()()().ba f x dx Fb F a =-⎰§3 可积条件1．证明：若T ˊ是T 增加若干个分点后所得的分割，则∑∑∆≤∆'.''T Ti i i i χωχω2．证明：若f 在[a,b]上可积，[][][]上也可积在则ββ,,,,a f b a a ⊂.3.设f ﹑g 均为定义在[a,b]上的有界函数。
证明：若仅在[a,b]中有限个点处()(),χχg f ≠则当f 在[a,b]上可积时，g 在[a,b]上也可积，且()().χχχχd g a bd f a b ⎰⎰=3．设f 在[a,b]上有界，{}[],,b a a n ⊂.lim c ann =∞→证明：在[a,b]上只有() ,2,1=n a n 为其间断点，则f 在[a,b]上可积。
第七讲 非黎曼积分（反常积分）一、知识结构我们知道黎曼积分要求积分区间有限，并且积分区间是闭区间（闭区域）. 下面研究积分区间无限,或积分区间不是闭区间的积分,我们称这样的积分为反常积分,所谓反常是指相对于黎曼积分的反常.对正常积分,我们主要研究它的计算问题,而对反常积分, 主要研究它的收敛问题.1、 一元函数的反常积分(1) 一元函数反常积分的概念和定义我们知道黎曼积分要求积分区间是有限闭区间[]b a ,或有限闭区域D ，如果将积分区间[]b a ,换成无限区间),[+∞a 或非闭区间],(b a （a 是被积函数的瑕点）或()+∞,a ，由此产生的积分我们称为反常积分，反常积分是相对于黎曼积分所提出的，“反常”指将黎曼积分中的有限闭区间[]b a ,换成无限区间),[+∞a 或非闭区间],(b a （a 是被积函数的瑕点,即函数)(x f 在点x 处无界）.定义1 函数)(x f 在无限区间),[+∞a 连续，则定义⎰⎰+∞→+∞=AaA adx x f dx x f )(lim)(，如果极限⎰+∞→AaA dx x f )(lim存在，我们称反常积分⎰+∞adx x f )(收敛.定义2 函数)(x f 在非闭区间],(b a 连续，而在点a 右邻域内无界（a 是被积函数)(x f 的瑕点）即函数在点a 无界，则定义⎰⎰⎰++→+→==b kak ba badx x f dx x f dx x f )(lim )(lim )(0εε,如果极限⎰+→+ba dxx f εε)(lim 0存在，我们称反常积分⎰badx x f )(收敛.函数)(x f 在点a 右邻域内无界的意思是：∞=+→)(lim x f ax .注意: 函数在点a 没有定义,但函数)(x f 在点a 右极限)(lim x f ax +→可以存在,这时a 不是被积函数)(x f 的瑕点.例如,函数x x sin 在点0处没有定义,但1sin lim 0=+→xxx ,所以0=x 不是积分⎰10sin dx x x 的瑕点. ⎰10sin dx x x 不是反常积分. 将积分⎰10sin dx xx 看作推广的黎曼积分. 因为, 如果被积函数)(x f 在闭区间[]b a ,上仅有有限个第一类间断点, 则积分⎰badx x f )(为推广的黎曼积分,它也是收敛的.定义3 函数)(x f 在开区间),(b a 内连续，b a ,都是函数)(x f 的瑕点，则定义⎰⎰⎰⎰⎰-→+→-++=+=δδεεb cca b cc abadx x f dx x f dx x f dx x f dx x f )(lim )(lim )()()(0,如果极限⎰+→+ca dx x f εε)(lim 0和⎰-→-δδb cdx x f )(lim 0均存在，我们称反常积分⎰badx x f )(收敛.定义4 函数)(x f 在无限区间),(+∞a 连续，a 是函数)(x f 的瑕点，则定义⎰⎰⎰⎰⎰+∞→+→+∞+∞+=+=+AbA ba bb aadx x f dx x f dx x f dx x f dx x f )(lim)(lim )()()(0εε,如果极限⎰+→+ba dx x f εε)(lim 0和⎰+∞→AbA dx x f )(lim均存在，我们称反常积分⎰+∞adx x f )(收敛.②积分区域无限且被积函数),(y x f 有瑕点（了解）. 2、一元函数反常积分的性质与收敛判别 请同学们切记如下例子中的结论.例 讨论积分dx x p ⎰101和dx x p ⎰+∞11的敛散性.解 显然dx x ⎰101和dx x⎰+∞11均发散.在区间]1,0(上, 当1<p 时, 函数xx p 11<, 即前者的图像在后者的图像下方,这时dx x p ⎰101收敛(请同学给出证明). 当1>p 时, 函数xx p 11>,即前者的图像在后者的图像上方,这时dx xp ⎰101发散(请同学给出证明).在区间),1[+∞上, 当1<p 时, 函数xx p 11>, 即前者的图像在后者的图像上方,这时dx xp ⎰+∞11发散(请同学给出证明). 当1>p 时, 函数xx p 11<, 即前者的图像在后者的图像下方,这时dx x p ⎰101收敛(请同学给出证明).结论:⎪⎩⎪⎨⎧≥∞+<-=⎰时当时，当，1,11111p p p dx x p和⎪⎩⎪⎨⎧>-≤∞+=⎰∞+.1,11111时当时，当，p p p dx x p (1) 无穷积分的性质与收敛性判别 ①无穷积分的性质 (a)若dx x f a)(1⎰+∞与dx x f a)(2⎰+∞收敛, 则dx x f k x f k a)]()([2211±⎰+∞也收敛, 且dx x f k dx x f k dx x f k x f k aaa)()()]()([22112211⎰⎰⎰+∞+∞+∞±=±.(b)若)(x f 在任何有限闭区间],[u a 上可积,b a <, 则dx x f a)(⎰+∞与dx x f b )(⎰+∞同敛态(同时收敛或同时发散),并且dx x f dx x f dx x f bba a)()()(⎰⎰⎰+∞+∞+=.(c) 若)(x f 在任何有限闭区间],[u a 上可积, 且有dx x f a⎰+∞)(收敛，则dx x f a)(⎰+∞收敛，且dx x f dx x f aa⎰⎰+∞+∞≤)()(.当dx x f a⎰+∞)(收敛时, 称dx x f a)(⎰+∞绝对收敛. 我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛.②无穷积分的收敛判别 (a) 柯西收敛准则 对无穷积分dx x f dx x f uau a)(lim)(⎰⎰+∞→+∞=的敛散性用以下准则可以作出判断.定理1(柯西收敛准则) 无穷积分dx x f a)(⎰+∞收敛的充要条件是: 对0>∀ε, 0>∃U , )(εU U =, 当Uu u >21,时, 有ε<=-⎰⎰⎰dx x f dx x f dx x f u u u au a)()()(2121.无穷积分的柯西收敛准则可由函数极限的柯西收敛准则得到. (b) 比较法则定理2(比较法则) 设定义在),[+∞a 上的两个函数)(x f 和)(x g 都在任何有限区间],[u a 上可积,且满足)()(x g x f ≤,),[+∞∈a x ,则当dx x g a)(⎰+∞收敛时dx x f a⎰+∞)(必收敛; 当dx x f a⎰+∞)(发散时dxx g a)(⎰+∞必发散.考虑当dx x g a)(⎰+∞收敛时dx x f a⎰+∞)(必收敛是否正确? 当dxx f a⎰+∞)(发散时dx x g a)(⎰+∞必发散是否正确?推论1设定义在),[+∞a 上的两个函数)(x f 和)(x g 都在任何有限区间],[u a 上可积,0)(>x g , 且c x g x f x =+∞→)()(lim, 则有①当+∞<<c 0时, dx x f a⎰+∞)(与dx x g a)(⎰+∞同敛态;②当0=c 时, 由dx x g a)(⎰+∞收敛可推知dx x f a⎰+∞)(也收敛;③当+∞=c 时, 由dx x g a)(⎰+∞发散可推知dx x f a⎰+∞)(也发散.利用不等式εε+<<-c x g x f c )()(，即()())()()(x g c x f x g c εε+<<-可证上述结论.推论2 设)(x f 是定义在),[+∞a (0>a )的函数,且在任何有限区间],[u a 上可积,则有:①当p xx f 1)(≤,),[+∞∈a x ,且1>p 时, dx x f a ⎰+∞)(收敛; ②当p xx f 1)(≥,),[+∞∈a x ,且1≤p 时, dx x f a ⎰+∞)(发散.利用结论⎪⎩⎪⎨⎧>-≤∞+=⎰∞+时当时，当，1,11111p p p dx x p 可证上述结论. 推论3设)(x f 是定义在),[+∞a (0>a )的函数,在任何有限区间],[u a 上可积,且()c x f x p x =+∞→)(lim , 则有:①当+∞<≤>c p 0,1时, dx x f a ⎰+∞)(收敛; ②当+∞≤<≤c p 0,1时,dx x f a⎰+∞)(发散.利用不等式εε+<<-c x g x f c )()(，即()())()()(x g c x f x g c εε+<<-可证上述结论.(c) 狄利克雷判别法定理3(狄利克雷判别法) 若⎰=uadx x f u F )()(在),[+∞a 上有界,)(x g 在),[+∞a 上当+∞→x 时单调趋于0,则dx x g x f a)()(⎰+∞收敛(了解).(d) 阿贝尔(Abel)判别法 定理4(阿贝尔(Abel)判别法) 若dx x f a⎰+∞)(收敛，)(x g 在),[+∞a 上单调有界,则dx x g x f a)()(⎰+∞收敛(了解).(2) 瑕积分的性质与收敛判别 ① 瑕积分的性质(a) 若)(1x f 与)(2x f 都以a x =为瑕点，21,k k 为常数，则当瑕积分dx x f ba)(1⎰与dx x f b a)(2⎰收敛时, 瑕积分dx x f k x f k ba)]()([2211±⎰必定收敛,且dx x f k dx x f k dx x f k x f k bababa )()()]()([22112211⎰⎰⎰±=±.(b) 设函数)(x f 以a x =为瑕点，),(b a c ∈为任一常数，则瑕积分dx x f ba )(⎰与dx x f ca)(⎰同敛态(同时收敛或同时发散),并且dx x f dx x f dx x f bcc aba)()()(⎰⎰⎰+=，其中)(x f bc⎰为定积分.(c) 设函数)(x f 以a x =为瑕点， 若)(x f 在],(b a 的任一内闭区间],[b u 上可积,则当dx x f ba⎰)(收敛时，dx x f ba)(⎰也必收敛，且dx x f dx x f baba⎰⎰≤)()(.当dx x f ba⎰)(收敛时, 称dx x f ba)(⎰绝对收敛. 我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛.② 瑕积分的收敛判别 (a) 柯西收敛准则 对瑕积分dx x f dx x f buau ba)(lim )(⎰⎰+→=的敛散性用以下准则可以作出判断.定理1(柯西收敛准则) 瑕积分dx x f ba)(⎰（瑕点为a ）收敛的充要条件是: 对0>∀ε, 0>∃δ, )(εδδ=, 当δδ<-<<-<a u a u 210,0时, 有ε<=-⎰⎰⎰dx x f dx x f dx x f u u bu bu )()()(2121.瑕积分的柯西收敛准则可由函数极限的柯西收敛准则得到. (b) 比较法则定理2(比较法则) 设定义在],(b a 上的两个函数)(x f 和)(x g ，瑕点同为a x =，)(x f 和)(x g 都在任何有限区间],(],[b a b u ⊂上可积,且满足)()(x g x f ≤,],(b a x ∈,则当dx x g b a )(⎰收敛时dx x f ba ⎰)(必收敛; 当dx x f ba⎰)(发散时dx x g ba)(⎰必发散.考虑当dx x g ba)(⎰收敛时dx x f b a⎰)(必收敛是否正确? 当dx x f ba⎰)(发散时dx x g ba)(⎰必发散是否正确?推论1又若 0)(>x g , 且c x g x f ax =+→)()(lim , 则有①当+∞<<c 0时, dx x f ba⎰)(与dx x g ba)(⎰同敛态;②当0=c 时, 由dx x g ba)(⎰收敛可推知dx x f b a⎰)(也收敛;③当+∞=c 时, 由dx x g ba)(⎰发散可推知dx x f b a⎰)(也发散.利用不等式εε+<<-c x g x f c )()(，即()())()()(x g c x f x g c εε+<<-可证上述结论.推论2 设)(x f 是定义在],(b a 的函数,瑕点为a x =， 且在任何有限区间],(],[b a b u ⊂上可积，则有:①当()pa x x f -≤1)(,且10<<p 时, dx x fb a ⎰)(收敛;②当()p a x x f -≥1)(,且1≥p 时, dx x f b a ⎰)(发散. 利用结论⎪⎩⎪⎨⎧≥∞+<-=⎰时当时，当，1,11111p p p dx x p 可证上述结论. 推论3设)(x f 是定义在],(b a 的函数,瑕点为a x =， 且在任何有限区间],(],[b a b u ⊂上可积，且()[]λ=-+→)(lim x f a x pax , 则有:①当+∞<≤<<λ0,10p 时, dx x f ba⎰)(收敛;②当+∞≤<≥λ0,1p 时, dx x f ba⎰)(发散.2、多元函数的反常积分(1)积分区域无限且被积函数),(y x f 没有瑕点①函数),(y x f z =在无限区域:D ),[),[+∞⨯+∞c a 上的反常积分定义 5 函数),(y x f z =在无限区域:D ),[),[+∞⨯+∞c a 连续，则定义⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞→+∞→+∞+∞==Aa BcB A acDdy y x f dx dy y x f dx dxdy y x f ),(lim),(),(,如果极限存在， 我们称反常积分⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ),(收敛.② 函数),(y x f z =在无限区域:D ],(],(y x -∞⨯-∞上的反常积分 定义6 函数),(y x f z =在无限区域:D ],(],(y x -∞⨯-∞连续，则定义⎰⎰⎰⎰⎰⎰-∞→-∞→∞-∞-==xA yBB A x yDdy y x f dx dy y x f dx dxdy y x f ),(lim),(),(,如果极限存在， 我们称反常积分⎰⎰∞-∞-xydy y x f dx ),(收敛.由于式中⎰⎰∞-∞-xydy y x f dx ),(的积分上限中的y x ,与被积函数中的yx ,不同,所以⎰⎰∞-∞-xy dy y x f dx ),(经常表示为⎰⎰∞-∞-xydt t u f du ),(. 这种积分是概率论与数理统计中常用求概率分布函数),(y x F 的积分, 即⎰⎰∞-∞-=x ydy y x f dx y x F ),(),(,其中),(y x f .③ 函数),(y x f z =在无限区域),(),(+∞-∞⨯+∞-∞上的反常积分 (请同学给出其定义).④ 函数),(y x f z =在无限区域),(),[+∞-∞⨯+∞a 上的反常积分(请同学给出其定义).⑤ 函数),(y x f z =在无限区域),[),[+∞⨯+∞c a 上的反常积分(请同学给出其定义).上述积分在概率中经常用到.已知随机变量Y X ,,函数),(y x f 是随机变量Y X ,的概率密度函数,),(y x F 表示随机变量Y X ,的分布函数,则概率⎰⎰∞-∞-==≤≤x ydy y x f dx y x F y Y x X P ),(),(),(,⎰⎰⎰∞-∞-+∞∞-===+∞=+∞<≤x X x X dxy x f dy y x f dx x F x F Y x X P ),(),()(),(),(,⎰⎰⎰∞-∞-+∞∞-===+∞=≤+∞<yY y Y dyy x f dx y x f dy y F y F y Y X P ),(),()(),(),(,其中),(y x f X ,),(y x f Y 分别称为Y X ,边缘概率密度函数,),(y x F X ,),(y x F Y 分别称为Y X ,边缘分布函数.例如(考研2010年数学一)设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为2222),(y xy xAe y x f -+-=,+∞<<∞-x ,+∞<<∞-y ,求常数A 及条件概率密度)(x y f X Y .解: 因为1),(=+∞+∞F ,所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞----∞+∞-+∞∞-++-+∞∞-+∞∞-+∞∞-====dyAedx dyAe dx dy y x f dx y x F y y x y xy x2222)(22),(),(1作变量替换⎩⎨⎧==-θθsin cos r y r y x ，+∞<<r 0，πθ20≤≤，即⎩⎨⎧=+=θθθsin sin cos r y r r x . 则()r r r y ry xrx r J -=-+=∂∂∂∂∂∂∂∂=θθθθθθθθθcos sin sin cos sin cos ),(.所以πθπA dr r Ae d dy Aedx r y y x =-=⎰⎰⎰⎰+∞-+∞∞----+∞∞-020)()(222, 进而π1=A .22222222222211(,)()1()(,)x xy y x xy y Y X x xy y X eef x y f y x f x f x y dyedyπππ-+--+-+∞+∞-+--∞-∞===⎰⎰222222222222222222()20111(,)1112xxy y xxy y xxy y x y x x t x t e e e y x t dy dt e e dye e dte e dtππππππ-+--+--+-+∞+∞+∞--------∞-∞===-==⋅⋅⋅⎰⎰⎰222222222222222211122111(,)11112xxy y xxy y x xy y xxuxu e e e t u dt e e u e due u e duππππππ-+--+--+-+∞+∞-------=====⎛⎫⋅Γ ⎪⎝⎭⎰⎰222222221,.1x xy y xxy y xe y π-+--+--==-∞<<+∞注: 由余元公式)10(sin )1()(<<=-ΓΓs s s s ππ得: π=⎪⎭⎫⎝⎛Γ21. 还可以用以下方法计算π=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ21.余元公式)10(sin )1()(<<=-ΓΓs ss s ππ的证明过程很繁杂,在此证明略. 先计算dxdy e Dy x ⎰⎰+-)(22, 其中区域D : a y a x ≤≤≤≤0,0.因为222:a y x D a ≤+, 22222:a y x Da≤+. 则dxdy e dxdy e dxdy e aaDy xDy xD y x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+-+-≤≤2222222)()()(,即dxdy e dx e dy edx edxdy eaaD y x ax aay x D y x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+----+-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=≤22222222)(200)(. 令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ,20,0πθ≤≤≤≤a r . 则()22214)(a D y x e dxdy ea-+--=⎰⎰π.令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ,20,20πθ≤≤≤≤a r . 则()22222)(14a Dy x e dxdy e a-+--=⎰⎰π.所以()()2222201414a a x a e dx e e ----≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-⎰ππ. 因为()414lim2ππ=--+∞→a a e , ()414lim 22ππ=--+∞→a a e , 所以22π=⎰∞+-dx e x ,进而π==⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎰∞+-dx e x 02221.上面的积分给出了反常积分计算的一个重要方法: 夹逼方法.同学们应切记这种方法.(2) 多元函数反常积分性质与收敛性判别3、含参量的反常积分（考数学专业的同学需要掌握） (1) 含参量反常积分的概念和定义 (2) 含参量反常积分性质与收敛性判别 二、解证题方法 1、反常积分的计算反常积分的计算题在考研中很少出现, 如果出现, 一般用变量替换法求解.例1(南京农业大学2004年)求dx xx ⎰-1ln 1. 解 令te x =,则dt e dx t=. 进而021211ln 1000000202010=-=-=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-dt t e du u e dt t e du u e dtt e dt t e dt t e e dt e t e dx x x t u t u t t t t tt . 例2(南京大学2000年)求dt ttx x ⎰→1120cos lim. 解 令x t 1=,则dx xdt 21-=,所以 1sin 1sin 1sin lim 11sin lim 11cos lim cos lim 121120=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎭⎫⎝⎛=∞→∞→∞→→⎰⎰t t x dt x x dt t tt t t t xx . 例3(南京农业大学2004年)求dx x⎰+∞+0411. 解 作变量替换xt 1=,则 dt t tdx x dx x dx x dx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=+++=+⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞+20141041410404111111111111 ()()dx x x x x x dx x x dx x x dx x ⎰⎰⎰⎰-++++=++=+++=102221042104210421******** dx xx dx x x ⎰⎰-++++=1021022112121121()()dxx dx x ⎰⎰-++++=121212111211()()π420112arctan 210112arctan 21=-++=x x .例4(上海理工大学2003年)已知积分2sin 0π=⎰+∞dx x x ,计算dx x x ⎰∞+⎪⎭⎫⎝⎛02sin . 解dx x x x x x x d x dx x x ⎰⎰⎰∞+-∞+∞++∞+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛0210202cos sin 20sin )(sin sin 2sin sin lim )2(22sin sin lim 220020π+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+∞→→∞++∞→→++⎰a a b b x d x x a b x x b a b a 22sin sin lim 2220ππ=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+∞→→+a a a b b b a . 例5(兰州大学2005年)求⎰1ln xdx .解 首先判断积分⎰1ln xdx 反常性。
