ch-8-2反常积分的收敛判别法

反常积分的收敛判别法阿文摘 要：掌握不同类型函数反常积分收敛性的多种判别方法，对于需要计算出其收敛值的，也可以方便的计算出其收敛的数值.关键词：Cauchy 判别法； Abel 判别法； Dirichlet 判别法引 言一般情况下，只需确定一个反常积分函数的收敛性，而不一定需要求出其具体的收敛数值.因此，掌握不同类型函数的反常积分收敛判别法是极其必要的.一 非负函数反常积分的收敛判别法1.比较判别法设在),[+∞a 上恒有)()(0x K x f ϕ≤≤，其中K 是正常数，则（1） 当⎰+∞adx x )(ϕ收敛时⎰+∞a dx x f )(也收敛；（2） 当⎰+∞a dx x f )(发散时⎰+∞a dx x )(ϕ也发散.2.Cauchy 判别法设在),[+∞a ),0(+∞⊂上恒有0)(≥x f ，K 是正常数，（1）若p xK x f ≤)(，且p>1,则dx x f a ⎰+∞)(收敛； （2）若p xx f K ≥)(，且p 1≤，则⎰+∞a dx x f )(发散. 二 一般函数反常积分的收敛判别法1.Abel 判别法dx x f a ⎰+∞)(收敛，)(x g 在),[+∞a 单调有界，则dx x g x f a )()(⎰+∞收敛；2.Dirichlet 判别法F(A)=dx x f A a ⎰)(在[),+∞a 上有界，)(x g 在[),+∞a 上单调且+∞→x lim 0)(=x g ，则dx x g x f a )()(⎰+∞收敛.三 无界函数反常积分的收敛判别法1.Cauchy 判别法设在[),b a 上恒有0)(≥x f ，当x 属于b 的某个领域),[0b b η-时，存在正常数K ，使得 (1) ,)()(p x b K x f -≤且p<1，则⎰b a dx x f )(收敛; (2) ,)()(px b K x f -≥且p 1≥则⎰b a dx x f )(发散. 2.Abel 判别法⎰ba dx x f )(收敛，)(x g 在),[b a 上单调有界，则⎰ba dx x g x f )()(收敛. 3.Dirichlet 判别法⎰-=ηηb a dx x f F )()(在],0(a b -上有界，)(x g 在),[b a 上单调且0)(lim =-→x g b x , 则⎰ba dx x g x f )()(收敛.总 结函数的类型不同，其相应的反常积分收敛判别法也就不同.熟练掌握多种判别法可以对不同类型函数的敛散性做出正确的估计及计算.一般的，同一类函数也可用不同的方法来计算，既省时间，正确度又高.参考文献[1]陈纪修，於崇华，金路.数学分析(第二版)[M]，北京：高等教育出版社，2004.6.。

内蒙古财经大学本科学年论文反常积分敛散性的判定方法作者陈志强学院统计与数学学院专业数学与应用数学年级2012级学号122094102指导教师魏运导师职称教授最终成绩75分目录摘要..............................................................。

(1)关键词………………………………………………。

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.1引言-—--—-———-———--——----—---————-------——-—--———-—-—-—--—---—--—-—-—-----————-—--————--—--—2一、预备知识......................................。

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. (2)1.无穷限反常积分…………………………。

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22.瑕积分........................。

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(3)3。

反常积分的性质........................。

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(3)二、反常积分的收敛判别法.....................................。

.. (4)1无穷积分的收敛判别 (4)（1)。

定义判别法......................。

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(4)（2）。

比较判别法.....................。

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(4)（3）。

柯西判别法.....................。

.. (5)(4)阿贝尔判别法。

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6（5)。

狄利克雷判别法.............................。

. (7)2瑕积分的收敛判别......................。

........................... ...。

反常积分收敛判断
摘要：
1.反常积分的定义及作用
2.反常积分收敛的判断方法
3.反常积分的应用举例
正文：
一、反常积分的定义及作用
反常积分，又称为不定积分，是指在一个定义域上，对一个函数进行积分，积分结果与定义域无关的积分。

反常积分通常用来计算函数在一段区间上的积分值，它可以用来求解微分方程的解以及研究函数的性质等。

二、反常积分收敛的判断方法
判断反常积分是否收敛，主要有以下几种方法：
1.柯西积分准则：如果一个函数在定义域上满足柯西积分准则，那么这个函数在这个定义域上的反常积分是收敛的。

2.积分区间长度：如果一个函数在定义域上的长度是有限的，并且函数在这个区间上是连续的，那么这个函数在这个定义域上的反常积分是收敛的。

3.分部积分法：可以将函数分解成部分，然后分别求解每个部分的反常积分，如果这些部分的积分都是收敛的，那么原函数的反常积分也是收敛的。

三、反常积分的应用举例
举例来说，如果我们需要求解函数f(x) = 1/x在区间[1, 2] 上的积分值，我们可以使用反常积分的方法。

首先，将函数分解成部分，即f(x) = 1/x =
H(x) - H(2)，其中H(x) 是函数x 的反函数。

然后，我们可以分别求解H(x) 和H(2) 在区间[1, 2] 上的积分值，再将它们相减，即可得到f(x) 在区间[1, 2] 上的积分值。

综上所述，反常积分是一种重要的数学工具，它可以帮助我们求解许多实际问题。

反常积分收敛判断1. 引言在数学中，积分是一种重要的概念，它可以用于计算曲线下的面积、求解微分方程等。

在一些特殊情况下，我们会遇到反常积分，即积分的上限或下限为无穷大或无界的情况。

而反常积分收敛判断就是研究这种情况下积分是否存在有限的结果。

2. 反常积分的定义对于函数f(x)，若在区间[a, +∞)或(-∞, b]上连续（除了有限个点外），则称函数f(x)在该区间上具有反常积分。

反常积分可以表示为：或者其中a和b可以是任意实数。

3. 收敛与发散对于反常积分而言，存在两种可能的结果：收敛和发散。

•若反常积分存在有限的结果，则称其为收敛的。

•若反常积分不存在有限的结果，则称其为发散的。

4. 收敛判断方法在数学中，有多种方法可以用来判断反常积分是否收敛。

下面介绍几种常见且实用的方法。

4.1 极限判别法极限判别法是一种常用的判断反常积分收敛性的方法。

具体步骤如下：1.计算极限：或。

2.若极限存在且有限，则反常积分收敛。

3.若极限不存在或为无穷大，则反常积分发散。

4.2 比较判别法比较判别法是通过与一个已知收敛或发散的函数进行比较，来判断反常积分是否收敛。

具体步骤如下：1.选择一个已知函数g(x)，使得g(x)在区间[a, +∞)（或(-∞, b]）上连续，并且满足0 ≤ f(x) ≤ g(x)。

2.对于区间[a, +∞)，若收敛，则也收敛。

3.对于区间(-∞, b]，若收敛，则dx)也收敛。

4.3 绝对收敛判别法绝对收敛判别法是比较严格的一种判断方法，它要求被积函数的绝对值函数在区间上的积分存在有限的结果。

具体步骤如下：1.计算。

2.若收敛，则反常积分收敛。

5. 实例分析下面通过几个实例来说明如何使用以上方法进行反常积分收敛判断。

5.1 极限判别法考虑反常积分。

首先计算极限：=0)。

由于极限存在且为有限值，因此根据极限判别法，该反常积分收敛。

5.2 比较判别法考虑反常积分…)…-%29%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7Ddx)。

反常积分收敛性判断方法
积分收敛性是科学研究的基本要求，是数学统计学和高等数学的重要概念。

反常积分收敛性是指某个积分的结果没有收敛，在趋于一定值的情况下，结果无限逼近此值，结果却不在围绕此值徘徊，而是继续增加、持续变大，
从而引起反常的现象。

反常积分收敛性的判断方法有多种，其中最常用的一种方法是采用数值法。

在某个积分结果无收敛，而变大的情况下，我们可以比较多次计算得到
的数值，发现它们存在连续性递增或者趋向于一定值，但是这个值再次以不
断增大的趋势变化，由此就可以得出反常积分收敛性的结论。

另外，在判断反常积分收敛性时还可以采用理论分析法，即仔细分析被
计算积分的概念，通过求积分的过程分析，判断是否存在反常积分收敛性现象。

总之，反常积分收敛性的判断，既可以采用实验数据、仿真分析和数值
统计方法，也可以采用理论分析方法，也可以综合运用这两种方法，以便尽
早发现反常积分收敛性的情况，以及其引起的其它问题。

两种反常积分敛散性的判别方法在数学分析中，反常积分是指函数在一些区间上的积分无法用常规的积分定义进行计算的情况。

常见的反常积分问题包括无界函数的积分、奇点处的积分和振荡函数的积分。

对于反常积分的收敛性，常用的判别方法有以下两种：1.比较判别法：比较判别法是通过比较被积函数与一些已知的函数的大小关系来判断反常积分的收敛性。

常见的比较函数包括幂函数、指数函数和对数函数等。

（1）正比较法：若在一些区间上，存在常数c>0和N>0，对于任意x＞N有0≤f(x)≤c*g(x)，其中g(x)为已知收敛或发散的反常积分，则称反常积分∫f(x)dx收敛；若存在常数d>0，对于任意x＞N有0≤f(x)≥d*g(x)，则反常积分∫f(x)dx发散。

（2）极限判别法：若存在常数L，满足Limx→∞f(x)/g(x)=L（L为有限数或∞），且∫g(x)dx收敛，则反常积分∫f(x)dx也收敛；若Limx→∞f(x)/g(x)=∞或Limx→∞f(x)/g(x)=0，且∫g(x)dx发散，则反常积分∫f(x)dx也发散。

比较判别法的核心思想是通过比较被积函数与一些已知函数的大小关系来推断其积分的收敛性。

这种方法灵活性较大，可以根据需要选取适当的比较函数，但需要有一些常用函数的性质作为基础。

2.极限判别法：极限判别法是利用极限的性质来判断反常积分的收敛性。

具体方法是将反常积分转化为一个极限的形式，并通过求解该极限来判断积分的收敛性。

常见的极限包括无穷极限和有界变量趋于奇点的极限。

（1）无穷极限：若极限Limx→∞f(x)=A（A为有限数或∞），则反常积分∫f(x)dx收敛；若极限Limx→∞f(x)=±∞或不存在，则反常积分∫f(x)dx发散。

（2）奇点极限：若在奇点c附近，存在极限Limx→c，x-c，f(x)=L（L为有限数或∞），则反常积分∫f(x)dx收敛；若在奇点c附近，极限Limx→c，x-c，f(x)=±∞或不存在，则反常积分∫f(x)dx发散。

内受古财经大教本科教年论文之阳早格格创做反常积分敛集性的判决要领做家陈志强教院统计与数教教院博业数教与应用数教年级2012级教号122094102指挥西席魏运导师职称熏陶最后结果75分目录纲要 (1)关键词汇 (1)弁止----------------------------------------------------------------------------------------2 一、预备知识 (2) (2) (3) (3)二、反常积分的支敛判别法 (4)1无贫积分的支敛判别 (4)(1).定义判别法 (4)(2).比较判别法 (4)(3).柯西判别法 (5)(4)阿贝我判别法 (6)(5).狄利克雷判别法 (7)2瑕积分的支敛判别.................................................. . (8)(1).定义判别法 (8)(2).定理判别法 (9)(3).比较判别法 (9)(4).柯西判别法 (9)(5).阿贝我判别法 (10)(6).狄利克雷判别法 (10)参照文件 (11)纲要正在很多本量问题中，要突破积分区间的有贫性战被积函数的有界性，由此得到了定积分的二种形式的推广：无贫限反常积分战瑕积分.咱们将那二种积分统称为反常积分.果为反常积分波及到一个支敛问题，所以反常积分的敛集性判决便隐得非常要害了.本文将对于反常积分的敛集性判决举止归纳归纳，并给出了相关定理的道明，举例道明其应用，那样将有帮于咱们机动的使用百般等价定理推断反常积分的敛集性.关键词汇：反常积分 瑕积分 极限 敛集性弁止近些年此后，一些数教处事者对于反常积分敛集性的判别要领干了钻研并博得了许多要害的收达.如华东师范大教数教系编，数教分解（上册），对于反常积分积分的定义，本量的使用及道义其判别支敛性的要领.华中科技大教出版的数教分解表里要领与本领，也对于反常积分敛集性判别干了仔细的道解，还用图形的要领道明其意思.扩充出反常积分敛集性的等价定义，并通过例题道明其应用.稠密教者钻研的真量齐而广，真用性很下，更加是正在钻研敛集性的判别很明隐，那对于我现所钻研的论文题目提供了洪量的表里依据战参照文件，对于我完毕此次论文有很大的帮闲，但是绝大普遍文件不过对于其一种要领举止钻研，而本文将对于其举止归纳归纳，举例道明其应用.一 、预备知识()f x 正在[ａ，＋∞）有定义，若()f x 正在[ａ，A]上可积（A>a ）且当A →＋∞时，lim ()AaA f x dx→∞⎰ 存留，称反常积分 ()af x dx∞⎰支敛，可则称反常积分()af x dx-∞⎰与()f x dx∞-∞⎰收集.对于反常积分()af x dx-∞⎰与()f x dx ∞-∞⎰可类似的给出敛散性定义。

反常积分的收敛判断可以通过以下几种方法进行：
1.比较判别法：将原积分函数与已知函数进行比较，通过比较函数的大小关系来判断反常积分是否收敛。

如果原积分函数在某个区间内小于已知函数，则该积分收敛；如果原积分函数在某个区间内大于已知函数，则该积分发散。

2.极限判别法：将原积分函数拆分为两个积分，然后分别对它们的积分上限取极限，如果这两个极限都存在，且它们的和存在，则该积分收敛；否则，该积分发散。

3.绝对收敛法：如果原积分函数的绝对值在积分区间上可积，则该积分收敛。

这种方法适用于一些比较复杂的积分函数，但需要进行复杂的计算。

4.直接计算法（或称定义法）：通过直接计算反常积分来判断敛散性。

若反常积分能计算出一个具体数值，则收敛，否则发散。

此种方法适合被积函数的原函数容易求得时的反常积分敛散性的判别。

这些方法有各自的优点和适用范围，需要根据具体问题选择合适的方法进行判断。