2016届安徽省六安市第一中学高三第九次月考数学(文)试题
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2016届安徽省六安市第一中学高三第九次月考数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，则复数()12z i i =--在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．若集合(){}(){}22|40,|log 1A x x x B x x x =-≤=->，则A B = （ ）A ．(]2,4B ．[]2,4C ．()[],00,4-∞D ．()[],10,4-∞-3．命题:p 若sin sin x y >，则x y >；命题22:2q x y xy +≥．下列命题为假命题的是（ ） A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．q D ．p -4．已知两个不同的平面α、β和两个不重合的直线,m n ，则下列四个命题中不正确的是（ ） A ．若//,m n m α⊥ ，则n α⊥； B ．若,m m αβ⊥⊥，则//αβ； C ．若//,,m n m n αβ⊥⊂，则αβ⊥； D ．若//,m n ααβ= ，则//m n ．5．函数()()tan 0f x x ωω=>的图像的相邻两支截直线2y =所得线段长为2π，则6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．BC ．1D 6．已知{}n a 是等差数列，395,17a a ==，数列{}n b 的前n 项和31n n S =-，若41m a b +=，则正整数m 等于（ ）A ．29B ．28C ．27D ．267．为了解某商品销售量y （件）与销售价格x （元/件）的关系，统计了(),x y 的10组值，并画成散点图如图，则其回归方程可能是（ ）A ．ˆ10198yx =-- B ．ˆ10198y x =-+ C ．ˆ10198y x =+ D ．ˆ10198y x =-8．若如双曲线2222:1x y C a b -=的一条渐近线倾斜角为6π，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2BC ．2D ．2 9．如图所示程序框图，其功能是输入x 的值，输出相应的y 值，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．在平面直角坐标系xOy 中，设P 是曲线:1(0)C xy x =>上任意一点，l 是曲线C 在点P 处的切线，且l 交坐标轴于,A B 两点，则以下结论正确的是（ ） A ．OAB ∆的面积为定值2 B ．OAB ∆的面积有最小值为3 C ．OAB ∆的面积有最大值为4 D ．OAB ∆的面积取值范围为[]3,412．如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的棱长不可能为（ ）A． BC． D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知向量()()()4,4,5,,1,3a b m c === ，若()2a c b -⊥，则实数m 的值为 _________．14．已知实数,x y 满足234240x y y x x y -≥⎧⎪≤-⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为________．15．已知一个圆锥内接于球O （圆锥的底面圆周及顶点均在球面上），若球的半径5R =，圆锥的高是底面半径的2倍，则圆锥的体积为 ________．16．如图，在ABC ∆中，sin 22ABC AB ∠==，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，BD =，则cos ACB ∠= ________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答出应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知公比0q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且131,7a S ==，数列{}n b 中130,1b b ==． （1）若数列{}n n a b +是等差数列，求,n n a b ；（2）在（1）的条件下，求数列{}n b 的前n 项和为n T ． 18.（本小题满分12分）某市教育局为了了解高三学生体育课达标情况，在某学校的高三学生体育课达标成绩中随机抽取50个进行调研，按成绩分组：第1组[)75,80，第2组[)80,85，第3组[)85,90，第4组[)90,95，第5组[)95,100，得到的频率分布直方图如图所示：若要在成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查．（1）已知学生甲和学生乙的成绩均在第五组，求学生甲或学生乙被选中复查的概率；（2）在已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受篮球项目的考核，求其中一个在第三组，另一人在第四组的概率．19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA PC =，AC 与BD 交于点O ．（1）求证：PB AC ⊥；（2）若平面PAC ⊥平面0,60ABCD ABC ∠=，2PB AB ==，求点O 到平面PBC 的距离． 20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线l 与椭圆C 有唯一公共点M ，当点M 的坐标为12⎫⎪⎭时，l240y +-=． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 的斜率为,k M 在椭圆C 上移动时，作OH l ⊥于H （O 为坐标原点），当45OH OM =时，求k 的值．21.（本小题满分12分）已知函数()()1xf x e ax a R =--∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()()ln 1ln x g x e x =--，当()0,x ∈+∞时，不等式()()()f g x f x <恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1、几何证明选讲如图，已知AB 是圆O 的直径，BC 与圆O 相切与,B D 为圆O 上的一点，连接DC ，0,,,180DA CO DO DAO AOC ∠+∠=．（1）证明：OBC ODC ∆≅∆； （2）证明：AD OC AB OD = ．23.（本小题满分10分）选修4-4、坐标系与参数方程以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 54πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．（1）写出直线l 的直角坐标方程以及曲线C 的普通方程；（2）若点A 在曲线C 上，,2B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭（t 为参数），求AB 的最小值． 24.（本小题满分10分）选修4-5、不等式选讲 已知22220,0,m n mn m n>>++的最小值为t ． （1）求t 值（2）解关于x 的不等式12x t x -<+．参考答案一、选择题1-6 DABDDC 7-12 BBCADC 二、填空题 13．5 14．8 15．1283π 16．79三、解答题：17．解：（1）由题意得2317S q q =++=，所以3q =-或2q =，所以21n n a b n +=-． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 所以()121212n n n b n a n -=--=--． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分（2）由（1）得()1212n n b n -=--，所以()()()()0121123252212n n T n -⎡⎤=-+-+-++--⎣⎦ ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ()()0121135212222n n -=++++--++++⎡⎤⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 221n n =-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 18．解：（1）设“学生甲和或学生乙被选中复查”为事件A ，第三组人数为500.06515⨯⨯=，第四组人数为500.04510⨯⨯=，第五组人数为500.0255⨯⨯=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分根据分层抽样知，第三组应抽取3人，第四组应抽取2人，第五组应抽取1人，．．．．．．．．4分 所以()25P A =． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）记第三组选 中的3人分别是123,,A A A ，第四组选中的2人分别为12,B B ，第五组选中的人为C ，从这6人中选出2人，有以下基本事件：12131112123212223231212,,,,,,,,,,,,,A A A A A B A B AC A A A B A B A C A B A C B B B C B C ，共15个基本事件． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分符合一人在第三组、一人在第四组的基本事件有11A B ，1221223132,,,,A B A B A B A B A B ，共6个， 所以所求概率62155P ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19．解：（1）如图，连结PO ，因为四边形ABCD 是菱形， 所以AC BD ⊥，且O 为AC 和BD 的中点，又PA PC =，所以AC PO ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 因为,,BD PO O BD PO =⊂ 平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分因为PB ⊂平面PBD ，所以PB AC ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）因为平面PAC ⊥平面ABCD ，平面PAC 平面,,ABCD AC AC PO PO =⊥⊂平面PAC ，所以PO ⊥平面ABCD ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 因为BD ⊂平面ABCD ，所以PO BD ⊥．因为在菱形ABCD 中，060,2ABC PB AB ∠===，所以12,1,2PB AB BC AC AO CO AB BO AB =========． 所以在Rt POB ∆中，1PO ==，在Rt POC ∆中，PC ==，所以在等腰三角形PBC中，12PBC S PC ∆==．．．．．．．．．9分 设点O 到平面PBC 的距离为h ， 因为O PBC P OBC V V --=，所以1133PBC OBC h S PO S ∆∆= ，所以OBCPBCPO S h S ∆∆=== ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分所以点O 到平面PBC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（1）由题意可得223114a b+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分240y +-=代入椭圆的方程得()2222222341640a b x x a a b +-+-=， 由0∆=得223416a b +=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 联立解得224,1a b ==，于是椭圆C 的方程为2214x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）设直线()00:,,l y kx m M x y =+，将直线l 的方程代入椭圆C 得()222148440k x kmx m +++-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分令0∆=，得2241m k =+，且2222200022244161,11414414x m k x y k k k-===-=+++， 所以22220211614k OM x y k+=+=+．① 又222221411m k OH k k +==++，②．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ① ②与45OH OM =联立整理得4216810k k -+=， 解得12k =±．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21．（1）()1xf x e ax =--，则()xf x e a '=-． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 当0a ≤时，对x R ∀∈，有()0f x '>，所以函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增； 当0a >时，由()0f x '>，得ln x a >，由()0f x '<，得ln x a <，此时函数()f x 的单调递增区间为()ln a +∞，，单调递减区间为()ln a -∞，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分综上，当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调递减区间； 当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为()ln ,a +∞，单调递减区间为(),ln a -∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）易知当0x >时，1x e x ->，故当()0,0x g x ∀>>．先分析证明：()0,x g x x ∀><．要证()0,x g x x ∀><，只需证10,x xe x e x-∀><，即证0,10x x x xe e ∀>-+>，构造函数()()10xzH x xe e x =-+>，则()0xH x xe '=>，故函数()H x 在()0,+∞上单调递增，所以()0H x >，则0,10xxx xe e ∀>-+>成立．当1a ≤时，由（1）知，()f x 在()0,+∞上单调递增，则()()()f g x f x <在()0,x ∈+∞上恒成立； 当1a >是地，由（1）知，函数()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减． 故当0ln x a <<时，()0ln g x x a <<<，所以()()()f g x f x >，则不满足题意． 所以满足题意的实数a 的取值范围是(],1-∞ 22． 解：（1）∵0180DAO AOC ∠+∠=，∴//AD CO ，∴,BOC A DOC ODA ∠=∠∠=∠， ∵OA OD =，∴A ODA ∠=∠，∴BOC DOC ∠=∠，∵,OB OD OC OC ==，∴OBC ODC ∆≅∆．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）连接BD ，由（1）知DAO DOC ∠=∠，∵CB 是圆O 的切线，∴090ABC ∠=，∵OBC ODC ∆≅∆，090CDO ABC ∠=∠=，∵AB 是直径，∴090ADB ∠=，∴CDO ADB ∠=∠， ∴BAD COD ∆∆ ，∴AB ADOC OD=即AD OC AB OD ∙= ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23．（1）cos 5cos sin 54πρθρθθ⎛⎫-=+⇔=+ ⎪⎝⎭20x y ⇔+-=；曲线C 的一般方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）注意到，点,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭满足直线l 的方程，且圆心()2,0C 到直线l 的距离5d ，则min 523AB =-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分24．【解析】（1）因为0,0m n >>，所以22224m n mn +≥=① ，则22224mn mn m n mn++≥+，而44mn mn +≥=②，所以22224mn m n++≥③，当且仅当m n =时，①式等号成立，当且仅当4mn mn =时，②式等号成立，故当且仅当m n ==时，③式等号成立，即2222mn m n++取得最小值4，故4t =． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（3）由（1）知，4t =时，则12x t x -<+，所以42142x x x --<-<+，解得1x >-，即原不等式的解集为()1,-+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分页11第。
