专题39 百考不厌的不等式性质问题-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽(解析版)

考点27 基本不等式基本不等式：错误！未找到引用源。

（1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.一、基本不等式1．基本不等式：错误！未找到引用源。

（1）基本不等式成立的条件：错误！未找到引用源。

.（2）等号成立的条件，当且仅当错误！未找到引用源。

时取等号．2．算术平均数与几何平均数，几何平均数为错设错误！未找到引用源。

，则a、b的算术平均数为错误！未找到引用源。

误！未找到引用源。

，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题（1）如果积xy是定值P，那么当且仅当错误！未找到引用源。

时，x＋y有最小值是错误！未找到引用源。

.(简记：积定和最小)（2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当错误！未找到引用源。

时，xy有最大值是错误！.(简记：和定积最大)未找到引用源。

4．常用结论（1）错误！未找到引用源。

（2）错误！未找到引用源。

（3）错误！未找到引用源。

（4）错误！未找到引用源。

（5）错误！未找到引用源。

（6）错误！未找到引用源。

（7）错误！未找到引用源。

二、基本不等式在实际中的应用1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等．题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解；2．经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

等．解答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质，基本不等式，函数的单调性或导数求解．考向一利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的常用技巧：（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变形手段有拆、并、配.①拆——裂项拆项对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件．②并——分组并项目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值．③配——配式配系数有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.（3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.典例1若正数a ，b 满足错误！未找到引用源。

2
3

2 +1
由①②知,不等式 1+ 2 + 2 +…+ 2 ≥
2
>2
3 +1
+1
成立.
+1
对一切 n∈N 都成立.
*
课堂考点探究
[总结反思] 用数学归纳法证明与 n 有关的不等式,一般有两种具体形式:一是直接给出
不等式,按要求进行证明;二是给出两个式子,按要求比较它们的大小.第二种形式往往
由(1)(2)可知,对任意正整数 n,1 +2 +…+n =(1+2+…+n) .
3
3
3
2
课堂考点探究
[总结反思] 用数学归纳法证明等式问题的关键点:(1)弄清等式两边的构成规律;(2)在第二
步证明时要充分利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明.
12/11/2021
课堂考点探究
变式题
12/11/2021
要先对 n 取前几个值分别验证比较,然后猜出从某个 n 值开始都成立的结论.
课堂考点探究
变式题
用数学归纳法证明:对
于任意的
*
n∈N ,
1
12 11
2
24 24
证明:①当 n=1 时,左边= = > =右边,不等式成立.
②假设当 n=k( k∈N )时不等式成立,即
*
+
1
+
1
1
11
用数学归纳
1×2×3×4
证明:①当 n=1 时,左边=1×2×3=6,右边=
法证
②假设当 n=k(k∈N )时,等式成立,即

例1 (1)若a ，b ∈R ，下列命题中：①若|a|＞b ，则a 2＞b 2；②若a 2＞b 2，则|a|＞b ；③若a ＞|b|，则a 2＞b 2；④若a 2＞b 2，则a ＞|b|. 其中正确的是________．(2)已知四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b ；④a>b>0，能推出1a <1b成立的是________．变式1.（2014 四川理 4）若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ）. A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c< 解析：方法一：不妨令a=3，b=1，c=−3，d=−1，则ac=−1,bd=−1，∴A 、B 不正确； ad=−3,bc=−13，∴C 不正确，D 正确。

解法二：∵c<d<0，∴−c>−d>0，∵a>b>0，∴−ac>−bd ，∴−accd>−bdcd ，∴ad<bc. 选D. 变式2.（2016全国丙理6）已知432a =，233b =，1325c =，则（ ）. A.b a c << B.a b c << C.b c a << D.c a b << 解析：选A. 由423324a ==，233b =，得a b >，由1223332554c ==>，则c a >因此c a b >>.故选A.变式3.（2016全国乙理8）若101a b c >><<，，则（ ）.A.c c a b <B.c cab ba < C.log log b a a c b c < D.log log a b c c <对于选项C ，要比较log b a c 与log a b c 的大小关系，只需比较ln ln c b b 与ln ln ca a的大小，即比较ln b b 与ln a a 的大小.构造辅助函数()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+.令()0f x '=，得1ex =.函数()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因此，若1a b >>，得ln ln a a b b >，故11ln ln a a b b <. 又ln 0c <，所以ln ln ln ln c c a a b b >，即ln ln ln ln b c a ca b>，得log log a b b c a c >.故选项C 正确； 对于选项D ，比较log a c 与log b c 的大小，只需比较ln ln c a 与ln ln cb的大小，即比较ln a 与ln b 的大小.又1a b >>，得ln ln 0a b >>，所以11ln ln a b <.又ln 0c <，得ln ln ln ln c c a b>，即log log a b c c >.故选项D 不正确. 综上可得，故选C.例2 （2015全国2理24）设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+. 证明：(1) 若ab cd >>>||||a b c d -<- 的充要条件.解析：（1）因为2a b =++，2c d =++由题设a b c d +=+，ab cd >，得22>，>（2）( i)若a b c d -<-，则()()22a b c d -<-，即()()2244a b ab c d cd +-<+-.因为a b c d +=+，所以ab cd >( ii)>，则22>，即a b ++c d >++.因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是()()()()222244a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-，因此a b c d -<-.a b c d -<-的充要条件.变式1 . (1)设x<y<0，试比较(x 2＋y 2)(x －y)与(x 2－y 2)(x ＋y)的大小． (2)比较a ＋m b ＋m 与ab (其中实数b>a>0，实数m>0)的大小．(3)已知a>0，b>0，且a ≠b，试比较a bab与2()a b ab +的大小．（3）22()()a b a ba b a b a bab -+=， ①若a>b>0，则a b >1，a －b>0.由指数函数的性质(ab)a －b 2>1.②若b>a>0，则0<a b <1，a －b<0.由指数函数的性质(ab)a －b 2>1.∴21()a ba ba b ab +>，∴2()a b a ba b ab +>.题型2 利用不等式的性质求代数式的取值范围例3 已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)方法二：令⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x ＋y ，b ＝x －y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a －b 2. ∴2x －3y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2＝－a 2＋52b ∈(3，8)．方法三：由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y<4，2<x －y<3确定的平面区域如图阴影部分．目标函数z ＝2x －3y 可化为y ＝23x －z3，由线性规划知识可求出z ＝2x －3y 的取值范围是(3，8).【解题技巧】 (1)由a<f 1(x ，y)<b ，c<f 2(x ，y)<d ，求g(x ，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设g(x ，y)＝λf 1(x ，y)＋μf 2(x ，y)，求得λ，μ，再利用不等式的性质求出g(x ，y)的范围． (2)本例若先分别求x ，y 的取值范围，再求2x 和－3y 的范围，从而得2x －3y 的范围，则会导致取值范围扩大，错误．变式1. 设f(x)＝ax 2＋bx ，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．解析：方法一：由已知⎩⎪⎨⎪⎧1≤a－b≤2，2≤a ＋b≤4.①②设4a －2b ＝m(a －b)＋n(a ＋b)(m ，n 为待定系数)，即4a －2b ＝(m ＋n)a －(m －n)b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2.解得m ＝3，n ＝1. 由①×3＋②×1，得5≤4a－2b≤10.即5≤f(－2)≤10，方法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝f （－1），a ＋b ＝f （1），得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f （1）＋f （－1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）].∴f(－2)＝4a －2b ＝3f(－1)＋f(1)，后面同方法一．题型3 不等式的解法 例4 求下列不等式的解集(1)－x 2＋8x －3>0；(2)x 2－4x －5≤0；(3)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0；(3)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x>1.若a<0，则原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x<1a 或x>1.若a>0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a>1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a <x<1；③当0<a<1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x<1a.综上所述：当a<0时，解集为{x|x<1a 或x>1}；当a ＝0时，解集为{x|x>1}；当0<a<1时，解集为{x|1<x<1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a>1时，解集为{x|1a <x<1}．【解题技巧】一元二次不等式的解法 (1)解一元二次不等式的一般步骤：①对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c>0(a>0)，ax 2＋bx ＋c<0(a>0)； ②计算相应的判别式；③当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； ④根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．例5 （1） (2017·辽阳统考)不等式x －2x ＋1≤0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(－1，2)B ．[－1，2]C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞]D ．(－1，2] （2）设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为(－1，13)，则ab 的值为( )A ．－6B ．－5C ．6D ．5变式1.已知关于x 的等式20ax bx c ++<的解集为1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，求关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集.解析：解法一：由关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，得0a <，20ax bx c --->，1252b b x x a a -+=-=-=--，121c x x a =-=，则521b ac a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得52b a =，c a =（(0)a <，关于x 的不等式2502a ax x a -+>可变形为22520x x -+<，故解集为1|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 解法二：因为方程20ax bx c ++=与方程20ax bx c -+=的根互为相反数，若不等式20ax bx c ++<的解集为1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，所以0a <，且方程20ax bx c ++=的两根为1212,2x x =-=-，因此方程20ax bx c -+=两根''1212,2x x =-=-，不等式20ax bx c -+>的解集为1|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭题型4 二元一次不等式组表示的平面区域例6 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？ (3)求所围平面区域的面积．结合图中可行域得x ∈[－52，3]，y ∈[－3，8]．(2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x≤y≤x＋5，－2≤x≤3，且x ∈Z.当x ＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；当x ＝2时，－2≤y≤7，有10个整点； 当x ＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点； 当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点；当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点． ∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．(3)由(1)知，x ∈[－52，3]，y ∈[－3，8]，∴S ＝12(3＋52)(3＋8)＝1214.【解题技巧】 (1)确定Ax ＋By ＋C≥0表示的区域有两种方法：①试点法，一般代入原点；②化为y≥kx ＋b(y≤kx＋b)的形式．不等式y≥kx＋b 表示的区域为直线y ＝kx ＋b 的上方，不等式y≤kx＋b 表示的区域为直线y ＝kx ＋b 的下方．(2)在封闭区域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐一数出；若数目较大，则可分x ＝m 逐条分段统计．题型5 求解目标函数的取值范围或最值 例7 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x －3y≤－4，3x ＋5y≤30.(1)求目标函数z ＝2x －y 的最大值和最小值； (2)求目标函数z ＝2x ＋y 的最大值和最小值；(3)若目标函数z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，求实数a 的值； (4)求z ＝y ＋5x ＋5的取值范围；(5)求z ＝x 2＋y 2的取值范围．【解析】作出不等式组表示的可行域如图：(2)作直线l ：2x ＋y ＝0，并平移此直线，当平移直线过可行域内的A 点时，z 取得最小值；当平移直线过可行域内的B 点时，z 取最大值，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －3y ＝－4，得A(1，53)． 解⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝－4，3x ＋5y ＝30，得B(5，3)．∴z max ＝2×5＋3＝13，z min ＝2×1＋53＝113.(4) z ＝y ＋5x ＋5＝y －（－5）x －（－5），可看作区域内的点(x ，y)与点D(－5，－5)连线的斜率．由图可知，k BD ≤z ≤k CD . ∵k BD ＝3－（－5）5－（－5）＝45，k CD ＝275－（－5）1－（－5）＝2615，∴z ＝y ＋5x ＋5的取值范围是[45，2615]．(5)z ＝x 2＋y 2，则z 为点(x ，y)与原点(0，0)的距离，结合不等式的区域，易知A 点到原点距离最小为343，最大值为|OB|，|OC|，原点O 到直线3x ＋5y ＝30距离三者之一，计算得，最大值为|OC|＝7545. ∴x 2＋y 2的取值范围为[349，75425]．【解题技巧】目标函数最值的求法(1)求z ＝ax ＋by 的最值时，一般先化为y ＝－a b x ＋z b 的形式.z b 为直线y ＝－a b x ＋zb 在y 轴上的截距，当b>0时将直线上移z 变大，当b<0时将直线下移z 变大．(2)代数式(x －a)2＋(y －b)2为点(x ，y)与点(a ，b)距离的平方；y －b x －a 为点(x ，y)与点(a ，b)连线的斜率；|Ax ＋By ＋C|表示点(x ，y)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍．变式1. (2017北京理4)若x ，y 满足32x x y y x ⎧⎪+⎨⎪⎩………，则2x y +的最大值为（ ）.A.1B. 3C.5D.9 解析 作出不等式组的可行区域，如图所示，令2z x y =+，则22x z y -=+.当过A 点时z 取最大值，由()3,3A ，故max 369z =+=.故选D.变式2.（2017全国1理14）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则32z x y =-的最小值为 .变式3.（2015全国1理15）若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩………，则yx 的最大值为 .解析 作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，y x是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点()1,3A与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.CBA144Oyx变式4．（2016江苏12）已知实数,x y满足240220330x yx yx y-+⎧⎪+-⎨⎪--⎩………，则22x y+的取值范围是．x-2y+4=02x+y-2=03x-y-3=0B2,3()A12xyO题型6 基本不等式例8（2017江苏10）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．解析一年的总运费与总存储费用之和为6003600644x xx x⨯+=+236004240⨯=…，当且仅当36004xx=，即30x=时取等号．故填30．【高考真题链接】1.（2015安徽理3）设:1<<2p x，:21xq>，则p是q成立的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由0212x >=得0x >，所以p q ⇒，但q p ⇒/，所以p 是q 的充分不必要条件．故选A ．2.（2015湖北理8）将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加 (0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）．A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >3.（2015陕西理9）设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a bq f +=， 1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）． A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =< D ．p r q =>解析 解法一：依题意，()()()()111ln ln ln 222p ab a b f a f b r ==+=+=，ln2a bq p +=>=，所以p r q =<.故选C.解法二：令1,9a b ==，ln3p ==，19lnln 52q +==，()1ln1ln 9ln 32r =+=， 所以p r q =<.故选C.4.（2015天津理7）已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，()2c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）. A.a b c << B ．a c b << C ．c a b << D.c b a << 解析 因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 21213123a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭， ()()2log 502log 52142(0)210b f c f m f ==-====-=，. 所以c a b <<.故选C.5.(2017北京理13)能够说明“设a b c ，，是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数a b c ，，的值依次为__________________．解析 由题知，取一组特殊值且,,a b c 为整数，如1a =-，2b =-，3c =-. 6.（2017山东理7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（ ）. A.()21log 2a b a a b b +<<+ B.()21log 2a b a b a b <+<+ C.()21log 2a ba ab b +<+< D.()21log 2a b a b a b +<+<7. (2013安徽6）已知一元二次不等式()<0f x 的解集为1<1>2x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或，则()10>0x f 的解集为（ ）.A. {}<1>lg2x x x --或 B. {}1<<lg2x x -- C. {}>lg2x x - D. {}<lg2x x - 解析：D8.（2013广东9）不等式220x x +-<的解集为 ． 解析：{|21}x x -<<9.（2016上海理1）设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_____________.解析 由题意131x -<-<，即24x <<，则解集为()2,4.故填()2,4.10.（2015天津理2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪+-⎩……… ，则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）.A. 3B.4C.18D. 4011.（2015湖南理4）若变量x ，y 满足约束条件1211x y x y y +-⎧⎪-⎨⎪⎩………，则3z x y =-的最小值为（ ）.A. 7-B. 1-C. 1D. 2 解析 画出满足线性约束条件的可行域如图所示，由图可知，当直线3y x z =-过点A 时，纵截距最大，即此时z 有最小值. 联立11x y y +=-⎧⎨=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩，即()2,1A -. 所以()min 3217z =⨯--=-. 故选A.12.（2015北京理2）若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩………，则2z x y =+的最大值为（ ）.A. 0B. 1C.32D. 2 解析 不等式组表示的可行域如图所示.因此，可知目标函数在()0,1处取得最大值2.故选D.13.（2015福建理5）若变量,x y 满足约束条件200220x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩………， 则2z x y =- 的最小值等于（ ）. A ．52-B．2- C ．32- D ．2x-14.（2015广东理6）若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩…剟剟，则32z x y =+的最小值为（ ）.A ．4B ．235 C ．6 D ．315即min 42331255z =⨯+⨯=．故选B ．415.（2015全国2理14）若x ，y 满足约束条件1020220x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩………，则z x y =+的最大值为______．解析 根据题意，画出可行域，如图所示，将目标函数z x y =+变形为y x z =-+，当z 取到最大值时，直线y x z =-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到点1(1,)2D 处，则z x y =+有最大值32．16.（2016全国丙理13）若x ，y 满足约束条件1020220x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩……… 则z x y =+的最大值为_____________.27.32 解析 可行域如图所示.当直线z x y =+经过11,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，z 取最大值为32.17.(2016北京理2)若,x y 满足2030x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩………，则2x y +的最大值为（ ）.A.0B.3C.4D.5x +y =318.（2017全国2理5）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最小值是（ ）. A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 解析 目标区域如图所示，当直线2y =x +z -过点()63--，时，所求z 取到最小值为15-．故选A.(6,319.（2017全国3理12）若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则34z x y =-的最小值为__________．20.（2017山东理4）已知x ，y 满足3035030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最大值是（ ）.A. 0B. 2C.5D.6解析 由303+5030x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪+⎩………，作出可行域及直线20x y +=，如图所示，平移20x y +=发现，当其经过直线350x y ++=与3x =-的交点(3,4)-时，2z x y =+取最大值为max 3245z =-+⨯=.故选C.y=-3x-5y=-x 221.(2017浙江理4)若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则2z x y =+的取值范围是（ ）. A.[]0,6 B.[]0,4 C.[)6,+∞ D.[)4,+∞解析 如图所示，22x z y =-+在点()2,1取到z 的最小值为2214z =+⨯=，没有最大值，故[)4,z ∈+∞．故选D ．22. (2015山东理6) 已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥，若z ax y =+的最大值为4，则a =( ). A ．3B ．2C ．2-D ．3-则2a =，经检验，符合题意．故选B ．23.（2016全国乙理16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时.生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元，该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A ，产品B 的利润之和的最大值为元.联立536000.390x y x y +=⎧⎨+=⎩，得60100x y =⎧⎨=⎩，即()60,100A .移动目标函数73900zy x =-+，可得到当其经过点()60,100A 时，z 有最大值216000.故填216000.24.（2016上海理10）设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是 ．解析 解法一：即线性方程组表示两条平行的直线，故由条件1ab =，且1a b ≠≠，所以2a b +>=．故填()2,+∞． 解法二：将方程组中的①式化简得1y ax =-，代入②式整理得()11ab x b -=-， 方程组无解应该满足10ab -=且10b -≠，所以1ab =且1b ≠，所以由基本不等式得2a b +>=．故填()2,+∞．25.(2017浙江理17)已知a ∈R ，函数()4f x x a a x=+-+在区间[]14，上的最大值是5，则a 的取值范围是. 解法二：如图所示，当0a <时，()5f t t a a t =-+=…成立；当0a t <…时，()05f t a t a t =-+-=…成立；当a t >时，()5f t t a a a t a =-+=-+…成立，即 4.5a …. 则a 的取值范围是(],4.5-∞.26. （2015湖南理16-3）设0a >，0b >，且11a b a b +=+. （1）2a b +…；（2）22a a +<与22b b +<不可能同时成立.解析 证明： 由abb a b a b a +=+=+11，0,0>>b a 得 1=ab （1）由基本不等式及1=ab，有2a b +=…，即2a b +….（2）假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，则由22<+a a 及0>a 得10<<a ；同理，10<<b ，从而10<<ab ，这与1=ab 相矛盾. 故22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立.。

1【备战2018年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第36讲到底你要放缩到什么程度：放缩法证明数列不等式考纲要求:1、掌握放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：2、掌握放缩的技巧与方法.基础知识回顾:放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点： ① 等差数列求和公式：12nn a a S n +=⋅，n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数） ② 等比数列求和公式：()()1111n n a q S q q -=≠-，n n a k q =⋅（关于n 的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差⨯等比”的形式④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。

④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。

从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。

（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）② 等比数列：所面对的问题通常为“n S <常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足2()0,1q ∈ ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为11a q-的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。