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统计热力学 复习题及答案

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文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 第三章 统计热力学 复习题及答案 1．混合晶体是由晶格点阵中随机放置NC个C分子和D分子组成的。 （1） 证明分子能够占据格点的花样为 !!)!(DCDCNNNNW，若NNNDC21，利用斯特林公式证明NW2

（2） 若DCNN2，利用上式计算得42W=16，但实际上只能排出6种花样，究竟何者正确？为什么？ 解：（1）证明：取)(DCNN的全排列，则总共排列的花样数为)!(DCNN种，现CN个相同的C和

DN个相同的D。故花样数为!!)!(DCDCNNNNW 当NNNDC21时 取自然对数： （2）实际排出6种花样是正确的，因为Stirling是一个近似公式适用于N很大时才误差较小。而在N为4时，用 42W来计算就会产生较大误差。 2．（1）设有三个穿绿色、两个穿灰色和一个穿蓝色制服得军人一起列队，试问有多少种对型？现设穿绿色制服得可有三种肩章并任取其中一种佩带，穿灰色制服的可有两种肩章，而穿蓝色的可有两种肩章，试 列出求算队型数目的公式。 （2）试证明含有N个粒子的定位体系，某种分布- xt的微观状态数为!!iNixNgNti（gI为相应的简并度） .答：（1）取6个不同的全排列，应有6！种花样，但其中3种完全相同互换位置不能导致新花样另两种完全相同（同样这2种相同物种的全排列为2！种）故排列花样数为：601212323456!1!2!3!6W

种，!!!iiNTNt另一种只有一种这3种的全排列为3！种，取6个不同的全排列总共有6！种花样，而穿绿色制服3个人有3种肩章，任取一种佩带，相当于有简并度为5（Nig）。就有33种花样。穿灰色的有两种肩章相当于简并度为2，就有22种而穿蓝色的有4种肩章相当于简并度为4Nig就有41种，但其中有3个穿绿色制服的戴相同肩章，总共有3！种花样，2个穿灰色的戴相同肩章有2！种文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 2文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 25920442760!1!2!3423!6123 !!iNixN

gNti

（2）在N个不同粒子中取出N1个粒子放在1中，其放法为1NNC种。在1能级上有g1个不同状态，故在1上总共有111NNNCg种放法，同理在从（N-N1）中取出N2个粒子放在2上的放法为2122NNNNCg种放法。所以这种分布的微观状态数： 3．在公园的猴舍中陈列着三个金丝猴和两种长臂猿，金丝猴有红、绿两种帽子，仍戴一种，而长臂猿可在黄、灰和黑中选戴一种，试问陈列时间可出现几种不同的情况，并列出求算公式。 解：设N1=3，N2=2，而g1=2，g2=3则24)!13(!2)!132()!12(!3)!123()!1(!)!1()!1(!)!1(22221111gNgNgNgNW种， 因为每一种动物必须戴：三个金丝猴：（红、红、红）（绿、绿、绿）（红、红、绿）（绿、绿、红）共4种。两种长臂猿：（黑、黑）（灰、灰）（黄、黄）（黑、灰）（黄、灰）（黑、黄）。共6种。总共为2464

种。

4．已知对非定位体系UNNNiNiiiiiNgNNNVU!!!1),,(试证明式（3.24），（3.25）和（3.26）。

解：对定位体系：)!!(iNiiNgNti（第二题的结果） 对非定位体系：!)!!(!1iNiiNiiNgNgNNtii 摘取最大项原理：!!iNimNgNti（定位体系） 对非定位体系：!iNimNgti iiiiiiNiNNNgNNgtilnln)!ln(lnln 微分：iiViiiiiiiNgNlgNNNNgNtlnlnln1lnlnlnln 用拉格朗日乘因子法，求得：（书中189页） 0ln*iiN

t ，即0ln*iiVNg ， ieNgiV* ， iegNii*

iegNei， NegNiii* ， Negeii， 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 3文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 

kTikTiViiiiiiiiegegNegegNeegN

*

，kTikTiiiiegegNN*与定位体系的玻兹曼分布公

式相同

kTUNegkTUNegkTNNegNeNNNegNNeNegNNNeegNNegegNgNNNNNgNNNNgNNgtNkTiNkTivNkTikTiiNkTikTikTiikTkTiikTvkTiiiiiiiiiiiViNimiiiiiiiiiiii!)(ln!ln)ln(

!ln)ln(lnln)ln(

)ln(lnln)ln()(lnlnlnlnlnln





S非TUNegktkkNkTvmi!

)(lnlnln

F非!)(ln!)(lnNegkTUN

egkTUTSUNkTvNkTvii



5．试证明玻兹曼分布的微观状态数公式为)ln(lnkTUNeqt式中iiikTgq)exp(，iiNU 证：利用定位体系任意分配方式公式：!!iNiNgNti（玻兹曼统计是指经典统计认为粒子是可区别的，即定位体系） 取自然对数：!lnln!lnlniNiNgNti 对最概然分布： 6．设有一圆柱形铁皮筒，体积为32000.1dmLRV铁皮面积为RLRS222，试用拉格朗日乘因子法当铁皮面积为最小时，圆柱半径（R）和高（L）之间的关系？并算出至少要消耗多少面积的铁皮？ 不讨论（可自己求解） 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 4文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 解：21RL )11(2222222RRLLRRRRLRS 极值时：0242RRdRdS 0243R 423R 31)42(R RL2 （圆柱半径R与高之间的关系） 设：RLRLRf22),(2，1),(2LRLRg，)1(22),(),(),,(22LRRLRLRgLRfLRF

0224)(RLLRR

F

l （1）

02)(2RRL

F

R （2）

01)(2LRFRL

 （3）

由（2） 022RR 0)2(RR 2R （4）

（4）代入（1），0)2(224RLR， 026LR RL2

由12)2(3220RRRLRV 542.0213R 7．试用配分函数表示出单原子理想气体的吉布斯自由能G和焓H。 答：理想气体为非定位体系：对单元子分子，只有电子核和平动配分函数。 NnNe

NtN

qkTqkTNqkTNqkTFlnln!ln!ln， PVFTSPVUG，

NTtNTVqNkTVFP

)ln()(， （N！为常数。neqq,与体积无关）

PVUH， TSUF， NVTFTUFS)(

2])([TUTTFNV

 吉布斯─亥姆霍兹公式

8．CO2气体可作为理想气体，并设其各个自由度都服从经典的能量均分原理，已知15.1vpCC试用计算方法判断CO2是否为线性分子。 解：由15.1mvmpCC 15.1mvmvCRC （第一章中讨论到理想气体RCCmvmp） 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 5文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. mvmvCRC.15.1. RCmv15.0 . RRCmv21315.01

设：若CO2为线性分子，补：平动有3个自由度。根据其总自由度为3n。∴振动自由度应为42333233n。 由于一个振动的能量中的表达式中包括2个平方项（83页 小字部分），振动的动能和振动的位能，每个平方项都提供kT21的能量（若为1mol。则为kT21）若一个分子有七个平动自由度，r个转动自由度。S个振动自由度。则：总能量kTsrt)2(21， ksrtTUCv)2(21)(。 若CO2为线性分子 RRRrtnrtCmv213)]2333(223[21)]3(2[21.

与原来题中给的条件求出的mvC一致。故假设正确，CO2是直线型分子。 9．四种分子的有关参数如下：

问在同温同压下，那种气体的摩尔平动熵最大？那种气体的摩尔转动熵最大？那种气体的转动基本频率最小？ 解：先写出平动熵，转动熵及振动特征温度的表达式：

]25)2([ln]25[ln323VNhmkTNkNqNkStt

（沙克尔—特鲁德公式）VhmkTVhmkTVhmkTqt32323223232)2()()2()2((



]25)2([ln323mtmVLhmkTRS（物质量为1mol. .LN RLk mVV）

分子 Mt Θr/k Θv/k H2 2 87.5 5976 HBr 81 12.2 3682 N2 28 2.89 3353 Cl2 71 0.35 801

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热力学统计物理练习试题和答案

热力学统计物理练习试题和答案

WORD 格式 整理 热力学·统计物理练习题一、填空题 . 本大题 70 个小题，把答案写在横线上。

1. 当热力学系统与外界无相互作用时 , 经过足够长时间 , 其宏观性质时 间改变，其所处的 为热力学平衡态。

2． 系统，经过足够长时间，其不随时间改变，其所处的状态为热力学平衡态。

3．均匀物质系统的热力学平衡态可由力学参量、电磁参量、几何参量、化 学参量等四类参量描述，但有 是独立的。

4．对于非孤立系统， 当其与外界作为一个整体处于热力学平衡态时，此时 的系统所处的状态是 。

5．欲描述非平衡系统的状态，需要将系统分成若干个小部分，使每小部分具有 小，但微观上又包含大量粒子，则每小部分都可视 为。

6．描述热力学系统平衡态的独立参量和 之间关系的方程式叫物态方程，其一般表达式为 。

7．均匀物质系统的独立参量有 个，而过程方程独立参量只有个。

8．定压膨胀系数的意义是在 不变的条件下系统体积随 的相对变化。

9．定容压力系数的意义是在 不变条件下系统的压强随的相 对变化。

10．等温压缩系数的意义是在 不变条件下系统的体积随的 相对变化。

11．循环关系的表达式为。

12．在无摩擦准静态过程中存在着几种不同形式的功，则系统对外界作的功 W Y i dy i ，其中 y i 是， Y i 是与 y i 相应的。

13． U B U A Q W ，其中 是作的功。

W14． dUQW0 ，-W 是作的功，且 -W 等于。

22（ 、 均为热力学平衡态1、L2 为15．Q W QW ,L 1L 1 1 2 1L 2准静态过程）。

16．第一类永动机是指的永动机。

17．内能是 函数，内能的改变决定于和。

18．焓是函数，在等压过程中，焓的变化等于的热量。

19．理想气体内能温度有关，而与体积。

学习参考资料分享WORD 格式整理20．理想气体的焓温度的函数与无关。

21．热力学第二定律指明了一切与热现象有关的实际过程进行的。

(完整word版)热力学与统计物理期末复习题

(完整word版)热力学与统计物理期末复习题

热力学统计物理1、请给出熵、焓、自由能和吉布斯函数的定义和物理意义解：熵的定义：S B−S A=∫dQT ⟹B A dS=dQT沿可逆过程的热温比的积分，只取决于始、末状态，而与过程无关，与保守力作功类似。

因而可认为存在一个态函数，定义为熵。

焓的定义：H=U+pV焓的变化是系统在等压可逆过程中所吸收的热量的度量。

自由能的定义：F=U−TS自由能的减小是在等温过程中从系统所获得的最大功。

吉布斯函数的定义：G =F+pV= U – TS + pV在等温等压过程中，系统的吉布斯函数永不增加。

也就是说，在等温等压条件下，系统中发生的不可逆过程总是朝着吉布斯函数减少的方向进行的。

2、请给出热力学第零、第一、第二、第三定律的完整表述解：热力学第零定律：如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡(温度相同)，则它们彼此也必定处于热平衡。

热力学第一定律：自然界一切物体都具有能量，能量有各种不同形式，它能从一种形式转化为另一种形式，从一个物体传递给另一个物体，在转化和传递过程中能量的总和不变。

热力学第二定律：克氏表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化；开氏表述：不可能从单一热源吸热使之完全变成有用的功而不引起其他变化。

热力学第三定律：能氏定理：凝聚系的熵在等温过程中的改变随热力学温度趋于零，即limT→0(∆S)T=0绝对零度不能达到原理：不肯能通过有限的步骤使一个物体冷却到热力学温度的零度。

通常认为，能氏定理和绝对零度不能达到原理是热力学第三定律的两种表述。

3、请给出定压热容与定容热容的定义，并推导出理想气体的定压热容与定容热容关系式：C p−C V=nR解：定容热容： C V=(ðUðT )V表示在体积不变的条件下内能随温度的变化率；定压热容：C p=(ðUðT )p−p(ðVðT)P=(ðHðT)P表示在压强不变的情况下的熵增；对于理想气体，定容热容C V的偏导数可以写为导数，即C V=dUdT（1）定压热容C p的偏导数可以写为导数，即C P=dHdT（2）理想气体的熵为 H=U+pV=U+nRT（3）由（1）（2）（3）式可得理想气体的定压热容与定容热容关系式：C p−C V=nR4、分别给出体涨系数α，压强系数β和等温压缩系数κT的定义，并证明三者之间的关系：α=κTβp解：体涨系数：α=1V (ðVðT)P，α 给出在压强不变的条件下，温度升高1 K所引起的物体的体积的相对变化；压强系数：β=1p (ðp ðT )v ，β 给出在体积不变的条件下，温度升高1 K 所引起的物体的体积的相对变化；等温压缩系数：κT =−1V (ðV ðp )T ，κT 给出在温度不变的条件下，增加单位压强所引起的物体的体积的相对变化；由于p 、V 、T 三个变量之间存在函数关系f （p ，T ，V ）=0，其偏导数存在以下关系：(ðV ðp )T (ðp ðT )v (ðT ðV )P =−1 因此α， β， κT 满足α=κT βp5、分别给出内能，焓，自由能，吉布斯函数四个热力学基本方程及其对应的麦克斯韦关系式解：内能的热力学基本方程：dU =TdS −pdV对应的麦克斯韦关系式：(ðT ðV )S =−(ðp ðS )V 焓的热力学基本方程：dH =TdS +Vdp对应的麦克斯韦关系式：(ðT ðp )s =(ðV ðS )p 自由能的热力学基本方程：dF =−SdT +Vdp对应的麦克斯韦关系式：(ðS ðV )T =(ðp ðT )V 吉布斯函数的热力学基本方程：dG =−SdT −pdV对应的麦克斯韦关系式： (ðS ðp )T =−(ðV ðT )p 6、选择T ，V 为独立变量，证明：C V =T (ðS ðT )V ，(ðU ðV )T = T (ðp ðT )V −p 证明：选择T ，V 为独立变量，内能U 的全微分为dU =(ðU ðT )V dT +(ðU ðV )T dV （1） 又已知内能的热力学基本方程 dU =TdS −pdV （2）以T ，V 为自变量时，熵S 的全微分为dS =(ðS ðT )V dT +(ðS ðV )T dV （3） 将（3）式代入（2）式可得dU =T (ðS ðT )V dT +[T (ðS ðV )T −P]dV （4） 将（4）式与（1）式比较可得C V =(ðU ðT )V =T (ðS ðT )V （5） (ðU ðV )T = T (ðp ðT )V −p （6） 7、简述节流过程制冷，气体绝热膨胀制冷，磁致冷却法的原理和优缺点解：节流过程制冷：原理：让被压缩的气体通过一绝热管，管子的中间放置一多孔塞或颈缩管。

统计热力学基础练习题一答案

统计热力学基础练习题一答案

物理化学试卷 答案一、选择题 ( 共10题 20分 )1. 2 分 (1546) [答] (D)2. 2 分 (1369) [答] (B)3. 2 分 (1551) [答] (B)4. 2 分 (1476) [答] (C)Θv = hc v/k = 308.5 K 5. 2 分 (1513) [答] A (2分)因对CO, σ=1 对N 2, σ=2 6. 2 分 (1433) [答] B)/e x p ()/e x p ()/e x p (,e 1,e 00,e 11,e 01kT g g kT g kT g N N εεε∆-=--= (1分) =0.184 (1分) 7. 2 分 (1680) [答] A (2分)8. 2 分 (1548) [答] (A) S r,m = R [ln T /σΘ r +1]σ (CO) = 1；σ (N 2) = 2 则S m (CO) > S m (N 2)9. 2 分 (1304) [答] (D) *. 2 分 (1540) [答] (D)二、填空题 ( 共10题 20分 ) 11. 2 分 (1368)[答] N i = (N /q )×g i exp(-εi /kT ) (1分) 近独立粒子体系，且为处于热力学平衡态的孤立体系 (1分) 12. 2 分 (0093)[答] ΔH +g ΔZ +12ΔU 2=Q -W 轴 (1分)稳流过程中的敞开体系 (1分) 13. 2 分 (1676)[答] N 1/N 0=g r,1exp(-εr,1/kT )/g r,0exp(-εr,0/kT )=3exp(-0.1) (1分) K 152/K 3001.02/1.0r =⨯==T Θ (1分) 14. 2 分 (1681)[答] m,v v v v (298.15K)ln[1exp(/)][/]/[exp(/)1]S R ΘT RΘT ΘT =---+-$(1分) =11mol K J 0014.0--⋅⋅ (1分)15. 2 分 (1512)[答] A h mkT q ⨯=)/π2(2d 2,t (2分) 16. 2 分 (1439)[答] )~exp()exp(1212kTvhc kT g g N N -=-=ε (1分)=exp[-143.98/(T /K)]=exp(-143.98/100)=0.2370 (1分)17. 2 分 (1468)[答] F = -kT ln q N (0.5分) F = -kT ln q N /N ! (0.5分) F = -kT ln Z (1分) 18. 2 分 (1675)[答] kvhc Θ~v ==308.5 K (2分)19. 2 分 (1366)[答] N i+1/N i = exp(-Δε/kT ) = 0.35220. 2 分 (1421)[答] )/exp()/exp(221121kT g kT g N N εε--= (1分) =0.595 (1分) 三、计算题 ( 共 5题 40分 ) 21. 10 分 (1390)[答] (a) q e = g 1exp(-ε1/kT ) + g 2exp(-ε2/kT ) + g 3exp(-ε3/kT )= 1 + 3exp(-100/200) + 5exp(-300/200) = 3.9353 (4分) (b) N 2= (N A /q e )g 2exp(-ε2/kT ) = 2.784×1023 mol -1 (3分) (c) N 1: N 2: N 3= g 1: g 2: g 3= 1 : 3 : 5 ( T → ∞) (3分)22. 10 分 (1387)[答] 因为 ν= 1/λ = ν/c = h ν/hc =ε/hc 所以 q e = g 0exp(-ε0/kT ) + g 1exp(-ε1/kT ) + g 2exp(-ε2/kT )= 5.118 (4分) 电子在基态上分布分数为： N 0/N = g 0/q e = 0.782 (2分) 电子分配在第一激发态上分布分数为：N 1/N = [g 1exp(-ε1/kT )]/q e= 0.218 (2分) 电子分配在第二激发态的分布分数为：N 2/N = [g 2exp(-ε2/kT )]/q e≈ 0 (2分)23. 10 分 (1397)[答] 在转动能级上 Boltzmann 分布为：P = N i /N = [g i exp(-εi ,r /kT )]/q r= [(2J +1)exp{-J (J +1)h 2/(8π2IkT )}/q γ(3分) 能级分布数最多的 J 值应为： d P /d J = 0 而q r 为常数不是 J 的函数 (2分) d P /d J = (1/q r )[2exp(-J (J +1)Θr /T ) - (2J +1)2×(Θr /T )×exp(-J (J +1) Θr /T )] = 0 2 - (2J +1)2Θr /T = 0 J = (T /2Θr )1/2 - 1/2 (2分) 当 T = 270 K ， Θr = 2.8 K 时， J = 6.4 ≈ 6 (3分)24. 5 分 (1406)[答] ε0=0 ε1=ε ε2=2 ε3=3分布 g 0=1 g 1= 3 g 2= 4 g 3= 6 (1分) (1) 2 0 0 1 因只有一个量子态,故该分布不可能。

热力学统计物理-基础题库

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Q 一、选择题：（每题 3 分）下列选项正确的是（）.(热力学系统的平衡状态及其描述)（容易）A ． 与外界物体有能量交换但没有物质交换的系统称为绝热系统。

B ． 与外界物体既有能量交换又有物质交换的系统称为封闭系统。

C ． 与外界物体既没有能量交换又没有物质交换的系统称为孤立系统。

D ． 热力学研究的对象是单个的微观粒子。

答案：B.简单系统的物态方程的一般形式为().（物态方程）（容易）A. f ( p ,V ) = 0 ；B. f ( p ,V ,T ) = C ；C. f ( p ,V ,T ) = 0 ；D. f ( p ,V ) = C ；答案：C.下列关于状态函数的定义正确的是（）.（焓自由能吉布斯函数）（容易）A ． 系统的焓是： H = U - pV ；B ． 系统的自由能函数是： F = U + TS ；C ． 系统的吉布斯函数是： G = U - TS + pV ；D ． 系统的熵函数是： S = ；T答案：C.状态函数焓的全微分表达式为dH 为 ( ).（内能焓自由能和吉布斯函数的全微分）（中等）A. TdS - pdV ；B. TdS + Vdp ；C. -SdT - pdV ；D. -SdT + Vdp答案：B.内能函数的全微分表达式为dU 为 ( ). （内能焓自由能和吉布斯函数的全微分）（中等）A. TdS -pdV ；B. TdS +Vdp ；C. -SdT -pdV ；D. -SdT +Vdp答案：A.自由能函数的全微分表达式为dF 为 ( ). （内能焓自由能和吉布斯函数的全微分）（中等）A. TdS -pdV ；B. TdS +Vdp ；C. -SdT -pdV ；D. -SdT +Vdp答案：C.吉布斯函数的全微分表达式为dG 为 ( ). （内能焓自由能和吉布斯函数的全微分）（中等）A. TdS -pdV ；B. TdS +Vdp ；C. -SdT -pdV ；D. -SdT +Vdp答案：D.下列关于状态函数全微分正确的是（）.（内能焓自由能和吉布斯函数的全微分）（中等）A．内能: dU =TdS -pdV ；B．焓: dH =TdS -Vdp ；C．自由能: dF =-SdT +pdV ；D．吉布斯函数: dG =-SdT -Vdp ；答案：A.下面几个表达式中错误的是( ).(热量和焓)(容易).∂∂p ∂TCp =T∂TA.CVB.CV =∂U； V=∂S； V∂HC. C = ；p∂SD. ；p答案：B.下面关于热力学第零定律的表述错误的是（）。