3.1.2导数的概念(优秀经典公开课比赛课件)

§导数的概念【运用课时】：1课时【学习目标】：1.驾驭用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度.【学习重点》导数概念的形成，导数内涵的理解【学习方法】：分组探讨学习法、探究式.【学习过程》一、课前打算(预习教材月J月6,找出怀疑之处)复习1：气球的体积V与半径r之间的关系是“V)=括，求当空气容量V从O增加到1时，气球的平均膨胀率.复习2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度。

与起跳后的时间，的关系为：∕z⑺=-4.9/+6.5/+10.求在l≤f<2这段时间里，运动员的平均速度.二、新课导学学习探究探究任务一：瞬时速度问题1：我们把物体在某一时刻的速度称为.一般地，若物体的运动规律为S=/(/),则物体在时刻t的瞬时速度V就是物体在t至M+∆Λ这段时间内，当____________ 时平均速度的极限，即1. ∆5V=Iun—= _________________ - .As。

Δ/Ac问题2：瞬时速度是平均速度空当，趋近于0时的得导数的定义：函数y=/(尢)在4=%处的瞬时改变率是八"。

+AV)-D=Iim包,我们称它z→o∆xA"→o∆r为函数y=/(x)在X=Xo处的导数，记作∕,(⅞)或y,∖x,xn即Γ(Λ0)=Iim.(少〜(.)’" ∆v→o∆Λ,留意：(1)函数应在点与的旁边有定义，否则导数不存在..(2)在定义导数的极限式中，AX趋近于O可正、可负、但不为0,而Ay可以为0・(3)”是函数y=/(x)对自变量X在&范围内的平均改变率，它的几何意义是过曲线∆xy=/(尢)上点(冗OJ(XO))及点(XO+∆xj&o+∆x))的割,线斜率♦(4)导数f7(x0)=Iim/3，+AV Uo)是函数y=f(x)在点X0的处瞬时改变率，它反映—∆x的函数y=/(x)在点/处改变的快慢程度.小结：由导数定义，高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率.典型例题例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，须要对原油进行冷却和加热.假如在第Xh时，原油的温度(单位：0C)⅜∕(X)=X2-7X+15(0≤X≤8).计算第2h和第6h.时，原油温度的瞬时改变率，并说明它们的意义.总结：函数平均改变率的符号刻画的是函数值的增减；它的肯定值反映函数值改变的快慢.例2已知质点材按规律所2y+3做直线运动(位移单位：cm,时间单位：s),(1)当Q2,Δ户O.O1时，求a.NNs⑵当Q2,4户0.001时，求——.∖t(3)求质点"在片2时的瞬时速度小结：利用导数的定义求导，步骤为：第一步，求函数的增量Ay=/(X t)+∆x)-f(%)；其次步：求平均改变率丝=∕α°+Aγ);∆x Ax第三步：取极限得导数/'(Λ0)=R%之.当堂检测1.在例1中,计算第3h和第5h时原油温度的瞬时改变率,并说明它们的意义.2.已知函数y=f(x),下列说法错误的是()A、Ay=/(Xo+∆x)-f(Xo)叫函数增量B、包一/(/,A0一/一°)叫函数在［%,4+Ar］上的平均改变率∆x∆xC、f(x)在点X0处的导数记为y,D、/(X)在点/处的导数记为广(XO)3.求函数y=Vx在X=1处的导数4.一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是S(Z)=J(位移单位：m,时间单位：s),求小球在/=5时的瞬时速度. 学习小结①导数即为函数片/U)在下M处的瞬时改变率；与上一节的平均改变率不同/.⑴尸Ii m旦二Ii m/(戈。

导数
设函数y f ( x)在区间(a, b)上有定义，x0 (a, b), 若x无 限趋近于0时，比值 y f ( x0 x) f ( x0 ) x x
无限趋近于一个常数A, 则称f ( x)在x x0处可导，并称该常数A 为函数f ( x)在x x0处的导数，记作f ' ( x0 )
概念精致
问题3：你能说出求概念的基本步骤吗？ 一、求差商 二、取极限
问题4：导数的几何意义
导数f ( x0 )的几何意义就是曲线y f ( x)在点 x0 , f ( x0 )
'
处切线的斜率
P
f ' ( x0 )
x0
精讲点拨
例1：已知f ( x) x 2 2 (1)求 f ' (1), f ' (2), f ' (a) 问题5：我们发现x 1, 2, a ，有唯一的实数 f ' (1), f ' (2), f ' (a),与之对应
概念建构
问题1：我们前面解决的两个问题的共同点是什么？ 前面的两个实际问题都涉及了函数在某一点处的瞬时变化率， 这里我们把瞬时变化率称之为导数，瞬时变化率即导数。譬如
例 1中， 4即f ( x)在点x 2处的导数；例2中2t0即V(t )在点t t 0 处的导数
问题2：你能从前面两个具体例子中总结出一般函数的导数概念吗？
（2）直线运动的汽车速度V与时间t的关系是 V t 2 1, 求t t0处的瞬时速度
V v(to t ) v(to ) V 解： 2to t，t 0时， 2t0 t t t
2t0是函数V(t )在点t t率
导数的概念
江苏省灌南高级中学

tan α＝k＜0，所以 α 的最小值是34π，故选 B. 答案：B
(2)已知函数 f(x)＝(x＋a)ln x，若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线 与直线 2x－y＝0 平行，求 a 的值． 解：由题意知，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为 2， 所以 f′(1)＝2. 因为 f′(x)＝ln x＋ax＋1，所以 f′(1)＝ln 1＋a＋1＝a＋1＝2，a＝1.
A．x－3y＋3＝0
B．x－2y＋2＝0
C．2x－y＋1＝0
D．3x－y＋1＝0
解析：∵y＝sin x＋ex，∴y′＝cos x＋ex，
∴y′x＝0＝cos 0＋e0＝2，
∴曲线 y＝sin x＋ex 在点(0,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－0)， 即 2x－y＋1＝0.故选 C. 答案：C
4．已知直线 y＝2x＋1 与曲线 y＝x3＋ax＋b 相切于点(1,3)，则 实数 b 的值为________． 解析：因为函数 y＝x3＋ax＋b 的导函数为 y′＝3x2＋a， 所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为 3＋a， 所以33＋ ＝a1＝ ＋2a， ＋b， 解得ab＝ ＝－ 3. 1， 答案：3
答案：(－∞，1]
5．设曲线 y＝1x在点(1,1)处的切线与曲线 y＝ex 在点 P 处的切线垂 直，则点 P 的坐标为________．
方法技巧
一般已知曲线上一点 P(x0，y0)的切线与已知直线的关系(平行或垂 直)，确定该切线的斜率 k，再求出函数的导函数，然后利用导数的 几何意义得到 k＝f′(x0)＝tan α，其中倾斜角 α∈[0，π)，根据范围进 一步求得角度 α 或有关参数的值．
即时应用
1．若幂函数 f(x)＝mxa 的图象经过点 A14，12，则它在点 A 处的切线

（１）求运动开始后４s时物体的瞬时速度；
（２）求运动开始后４s时物体的动能。 (E 1 mv2 ) 2
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练习:
• 求函数y=3x2在x=1处的导数.
分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)
=6Δx+(Δx)2
再求 f 6 x x
再求
第三章 导数及其应用
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3.1 导数的概念
• 在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这 段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运 动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为 瞬时速度.
又如何求 瞬时速度呢?
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y
lim 6
x0 x
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小结：
• 1求物体运动的瞬时速度：
（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)
(2)求平均速度 v s ;
（3）求极限
lim x0
s s(t) . t
• 1由导数的定义可得求导数的一般步骤：
当时间间隔Δt 逐渐变小时,平均速度就越接近
t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s).
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应用：
• 例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同 产品，需要对原由进行冷却和加热。如果第 x(h) 时，原由的温度（单位：0C）为 f(x)=x27x+15(0≤x≤8).计算第2（h) 和第6（h）时，原由 温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。