2020年高一上数学必修一培优学案第5讲.指数函数与相关复合函数
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1
1
2.
⑴化简求值：① 1253
1
27 3
2435 1
1
；② 812
ห้องสมุดไป่ตู้
1 8
1
30 ．
⑵若 2x 1 ，则 x ________；若 1 2x ，则 x _______．
32
3 22
57
经典精讲
【例 1】 ⑴ 计算下列各式（式中每个字母均为正数）
1 2
1 1 3
2x 4 y 3 3x 4 y 3
值．
函数 y a2x4 3 （ a 0 且 a 1 ）必过定点___________.
在下图中，二次函数
y
ax 2
bx
与指数函数
y
b a
x
的图象只能是（
）
考点 3：幂的大小比较
【方法总结】幂的大小比较的方法 比较大小常用方法有：⑴比差（商）法：⑵函数单调性法；⑶中间值法：要比较 A 与 B 的大 小，先找一个中间值 C ，再比较 A 与 C 、 B 与 C 的大小，由不等式的传递性得到 A 与 B 之间 的大小． 在比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意： ⑴ 对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用幂函数的单调性来判断． ⑵ 对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数图象的变化规律来判断． ⑶ 对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较． ⑷ 对于三个（或三个以上）数的大小比较，则应根据值的大小（特别是与 0、1 的大小）进 行分组，再比较各组数的大小即可．
1
2
，
3 2
2
3
，
5 6
0
，
5 3
2 5
．
考点 4：指数函数图象的变换规律
【教师备案】⑴平移规律
若已知 y ax 的图象，则把 y ax 的图象向左平移 b b 0 个单位，则得到 y axb 的 图象，把 y ax 的图象向右平移 b b 0 个单位，则得到 y axb 的图象，把 y ax 的图 象向上平移 b b 0 个单位，则得到 y ax b 的图象，向下平移 b b 0 个单位，则得
an
3．实数指数幂的运算法则
a a a ； (a ) a ； (ab) ab （其中 a 0 ， b 0 ，对任意实数 ， ）．
知识回顾
1.
化简：①
a2
3
a5
5
a 2
5
a6
_______；②
8
1 2 5
x3x
3
_______；
1
1
1
a ca b ab c bc
③ x ab xbc xca x 0 _______．
①
2
4xy 3
1 1
；② 2a 4b 3
1
a
1 4
b
2 3
；
8
1 3 1 3
1
1
③ 2x4 32 2x4 32 4x 2 x x2 ；
④（目标班专用） 23 6 10 4 3 2 2 ；
⑤（目标班专用） a2 b2 a2b2
a 2 b2 a 2b2
a a1 b b1 ab a1b1
第 5 讲 指数函数与相关 复合函数
5.1 幂的运算
考点 1：幂的运算
知识点睛
1．根式
⑴ 如果存在实数 x ，使得 xn a ( a R ， n 1 ， n N )，则 x 叫做 a 的 n 次方根．
⑵ 当 n a 有意义的时候， n a 叫做根式， n 叫做根指数．
⑶ 根式的性质：①
na
n a ，( n 1 ，且 n N* )；② n an
a ，当n为奇数
a
，当n为偶数
2．分数指数
m
⑴ 规定正数的正分数指数幂的意义： a n n am a 0 ，m ，n N ，且n 1
m
⑵ 规定正数的负分数指数幂的意义： a n
1
m
a 0 ，m ，n N ，且n 1
当 a 1时， a 的值越大，图象越靠近 y 轴，递增的速度越快； ⑷ 熟悉指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系
在 y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； 在 y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.
58
考点 2：指数函数的图象
经典精讲
【例 2】 ⑴ ⑵ ⑶
已知指数函数 f (x) a x (a 0, 且 a 1) 的图象经过点 (3，8 ) ，求 f (0) ， f (1) ， f (3) 的
到 y ax b 的图象， ⑵对称规律
暑假知识回顾
1. 三个数 1， 0.32 ， 20.3 的大小顺序是（
）．
A． 0.32 20.3 1
B． 0.32 1 20.3
C． 20.3 1 0.32
D．1 0.32 20.3
2. 已知 a b c 1，比较下列各组数的大小：
①
ab
___
ac
；②
1 a
b
1 a
c
；③
1
ab
___
1
ac
；④
ba
__
ca
．
1
经典精讲
【例 3】 ⑴
设
y1
1 2
1.8
，
y2
(2
2)0.6 ， y3
2 2
3
，则（
）
A． y3 y1 y2
B． y2 y1 y3
C． y1 y2 y3
D． y1 y3 y2
⑵ 比较下列各组数的大小．
①
a1.2 ， a1.1 （ a 0 且 a ≠1 ）；②
．
2
2
12
21
2
2
⑵ （目标班专用）已知 a 3 b3 4 ， x a 3a 3b 3 ， y b 3a 3b3 ，求 x y 3 x y 3 的
值．
5.2 指数函数及其性质
知识点睛
指数函数：一般地，函数 y ax (a 0 ， a 1， x R) 叫做指数函数． 指数函数的性质：
4222 ， 3333 ；
③
0.82
，
4 3
1 3
．④
1 2
1
3
，
1 3
1
2
⑶ （目标班专用）已知 a b c 0 ，试比较 a2a b2b c2c 与 abc bca cab 的大小．
⑷ （目标班专用）试比较下列各数的大小．
2 3
1 3
，
3 5
1
2
，
2
33
，
2 5
图象
定义域 值域
性质
R (0 ， )
⑴过定点 0 ，1 ，即 x 0 时， y 1
⑵在 R 上是减函数
⑵在 R 上是增函数
⑴ 当底数 a 大小不定时，必须分“ a 1”和“ 0 a 1 ”两种情形讨论 ⑵ 当 0 a 1 时， x ， y 0 ；当 a 1时， x ， y 0 ⑶ 当 0 a 1 时， a 的值越小，图象越靠近 y 轴，递减的速度越快；
