等腰三角形、角平分线、中垂线

等腰三角形、角平分线、中垂线
一、角平分线、中垂线
例1 如图，AB=AC，DE垂直平分AB交AB于D，交AC于E．若 ABC的周长为28，
BC=8，则BCE的周长为 ．

例2 如图，AB＞AC，A的平分线与BC的垂直平分线DM相交于D，自D作
ABDE

于E，ACDF于F．求证：BE=CF

例3 如图，在ABC中，


108A
，AB=AC，21．求证：BC=AC+CD

例4 如图，AB=AC，CB，BAC的平分线AF交DE于F．求证：AF为DE的
垂直平分线．

例5 如图，在ABC中，CABC3，

A
E
F
B
D

C
21，BDAD
．求证：AC=AB+2BD

训练一下：
1．如图，在ABCRt中，90C，BE平分ABC，交AC于E，DE是斜边AB的垂
直平分线，且DE=1cm，则AC= cm.

2．如图，在ABC中，ABC的平分线与ACB的外角平分线相交于点D，过D作
DE∥BC，分别交AB，AC于E，F．求证：EF=BE-CF

3．如图，在ABC中，AB=AC，36A，21，E为AB中点，ED、BC延长线
交于点F．求证：AB=CF
4．如图，ABC中，21，AB=2AC，DA=DB．求证：AC⊥CD
5．如图，在ABC中，90ABC，60ACB，
BAC和ABC
的平分线AD，BE相交于点F．求证：EF=DF

二、等腰三角形、等边三角形
（1）求角的度数
例1、如图所示,已知AB=AC, D 、E分别在AC和AB上,且BD=BC,AD=DE=BE,求∠A
的度数.

（2）证明角相等

A
B
F
E
G

C
D
H

A
B C
D
E
例、已知：如图，AB=AD，∠B=∠D。求证：AC平分∠BCD。
（3）证明线段相等
例、如图所示,已知△ABC和△CDE是等边三角形 求证:BD=AE

（4）证明问题
例、如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=BC，D为DC的中点，CE⊥AD于E，
BF∥AC交CE的延长线于点F．求证：AB垂直平分DF．

训练一下：
1、如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线AC的同侧作等
边△ABD和等边△BCE。连结AE交BD于M，连结CD交BE于N，连结MN得△BMN，
试判断△BMN的形状？为什么？

A
B
C
D
E

A
B
C

D

N
M
E
D
C
BA

E
M
D

C
B

A
E
F
C
D
B

A
2、如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF.试判断∠B与
∠CAF的大小关系，并说明理由.

3、如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在AB上，点D在AC的延长线上，且CD＝EB，
ED交BC于M.求证：EM＝DM.

4、 如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长
BE交AC于F，求证：AF＝EF．

5、如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）
的距离分别为
h
1、h2、h3
，△ABC的高为h．

在图（1）中， 点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：hhhh321．
在图（2）--（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△
ABC
外．

（1）请探究：图（2）--（5）中，
h
1、h2、h3
、h之间的关系；（直接写出结论）

（2）证明图（2）所得结论；
（3）证明图（4）所得结论．
（4）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60o， RS=n，BC=m，
点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是
h
1、h2、h3、h4
，桥

形的高为h，则
h
1、h2、h3、h4
、h之间的关系为： ；图（4）与图（6）

中的等式有何关系？

作业：
1．如图，已知AC平分PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，如果添加一个条件，即
可推出AB=AB′，那么该条件可以是 ．

（1）B B′⊥ （2）BC= B′C
（3）ACB=AC B′ （4）ABC=∠A B′C
2．在ABC中，E为BC中点，BCDE交AB于点D，若25B，AD=CD，则

25B
，AD=CD，则ADC ，ACB= ．

3．在ABC中，AB=AC，DE是AB边的中垂线，垂足为E，交AC于D．若BDC的周
长为24，AB=14，则BC= ；若


40A
，则DBC= ．

F A B C D E P M
(6)

R S
F A B C D E P M
(4)

A
B C D E P M (3) A B C D E P M (2) A B C
D
E

M(P)
(1)

A

B C
D
E

P
M

(5)
4．在ABC中，120BAC．PM为AB边的中垂线，垂足为M，交BC于P；QN为
AC边的中垂线，垂足为N，交BC于Q，则PAQ= ，若BC=9cm，则APQ的
周长为 cm.

5．在ABC中，B，C的平分线交于D点，已知100BDC．则A的度数
为 ．

6．在ABC中，B，C的平分线交于D点，过D作EF∥BC，分别交AB，AC于E，
F两点，若AB=6，AC=5，则AEF的周长为 ．

7.已知，如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为
B，DE⊥BE，垂足为E，且AC＝DF，BF＝CE。求证：GF＝GC。

培优一下：
等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特
殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛．等腰三角形的性质和判定为证明
两个角相等和两条线段相等提供了依据．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在
直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三
角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径．

1．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝30°，则∠DEC等于（ ）．
A．7．5° B．10° C．12.5° D．18°

2．如图，AA′、BB′分别是△ABC的外角∠EAB和∠CBD的平分线，且AA′＝AB＝B′B，
A′、B、C在一直线上，则∠ACB的度数是多少？

3．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝20°．D是AB边上的点，且AD＝BC，
连结CD，则∠BDC＝________．

4. 如图，D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，E是等边三角形ABC的AC边延
长线上一点，且EB＝ED．那么CE与AD相等吗？试说明理由．

练习
1．已知如图，在△ABC中，AB＝CD，D是AB上一点，DE⊥BC，E为垂足，ED•的延
长线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？

A B C D
E

2．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是△ABC内一点，且∠DAC
＝∠DCA＝15°，则BD与BA的大小关系是（ ）

A．BD>BA B．BD

3．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，
延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？为什么？

4．已知：如图，△ABC是等边三角形，E是AC延长线上的任意一点，选择一点D，•
使△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，那么△CMN
是等边三角形吗？为什么？

5．已知：如图，等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使AD＝AE，作
等边三角形PCD、QAE和RAB，则以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形，请说明
理由．

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，
CF⊥AB于F，那么PD+PE与CF相等吗？

7．已知：如图，△ABC是等边三角形，延长AC到D，以BD为一边作等边三角形
BDE，连结AE，则AD_______AE+AB．

8．已知：如图，△ABC和△ADE都是等边三角形．B、C、D在一条直线上，说明CE
与AC+CD相等的理由．