2014年北京市西城区初三一模数学试题及答案

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<，则集合()U AB =ð（ ）A.(],2-∞B.(],1-∞C.()2,+∞D.[)2,+∞2.已知平面向量()2,1a =-，()1,1b =，()5,1c =-. 若()//a kb c +，则实数k 的值为（ ） A.2 B.12 C.114 D.114-3.在极坐标系中，过点2,2π⎛⎫⎪⎝⎭且与极轴平行的直线方程是（ ） A.2ρ= B.2πθ=C.cos 2ρθ=D.sin 2ρθ=考点：直角坐标与极坐标的互化4.执行如图所示的程序框图，如果输入2a =，2b =，那么输出的a 值为（ ）A.4B.16C.256D.3log 165.下列函数中，对于任意x R ∈，同时满足条件()()f x f x =-和()()f x f x π-=的函数是（ ） A.()sin f x x = B.()sin cos f x x x = C.()cos f x x = D.()22cos sin f x x x =-6.“8m <”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n N *∈年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ）A.3B.4C.5D.6考点：1.数列求和；2.基本不等式8.如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）A.4个B.6个C.10个D.14个第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.设复数12ix yi i-=++，其中x 、y R ∈，则x y +=______.10.若抛物线2:2C y px =的焦点在直线240x y +-=上，则p =_____；C 的准线方程为_____. 【答案】8；4x =-. 【解析】试题分析：抛物线2:2C y px =的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，该点在直线240x y +-=上，则有402p -=，解BADC. P得8p =，此时抛物线的准线方程为4x =-. 考点：抛物线的几何性质11.已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是________.12.若不等式组1026ax y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是_______.【答案】()3,5. 【解析】试题分析：作出不等式组1026x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域如下图中的阴影部分所表示，直线26x y +=交x 轴于点()3,0A ，交直线1x =于点()1,4B ，当直线x y a +=与直线26x y +=在线段13.科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是______.（用数字作答）14.如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，2BC =，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD =，PB PC y ⋅=，对于函数()y f x =，给出以下三个结论：①当2a =时，函数()f x 的值域为[]1,4；②()0,a ∀∈+∞，都有()11f =成立； ③()0,a ∀∈+∞，函数()f x 的最大值都等于4. 其中所有正确结论的序号是_________.D C P线1x =与对称轴的距离远，此时函数()f x 在0x =处取得最大值，即()()max 04f x f ==，当()224121a a +≥+时，即当0a <≤时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递减， 此时函数()f x 在0x =处取得最大值，即()()max 04f x f ==， 综上所述，正确结论的序号是②③. 考点：1.平面向量的数量积；2.二次函数三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知222b c a bc +=+. （1）求A 的大小；（2）如果cos 3=B ，2b =，求ABC ∆的面积.因为 0>c ，所以 1=c .故ABC ∆的面积1sin 22S bc A ==.考点：1.正弦定理与余弦定理；2三角形的面积公式16.（本小题满分13分）在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.（1）根据频率分布表中的数据，写出a 、b 的值；（2）某人从灯泡样品中随机地购买了()n n N *∈个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽．．．．．．．．样．所得的结果相同，求n 的最小值； （3）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X 表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X 的分布列和数学期望.所以n 的最小值为4；17.（本小题满分14分）如下图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都 是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD ⊥，22AB BC ==. （1）求证：1⊥BC D E （2）求证：1//B C 平面1BED ；（3）若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π，求线段1D E 的长度.所以四边形11D DBB 是平行四边形.连接1DB 交1D B 于点F ，连接EF ，则F 为1DB 的中点. 在1∆B CD 中，因为DE CE =，1DF B F =，所以 1//EF B C . 又因为 1⊄B C 平面1BED ，⊂EF平面1BED ，1设平面11BCC B 法向量为()111,,m x y z =， 因为()1,0,0CB =，()11,1,CB a =，由100m CB m CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得11110,0.x x y az =⎧⎨++=⎩ 令11z =，得()0,,1m a =-.由平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π， 得 ||cos ,cos32m n m n m nπ⋅===，解得1a =.考点：1.直线与平面垂直；2.直线与平面平行；3.二面角；4.空间向量法 18.（本小题满分13分）已知函数()2ln ,23,x x x a f x x x x a >⎧=⎨-+-≤⎩，其中0a ≥. （1）当0a =时，求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；（2）如果对于任意1x 、2x R ∈，且12x x <，都有()()12f x f x <，求a 的取值范围.因为对于任意1x 、2x R ∈，且12x x <，都有()()12f x f x <成立， 所以1a ≤.19.（本小题满分14分）已知椭圆22:12x W y +=，直线l 与W 相交于M 、N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C 、D 两点，O 为坐标原点.（1）若直线l 的方程为210x y +-=，求OCD ∆外接圆的方程；（2）判断是否存在直线l ，使得C 、D 是线段MN 的两个三等分点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）221152416x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）存在，且直线l 的方程为25y x =±或y x =. 【解析】试题分析：（1）先确定OCD ∆三个顶点的坐标，利用其外接圆圆心即为该三角形垂直平分线的交点求出外接圆的圆心，并利用两点间的距离公式求出外接圆的半径，从而求出外接圆的方程；（2）将C 、D 是线段MN由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()222124220k x kmx m +++-=，所以 2216880k m ∆=-+>， （*）由韦达定理，得122412kmx x k-+=+，21222212m x x k -=+. 由C 、D 是线段MN 的两个三等分点，得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合. 所以 1224120km x x k mk-+==+-， 解得2k =±. 由C 、D 是线段MN 的两个三等分点，得3MN CD =.20.（本小题满分13分）在数列{}n a 中，()1n a n N n*=∈. 从数列{}n a 中选出()3k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列. 例如数列12、13、15、18为{}n a 的一个4 项子列.（1）试写出数列{}n a 的一个3项子列，并使其为等差数列；（2）如果{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列，且{}n b 为等差数列，证明：{}n b 的公差d 满足108d -<<； （3）如果{}n c 为数列{}n a 的一个()3m m ≥项子列，且{}n c 为等比数列，证明：123m c c c c ++++1122m -≤-.则 ()2112311m m c c c c c q q q -++++=++++.因为{}n c 为{}n a 的一个m 项子列， 所以 q 为正有理数，且1q <，()111c a N a*=≤∈. 设 (),Kq K L N L*=∈，且K 、L 互质，2L ≥）. 当1K =时，因为 112q L =≤，所以 ()2112311m m c c c c c q q q -++++=++++211111222m -⎛⎫⎛⎫≤++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1122m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以 1123122m m c c c c -⎛⎫++++≤- ⎪⎝⎭.当1K ≠时，因为 11111m m m m K c c q a L---==⨯是{}n a 中的项，且K 、L 互质，所以 ()1*m a K M M N -=⨯∈，所以 ()2112311m m c c c c c q q q -++++=++++1232111111m m m m M K K L K LL ----⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭. 因为 2L ≥，K 、*M N ∈， 所以 2111231111122222m m m c c c c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≤++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.综上， 1231122m m c c c c -++++≤-.考点：1.新定义；2.等比数列求和。

2024北京四中初三一模数 学1．（本题3分）据中国电子商务研究中心监测数据显示，2021年第二季度中国轻纺城市场群的商品成交额达29600000000元，将29600000000用科学记数法表示为（ ） A ．102.9610⨯B ．112.9610⨯C ．1029.610⨯D ．110.29610⨯2．（本题3分）在以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（本题3分）已知60AOB ∠=︒，自AOB ∠的顶点O 引射线OC ，若:1:4AOC AOB ∠∠=，那么BOC ∠的度数是（ ） A ．48°B ．45°C ．48°或75°D ．45°或75°4．（本题3分）若a b <，则下列不等式中不一定成立的是（ ） A ．0a b −< B ．22a b −>−C ．0a b +<D ．22a b −>−5．（本题3分）若关于x 的方程()222110x k x k +++−=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．54k ≤−B ．54k <−C ．54k −≥D ．54k >−6．（本题3分）如果一个多边形的边数由4增加到n （n 为整数，且4n >），那么它的外角和的度数（ ） A ．不变 B ．增加C ．减少D ．不能确定7．（本题3分）甲、乙两名同学随机从A ，B ，C 三个主题中选择一个去参加“喜迎二十大”演讲比赛，则两人抽到相同主题的概率是（ ） A ．19B ．13C ．49D ．238．（本题3分）已知函数()211y ax a x =−++，则下列说法正确的个数是（ ）①若该函数图像与x 轴只有一个交点，则0a =②方程()2110ax a x −++=有一个整数根是1③存在实数a ，使得()2110ax a x −++≥对任意实数x 都成立A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（共24分）9．（本题3有意义，则x 应满足的条件是 ． 10．（本题3分）把多项式269mn mn m ++分解因式的结果是 ． 11．（本题3分）方程3221x x=−的根是 ． 12．（本题3分）若(2,3)A m 与(1,5)B m −是反比例函数21k y x+=图像上的两个点，则k 的值为 ． 13．（本题3分）某中学现对小学和初中部一共800人调查视力情况，为方便调查，学校进行了抽样调查．从中随机抽出40人，发现有30人眼睛近视，那么则小学和初中部800人中眼睛近视的人数为 ． 14．（本题3分）如图，在平行四边形ABCD 中，//,//EF AB FG ED ，DE ：EA=2：3，EF=4，求线段CG ＝ ．15．（本题3分）如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，AE CD ⊥于F ，交BC 于E ，连接BF ，若45BFE ∠=︒，则CEBE的值为 ．16．（本题3分）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七道工序，加工要求如下：①工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序E 须在工序B ，D 都完成后进行，工序F 须在工序C ，D 都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序； ③各道工序所需时间如下表所示：在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 分钟． 三、解答题（共72分）17．（本题4分）计算：212sin 602π−⎛⎫︒+−− ⎪⎝⎭18．（本题4分）解不等式组：6234211132x x x x+>−⎧⎪−−⎨−<⎪⎩ 19．（本题4分）已知2(2)|3|0a b −++=，若240ax bx +−=，求代数式2461x x −+的值． 20．（本题4分）在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 且与AB ，CD 分别相交于点E ，F .（Ⅰ）如图①，求证：OE OF =；（Ⅱ）如图②，若EF DB ⊥，垂足为O ，求证：四边形BEDF 是菱形.21．（本题4分）如图，∠AOB ＝120°，射线OC 从OA 开始，绕点O 逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD 从OB 开始，绕点O 逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC 和OD 同时旋转，设旋转的时间为t(0≤t≤15)(1)当t 为何值时，射线OC 与OD 重合； (2)当t 为何值时，射线OC ⊥OD ．22．（本题4分）如图，直线l 1：y =2x ，直线l 2：y =-x +m 与x 轴交于点A ，两直线l 1，l 2交于点B ，点B 的坐标为4,3n ⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求m，n的值；(2)直线l2上是否存在点D，使得ΔAOD的面积为4，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．23．（本题6分）某跳高集训队，对集训队员进行了一次跳高测试，经过统计，将集训队员的测试成绩（单位：m），绘制成尚不完整的扇形统计图（图①）与条形统计图（图②）.a________，请将条形统计图补充完整；（1）=（2）求集训队员测试成绩的众数；（3）教练发现，测试成绩不包括两名请假的队员，补测后，把这两名队员的成绩（均是0.05的整数倍）与原测试成绩并成一组新数据，求新数据的中位数.24．（本题6分）端午小长假，小王一家开车去麦积山景区游玩，返程时从景区出发，其行驶路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系如图所示．行驶一段时间到达C地时，汽车突发故障，需停车检修．为了能在高速公路恢复收费前下高速，车修好后加快了速度，结果恰好赶在24时前下高速．结合图中信息，解答下列问题：（1）上述问题中反映的是哪两个变量之间的关系？指出自变量和因变量．（2）汽车从景区到C地用了几小时？平均每小时行驶多少千米？（3）车修好后每小时行驶多少千米？25．（本题9分）已知二次函数y=x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点．（Ⅰ）求k取值范围；（Ⅱ）当k 取最小整数时，此二次函数的对称轴和顶点坐标；（Ⅲ）将（Ⅱ）中求得的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你求出新图象与直线y=x+m 有三个不同公共点时m 的值．26．（本题9分）如图，四边形ABCD 为正方形，点E 为BC 延长线上一点，连接AE ，交BD 于点F ，交CD 于点G ，连接CF ．(1)求证：CF 与CEG 的外接圆相切；(2)当CE CF =时，判断CG 和EF 有怎样的数量关系？并说明理由； (3)在（2）的条件下，求DG 与CG 的比值．27．（本题9分）如图，点P 是圆O 直径CA 延长线上的一点，PB 与圆O 相切于点B ，点D 是圆上的一点，连接AB AD BD CD ，，，，PB =(1)求证：2OP OC =；(2)若3OC =，4=AD ，求BD 的长．28．（本题9分）在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点坐标分别为(3,0)A −、(0,3)B 、(,0)C t ，过点A 作AD BC ⊥交BC 于D 点，交y 轴正半轴于点E ． (1)如图，当1t =时，求E 点的坐标；(2)如图，连接OD ，求ADO ∠的度数；(3)如图，已知点(0,2)P ，若PQ PC ⊥，PQ PC =，直接写出Q 的坐标（用含t 的式子表示）．参考答案1．A【分析】科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n 是正数，当原数绝对值小于1时n 是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：1029600000000 2.9610⨯=， 故选A ．【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 2．C【详解】根据轴对称图形的概念可得：选项A 、B 、D 不是轴对称图形，选项C 是轴对称图形，故选C. 3．D【分析】:1:4AOC AOB ∠∠=可知AOC ∠的值；所引射线OC 有两种情况①在AOB ∠内，此时BOC AOB AOC ∠=∠−∠；②在AOB ∠外，此时BOC AOB AOC ∠=∠+∠． 【详解】解：:1:4AOC AOB ∠∠=，60AOB ∠=︒ 15AOC ∴∠=︒①在AOB ∠外BOC AOB AOC ∠=∠+∠ 601575BOC ∴∠=︒+︒=︒②在AOB ∠内BOC AOB AOC ∠=∠−∠ 601545BOC ∴∠=︒−︒=︒BOC ∴∠为45︒或75︒故选D ．【点睛】本题考查了角的和与差．解题的关键在于确定射线的位置． 4．C【分析】根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：由a b <可得：A ．a b b b −<−，即0a b −<，故本选项一定成立，不符合题意；B ．不等号两边同时乘以2−，不等号方向改变，因此22a b −>−，故本选项一定成立，不符合题意；C ．2a b b +<，因此0a b +<不一定成立，符合题意；D ．不等号两边同时乘以1−，再加上2，不等号方向改变，22a b −>−，故本选项一定成立，不符合题意； 故选C ．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 5．D【分析】利用一元二次方程的根的判别式列出不等式即可求出k 的取值范围. 【详解】解：由题意得∆=（2k+1）2-4（k 2-1）=4k+5＞0解得：k ＞-54故选D【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题的关键. 6．A【分析】此题考查多边形内角和与外角和，注意多边形外角和等于360︒．利用多边形的外角和特征即可解决问题．【详解】解：因为多边形外角和为360︒，所以外角和的度数是不变的． 故选：A ． 7．B【分析】列表展示所有9种等可能的结果数，再找出两人抽到相同主题的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：列表如下：则两人抽到相同主题的概率3193=． 故选：B ．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式求事件A 或B 的概率． 8．C【分析】①分0,0a a =≠ 两种情况分别讨论即可判断，②当0,0a a =≠时，方程分别为一元一次方程和一元二次方程，分别求解即可，③当1a =时，不等式为2210x x −+≥，即可判断． 【详解】①当0a = 时，1y x =−+ ，此时图像与x 轴交于点(1,0) ，当0a ≠ 时，令y =0，则有()2110ax a x −++= ，当240b ac ∆=−= 时，方程有两个相等的实数根，此时与x 轴只有一个交点，即22(1)4(1)0a a a +−=−= ，1a ∴= ，故0a =或者1a =时，该函数图像与x 轴都只有一个交点，故①错误，不符合题意； ②当0a = 时，可得：10x −+=，此时：1x = ，当0a ≠ 时，()2110ax a x −++=是一元二次方程，由求根公式得：x =， 解得：1211,x x a==， ∴方程()2110ax a x −++=有一个整数根是1，故②正确，符合题意．③当1a =时，不等式为2210x x −+≥ ， 即2(1)0x −≥ ，其恒成立，即存在实数a ，使得()2110ax a x −++≥对任意实数x 都成立，故③正确，符合题意； 故有2个正确， 故选：C ．【点睛】本题考查了函数与方程的关系，函数与不等式的关系，对二次项系数分类讨论是解题的关键． 9．0x ≥且5x ≠/5x ≠且0x ≥【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义；根式中，被开方数是非负数． 【详解】解：根据题意，得：50x x ≥⎧⎨−≠⎩， 解得0x ≥，且5x ≠． 故答案为：0x ≥，且5x ≠．【点睛】本题主要考查了二次根式及分式有意义的条件．关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 10．()23m n +【分析】先提取公因式m ，再利用完全平方公式继续分解即可求解． 【详解】解：269mn mn m ++ ()269m n n =++()23m n =+，故答案为：()23m n +．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 11．2x =【分析】解分式方程即可． 【详解】解：3221x x=−， 两边同时乘()21x x −得，()3221x x =−， 去括号得，342x x =−， 移项合并得，2x −=−， 系数化为1得，2x =，经检验，2x =是原分式方程的根． 故答案为：2x =．【点睛】本题考查了解分式方程．解题的关键在于正确的运算． 12．72−【分析】根据A （2m ，3）与B （1，m -5）是反比例函数21k y x+=图象上的两个点，可知2k +1=2m •3=1×（m -5），故可得出m 的值，进而得出k 的值．【详解】解：∵A （2m ，3）与B （1，m -5）是反比例函数21k y x+=图象上的两个点， ∴2k +1=2m •3=1×（m -5）， 解得m =-1， ∴2k +1=-2×3=-6， ∴k =-72故答案为：-72． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是关键． 13．600人【分析】根据样本估计总体，用800乘以40人中眼睛近视的占比，列出算式计算即可求解． 【详解】解：3080060040⨯=（人）． 故答案是：600人．【点睛】本题考查了用样本估计总体，关键是得到符合条件的人数所占的百分率． 14．6【详解】试题分析：因为EF//AB ，四边形ABCD 是平行四边形ABCD ，AB ∥CD ，AB=CD ，所以EF ∥DG ，因为FG//ED ，所以四边形DEFG 是平行四边形，所以DG=EF=4，因为DE:EA=2:3，所以DE:EA=EF:AB=2：5，EF=4，所以AB=10，所以CD=10，所以CG=DC-DG=10-4=6．即线段CG=6．考点：1．平行四边形的判定与性质；2．平行线分线段成比例定理．15 【分析】过点B 作BG AE ⊥，交AE 的延长线于G ，可得BFG 是等腰直角三角形，设()0BG a a =>，则有BF =，根据三角形中位线定理可得DF BG ∥，2a DF =，于是有AFD AGB ∽，进而由勾股定理求出AB =，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，有CD =，进而求出12CF CD DF a =−=，然后根据CEF △和BEG 相似，进而求出最后的结果． 【详解】过点B 作BG AE ⊥，交AE 的延长线于G ，∵45BFE ∠=︒，BG AE ⊥，∴BFG 是等腰直角三角形，设()0BG a a =>，∴FG BG a ==，∴BF =，∵AE CD ⊥，AG BG ⊥，D 为AB 的中点，∴DF BG ∥，122a DF BG ==， ∴AFD AGB ∽，∴AF FG a ==，∴22AG BG a ==，∴AB ==，∵90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，∴12CD BD AD AB ====，∴12CF CD DF a =−=， ∵90CFE EGB ∠=∠=︒，CEF BEG ∠=∠，∴CEF BEG △∽△，∴2CE CF BE BGa ===． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，熟记这些图形的性质与判定，并学会灵活运用是解本题的关键．16． 53 28【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A ，乙学生同时做工序B ；然后甲学生做工序D ，乙学生同时做工序C ，乙学生工序C 完成后接着做工序G ；最后甲学生做工序E ，乙学生同时做工序F ，然后可得答案．【详解】解：由题意得：9979710253++++++=（分钟），即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；假设这两名学生为甲、乙，∵工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序E 须在工序B ，D 都完成后进行，且工序A ，B 都需要9分钟完成，∴甲学生做工序A ，乙学生同时做工序B ，需要9分钟，然后甲学生做工序D ，乙学生同时做工序C ，乙学生工序C 完成后接着做工序G ，需要9分钟， 最后甲学生做工序E ，乙学生同时做工序F ，需要10分钟，∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要991028++=（分钟），故答案为：53，28；17．3【分析】先分别利用特殊角的三角函数值以及二次根式、负指数幂的性质化简，再合并同类项即可得出答案．【详解】解：原式=2143−+= 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各项是解题关键．18．1127x −<< 【分析】分别求①，②两不等式的解集，再根据两不等式的解集求不等式组的解集即可． 【详解】解：6234211132x x x x +>−⎧⎪⎨−−−<⎪⎩①② 由①得6234x x +>−，36x >−，2x >−由②得2111 32x x−−−<，()() 221316x x−−−<，42336x x−−+<，711x<，117x<，故不等式组的解集为：1127x−<<．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，能够数量掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键．19．9【分析】先根据非负数的性质得出a、b的值，代入ax2+bx-4=0变形得2x2-3x=4，再代入4x2-6x+1=2（2x2-3x）+1求解即可．【详解】解：∵（2-a）2+|b+3|=0，∴2-a=0，b+3=0，解得a=2，b=-3，代入ax2+bx-4=0，得：2x2-3x-4=0，则2x2-3x=4，∴4x2-6x+1=2（2x2-3x）+1=2×4+1=8+1=9．【点睛】本题主要考查非负数的性质：偶次乘方、绝对值，解题的关键是掌握任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．20．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得到OB=OD，AB∥CD，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据菱形的判定定理即可得到结论．【详解】解：（Ⅰ）如图：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB OD =，AB CD ∥.∴EBO FDO ∠=∠，在OBE △和ODF △中，EBO FDO OB ODBOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()OBE ODF ASA △≌△.∴OE OF =.（Ⅱ）如图：∵OB OD =，OE OF =，∴四边形BEDF 是平行四边形.又∵EF DB ⊥，∴四边形BEDF 是菱形.【点睛】此题考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．21．(1) t ＝8min 时，射线OC 与OD 重合；(2) t ＝2min 或t ＝14min 时，射线OC ⊥OD ．【分析】（1）根据题意可得，射线OC 与OD 重合时，20t ＝5t+120，可得t 的值；（2）根据题意可得，射线OC ⊥OD 时，20t+90＝120+5t 或20t ﹣90＝120+5t ，可得t 的值．【详解】(1)由题意可得，20t ＝5t+120，解得t ＝8，即t ＝8min 时，射线OC 与OD 重合；(2)由题意得，①20t+90＝120+5t ，解得：t ＝2；②20t ﹣90＝120+5t ，解得：t ＝14；即当t ＝2min 或t ＝14min 时，射线OC ⊥OD ．【点睛】本题考查一元一次方程的应用与角的计算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 22．(1)84,.3m n(2)()2,2D 或6,2.D【分析】（1）由直线l 1：y =2x ，过点B 4,3n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可求解n 的值，直线l 2：y =-x +m 过点48,,33B 可求解m 的值，从而可得答案；（2）先求解()4,0,A 设,4,D x x 再根据ΔAOD 的面积为4，列方程14,2D OA y 再解方程即可．【详解】（1）解： 直线l1：y =2x ，过点B 4,3n ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 482.33n 即48,.33B 直线l2：y =-x +m 过点48,,33B 48,33m 124,3m∴一次函数的解析式为：2: 4.l y x（2）∵一次函数的解析式为：2: 4.l yx ∴令0,y = 则4,x = 即()4,0,A∵点D 在2l 上，设,4,D x x ΔAOD 的面积为4， 14,2D OA y 1444,2x 即42,x解得：2x =或 6.x =∴()2,2D 或6,2.D【点睛】本题考查的是正比例函数与一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标与图形，利用方程思想解决图形面积问题是解本题的关键．23．（1）25，图详见解析；（2）集训队员测试成绩的众数为1.65m ；（3）中位数为1.60m.【分析】（1）根据扇形统计图中的数据可以求得a 的值，根据1.50的人数和所占的百分比可以求得本次参加初赛的人数，从而可以求得1.55m 的人数，进而可以将条形统计图补充完整；（2）根据条形统计图中的数据可以得到该组数据的众数；（3）针对请假队员分两种情况讨论．【详解】解：（1）25；补全条形统计图如解图所示：()%110%20%30%15%25%a =−+++=，故25a =；测试成绩为1.50m 的有2人，占总人数的10%，故总人数为210%20÷=（人）.则测试成绩为1.55m 的人数为2020%4⨯=（人）.（2）由条形统计图可知，集训队员测试成绩的众数为1.65m ；（3）当两名请假队员的成绩均大于或等于1.65m 时，中位数为1.60 1.65 1.625(m)2+=； 当两名请假队员的成绩均小于1.65m 或一个小于1.65m ，一个大于或等于1.65m 时，中位数为1.60m.【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、众数、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．错因分析 中等题. 失分原因是（1）没有掌握求a 值要用到各部分的百分比之和为1，结合扇形统计图和条形统计图求出集训队员的总人数；（2）不熟悉众数的概念；（3）不熟悉中位数的概念，当数据的个数是奇数时，中位数是最中间的数.当数据的个数是偶数时，中位数是中间两个数的平均数，所以要分类讨论两名队员的跳高成绩.24．（1）路程与时间之间的关系：自变量是时间，因变量是路程；（2）50千米；（3）75千米/小时【分析】（1）根据函数的图象可以知道横轴表示时间，纵轴表示路程，据此可以得到答案；（2）根据函数的图象可以知道汽车行驶的时间和路程，用路程除以时间即可得到速度；（3）观察图象可以得到汽车在3-4小时之间路程没有增加，说明此时在检修，检修后两小时走了150千米据此可以求得速度．【详解】解：（1）路程与时间之间的关系：自变量是时间，因变量是路程．（2）由图象可知，汽车从景区到C 地用了3小时，行驶路程为150千米，所以平均每小时行驶150350÷=（千米）．（3）检修了431−=小时，修后的速度为()()3001506475−÷−=千米/小时．【点睛】本题考查了看函数图象，解此类问题时，首先要看清横纵坐标所表示的意义．25．（Ⅰ）k ＞﹣1（Ⅱ）对称轴为：x=1．顶点坐标为（1，﹣4）；（Ⅲ）m 的值为1或134【详解】试题分析：（Ⅰ）由抛物线与x 轴有两个交点可知△＞0，从而可求得k 的取值范围；（Ⅱ）先求得k 的最小整数值，从而可求得二次函数的解析式，结合函数解析式求此二次函数的对称轴和顶点坐标；（Ⅲ）先根据函数解析式画出图形，然后结合图形找出抛物线与x 轴有三个交点的情形，最后求得直线的解析式，从而可求得m 的值．试题解析：（Ⅰ）∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△=4（k+1）2﹣4（k 2﹣2k ﹣3）=16k+16＞0，∴k ＞﹣1，∴k 的取值范围为k ＞﹣1；（Ⅱ）∵k ＞﹣1，且k 取最小的整数，∴k=0，∴y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴对称轴为：x=1．顶点坐标为（1，﹣4）；（Ⅲ）翻折后所得新图象如图所示，平移直线y=x +m 知：直线位于l 1和l 2时，它与新图象有三个不同的公共点，①当直线位于l 1时，此时l 1过点A （﹣1，0），∴0=﹣1+m ，即m=1；②∵当直线位于l 2时，此时l 2与函数y=﹣x 2+2x+3（﹣1≤x≤3）的图象有一个公共点，∴方程x +m=﹣x 2+2x+3，即x 2﹣x m=0有两个相等实根，∴△=1﹣4（m ﹣3）=0，即m=134， 综上所述，m 的值为1或134． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及到抛物线与x 轴的交点、根的判别式等，正确地分析，根据题意画出图形，结合图形进行讨论是解题的关键.26．(1)见解析(2)3EF CG =．理由见解析(3)DG CG =【分析】本题主要考查切线的判定，全等石匠判定与性质，直角三角形的性质等知识：（1）证明ADF CDF △≌△得2DAF ∠=∠，由AD BE 得2E DAF ∠=∠=∠，取EG 的中点H ，连接CH ，证明2+4=90∠∠︒即可得出结论；（2）证明30E ∠=︒，得出2,EG CG =进一步得出结论；（3）设CG x =，可求出)1AG x =，)1,2x DG =从而可得结论．【详解】（1）证明：如图，四边形ABCD 为正方形，,AD CD ADF CDF ∴=∠=∠，又DF DF =，,ADF CDF ∴△≌△2DAF ∴∠=∠，,AD BE ∥,DAF E ∴∠=∠2E ∴∠=∠，取EG 的中点H ，连接CH ，则CH EH GH ==为CEG 外接圆的半径，1,45,E ∴∠=∠∠=∠12∴∠=∠，1490,∠+∠=︒2490∴∠+∠=︒，CF CH ∴⊥，所以CF 与CEG 的外接圆相切．（2）解：3EF CG =．理由如下：CE CF =，312,E ∴∠=∠=∠=52E ∠=∠，而590,E ∠+∠=︒30E ∴∠=︒，2,EG CG ∴=3EF CG ∴=．（3）解：设CG x =，则,FG x CE CF AF ====，)1AG x ∴=，由（2）知30DAF E ∠=∠=︒，)11,22x DG AG ∴==DG CG ∴= 27．(1)证明见解析；(2)BD =【分析】（1）连接OB ，由切线的性质和等腰三角形的性质得出30P ∠=︒，再由直角三角形的性质即可得出结论；（2）作AH BD ⊥于H ，根据圆周角定理得到 90ADC ∠=︒，90ABC ∠=︒，由3OC =得到6AC =，根据直角三角形的性质可得到132AB AC ==，122AH AD ==，根据勾股定理求出DH BH 、，即可求出BD 的长；本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、直角三角形的性质、勾股定理，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】（1）证明：连接OB ，∵PB 与圆O 相切于点B ，∴90OBP ∠=︒ ，∴90P POB ∠+∠=︒，∵OB OC =，∴OBC OCB ∠=∠，∴2POB OBC OCB OCB ∠=∠+∠=∠，∵PB BC =，∴P OCB ∠=∠，∴2390P POB P OCB P ∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴30P ∠=︒，∴22OP OB OC ==；（2）解：如图，作AH BD ⊥于H ，则90AHD AHB ∠=∠=︒，∵AC 为O 的直径，∴90ADC ∠=︒，90ABC ∠=︒，∵3OC =，∴6AC =，∵30OCB ∠=︒， ∴132AB AC ==，30ADB OCB ∠=∠=︒， ∵4=AD ， ∴122AH AD ==，∴DH ==∴BH ===，∴BD BH DH =+=28．(1)(1,0)(2)45︒(3)(2,2)Q t −−【分析】（1）根据AOE BOC △△≌得OE OC =即可求出点C 坐标． （2）如图，先过点O 作OM AD ⊥于点M ，作ON BC ⊥于点N ，根据AOE BOC △△≌，得到AOE BOC S S =△△，底边AE BC =，得出OM ON =，根据角平分线的逆定理进而得到OD 平分ADC ∠，可得45ADO ABO ∠=∠=︒；（3）如图，作辅助线，构建全等三角形，证明PCG QPH ≌，可得2CG PH ==，PG QH t ==，又知Q 在第二象限，从而得(2,2)Q t −−．【详解】（1）解：如图，当1t =时，点(1,0)C ，AD BC ⊥，90EAO BCO ∴∠+∠=︒，90CBO BCO ∠+∠=︒，EAO CBO ∴∠=∠，在AOE △和BOC 中，90EAO CBO AO BOAOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ()AOE BOC ASA ∴≌，1OE OC ∴==，∴点E 坐标(1,0)．（2）解：如图，过点O 作OM AD ⊥于点M ，作ON BC ⊥于点N ，AOE BOC ≌，AOE BOC S S ∴=，且AE BC =，OM AE ⊥，ON BC ⊥，OM ON ∴=，OD ∴平分ADC ∠；45ADO ABO ∴∠=∠=︒；（3）解：如图，过P 作GH x ∥轴，过C 作CG GH ⊥于G ，过Q 作QH GH ⊥于H ，交x 轴于F ，(0,2)P ，(,0)C t ，2CG FH ∴==，PG OC t ==，90QPC ∠=︒，90CPG QPH ∴∠+∠=︒，∠+∠=︒，QPH HQP90∴∠=∠，CPG HQP=，∠=∠=︒，PQ PCQHP G90∴≌，PCG QPH==，2∴==，PG QH tCG PH∴−−．(2,2)Q t【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的逆定理等知识，解题的关键是寻找全等三角形．。

2024年北京市西城区中考数学一模试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A．圆锥B．三棱柱C．三棱锥D．四棱锥2．（2分）2024年5.5G技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从5G初期的1Gbps 提升到10Gbps，给我们的智慧生活“提速”．其中10Gbps表示每秒传输10000000000位（bit）的数据．将10000000000用科学记数法表示应为（）A．0.1×1011B．1×1010C．1×1011D．10×109 3．（2分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（2分）直尺和三角板如图摆放，若∠1＝55°，则∠2的大小为（）A．35°B．55°C．135°D．145°5．（2分）不透明袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到蓝球的概率为（）A．B．C．D．6．（2分）已知﹣2＜a＜﹣1，则下列结论正确的是（）A．a＜1＜﹣a＜2B．1＜a＜﹣a＜2C．1＜﹣a＜2＜a D．﹣a＜1＜a＜2 7．（2分）若关于x的一元二次方程kx2+x﹣2＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（）A．k≤﹣B．k＞﹣且k≠0C．k≥﹣且k≠0D．k≥﹣且k≠08．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b（其中a＜b）．CD⊥AB 于点D，点E在边AB上，BE＝BC．设CD＝h，AD＝m，BD＝n，给出下面三个结论：①n2+h2＜（m+n）2；②2h2＞m2+n2；③AE的长是关于x的方程x2+2ax﹣b2＝0的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①B．①③C．②③D．①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为．10．（2分）分解因式：x2y﹣12xy+36y＝．11．（2分）方程＝的解为．12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣1，8）和（2，n），则n的值为．13．（2分）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，BA，CE的延长线交于点F．若AF＝1，AB＝2，则＝．14．（2分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，点A是的中点，连接AC，若∠DAB ＝130°，则∠ACB＝°．15．（2分）如图，两个边长相等的正六边形的公共边为BD，点A，B，C在同一直线上，点O1，O2分别为两个正六边形的中心．则tan∠O2AC的值为．16．（2分）将1，2，3，4，5，…，37这37个连续整数不重不漏地填入37个空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前36个数的和是第37个数的倍数．若第1个空格填入37，则第2个空格所填入的数为，第37个空格所填入的数为．37…三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：|﹣|﹣（）﹣1+2sin60°﹣．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知x2﹣x﹣4＝0，求代数式（x﹣2）2+（x﹣1）（x+3）的值．20．（5分）如图，点E在▱ABCD的对角线DB的延长线上，AE＝AD，AF⊥BD于点F，EG∥BC交AF的延长线于点G，连接DG．（1）求证：四边形AEGD是菱形；（2）若AF＝BF，tan∠AEF＝，AB＝4，求菱形AEGD的面积．21．（5分）某学校组织学生社团活动，打算恰好用1000元经费购买围棋和象棋，其中围棋每套40元，象棋每套30元．所购买围棋的套数能否是所购买象棋套数的2倍？若能，请求出所购买的围棋和象棋的套数，若不能，请说明理由．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（3，5），B （﹣2，0），且与y轴交于点C．（1）求该函数的解析式及点C的坐标；（2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝﹣3x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围．23．（6分）某学校组织学生采摘山楂制作冰糖葫芦（每串冰糖葫芦由5颗山楂制成）．同学们经过采摘、筛选、洗净等环节，共得到7.6kg的山楂．甲、乙两位同学各随机分到了15颗山楂，他们测量了每颗山楂的重量（单位：g），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲同学的山楂重量的折线图：b．乙同学的山楂重量：8，8.8，8.9，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.6，9.8，10，10，10，10，10c．甲、乙两位同学的山楂重量的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数甲9.5m9.2乙9.59.6n 根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值；（2）对于制作冰糖葫芦，如果一串冰糖葫芦中5颗山楂重量的方差越小，则认为这串山楂的品相越好．①甲、乙两位同学分别选择了以下5颗山楂制作冰糖葫芦．据此推断：品相更好的是（填写“甲”或“乙”）；甲9.29.29.29.29.1乙9.49.49.48.98.8②甲同学从剩余的10颗山植中选出5颗山楂制作一串冰糖葫芦参加比赛，首先要求组成的冰糖葫芦品相尽可能好，其次要求冰糖葫芦的山楂重量尽可能大．他已经选定的三颗山楂的重量分别为9.4，9.5，9.6，则选出的另外两颗山楂的重量分别为_______和；（3）估计这些山楂共能制作多少串冰糖葫芦．24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，⊙O的切线CE与BA的延长线交于点E，AF∥CE，AF与⊙O的交点为F．（1）求证：AF＝CD；（2）若⊙O的半径为6，AH＝2OH，求AE的长．25．（6分）如图，点O为边长为1的等边三角形ABC的外心．线段PQ经过点O，交边AB 于点P，交边AC于点Q．若AP＝x，AQ＝y1，S△APQ：S△ABC＝y2，下表给出了x，y1，y2的一些数据（近似值精确到0.0001）．x0.50.550.60.650.70.750.80.850.90.951 y110.84620.750.68420.63640.60.57140.54840.92940.51350.5 y20.46540.450.44470.44550.450.45710.46610.47650.48780.5（1）补全表格；（2）在同一平面直角坐标系xOy中描出了部分点（x，y1），（x，y2）．请补全表格中数据的对应点，并分别画出y1与y2关于x的函数图象；（3）结合函数图象，解决下列问题：①当△APQ是等腰三角形时，y1关于x的函数图象上的对应点记为（a，b），请在x轴上标出横坐标为a的点；②当y2取最大值时，x的值为．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）若y1＝3，求t的值；（2）若当t+1＜m＜t+2时，都有y1＞y3＞y2，求t的取值范围．27．（7分）在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝45°，AM⊥BC于点M．D是射线AB上的动点（不与点A，B重合），点E在射线AC上且满足AE＝AD，过点D作直线BE的垂线交直线BC于点F，垂足为点G，直线BE交射线AM于点P．（1）如图1，若点D在线段AB上，当AP＝AE时，求∠BDF的大小；（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，依题意补全图形，用等式表示线段CF，MP，AB的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为1，对于⊙O上的点P和平面内的直线l：y＝ax给出如下定义：点P关于直线l的对称点记为P′，若射线OP上的点Q 满足OQ＝PP′，则称点Q为点P关于直线l的“衍生点”．（1）当a＝0时，已知⊙O上两点P1（，），P2（﹣，﹣），在点Q1（1，2），Q2（，），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣，﹣）中，点P1关于直线l的“衍生点”是，点P2关于直线l的“衍生点”是；（2）P为⊙O上任意一点，直线y＝x+m（m≠0）与x轴，y轴的交点分别为点A，B．若线段AB上存在点S，T，使得点S是点P关于直线l的“衍生点”，点T不是点P关于直线l的“衍生点”，直接写出m的取值范围；（3）当﹣1≤a≤1时，若过原点的直线s上存在线段MN，对于线段MN上任意一点R，都存在⊙O上的点P和直线l，使得点R是点P关于直线l的“衍生点”．将线段MN长度的最大值记为D（s），对于所有的直线s，直接写出D（s）的最小值．2024年北京市西城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．【分析】通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可．【解答】解：由题意可知，该几何体的底面是一个三角形，侧面由三个三角形组成，故该几何体是三棱锥．故选：C．【点评】本题考查棱柱的展开与折叠，掌握三棱锥展开图的特征是正确判断的关键．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：10000000000＝1×1010．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．该图既是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．4．【分析】求出∠3＝90°﹣55°＝35°，由平行线的性质推出∠3＝∠4＝35°，由邻补角的性质得到∠2＝180°﹣35°＝145°．【解答】解：∵∠1＝55°，∴∠3＝90°﹣55°＝35°，∵直尺的对边平行，∴∠3＝∠4＝35°，∴∠2＝180°﹣35°＝145°．故选：D．【点评】本题考查平行线的性质关键是由平行线的性质推出∠3＝∠4＝35°．5．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次都摸到蓝球的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：红蓝红（红，红）（红，蓝）蓝（蓝，红）（蓝，蓝）共有4种等可能的结果，其中两次都摸到蓝球的结果有1种，∴两次都摸到蓝球的概率为．故选：A．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．6．【分析】根据﹣2＜a＜﹣1，判断出﹣a的取值范围，进而推出a、﹣a的大小关系即可．【解答】解：∵﹣2＜a＜﹣1，∴1＜﹣a＜2，∴a＜1＜﹣a＜2．故选：A．【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是判断出﹣a的取值范围．7．【分析】根据一元二次方程kx2+x﹣2＝0有两个实数根，构建不等式求解．【解答】解：由题意，Δ≥0且k≠0，∴1+8k≥0，∴k≥﹣，∴k≥﹣且k≠0．故选：C．【点评】考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．8．【分析】因为CD⊥AB，所以∠CDB＝∠CDA＝90°，由勾股定理得，n2+h2＝a2，因为∠ACB＝90°，由勾股定理得，（m+n）2＝a2+b2，因为a2＜a2+b2，所以n2+h2＜（m+n）2，由射影定理得，h2＝mn，所以2h2＝2mn，因为a＜b，a＝，b＝，则m＞n，所以（m﹣n）2＞0，可得m2+n2＞2mn，所以m2+n2＞2h2，方程x2+2ax﹣b2＝0配方得（x+a）2﹣（a2+b2）＝0，因为a2+b2＝（m+n）2，可得（x+a）2＝（m+n）2，解得x的值，因为BE＝BC，BC＝a，可得BE＝a，因为AB＝AD+BD＝m+n，所以AE＝m+n ﹣a，可得AE的长是否是关于x的方程x2+2ax﹣b2＝0的一个实数根．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，∴n2+h2＝a2，∵∠ACB＝90°，∴（m+n）2＝a2+b2，∵a2＜a2+b2，∴n2+h2＜（m+n）2，故①符合题意，∵h2＝mn，∴2h2＝2mn，∵a＜b，a＝，b＝，∴m＞n，∴（m﹣n）2＞0，即m2+n2＞2mn，∴m2+n2＞2h2，故②不符合题意，x2+2ax﹣b2＝0，配方得，（x+a）2﹣（a2+b2）＝0，∵a2+b2＝（m+n）2，∴（x+a）2﹣（m+n）2＝0，即（x+a）2＝（m+n）2，∴x＝m+n﹣a或x＝﹣m﹣n﹣a，∵BE＝BC，BC＝a，∴BE＝a，∵AB＝AD+BD＝m+n，∴AE＝m+n﹣a，∴AE的长是关于x的方程x2+2ax﹣b2＝0的一个实数根x＝m+n﹣a，故③符合题意，故选：B．【点评】本题考查了射影定理、勾股定理，关键是掌握射影定理的运用．二、填空题（共16分，每题2分）9．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．【解答】解：∵x﹣3≥0，∴x≥3．故答案为：x≥3．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．10．【分析】提取公因式后用完全平方公式分解即可．【解答】解：x2y﹣12xy+36y＝y（x2﹣12x+36）＝y（x﹣6）2，故答案为：y（x﹣6）2．【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式和公式法分解因式是关键．11．【分析】方程两边都乘（3x﹣1）（x﹣2）得出4（x﹣2）＝3（3x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：＝，方程两边都乘（3x﹣1）（x﹣2），得4（x﹣2）＝3（3x﹣1），4x﹣8＝9x﹣3，4x﹣9x＝﹣3+8，﹣5x＝5，x＝﹣1，检验：当x＝﹣1时，（3x﹣1）（x﹣2）≠0，所以分式方程的解是x＝﹣1．故答案为：x＝﹣1．【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．12．【分析】由点A的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数解析式，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出n的值．【解答】解：将点（﹣1，8）代入y＝（k≠0）得：8＝，解得：k＝﹣8，∴反比例函数解析式为y＝﹣当x＝2时，y＝﹣＝﹣4，∴n的值为﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求反比例函数解析式，根据给定坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键．13．【分析】由平行四边形的性质得到AB∥CD，CD＝AB＝2，推出△FAE∽△CDE，得到＝，而AF＝1，于是得到＝．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，CD＝AB＝2，∴△FAE∽△CDE，∴＝，∵AF＝1，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由△FAE∽△CDE，推出＝．14．【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠DCB，再根据圆周角定理求出∠ACB．【解答】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∵∠DAB＝130°，∴∠DCB＝180°﹣130°＝50°，∵点A是的中点，∴∠ACB＝∠ACD＝×50°＝25°，故答案为：25．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质是解题的关键．15．【分析】根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可．【解答】解：如图，连接O2C，过O2点作O2E⊥BC，垂足为E，设正六边形的边长为a，则O1A＝O1B＝O2C＝a，在Rt△O2CE中，O2C＝a，∠CO2E＝30°，∴EC＝O2C＝a＝BE，O2E＝O2C＝a，∴AE＝2a+a＝a，∴tan∠O2AC＝＝．故答案为：．【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．16．【分析】根据第1个数是第2个数的倍数，第1个空格填入37，而37是质数，可知第2个空格所填入的数为1，根据前37个数的和为：1+2+3+⋯+37＝703＝37×19，且37与19都是质数，且前37个数的和是第37个数的倍数，即可得出结果．【解答】解：根据要求：第1个数是第2个数的倍数，第1个空格填入37，而37是质数，∴第2个空格所填入的数为1，∵前36个数的和是第37个数的倍数，∴前37个数的和是第37个数的倍数，∴前37个数的和为：1+2+3+⋯+37＝703＝37×19，且37与19都是质数，假设第37个数为x，则（37×19﹣x）一定能被x整除，∵x≠37，第2个空格所填入的数为1，∴x的值只能是19，故答案为：1，19．【点评】本题考查的是数字的变化规律，从题目中找出数字间的倍数关系是解题的关键．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【分析】利用特殊角的三角函数值及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式＝＝＝﹣．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．【分析】首先解出两个不等式的解集，再根据同小取小确定不等式组的解集．【解答】解：，解解不等式①，得：x＜3，解不等式②，得：x≤7，∴原不等式组的解集为x＜3．【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．19．【分析】利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把x2﹣x＝4代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解答】解：（x﹣2）2+（x﹣1）（x+3）＝x2﹣4x+4+x2+3x﹣x﹣3＝2x2﹣2x+1，∵x2﹣x﹣4＝0，∴x2﹣x＝4，∴当x2﹣x＝4时，原式＝2（x2﹣x）+1＝2×4+1＝8+1＝9．【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．20．【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得出EF＝DF，再证△GEF和△ADF全等，得出GF＝AF，于是根据对角线相等的四边形是平行四边形推出四边形AEGD是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出四边形AEGD是菱形；（2）分别求出AF、EF的长，即可得出对角线AG、ED的长，根据菱形的面积公式计算即可．【解答】（1）证明：∵AE＝AD，AF⊥BD，∴EF＝DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵EG∥BC，∴AD∥EG，∴∠GEF＝∠ADF，在△GEF和△ADF中，，∴△GEF≌△ADF（ASA），∴GF＝AF，∵EF＝DF，∴四边形AEGD是平行四边形，∵AE＝AD，∴四边形AEGD是菱形；（2）解：∵AF⊥BD，AF＝BF，∴△AFB是等腰直角三角形，∵AB＝4，∴由勾股定理得，，∵tan∠AEF＝，∴，即，∴EF＝，∵四边形AEGD是菱形，∴AG＝2AF＝，ED＝2EF＝，∴菱形AEGD的面积．【点评】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，锐角三角函数，菱形的面积等，熟练掌握这些知识点是解题的关键．21．【分析】设购买象棋x套，若购买围棋2x套，可得40×2x+30x＝1000，解得x＝9，即可判断不能恰好用1000元经费购买围棋和象棋，使所购买围棋的套数是所购买象棋套数的2倍．【解答】解：不能恰好用1000元经费购买围棋和象棋，使所购买围棋的套数是所购买象棋套数的2倍，理由如下：设购买象棋x套，若购买围棋2x套，根据题意得：40×2x+30x＝1000，解得x＝9，∵x是整数，∴x＝9不符合题意，∴不能恰好用1000元经费购买围棋和象棋，使所购买围棋的套数是所购买象棋套数的2倍．【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意列出方程．22．【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，然后计算自变量为0时对应的函数值得到C点坐标；（2）先利用（1）中解析式计算x＝2时，y＝4，再把点（2，4）代入y＝﹣3x+n中得到n＝10，则利用一次函数的性质可判断当n≥10时满足条件．【解答】解：（1）根据题意得，解得，∴一次函数解析式为y＝x+2，当x＝0时，y＝x+2＝2，∴C（0，2）；（2）当x＝2时，y＝x+2＝4，把点（2，4）代入y＝﹣3x+n得﹣6+n＝4，解得n＝10，∴当n≥10时，对于x＜2的每一个值，函数y＝﹣3x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质．23．【分析】（1）根据中位数和众数的概念，即可求解；（2）①根据方差的定义，即可求解；②根据题意可知，剩余两个山楂的重量应该尽可能大，且接近已有的三个山楂的重量，以保证方差最小，据此解答即可．（3）已知总重量和调查的平均数，用总数量除以调查的平均数先求出大概有多少个山楂，再用山楂数除以每串冰糖葫芦的山楂数即可求出能制作多少串冰糖葫芦．【解答】解：（1）根据甲的折线图可以看出，这组数据从小到大排列，中间第8个数为9.4，也就是说这组数据的中位数为9.4，所以m＝9.4；根据乙同学的山楂重量数据可以发现，重量为10克出现的次数最多，也就是说这组数据的众数为10，所以n＝10．故答案为：9.4，10．（2）①根据题意可知甲同学的5个冰糖葫芦重量分布于9.1﹣9.2之间，乙同学的5个冰糖葫芦重量分布于8.8﹣9.4，从中可以看出，甲同学的5个数据比乙同学的5个数据波动较小，所以，甲同学的5个冰糖葫芦重量的方差较小，故甲同学冰糖葫芦品相更好．②∵要求数据的差别较小，山楂重量尽可能大，∴可供选择的有9.3、9.6、9.9，当剩余两个为9.3、9.6，这组数据的平均数为9.48，方差为：[（9.3﹣9.48）2+（9.4﹣9.48）2+（9.5﹣9.48）2+（9.6﹣9.48）2+（9.6﹣9.48）2]×＝0.0136，当剩余两个为9.6、9.9，这组数据的平均数为9.6，方差为：[（9.4﹣9.6）2+（9.5﹣9.6）2+（9.6﹣9.6）2+（9.6﹣9.6）2+（9.9﹣9.6）2]×＝0.028，当剩余两个为9.3、9.9，这组数据平均数为9.54，方差为：[（9.3﹣9.54）2+（9.4﹣9.54）2+（9.5﹣9.54）2+（9.6﹣9.54）2+（9.9﹣9.54）2]×＝0.0424，据此，可发现当剩余两个为9.3、9.6，方差最小，山楂重量也尽可能大．故答案为：甲；9.3、9.6．（3）7.6千克＝7600克，7600÷9.5＝800（个），800÷5＝160（串），答：能制作160串冰糖葫芦．【点评】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．24．【分析】（1）连接AC、OC、BC，由切线的性质证明CE⊥OC，而AB为⊙O的直径，所以∠OCE＝∠ACB＝90°，可证明∠ACE＝∠B，由AF∥CE，得∠CAF＝∠ACE＝∠B，则＝，由垂径定理得＝，则＝，即可证明＝，所以AF＝CD；（2）由⊙O的半径为6，AH＝2OH，得OC＝OA＝2OH+OH＝6，求得OH＝2，因为＝＝cos∠COE，所以OE＝＝18，则AE＝12．【解答】（1）证明：连接AC、OC、BC，则OC＝OA，∵CE与⊙O相切于点C，∴CE⊥OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠OCE＝∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠OCA＝90°，∠B+∠OAC＝90°，∵∠OCA＝∠OAC，∴∠ACE＝∠B，∵AF∥CE，∴∠CAF＝∠ACE＝∠B，∴＝，∵CD⊥AB，∴＝，∴＝，∴＝+＝+＝，∴AF＝CD．（2）解：∵⊙O的半径为6，AH＝2OH，∴OC＝OA＝2OH+OH＝6，∴OH＝2，∵∠OHC＝∠OCE＝90°，∴＝＝cos∠COE，∴OE＝＝＝18，∴AE＝OE﹣OA＝18﹣6＝12，∴AE的长为12．【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、平行线的性质、垂径定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．25．【分析】（1）利用已知条件得到：当x＝0.5时，点P为AB的中点，当y1＝1时，此时点Q在点C处，由题意计算当x＝0.5时的y1即可；（2）补全表格中数据的对应点，并分别画出y1与y2关于x的函数图象即可；（3）①当△APQ是等腰三角形时，利用等边三角形的判定与性质解答即可求得a值，在x轴上描出横坐标为的点即可；②观察图象即可得出结论．【解答】（1）解：当x＝0.5时，点P为AB的中点，∵点O为边长为1的等边三角形ABC的外心，∵y1＝1，∴此时点Q在点C处，如图所示：∵△ABC为等边三角形，点P为AB的中点，点Q在点C处，∴∴y2＝S△APQ：S△ABC＝0.5，填报如下：x0.50.550.60.650.70.750.80.850.90.951 y110.84620.750.68420.63640.60.57140.54840.52940.51350.5 y20.50.46540.450.44470.44550.450.45710.46610.47650.48780.5（2）解：补全表格中数据的对应点，并分别画出y1与y2关于x的函数图象如图所示：（3）解：①连接AO并延长交BC于点D，连接OB，如图，∵△ABC为等边三角形，点O为△ABC外心，∴∠OBD＝∠BAD＝30°，AD⊥BC，，OA＝OB，∴，∴，∴．当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，∵∠PAQ＝60°，∴△PAQ为等边三角形，∴∠APQ＝60°，∴∠APQ＝∠ABC，∴PQ∥BC，∴∠AOP＝∠ADB＝90°．∴，∴．∴，∴b＝，在x轴上标出横坐标为a的点，如图所示：②根据函数图象可知，函数y2的最大值为0.5，此时x＝0.5或x＝1．故答案为：0.5或1．【点评】本题主要考查了还是的图象与性质，描点法画出函数的图象，等边三角形的性质，等边三角形的外心的性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，熟练掌握等边三角形的性质和函数图象的画法是解题的关键．26．【分析】（1）把A点的坐标代入解析式求得b＝2a，然后利用对称轴公式即可求得；（2）由题意可知点A（﹣2，y1）在对称轴的左侧，C（m，y3）在对称轴的右侧，点A（﹣2，y1）关于直线x＝t的对称点为（2t+2），B（2，y2）关于直线x＝t的对称点为（2t ﹣2），分两种情况讨论，得到关于t的不等式组，解不等式组从而求得t的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（﹣2，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上，∴3＝4a﹣2b+3，∴b＝2a，∴t＝﹣＝﹣1；（2）∵a＞0，∴抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）开口向上，当x＞t时，y随x的增大而增大，∵当t+1＜m＜t+2时，都有y1＞y3＞y2，∴点A（﹣2，y1）在对称轴的左侧，C（m，y3）在对称轴的右侧，∵点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上，∴点A（﹣2，y1）关于直线x＝t的对称点为（2t+2），B（2，y2）关于直线x＝t的对称点为（2t﹣2），当t≥2时，则，解得2≤t≤3；当t＜2时，则，解得1≤t＜2，故1≤t≤3．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．27．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明∠AEP＝∠APE＝67.5°，进而可以解决问题；（2）结合（1）即可补全图形，作CQ∥AP交BE于点Q，证明△BDF≌△CEQ（ASA），得BF＝CQ，再根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ABC＝∠ACB＝45°，∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∵AM⊥BC，∴∠MAC＝BAC＝45°，BM＝CM，∵AP＝AE，∴∠AEP＝∠APE＝（180°﹣∠MAC）＝（180°﹣45°）＝67.5°，∵DF⊥BE，∴∠ABE+∠BDF＝90°，∴∠BDF＝∠AEP＝67.5°；（2）如图，即为补全的图形，线段CF，MP，AB的数量关系为：CF＝2MP+AB，证明：如图2，作CQ∥AP交BE于点Q，∵CO∥AP，BM＝CM，∴＝＝，∴CQ＝2MP，∵AM⊥BC，∴∠AMC＝90°，∵CQ∥AP，∴∠BCQ＝∠AMC＝90°，∴∠QCE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCQ＝45°，∵∠DBF＝∠ABC＝45°，∴∠DBF＝∠QCE，∵DG⊥BE，∴∠DGB＝∠BAC＝90°，∵∠DBG＝∠ABE，∴∠D＝∠E，∵AD＝AE，AB＝AC，∴AD﹣AB＝AE﹣AC，∴BD＝CE，∴△BDF≌△CEQ（ASA），∴BF＝CQ，∵CF＝BF+BC，BC＝AB，∴CF＝CQ+√AB＝2MP+AB．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是得到△BDF≌△CEQ．28．【分析】（1）a＝0，则直线l为x轴，据此求出P1，P2的对称点P1′，P2′，然后可以求出P1P1′和P2P2′的长度，用勾股定理求出Q1，Q2，Q3，Q4到原点的距离，判断是否符合新定义即可；（2）因为直线y＝ax过圆心O，所以P′也在圆上，所以PP′不大于圆的直径，因为存在点S是点P关于直线l的“衍生点”，点T不是点P关于直线l的“衍生点”，所以线段AB上存在到O的距离不小于2的点，也存在不大于2的点，据此解答；（3）根据P所在位置分类讨论，得出PP′的取值范围，从而根据新定理求出MN的长度的最大值，从而得解．【解答】解：（1）当a＝0时，直线l为y＝0，即x轴，∵P1（，），P2（﹣，﹣），∴P1′（，﹣），P2′（﹣，），∴P1P1′＝，P2P2′＝，∵Q1（1，2），Q2（，），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣，﹣），∴OQ1＝，OQ2＝，OQ3＝，OQ4＝2，∴点P1关于直线l的“衍生点”是Q2，点P2关于直线l的“衍生点”是Q3；故答案为：Q2，Q3；（2）∵直线l：y＝ax过圆心O，∴P′也在⊙O上，∴PP′≤2，∵存在点S是点P关于直线l的“衍生点”，点T不是点P关于直线l的“衍生点”，∴线段AB上存在到O的距离不小于2的点，也存在不大于2的点，令x＝0，则y＝m，令y＝0，则x＝﹣m，∴A（﹣m，0），B（0，m），当OA＝OB＝2时，线段AB上所有点到O的距离都不大于2，此时，m＝±2，又∵y＝ax不能是y轴，∴（1，0）和（﹣1，0）不能同时是P和P′，∴m＝±2符合题意；当O到线段AB的距离是2时，∵OA＝OB，OA⊥OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴OA＝2，∴m＝±2，∴要满足线段AB上存在到O的距离不小于2的点，也存在不大于2的点，需要满足：﹣2≤m≤﹣2或2≤m≤2，∴﹣2≤m≤﹣2或2≤m≤2；（3）∵﹣1≤a≤1，∴在图中作直线y＝x和直线y＝﹣x，将⊙O分成四份，如图：①当P在或上时，当P，P′重合时，PP′＝0，当PP′为直径时，PP′＝2，∴0≤PP′≤2，∴D（s）＝2，②当P在或上时，当PP′为直径时，PP′＝2，当P在y轴上时，直线l为y＝x或y＝﹣x时，PP′取最小值，此时，PP′＝，∴≤PP′≤2，∴D（s）＝2﹣，综上所述，D（s）的最小值为2﹣．【点评】本题主要考查了圆的综合题，结合一次函数的图象、轴对称的性质、勾股定理等知识点，充分理解新定义，是本题解题的关键。

2024北京西城初三一模数 学考生须知：1.本试卷共7页，共两部分， 28道题．满分 100分．考试时间120分钟．2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上， 在试卷上作答无效．4.在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5.考试结束， 将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．第一部分 选择题一、选择题 (共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）A.圆锥B.三棱柱C.三棱锥D.四棱锥2.2024年5.5G 技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从5G 初期的1Gbps 提升到10Gbps ，给我们的智慧生活“提速”.其中10Gbps 表示每秒传输10000000000 位(bit )的数据. 将10000000000用科学记数法表示应为（ ） A.110.110⨯ B. 10110⨯ C. 11110⨯ D. 91010⨯3.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.4.直尺和三角板如图摆放，若155∠=︒，则2∠的大小为（ ）A.35︒B.55︒C.135︒D.145︒5.不透明袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到蓝球的概率为（ ） A.14B.13C.12D.236.已知21a −<<−， 则下列结论正确的是（）A. 12a a <<−<B.12a a <<−<C. 12a a<−<< D. 12a a −<<<7.若关于x 的一元二次方程 220kx x +−=有两个实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A. 18k ≤−B. 18k >−且0k ≠ C. 18k ≥−且0k ≠ D. 14k ≥−且0k ≠8.如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，BC a =，AC b =(其中a b <)．CD AB ⊥于点D ，点E 在边AB 上，.BE BC =设CD h =，AD m =，BD n =， 给出下面三个结论∶①()²²²n h m n +<+；②2222h m n >+；③AE 的长是关于 x 的方程 2220x ax b +−=的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A.①B.①③C.②③D.①②③第二部分 非选择题二、填空题 (共16分，每题2分)9.在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是______．10.分解因式：21236x y xy y −+=______． 11.方程43312x x =−−的解为 12.在平面直角坐标系xOy 中，若函数()0ky k x=≠的图象经过点()1,8−和()2,n ， 则n 的值为______． 13.如图， 在ABCD 中，点E 在边AD 上，BA ，CE 的延长线交于点F ．若1AF =，2AB =， 则AEED= ．14.如图， 在O 的内接四边形ABCD 中， 点A 是BD 的中点，连接AC ， 若130DAB ∠=︒，则ACB =∠_______︒．15.如图，两个边长相等的正六边形的公共边为BD ，点A ，B ，C 在同一直线上， 点1O ，2O 分别为两个正六边形的中心． 则2tan O AC ∠的值为______．16.将1，2，3，4，5，…，37这37个连续整数不重不漏地填入37个空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前36个数的和是第37个数的倍数．若第1个空格填入37，则第2个空格所填入的数为______，第37个空格所填入的数为______．17.计算：112sin605−⎛⎫−+︒− ⎪⎝⎭． 18.解不等式组:()21521.32x x x x ⎧+<+⎪⎨+−≥⎪⎩，19.已知 240x x −−=，求代数式2(2)(1)(3)x x x −+−+的值. 20.如图，点E 在ABCD 的对角线DB 的延长线上，AE AD =，AF BD ⊥于点F，EGBC ∥交AF的延长线于点G ，连接DG ．（1）求证: 四边形AEGD 是菱形；（2）若1tan 42AF BF AEF AB =∠==，，，求菱形AEGD 的面积． 21.某学校组织学生社团活动，打算恰好用1000元经费购买围棋和象棋，其中围棋每套40元，象棋每套30元．所购买围棋的套数能否是所购买象棋套数的2倍?若能，请求出所购买的围棋和象棋的套数，若不能，请说明理由．22.在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()()3,5,2,0A B −， 且与y 轴交于点 C ．（1）求该函数的解析式及点C 的坐标；（2）当2x <时， 对于x 的每一个值， 函数3y x n =−+的值大于函数()0y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．23.某学校组织学生采摘山楂制作冰糖葫芦(每串冰糖葫芦由5颗山楂制成)．同学们经过采摘、筛选、洗净等环节，共得到7.6kg 的山楂．甲、乙两位同学各随机分到了15颗山楂，他们测量了每颗山楂的重量(单位：g )，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a ． 甲同学的山楂重量的折线图：b ． 乙同学的山楂重量：8， 8.8， 8.9， 9.4， 9.4， 9.4， 9.6， 9.6， 9.6， 9.8， 10， 10， 10， 10， 10 c ． 甲、乙两位同学的山楂重量的平均数、中位数、众数：（1）写出表中m ， n 的值；（2）对于制作冰糖葫芦，如果一串冰糖葫芦中5颗山楂重量的方差越小，则认为这串山楂的品相越好．①甲、乙两位同学分别选择了以下5颗山楂制作冰糖葫芦．据此推断：品相更好的是 (填写“甲”或“乙”)；5颗山楂制作一串冰糖葫芦参加比赛，首先要求组成的冰糖葫芦品相尽可能好，其次要求冰糖葫芦的山楂重量尽可能大．他已经选定的三颗山楂的重量分别为9.4，9.5，9.6，则选出的另外两颗山楂的重量分别为 和 ；（3）估计这些山楂共能制作多少串冰糖葫芦． 24. 如图， AB 为O 的直径， 弦CD AB ⊥于点H ，O 的切线CE 与BA 的延长线交于点E ，AF CE ∥， AF 与O 的交点为F .（1）求证: AF CD =； （2）若O 的半径为6， 2AH OH =，求AE 的长．25. 如图，点O 为边长为1的等边三角形ABC 的外心． 线段PQ 经过点O ，交边AB 于点P ， 交边AC 于点Q ． 若 12:APQ ABC AP x AQ y S S y ===，，，下表给出了x ，1y ，2y 的一些数据 (近似值精确到0.0001)．（1）补全表格；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中描出了部分点()()12,,x y x y ，．请补全表格中数据的对应点，并分别画出1y 与2y 关于x 的函数图象； （3）结合函数图象，解决下列问题：①当APQ △是等腰三角形时，1y 关于x 的函数图象上的对应点记为(),a b ，请在x 轴上标出横坐标为a 的点；②当2y 取最大值时，x 的值为 ．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点 ()()()2,2,,A y B y C m y −₁，₂，₃在抛物线 ²3y ax bx =++ (0)a >上．设抛物线的对称轴为直线x =t ． （1）若 3y =₁，求t 的值；（2）若当 12t m t +<<+时，都有 y y y >>₁₃₂，求t 的取值范围．27. 在 ABC 中， 45ABC ACB ∠=∠=︒，AM BC ⊥于点M .D 是射线AB 上的动点 (不与点 A ， B 重合)， 点 E 在射线AC 上且满足 AE AD =，过点D 作直线BE 的垂线交直线BC 于点F ， 垂足为点 G ， 直线BE 交射线AM 于点P ．（1）如图1， 若点D 在线段AB 上， 当 AP AE =时，求 BDF ∠的大小；（2）如图2，若点D 在线段AB 的延长线上，依题意补全图形，用等式表示线段CF ，MP ，AB 的数量关系， 并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，已知O 的半径为1．对于O 上的点 P 和平面内的直线 :l y ax =给出如下定义：点P 关于直线l 的对称点记为P '，若射线OP 上的点Q 满足 OQ PP ='，则称点Q 为点P 关于直线l 的“衍生点”．（1）当0a =时，已知O 上两点 121,.2222P P ⎛⎫⎛⎫−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在点()112Q ，， 232Q ⎫⎪⎪⎝⎭， ()(341,1Q Q −−−，中，点1P 关于直线l 的“衍生点”是 ，点2P 关于直线l 的“衍生点”是 ； （2）P 为O 上任意一点， 直线y x m =+ ()0m ≠与x 轴， y 轴的交点分别为点 A ，B ． 若线段AB上存在点S ，T ，使得点S 是点P 关于直线l 的“衍生点”，点T 不是点P 关于直线l 的“衍生点”，直接写出m 的取值范围；（3）当11a −≤≤时，若过原点的直线s 上存在线段 MN ，对于线段 MN 上任意一点R ，都存在O 上的点P 和直线l ，使得点R 是点P 关于直线l 的“衍生点”． 将线段MN 长度的最大值记为()D s ，对于D s的最小值．所有的直线s，直接写出()参考答案第一部分 选择题一、选择题 (共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.【答案】C【分析】本题考查了几何体的侧面展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．根据侧面展开图为4个三角形，所以该几何体是三棱锥．【详解】解：∵侧面展开图为4个三角形， ∴该几何体是三棱锥， 故选C ． 2.【答案】B【分析】此题考查科学记数法的表示方法：10n a ⨯，110a ≤<，n 是整数，大于10的数的整数位数减去1即是n 的值，据此解答． 【详解】1010000000000110=⨯，故选：B ． 3.【答案】D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：A ．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； B ．是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意； C ．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项符合题意； D ．既是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项合题意． 故选：D ． 4.【答案】D【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．根据平行线的性质得到3435∠∠==︒，再由邻补角互补即可得出结果． 【详解】解：如图所示：1+3=90∠∠︒，∵155∠=︒， ∴335∠=︒，由题意得，直尺的两边平行， ∴3435∠∠==︒， ∴21804145=︒−=︒∠∠，故选D ． 5.【答案】A【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及两次都摸到蓝球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下：1种，∴两次都摸到蓝球的概率为14． 故选：A ．6.【答案】A【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 由21a −<<−，可得12a <−<，然后判断作答即可． 【详解】解：∵21a −<<−， ∴12a <−<， ∴12a a <<−<， 故选：A ． 7.【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得()2Δ1420k =−⨯−≥且0k ≠，求出k 的取值范围即可．【详解】解：∵一元二次方程220kx x +−=有两个实数根，∴()2Δ14200k k ⎧=−⨯−≥⎨≠⎩， ∴18k ≥−且0k ≠，故选C ． 8. 【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理，公式法解一元二次方程，关键在于找出各边的几何关系． 【详解】解：∵在Rt BDC 中，222BD CD BC +=，即222n h a +=， 在Rt ABC 中，222BC AC AB +=，即()222a b m n +=+， ∴()222222n h a a b m n +=<+=+ ，即()²²²n h m n +<+，故①正确．∵在Rt BDC 中，222n a h =−， 在Rt ADC 中，222m b h =−， ∴222222n m a b h +=+−，又∵在Rt ABC 中，()222a b m n +=+， ∴()22222n m m n h +=+−， 即2222222n m n m mn h +=++−， 即222mn h =， ∴()()()222222220m nhm n mn m n m n +−=+−=−>≠，∴2222m n h +>， 故②错误．∵DE BE BD BC BD a n =−=−=−， ∴()AE AD DE m a n m n a =−=−−=+−， ∵2220x ax b +−=的实数根为：()()22222a m n a x a m n −±+−±===−±+，∴AE 的长是关于 x 的方程 2220x ax b +−=的一个实数根， 故③正确． 综上①③正确， 故选：B ．第二部分 非选择题二、填空题 (共16分，每题2分)9. 【答案】3x ≥【分析】此题主要考查了分式有意义及二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．由分式有意义及二次根式有意义的条件，进而得出x 的取值范围．【详解】由二次根式的概念，可知30x −≥，解得3x ≥.故答案为：3x ≥10. 【答案】()26y x −【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，再运用完全平方公式进行分解即可．【详解】解：()()222123612366x y xy y y x x y x −+=−+=−． 故答案为：()26y x −．11. 【答案】=1x −【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解法是解决本题的关键．先去分母，转化为一元整式方程，再求解即可．【详解】解：()()42331x x −=−， 4893x x −=−，解得：=1x −，经检验：=1x −是原方程的根，所以，原方程的根为：=1x −，故答案为：=1x −．12. 【答案】4−【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据题意，()1,8−和点()2,n ，都满足解析式()0k y k x =≠，即可求解．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数()0k y k x =≠的图象经过点()1,8−和()2,n ， ∴182n −⨯=，解得：n =−4故答案为：4−．13. 【答案】12【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由FAE CDE ∽，推出AE AF DE CD=． 由平行四边形的性质得到AB CD ∥，2CD AB ==，推出FAE CDE ∽，得到AE AF DE CD=，而1AF =，于是得到12AE DE =． 【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴∥，2CD AB ==，FAE CDE ∴∽， ∴AE AF DE CD=， 1AF =， ∴12AE DE =． 故答案为：12．14. 【答案】25【分析】本题考查了圆的内接四边形性质，圆周角定理等知识，利用圆的内接四边形的性质求出BCD ∠的性质，然后利用圆周角定理求解即可．【详解】解：∵O 的内接四边形ABCD 中，130DAB ∠=︒，∴18500DA BCD B ∠︒∠==︒−，∵点A 是BD 的中点，∴AD AB =， ∴1252ACD ACB BCD ∠=∠=∠=︒， 故答案为：25．15. 【答案】5【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．连接2O C ，过2O 点作2O E BC ⊥，垂足为E ，根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可．【详解】解：如图，连接2O C ，过2O 点作2O E BC ⊥，垂足为E ，设正六边形的边长为a ，则112O A O B O C a ===，在2Rt O CE 中，22,3606230O C a CO E =∠=︒÷÷=︒，∴21122EC O C a BE ===，2222O E O C a ==，∴15222AE a a a =+=，∴22tan 5O E O AC AE ∠==．故答案为：5． 16. 【答案】 ①. 1 ②. 19【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握四则运算法则是解题关键．根据第1个数是第2个数的倍数可得第2个空格所填入的数；先得出这37个数的和也是第37个数的倍数，再求出这37个数的和，由此即可得．【详解】解：∵第1个空格填入37，第1个数是第2个数的倍数，∴第2个空格所填入的数为1，∵前36个数的和是第37个数的倍数，∴这37个数的和也是第37个数的倍数，又∵12337++++()()()137236182019=+++++++381819=⨯+703= 3719=⨯，∴第37个空格所填入的数为19，故答案为：1，19．17. 【答案】5−【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键，先计算绝对值，负整数指数幂，代入三角函数值，化简二次根式，再合并即可．【详解】解∶112sin605−⎛⎫−+︒ ⎪⎝⎭52=+− =5−．18. 【答案】3x <【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．分别求出两个不等式的解，再求公共解，即得答案．【详解】原不等式组为 ()215? 21 32x x x x ⎧+<+⎪⎨+−≥⎪⎩①②解不等式①， 得3x <，解不等式②， 得7x ≤，∴原不等式组的解集为3x <．19. 【答案】9【分析】本题考查了整式的化简求值，利用整体代入法解答是解题的关键．先化简原式，再将²40x x −−=变形为24x x −=，最后将24x x −=以整体的形式代入原式，即得答案．【详解】2(2)(1)(3)x x x −+−+22(44)(23)x x x x =−+++−2221x x =−+，²40x x −−=，24x x ∴−=，∴ 原式22()19x x =−+=．20. 【答案】（1）见详解 （2）32【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得出EF DF =，再证GEF △和ADF △全等，得出GF AF =，于是根据对角线相等的四边形是平行四边形推出四边形AEGD 是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出四边形AEGD 是菱形；（2）分别求出AF 、EF 的长，即可得出对角线AG 、ED 的长，根据菱形的面积公式计算即可．【小问1详解】证明：AE AD =，AF BD ⊥，EF DF ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥，EG BC ∥，AD EG ∴∥，GEF ADF ∴∠=∠，在GEF △和ADF △中，GEF ADF EF DFEFG DFA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (ASA)GEF ADF ∴△≌△，∴=GF AF ，EF DF =，∴四边形AEGD 是平行四边形，AE AD =，∴四边形AEGD 是菱形；【小问2详解】解：AF BD ⊥，AF BF =，AFB ∴是等腰直角三角形，4AB =，∴由勾股定理得，4AF BF === 1tan 2AEF ∠=， ∴12AF EF =，即12EF =，EF ∴=四边形AEGD 是菱形，2AG AF ∴==2ED EF ==∴菱形AEGD 的面积322=． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，锐角三角函数，菱形的面积等，熟练掌握这些知识点是解题的关键．21. 【答案】购买围棋的套数不能是所购买象棋套数的2倍，理由见解析【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．设购买x 套围棋，y 套象棋，假设所购买围棋的套数能是所购买象棋套数的2倍，依题意得，403010002x y x y +=⎧⎨=⎩，计算求解，然后判断作答即可． 【详解】解：设购买x 套围棋，y 套象棋，假设所购买围棋的套数能是所购买象棋套数的2倍，依题意得，403010002x y x y +=⎧⎨=⎩， 解得，10011y =， ∵y 不为正整数，∴不合题意．答：所购买围棋的套数不能是所购买象棋套数的2倍．22. 【答案】（1）函数的解析式为2y x =+，点C 的坐标为()0,2（2）10n ≥【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当0x =时，求出2y =即可求解．（2）根据题意结合解出不等式32x n x −+>+结合2x <，即可求解．【小问1详解】解：将()()3,5,2,0A B −，代入函数解析式得，3520k b k b +=⎧⎨−+=⎩，解得12k b =⎧⎨=⎩， ∴函数的解析式为：2y x =+，当0x =时，2y =，∴点C 的坐标为()0,2．【小问2详解】解：由题意得，32x n x −+>+， 即24n x −<， 又2x <， ∴224n −≥， 解得：10n ≥，∴n 的取值范围为10n ≥．23.【答案】（1）9.4，10（2）①甲，②9.3，9.6（3）160串【分析】（1）根据中位数和众数的概念，即可求解；（2）①根据方差的定义，即可求解；②根据题意可知，剩余两个山楂的重量应该尽可能大，且接近已有的三个山楂的重量，以保证方差最小，据此解答即可．（3）已知总重量和调查的平均数，用总数量除以调查的平均数先求出大概有多少个山楂，再用山楂数除以每串冰糖葫芦的山楂数即可求出能制作多少串冰糖葫芦．【小问1详解】解：根据甲的折线图可以看出，这组数据从小到大排列，中间第8个数为9.4，也就是说这组数据的中位数为9.4，所以9.4m =；根据乙同学的山楂重量数据可以发现，重量为10克出现的次数最多，也就是说这组数据的众数为10，所以10n =．【小问2详解】解：①根据题意可知甲同学的5个冰糖葫芦重量分布于9.19.2−之间，乙同学的5个冰糖葫芦重量分布于8.89.4−，从中可以看出，甲同学的5个数据比乙同学的5个数据波动较小，所以，甲同学的5个冰糖葫芦重量的方差较小，故甲同学冰糖葫芦品相更好． ②要求数据的差别较小，山楂重量尽可能大，∴可供选择的有9.3、9.6、9.9，当剩余两个为9.3、9.6，这组数据的平均数为9.48， 方差为：222221[(9.39.48)(9.49.48)(9.59.48)(9.69.48)(9.69.48)]0.01365−+−+−+−+−⨯=， 当剩余两个为9.6、9.9，这组数据的平均数为9.6， 方差为：222221[(9.49.6)(9.59.6)(9.69.6)(9.69.6)(9.99.6)]0.0285−+−+−+−+−⨯=， 当剩余两个为9.3、9.9，这组数据平均数为9.54， 方差为：222221[(9.39.54)(9.49.54)(9.59.54)(9.69.54)(9.99.54)]0.04245−+−+−+−+−⨯=， 据此，可发现当剩余两个为9.3、9.6，方差最小，山楂重量也尽可能大．【小问3详解】解：7.6千克7600=克，76009.5800÷=（个)，8005160÷=（串)，答：能制作160串冰糖葫芦．【点睛】本题考查了折线统计图，平均数，众数，中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．24. 【答案】（1）见解析 （2）12【分析】本题考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握切线的性质是解题的关键． （1） 连接OC ，OC 与AF 交于点G ，根据切线的性质得到90OCE ∠=︒，根据垂径定理得到 2AF AG =，然后证明OAG OCH ≌即可得到结论；（2）在Rt OCH 和Rt OCE 运用解直角三角形得到OE 长，然后利用AE OE OA =−解题即可．【小问1详解】证明: 如图， 连接OC ，OC 与AF 交于点 G .∵ CE 与O 相切， 切点为C ，∴CE OC ⊥.∴90OCE ∠=︒ .∵ AF CE ∥，∴ 90OGA OCE ∠∠==︒ .∴ OC AF ⊥于点 G .∴ 2AF AG =.∵CD AB ⊥ 于点 H ，∴90OHC ∠=︒， 2CD CH =.∴OGA OHC ∠∠=.又∵ AOG COH ∠∠=，OA OC =，∴ OAG OCH ≌.∴AG CH =.∴A F CD =；【小问2详解】解: ∵ O 的半径为6， 2AH OH =，∴2OH =， 4AH =.在Rt OCH 中， 190cos .3OH OHC COH OC ∠=︒∠==， 在Rt OCE 中， 190cos 63OCE COE OC ∠=︒∠==，，， 18cos OC OE COE∴==∠， ∴18612AE OE OA =−=−=.25. 【答案】（1）见解析 （2）见解析（3）①见解析；②0.5或1【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出此时点Q 在点C 处，从而得出12APQ ABC S S =△△，即可得出答案；（2）根据解析（1）得出的数据，先描点，再连线即可；（3）①连接AO 并延长交BC 于点D ，连接OB ，根据等边三角形的性质求出23OA AD ==，当APQ △是等腰三角形时，AP AQ =，根据60PAQ ∠=︒，证明PAQ △为等边三角形，解直角三角形求出23a =，23b =，在函数图象上描出该点即可； ②根据函数图象，得出2y 取最大值时x 的值即可．【小问1详解】解：当0.5x =时，点P 为AB 的中点，∵点O 为边长为1的等边三角形ABC 的外心，∴此时点Q 在点C 处，如图所示：∵ABC 为等边三角形，点P 为AB 的中点，点Q 在点C 处， ∴12APQ ABC S S =△△， ∴20.5APQ ABC Sy S ==； 填报如下：解：如图所示：【小问3详解】解：①连接AO 并延长交BC 于点D ，连接OB ，如图所示：∵ABC 为等边三角形，点O 为ABC 外心，∴30OBD BAD ∠=∠=︒，AD BC ⊥，1122BD BC ==，OA OB =， ∴12OD OB =，AD ===∴233OA AD ==， 当APQ △是等腰三角形时，AP AQ =，∵60PAQ ∠=︒，∴PAQ △为等边三角形，∴60APQ ∠=︒，∴APQ ABC ∠=∠，∴PQ BC ∥，∴90AOP ADB ∠=∠=︒，∴2cos303AO AP ===︒， ∴23AQ AP ==， ∴23a =，23b =， ∴此时在1y 关于x 的函数图象上标出点22,33⎛⎫⎪⎝⎭，如图所示：②根据函数图象可知，函数2y 的最大值为0.5，此时0.5x =或1x =．26. 【答案】（1）1−（2）13t ≤≤【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）把A 点的坐标代入解析式求得2b a =，然后利用对称轴公式即可求得；（2）由题意可知点1(2,)A y −在对称轴的左侧，3(,)C m y 在对称轴的右侧，点1(2,)A y −关于直线x t =的对称点为(22)t +，2(2,)B y 关于直线x t =的对称点为(22)t −，分两种情况讨论，得到关于t 的不等式组，解不等式组从而求得t 的取值范围．【小问1详解】解： 点(2,3)A −在抛物线23(0)y ax bx a =++>上，3423a b ∴=−+，2b a ∴=，12b t a∴=−=−； 【小问2详解】解：0a >，∴抛物线23(0)y ax bx a =++>开口向上，当x t >时，y 随x 的增大而增大，当12t m t +<<+时，都有132y y y >>，∴点1(2,)A y −在对称轴的左侧，3(,)C m y 在对称轴的右侧，点1(2,)A y −，2(2,)B y ，3(,)C m y 在抛物线23(0)y ax bx a =++>上，∴点1(2,)A y −关于直线x t =的对称点为(22)t +，2(2,)B y 关于直线x t =的对称点为(22)t −，当2t ≥时，则222221t t t t +>+⎧⎨−≤+⎩，解得03t <≤， 23t ∴≤≤；当2t <时，则22212t t t +>+⎧⎨+≤⎩，解得12t ≤<， 综上所述，t 的取值范围为13t ≤≤．27.【答案】（1）67.5︒（2）2CF MP =+，证明见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质求得345∠=︒，再根据等腰三角形性质与三我内角和定理求得267.5∠=︒，然后由余角性质得出2BDF ∠=∠，即可求解．（2）作CQ AP ∥交BE 于点 Q ，利用相似三角形的性质求得2CQ MP =，证明BDF CEQ ≌，得到BF CQ =，由勾股定理得2BCAB ，即可由CF BF BC CQ =+=+，得出结论．【小问1详解】解∶如图4．∵在ABC 中，45ABC ACB ∠=∠=︒，∴AB AC =，90BAC ∠=︒，1290∠+∠=︒．∵AM BC ⊥于点 M ，3452BAC BM CM ∠∴∠==︒=，．∵AP AE =， 180318045267.522︒−∠︒−︒∴∠===︒．∵DF BE ⊥于点 G ，∴190BDF ∠+∠=︒，∴267.5BDF ∠=∠=︒．【小问2详解】解：补全图形，如图5．2CF MP =．证明∶ 如图4， 作CQ AP ∥交BE 于点 Q ．∵CQ AP ∥，∴BMP BCQ ∽ ∴MP BM CQ BC=， ∵BM =CM ， AM ⊥BC ， 1902MP BM BCQ AMC CQ BC ∴==∠=∠=︒， 2518045CQ MP ACB BCQ ∴=∠=︒−∠−∠=︒，．445ABC ∠=∠=︒， ∴45∠=∠，DBG ABE DG BE ∠=∠⊥，于点 G ， 90BAC ∠=︒，∴D E ∠=∠AD AE AB AC ==，，AD AB AE AC ∴−=−， 即BD CE =．∴BDF CEQ ≌BF CQ =∶．．CF BF BC BC =+=，，2CF CQ MP ∴=+=．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，角平分线有关的角的计算，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 28. 【答案】（1）23Q Q ，（2）2m ≤≤2m −≤≤−（3）2【分析】（1）先得出直线l 为0y =，根据轴对称得出121,.2222P P ''⎛⎫⎛⎫−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而可得11PP '=22P P '=，勾股定理求得点1234,,,Q Q Q Q 与原点的距离，进而根据新定义即可求解； （2）依题意，02PP '≤≤当线段AB 上存在一个点到原点的距离为2时，则符合题意，进而分0,0m m ><画出图形，即可求解；（3）根据题意，画出图形，就点P 的位置，分类讨论，根据新定义即可求解．【小问1详解】解：∵当0a =时，直线l 为0y =，即x 轴，∵121,.2222P P ⎛⎫⎛⎫−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴121,,.2222P P ''⎛⎫⎛⎫−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴11PP '=22P P '=，∵()112Q ，， 232Q ⎫⎪⎪⎝⎭，()(341,1Q Q −−−，∴1OQ ==2OQ ==3OQ ==，42OQ ==， ∴点1P 关于直线l 的“衍生点”是2Q ，点2P 关于直线l 的“衍生点”是3Q ，故答案为：23Q Q ，．【小问2详解】解：依题意，02PP '≤≤，由（2）可得当点S 是点P 关于直线l 的“衍生点”则2OS ≤，∵P 为O 上任意一点， 直线y x m =+ ()0m ≠与x 轴， y 轴的交点分别为点 A ，B ．∴OA OB m ==，∴当线段AB 上存在一个点到原点的距离为2时，当0m >时，如图所示，当2OS =时，即S 与B 点重合时，存在点S 是点P 关于直线l 的“衍生点”，则2m =则AB （除端点外）上所有的点到O 的距离都2<，∵对称轴为直线y ax =，不能为y 轴，则()0,2和()2,0−不是点P 关于直线l 的“衍生点”，则2m =符合题意，∵线段AB 上存在点S ，T ，使得点S 是点P 关于直线l 的“衍生点”，点T 不是点P 关于直线l 的“衍生点”，∴m 2≥，当OS y x m '⊥=+，此时OS '最短，则当2OS '=时，m =1个点到O 的距离为2，其他的点都不是点P 关于直线l 的“衍生点”，∴2m ≤≤根据对称性，当0m <时，可得2m −≤≤−；综上所述，2m ≤≤2m −≤≤−【小问3详解】∵11a −≤≤时∴随着a 的变化，点P 关于直线l 的对称点P '始终在圆上，如图所示，依题意，直线l 是经过圆心，且经过AB 的直线，s 经过圆心，①当点P 在AB （包括边界）上时，当,P P '重合时，当PP '为直径时，则2OQ PP '==，根据新定义可得02PP '≤≤，∴()2D s =，②当P 点在AD 的内部的圆弧上时（不包括边界），当PP '为直径时，则2OQ PP '==，则对于线段 MN 上任意一点R ，都存在O 上的点P 和直线l ，使得点R 是点P 关于直线l 的“衍生点”．当P 在y 轴上时，两条边界线的正中间，则PP '，2PP OQ '≤=≤即()2D s =综上所述，()2D s =．【点睛】本题考查了一次函数，圆的定义，轴对称的性质，勾股定理求线段长，理解新定义，熟练掌握几何变换是解题的关键．。