2015西城一模数学试卷及答案

合用优选文件资料分享2015 年西城区初三数学一模试卷( 含答案 )北京市西城区 2015 年初三一模试卷数学2015. 4考生须知 1 ．本试卷共 6 页，共五道大题， 29 道小题，满分 120 分。

考试时间 120 分钟。

2 ．在试卷和答题卡上正确填写学校名称、姓名和准考据号。

3 ．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4 ．在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5 ．考试结束，将本试卷、答题卡和底稿纸一并交回。

一、选择题 ( 此题共 30 分，每题 3 分) 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1 ．的相反数是 A. B. C. D. 2 ．据市烟花办有关负责人介绍， 2015 年大年夜零时至正月十五 24 时，全市共销售烟花鞭炮约 196 000 箱，同比下降了 32%．将 196 000 用科学记数法表示应为 A. B. C. D. 3．以下运算正确的选项是 A. B. C.D. 4 ．如图是一个几何体的直观图，则其主视图是 5 ．甲、乙、丙、丁四名选手参加 100 米决赛，赛场共设 1，2，3，4 四条跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道．若甲第一抽签，则甲抽到 1 号跑道的概率是 A. 1 B. C. D. 6 ．以下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 7 ．如图，线段 AB是⊙O的直径，弦 CD? AAB，如果∠ BOC=70°，那么∠ BAD等于 A. 20 ° B. 30 ° C. 35 ° D.70 °8．在平面直角坐标系 xOy 中，第一象限内的点 P 在反比率函数的图象上，若是点 P的纵坐标是 3，OP=5，那么该函数的表达式为 A. B. C. D. 9 ．为认识某小区“全民健身”活动的睁开情况，某志愿者对居住在该小区的 50 名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成以以下列图的条形统计图．这组数据的众数和中位数分别是 A. 6，4 B. 6 ，6 C. 4 ，4 D. 4 ，6 10 ．如图，过半径为 6 的⊙O上一点 A 作⊙O的切线，P 为⊙O上的一个动点，作 PH⊥于点 H，连结 PA．如果 PA= ，AH= ，那么以下列图象中，能大概表示与的函数关系的是二、填空题 ( 此题共 18 分，每题 3 分) 11 ．若是分式存心义，那么的取值范围是． 12 ．半径为 4cm，圆心角为 60°的扇形的面积为cm2． 13 ．分解因式： = ． 14 ．如图，△ABC中，AB=AC，点 D，E 在 BC边上，当时，△ABD≌△ ACE．（增加一个适合的条件即可）15．如是板的表示，立柱 OC与地面垂直，以 O 横板 AB 的中点，AB点 O上下，横板 AB 的 B 端最大高度 h 可否会随横板度的化而化呢？一位同学做了以下研究：他先 AB=2 m， OC=0.5 m，通算获取此的 h1，再将横板 AB 成横板 A′B′，O横板 A′B′的中点，且 A′B′=3m，此 B′点的最大高度 h2，由此得到 h1 与 h2 的大小关系是： h1 h2 （填“＞”、“＝”或“＜”）．可一步得出， h 随横板的度的化而（填“不”或“改”）．16．如，数上，点 A 的初始地址表示的数 1，点 A 做以下移：第 1 次点A 向左移 3 个位度至点，第 2 次从点向右移6 个位度至点，第 3 次从点向左移 9 个位度至点，⋯，依照种移方式行下去，点表示的数是，若是点与原点的距离不小于 20，那么的最小是．三、解答(本共30分，每小 5 分) 17 ．算：．18．如，∠ C=∠E，∠ EAC=∠DAB， AB=AD．求： BC=DE．19．解不等式20．先化，再求：，其中．21．从北京到某市可乘坐一般列或高．已知高的行行程是400 千米，一般列的行行程是520千米．若是高的平均速度是一般列平均速度的 2.5 倍，且乘坐高比乘坐一般列少用3小．求高的平均速度是多少千米/ ．22．已知对于 x 的一元二次方程.（1）求：此方程有两个不相等的数根；（2）若是此方程的一个根，求数m的．四、解答 ( 本共 20 分，每小 5 分) 23．如，四形 ABCD中，BD垂直均分AC，垂足点 F，E四形 ABCD外一点，且∠ ADE=∠BAD，AE⊥AC．（1）求：四形 ABDE是平行四形；（2）若是 DA均分∠ BDE，AB=5，AD=6，求AC的．24．在北京，乘坐地是市民出行常采用的一种交通方式．据，新票价改革政策的施北京市道交通客流来很大化．根据 2015 年 1 月宣布的调价后市民当时乘坐地铁的有关检查数据，制作了以下统计表以及统计图．依照以上信息解答以下问题：（1）补全扇形图；（2）题目所给出的线路中，调价后客流量下降百分比最高的线路是，调价后里程 x（千米）在范围内的客流量下降最明显．对于表中客流量不降反增而且增加率最高的线路，若是连续按此变化率增加，预计 2016 年 1月这条线路的日均客流量将达到万人次；（精准到 0.1 ）（3）小王同学上学时，需要乘坐地铁 15.9 公里抵达学校，每天上下学共乘坐两次．问调价后小王每周（按 5 天计算）乘坐地铁的花销比调价前多支出元．（不考虑使用市政一卡通刷卡优惠，调价前每次乘坐地铁票价为 2 元）25．如图，AB为⊙O的直径， M为⊙O外一点，连结 MA与⊙ O 交于点C，连结 MB并延伸交⊙O 于点 D，经过点 M的直线 l 与 MA所在直线对于直线 MD对称．作 BE⊥l于点 E，连结 AD，DE．（1）依题意补全图形；（2）在不增加新的线段的条件下，写出图中与∠ BED相等的角，并加以证明．26．阅读下面的资料：小敏在数学课外小组活动中碰到这样一个问题：若是α，β都为锐角，且，，求的度数．小敏是这样解决问题的：如图 1，把，放在正方形网格中，使得，，且 BA，BC在直线 BD的两侧，连结 AC，可证得△ ABC是等腰直角三角形，因此可求得=∠ABC= °. 请参照小敏思虑问题的方法解决问题：若是，都为锐角，当，时，在图 2 的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠ MON=，由此可得 =______°.五、解答题 ( 此题共 22 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8分) 27．已知二次函数的图象经过，两点．（1）求对应的函数表达式；（2）将先向左平移1 个单位，再向上平移4 个单位，获取抛物线，将对应的函数表达式记为，求对应的函数表达式；（3）设，在（2）的条件下，若是在≤x≤a内存在某一个 x 的值，使得≤建立，利用函数图象直接写出 a 的取值范围．28．△ABC中，AB=AC．取BC边的中点D，作DE⊥AC于点E，取DE 的中点F，连结BE，AF交于点H．（1）如图1，若是，那么，；（2）如 2，若是，猜想的度数和的，并明你的；（3）若是，那么．（用含的表达式表示）29．出以下定：两个形G1和 G2，点 P G1上任一点，点 QG2上任一点，若是段 PQ的度存在最小，就称最小两个形 G1和G2之的距离．在平面直角坐系 xOy中， O坐原点．（1）点 A的坐，点和射 OA之的距离 ________，点和射 OA之的距离 ________；（2）若是直 y=x 和双曲之的距离，那么 k= ；（可在 1 中行研究）（3）点 E 的坐 (1, )，将射OE原点O逆旋，获取射OF，在坐平面内所有和射 OE，OF之的距离相等的点所成的形形 M．①在 2 中画出形 M，并描绘形 M的成部分；（若波及平面中某个地区能够用阴影表示）②将射 OE，OF成的形形 W，抛物与形 M的公共部分形 N，直接写出形 W和形 N之的距离．北京市西城区 2015 年初三一模卷数学卷参照答案及分准 2015. 4 一、（本共30分，每小 3分）号答案 BACCD A C A B C 二、填空（本共 18 分，每小 3 分） 11 12 13 14 1516BD=CE，∠ BAD=∠CAE，∠ ADB=∠AEC， BE=CD，∠ BAE=∠CAD，∠ADE=∠AED，AE=AD（只填一个即可） = ，不 7 ，13 三、解答（本共30 分，每小 5 分） 17 ．解：= ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分 ==3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分 18 ．明：如 1．∵ ∠EAC=∠DAB，∴ ．即∠BAC=∠DAE．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分在△ ABC和△ ADE中，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分∴△ABC≌△ ADE．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分∴BC=DE．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分 19 ．解：由①，得．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分由②，得．移，归并，得．系数化 1，得．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分因此原不等式的解集．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分 20 ．解： = ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分当，原式=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分 21 ．解：一般列的平均速度 x 千米 /．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分高的平均速度是 2.5x 千米 / ．依意，得．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分解得．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分，是原方程的解，且符合意．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分因此．答：高的平均速度是 300 千米 /. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分 22．（1）明：．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵≥0，∴＞0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分∴方程有两个不相等的数根．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（2）解：∵ 是此方程的一个根，∴ ．整理得．解得，．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分四、解答（本共20 分，每小 5 分） 23 ．（1）明：∵，∴∥ ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∵ BD 垂直均分 AC，垂足 F，∴，AF=FC．又∵ ，∴ ．∴ AE∥BD．∴四形 ABDE是平行四形．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分（2）解：如 2，接 BE交 AD于点 O．∵ DA 均分∠ BDE，∴∠ADE=∠1．又∵ ，∴ ∠1=∠BAD．∴ AB=BD．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分∴ ABDE是菱形．∵ AB=5，AD=6，∴ BD=AB=5，，．在 Rt△中，．∵，∴ ．解得．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分∵ BD 垂直均分 AC，∴ ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分注：其他解法相分．24 ．解：（1）全扇形如 3 所示．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分（2）2 号，52＜x≤72 ， 22.2 ．（各 1 分）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分（3）30．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分 25 ．解：（1）依意，全形如 4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分（2）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分明：如 5，接BC，CD．∵直 l 与直 MA对于直 MD称，∴ ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分∵ AB⊙O的直径，∴，即．又∵，∵，，∴MC=ME．又∵ C， E 两点分在直 MA与直 l 上，可得 C，E 两点对于直MD称．∴ ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分又∵ ，∴ ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分 26．解：45．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分画6．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分45．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分五、解答（本共 22 分，第 23 7 分，第 24 7 分，第 25 8 分） 27 ．解：（1）∵ 二次函数的象，两点，∴⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分解得⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∴抛物的函数表达式．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（2）∵ ，∴抛物的点．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分∴平移后抛物的点，它的函数表达式．⋯ 5 分（3）a≥（7）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分28．解：（1）90，．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分（2）：，．明：如 8，接 AD．∵ AB=AC，∠BAC=60°，∴ △ABC是等三角形．∵ D BC的中点，∴ AD⊥BC．∴∠1+∠2=90°．又∵ DE⊥AC，∴ ∠DEC=90°．∴∠2+∠C=90°．∴ ∠1=∠C=60°．AB=BC=k（），，．∵F DE的中点，∴ ，．∴ ，．∴ ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分又∵∠1=∠C，∴△ADF∽△ BCE ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分∴，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分∠3=∠4．又∵ ∠4+∠5=90°，∠ 5=∠6，∴∠3+∠6=90°．∴ ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（3）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分注：写或其他答案相分． 29 ．解：（1）3，．（每空各 1分）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分（2）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（3）①如 9，点 O分作射 OE、OF的垂 OG、OH，形 M：y 正半，∠ GOH的及其内部的所有点（中的阴影部分）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分明：（画 2 分，描绘 1 分）（形 M也可描绘：y 正半，直下方与直下方重叠的部分（含界））③ ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分。

北京市西城区2015 年高三一模试卷数学（理科）2015.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1 至2 页，第Ⅱ卷3 至6 页，共150 分。

考试时长120 分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共40 分）一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

＝，则实数a的取值范围是（）1．设集合A ={0，1}，集合B ={x | x > a}，若A BA．a≤1 B．a≥1 C．a≥0 D．a≤02．复数z 满足z ⋅i = 3 − i，则在复平面内，复数z 对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在极坐标系中，曲线ρ = 2cosθ 是（）A．过极点的直线B．半径为2 的圆C．半于极点对称的图形D．关于极轴对称的图形4．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的n 的值为（）A．4 B．5 C．6 D．75．设函数f (x)的定义域为R，则“∀x∈R，f (x +1) > f (x) ”是“函数f (x)为增函数”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是( )7． 已知6 枝玫瑰与3 枝康乃馨的价格之和大于24 元，而4 枝玫瑰与4 枝康乃馨的价格之和小于20 元，那么2 枝玫瑰和3 枝康乃馨的价格的比较结果是 ( )A ．2 枝玫瑰的价格高B ．3 枝康乃馨的价格高C ．价格相同D ．不确定8． 已知抛物线所围成的封闭曲线如图所示，给定点 A (0，a )，若 在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(1，3)B ．(2，4)C ．（32，3）D ．（52，3） 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.9． 已知平面向量a , b 满足a = (1, −1), (a + b ) ⊥ (a − b ),那么｜b ｜＝ .10．已知双曲线()222210x y a b a b=>>0－，的一个焦点是抛物线 y 2 = 8x 的焦点，且双曲线C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为 .11．在△ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c ,若则a = .12．若数列{a n }满足a 1 = 2，且对于任意的m , n ∈N ＊，都有m n m n a a a +=+ , 则3a = ； 数列{ a n } 前10 项的和S 10 = .13．某种产品的加工需要 A , B , C , D , E 五道工艺，其中 A 必须在D 的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间， B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 种. （用数字作答）14．如图，四面体 ABCD 的一条棱长为 x ，其余棱长均为 1，记四面体 ABCD 的体积为F (x )，则函数F(x)的单调增区间是；最大值为.三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13 分）设函数（Ⅰ）当，时，求函数 f (x)的值域；（Ⅱ）已知函数y = f (x)的图象与直线y =1有交点，求相邻两个交点间的最短距离．16．（本小题满分13 分）2014 年12 月28 日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价．具体如下表．（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5 元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1 人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5 元的概率；（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人，记X 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5 元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．（只需写出结论）17．（本小题满分14 分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD是边长为4 的正方形，EF∥AD ，平面ADEF ⊥平面ABCD，且BC = 2EF ，AE = AF ，点G 是EF 的中点。

北京市西城区2015年初三一模试卷数 学 2015. 4一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．13的相反数是A.13 B.13- C.3 D.3-2．据市烟花办相关负责人介绍，2015年除夕零时至正月十五24时，全市共销售烟花爆竹 约196 000箱，同比下降了32%．将196 000用科学记数法表示应为A.51.9610⨯B.41.9610⨯C.419.610⨯D. 60.19610⨯ 3．下列运算正确的是A. 336a b ab+=B.32a a a -=C.()326a a = D.632a a a ÷=4．如图是一个几何体的直观图，则其主视图是5．甲、乙、丙、丁四名选手参加100米决赛，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机 抽签的方式决定各自的跑道．若甲首先抽签，则甲抽到1号跑道的概率是A. 1B.12C. 13D.146．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是7．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB ，如果∠BOC =70°， 那么∠BAD 等于A. 20°B. 30°C. 35°D.70°8．在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点P 在反比例函数的图象上，如果点P 的纵坐 标是3，OP=5，那么该函数的表达式为A. 12y x=B. 12y x =-C. 15y x= D. 15y x =-9．为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住在该小区的50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图．这组数据的众数和中位数分别是 A. 6，4 B. 6，6 C. 4，4D. 4，610．如图，过半径为6的⊙O 上一点A 作⊙O 的切线l ，P 为⊙O 上的一个动点，作PH ⊥l 于点H ，连接P A ．如果P A =x ，AH=y ， 那么下列图象中，能大致表示y 与x 的函数关系的是二、填空题(本题共18分，每小题3分) 11．如果分式15x -有意义，那么x的取值范围是 ．12．半径为4cm ，圆心角为60°的扇形的面积为 cm 2．13．分解因式：2123m -= ．14．如图，△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 在BC 边上，当 时， △ABD ≌△ACE ．（添加一个适当的条件即可）15．如图是跷跷板的示意图，立柱OC 与地面垂直，以O为横板AB 的中点．．，AB 绕点O 上下转动，横板AB 的B 端最大高度h 是否会随横板长度的变化而变化 呢？一位同学做了如下研究：他先设AB=2 m ，OC=0.5 m ，通过计算得到此时的h 1，再将横板AB换成横板A ′B ′，O 为横板A ′B ′的中点，且A ′B ′=3m ，此时B ′点的最大高度为h 2，由此得 到h 1与h 2的大小关系是：h 1 h 2（填“＞”、“＝”或“＜”）．可进一步得出，h 随横板的长度的变化而 （填“不变”或“改变”）．16．如图，数轴上，点A 的初始位置表示的数为1，现点A 做如下移动：第1次点A 向左移动3个单位长度至点1A ，第2次从点1A 向右移动6个单位长度至点2A ，第3次从点2A 向左移动9个单位长度至点3A ，…，按照这种移动方式进行下去，点4A 表示的数是 ，如果点n A 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是 ．三、解答题(本题共30分，每小题5分)17()011π2008()6tan302--+-︒． 18．如图，∠C =∠E ，∠EAC =∠DAB ，AB=AD ．求证：BC=DE ．19．解不等式组 ()2035148.x x x -≤⎧⎪⎨+>-⎪⎩，20．先化简，再求值：223312111a a a a a a a ++÷-++++，其中2a =．21．从北京到某市可乘坐普通列车或高铁．已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是520千米．如果高铁的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且乘坐高铁比 乘坐普通列车少用3小时．求高铁的平均速度是多少千米/时． 22．已知关于x 的一元二次方程0)2()1(22=+---m m x m x . （1）求证：此方程总有两个不相等的实数根； （2）若2x =-是此方程的一个根，求实数m 的值．四、解答题(本题共20分，每小题5分)23．如图，四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为点F ， E 为四边形ABCD 外一点，且∠ADE =∠BAD ，AE ⊥AC ． （1）求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）如果DA 平分∠BDE ，AB=5，AD=6，求AC 的长．24．在北京，乘坐地铁是市民出行时经常采用的一种交通方式．据调查，新票价改革政策的实施给北京市轨道交通客流带来很大变化．根据2015年1月公布的调价后市民当时乘坐地铁的相关调查数据，制作了以下统计表以及统计图．根据以上信息解答下列问题：（1）补全扇形图；（2）题目所给出的线路中，调价后客流量下降百分比最高的线路是，调价后里程x（千米）在范围内的客流量下降最明显．对于表中客流量不降反增而且增长率最高的线路，如果继续按此变化率增长，预计2016年1月这条线路的日均客流量将达到万人次；（精确到0.1）（3）小王同学上学时，需要乘坐地铁15.9公里到达学校，每天上下学共乘坐两次．问调价后小王每周（按5天计算）乘坐地铁的费用比调价前多支出元．（不考虑使用市政一卡通刷卡优惠，调价前每次乘坐地铁票价为2元）25．如图，AB为⊙O的直径，M为⊙O外一点，连接MA与⊙O交于点C，连接MB并延长交⊙O于点D，经过点M的直线l与MA所在直线关于直线MD对称．作BE⊥l于点E，连接AD，DE．（1）依题意补全图形；（2）在不添加新的线段的条件下，写出图中与∠BED相等的角，并加以证明．26．阅读下面的材料：小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：如果α，β都为锐角，且1tan 2α=，1tan 3β=，求αβ+的度数． 小敏是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得ABD α∠=，CBE β∠=，且BA ，BC 在直线BD 的两侧，连接AC ，可证得△ABC 是等腰直角三角形，因此可求得αβ+=∠ABC = °.请参考小敏思考问题的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tan 4α=，3tan 5β=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON=αβ-，由此可得αβ-=______°.五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分) 27．已知二次函数21y x bx c =++的图象1C 经过(1,0)-，(0,3)-两点．（1）求1C 对应的函数表达式；（2）将1C 先向左平移1个单位，再向上平移4个单位， 得到抛物线2C ，将2C 对应的函数表达式记为 22y x mx n =++，求2C 对应的函数表达式； （3）设323y x =+，在（2）的条件下，如果在 2-≤x ≤a 内存在．．某一个x 的值，使得2y ≤3y 成立，利用函数图象直接写出a 的取值范围．28． △ABC 中，AB=AC ．取BC 边的中点D ，作DE ⊥AC 于点E ，取DE 的中点F ，连接BE ，AF 交于点H ．（1）如图1，如果90BAC ∠=︒，那么AHB ∠= ︒，AFBE= ； （2）如图2，如果60BAC ∠=︒，猜想AHB ∠的度数和AFBE的值，并证明你的结论； （3）如果BAC α∠=，那么AF= ．（用含α的表达式表示）29．给出如下规定：两个图形G 1和G 2，点P 为G 1上任一点，点Q 为G 2上任一点，如果线段PQ 的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G 1和G 2之间的距离． 在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．（1）点A 的坐标为(1,0)A ，则点(2,3)B 和射线OA 之间的距离为________，点(2,3)C - 和射线OA 之间的距离为________；（2）如果直线y =x 和双曲线ky x=k = ；（可在图1中进 行研究）（3）点E 的坐标为(1,3)，将射线OE 绕原点O 逆时针旋转60︒，得到射线OF ，在坐标平面内所有和射线OE ，OF 之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M ． ① 请在图2中画出图形M ，并描述图形M 的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示） ② 将射线OE ，OF 组成的图形记为图形W ，抛物线22-=x y 与图形M 的 公共部分记为图形N ，请直接写出图形W 和图形N 之间的距离．。

北京市西城区2015年高三一模试卷数 学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合0,1{}A =，集合{|}B x x a =>，若AB =∅，则实数a 的范围是（ ）（A ）1a ≤ （B ）1a ≥ （C ）0a ≥ （D ）0a ≤ 【答案】B 【解析】 试题分析：因为AB =∅，所以0{|}x x a ∉>，且1{|}x x a ∉>，即0a ≥且1a ≥，从而1a ≥，选B.考点：集合的运算.2.复数z 满足i 3i z ⋅=-，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】C 【解析】试题分析：由i 3i z ⋅=-得3i13iz i -==--，对应点为(1,3)--，位于第三象限，选C. 考点：复数运算3.关于函数3()log ()f x x =-和()3x g x -=，下列说法中正确的是（ ）（A ）都是奇函数 （B ）都是偶函数 （C ）函数()f x 的值域为R （D ）函数()g x 的值域为R 【答案】C 【解析】试题分析：3()log ()f x x =-的定义域为(0)-∞，，所以()f x 为非奇非偶函数，()f x 在定义域上为单调减函数，值域为R ；()3xg x -=的定义域为(+)-∞∞，，且()3(),x g x g x -=≠±，所以()g x 为非奇非偶函数，()g x 在定义域上为单调减函数，值域为(0,).+∞；因此选C.考点：函数性质4.执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的n 的值为______. （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7【答案】B 【解析】试题分析：第一次循环：9,2;x n ==第二次循环：27,3;x n ==第三次循环：81,4;x n ==第四次循环：243100,5;x n =>=结束循环，输出5,n =选B. 考点：循环结构流程图5.设,P Q 分别为直线0x y -=和圆22(6)2x y +-=上的点，则||PQ 的最小值为（ ） （A） （B）（C）（D ）4 【答案】A 【解析】试题分析：设圆心为C ，直线:0l x y -=，则||||C l PQ PC r d r -≥-≥-==以选A.考点：直线与圆位置关系6.设函数()f x 的定义域为R ，则“x ∀∈R ，(1)()f x f x +>”是“函数()f x 为增函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：由增函数定义知：若函数()f x 为增函数，则x ∀∈R ，(1)()f x f x +>，必要性成立；反之充分性不成立，如非单调函数()=[x]f x （取整函数），满足x ∀∈R ，(1)()f x f x +>，所以选B. 考点：充要关系7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（ ） （A ）7 （B ）152 （C ）233 （D ）476【答案】D 【解析】试题分析：几何体为一个正方体截去一个角（三棱锥），所以体积为321147211326-⨯⨯⨯=，选D.考点：三视图8.已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（ ）（A ）2枝玫瑰的价格高 （B ）3枝康乃馨的价格高 （C ）价格相同 （D ）不确定 【答案】A 【解析】试题分析：设1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格分别为,x y 元，则侧(左)视图 正(主)视图 俯视图6324,442028,5x y x y x y x y +>+<⇒+>+< ，因此235(2)8()58850x y x y x y -=+-+>⨯-⨯=，因此2枝玫瑰的价格高，选A.考点：不等式比较大小第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知平面向量,a b 满足(1,1)=-a ，()()+⊥-a b a b ，那么|b |= ____.【解析】试题分析：22()()()()0||+⊥-⇒+⋅-=⇒=⇒=a b a b a b a b a b b |a |= 考点：向量运算10.函数22()sin cos f x x x =-的最小正周期是____. 【答案】π 【解析】试题分析：因为22()sin cos cos 2f x x x x =-=-，所以其最小正周期是2=π.2π考点：三角函数周期11.在区间[2,1]-上随机取一个实数x ，则x 使不等式1|1|x -≤成立的概率为____.【答案】13【解析】试题分析：102|1|x x ⇒≤≤-≤，又[2,1]x ∈-，所以[0,1]x ∈，因为测度为长度，所以所求概率为101.1(2)3-=--考点：几何概型概率12.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点是抛物线28y x =的焦点，且双曲线 C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为____；渐近线方程是____.【答案】2213y x -=,y =【解析】试题分析：抛物线28y x =的焦点为(2,0)，所以2c =，又双曲线 C 的离心率为2，所以1,a b ==因此双曲线C 的方程为2213y x -=，渐近线方程是2203y x -=，即y =考点：双曲线方程及渐近线13.设函数20,1,()4,0.x x x f x x x x -⎧+>⎪=⎨⎪-<⎩则[(1)]f f -=____；函数()f x 的极小值是____. 【答案】103,2 【解析】试题分析：110[(1)](14)(3)333f f f f -=-+==+=，当0x >时，211()()1f x x f x x x'=+=-，，，由()0f x '=得1x =，（负值舍去），因此当0,1)(x ∈时，()0f x '<；当1,)(x +∞∈时，()0f x '>；从而函数()f x 在1x =取极小值为2；当0x <时，2()4x f x x -=-，，因此当2,0)(x ∈-时，()f x 单调递减；当(,2)x ∈-∞-时，()f x 单调递增；从而函数()f x 在2x =-取极大值为4； 从而函数()f x 的极小值是2 考点：分段函数求值，函数极值14.某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件.制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异. 现有甲、乙两家工厂可以制作奖品（一等奖、二等奖奖品均符合要求)，甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费情况如下表：则组委会定做该工艺品的费用总和最低为 元. 【答案】4900 【解析】试题分析：设在甲厂做一等奖奖品x 件，二等奖奖品y 件，则[0,3],[0,6],4,,x y x y x y N ∈∈+≤∈,组委会定做该工艺品的费用总和为500400800(3)600(6)100(6032)z x y x y x y =++-+-=--，可行域为一个直角梯形OABC 内整数点（包含边界）,其中(0,0),(3,0),(3,1),(0,4).O A B C 当直线100(6032)z x y =--过点(3,1)B 时费用总和取最小值：4900考点：线性规划求最值三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，且4AD DC =.（Ⅰ）求BD 的长； （Ⅱ）求sin CBD ∠的值.【答案】（Ⅰ）5104=BD（Ⅱ）sin 10CDB ∠= 【解析】试题分析：（Ⅰ）在直角三角形ABC 中，易得5=AC ，从而有1=DC ，在BCD ∆中，由余弦定理，可得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅223323123155=+-⨯⨯⨯=，即5104=BD （Ⅱ）在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin CD BD CBD C =∠，所以sin CDB ∠=试题解析：（Ⅰ）解：因为 90=∠ABC ，4=AB ，3=BC ， 所以3cos 5C =，4sin 5C =，5=AC ， ..................... 3分 又因为DC AD 4=，所以4=AD ，1=DC . (4)分在BCD ∆中，由余弦定理，B CAD得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅ ………………… 7分 223323123155=+-⨯⨯⨯=，所以 5104=BD . (9)分（Ⅱ）在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin CD BDCBD C=∠，所以154sin 5CBD=∠， ………………… 12分所以sin 10CDB ∠=. ………………… 13分 考点：正余弦定理 16.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32a =，57S a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；（Ⅱ）若444,,m n a a a ++（*,m n ∈N ）成等比数列，求n 的最小值． 【答案】（Ⅰ）24n a n =-,23n S n n =-（Ⅱ）6． 【解析】试题分析：（Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式，一般利用待定系数法，即设公差为d ，则可得方程组11122,15546,2a d a d a d +=⎧⎪⎨+⨯⨯=+⎪⎩解得12a =-，2d =，所以2(1)224n a n n =-+-⨯=-，212(1)232n S n n n n n =-+-⨯=-（Ⅱ）因为444,,m n a a a ++成等比数列，可得等量关系2(24)4(24)m n +=+，可看做二次函数21(2)22n m =+-，根据对称轴及正整数限制条件可得当2m =时，n 有最小值6． 试题解析：（Ⅰ）解：设公差为d ，由题意，得11122,15546,2a d a d a d +=⎧⎪⎨+⨯⨯=+⎪⎩ ………………… 4分 解得12a =-，2d =，…………………5分所以2(1)224n a n n =-+-⨯=-， ………………… 6分212(1)232n S n n n n n =-+-⨯=-． ………………… 7分（Ⅱ）解：因为444,,m n a a a ++成等比数列，所以2444m n a a a ++=， ………………… 9分即2(24)4(24)m n +=+， ………………… 10分化简，得21(2)22n m =+-， ………………… 11分考察函数21()(2)22f x x =+-，知()f x 在(0,)+∞上单调递增，又因为5(1)2f =，(2)6f =，*n ∈N ，所以当2m =时，n 有最小值6． ………………… 13分 考点：等差数列的通项及和项 17.（本小题满分14分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，//EF AD ， 平面ADEF ⊥平面ABCD ，且2BC EF =,AE AF =，点G 是EF 的中点. （Ⅰ）证明：AG ⊥CD ； （Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且13AM MC=，求证：GM //平面ABF ；（Ⅲ）已知空间中有一点O 到,,,,A B C D G 五点的距离相等，请指出点O 的位置. (只需写出结论)FCA DBG EFCADBG EMN【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）点O 为线段GC 的中点. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由面面垂直性质定理，可得线面垂直：AG ⊥平面ABCD ，再由线面垂直性质定理可得AG ⊥CD .注意写全定理条件（Ⅱ）证明线面平行，一般利用其判定定理，即从线线平行出发，利用平几知识，可过点M 作MN //BC ，且交AB 于点N ，从而可推出GF //MN ，GF MN =.即四边形GFNM 是平行四边形. 所以 //GM FN .（Ⅲ）利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，可找出满足条件的点O 为GC 的中点. 试题解析：（Ⅰ）证明：因为AE AF =，点G是EF 的中点，所以 AG EF ⊥. …………………1分 又因为 //EF AD ，所以 AG AD ⊥.…………………2分因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，AG ⊂平面ADEF ，所以 AG ⊥平面ABCD . …………………4分 因为 CD ⊂平面ABCD ，所以 AG ⊥CD . …………………5分 （Ⅱ）证明：如图，过点M 作MN //BC ，且交AB 于点N ，连结NF ， 因为13AMMC =，所以14MN AM BC AC ==， …………………6分 因为 2BC EF =，点G 是EF 的中点， 所以 4BC GF =，又因为 //EF AD ，四边形ABCD 为正方形， 所以 GF //MN ，GF MN =. 所以四边形GFNM 是平行四边形.所以 //GM FN . ……………8分 又因为GM ⊄平面ABF ，FN ⊂平面ABF ，所以 GM //平面ABF . …………………11分 （Ⅲ）解：点O 为线段GC 的中点. …………………14分考点：面面垂直性质定理，线面平行判定定理 18.（本小题满分13分）2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；（Ⅱ）已知选出的120人中有6名学生，且这6人乘坐地铁的票价情形恰好与按票价．．．从．这．120人中．．分层．．抽样．．所选的结果相同，现从这6人中随机选出2人，求这2人的票价和恰好为8元的概率；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．(只需写出结论)【答案】（Ⅰ）56（Ⅱ）415（Ⅲ）(20,22]s ∈【解析】试题分析：（Ⅰ）由票价统计图知120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20（人），所以票价小于5元的有6040100+=（人）．从而根据古典概型概率计算得56（Ⅱ）先根据分层抽样，确定6名学生中票价为3元、4元、5元的人数分别为3，2，1（人）.再根据枚举法列出基本事件，最后确定2人的票价和恰好为8元基本事件包含数，求出其概率（Ⅲ）由题意得乘坐地铁12公里至22公里（含）5元，所以(12,22]s ∈,乘公共电汽车10公里（含）内2元；10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）.因此5元乘公里数必大于10+52=20⨯，所以(20,22]s ∈试题解析：（Ⅰ）解：记事件A 为“此人乘坐地铁的票价小于5元”， …………………1分由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20（人）. 所以票价小于5元的有6040100+=（人）． …………………2分故120人中票价小于5元的频率是10051206=． 所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率5()=6P A ． …………………4分（Ⅱ）解：记事件B 为“这2人的票价和恰好为8元”， …………………5分 由统计图，得120人中票价为3元、4元、5元的人数比为60:40:203:2:1=，则6名学生中票价为3元、4元、5元的人数分别为3，2，1（人）. …………6分 记票价为3元的同学为,,a b c ，票价为4元的同学为,d e ，票价为5元的同学为f ， 从这6人中随机选出2人，所有可能的选出结果共有15种，它们是：(,),(,)c a b a ， (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)d e f c d e f d e f e a a a b b b b c c c d , (,),(,)f f d e . …………………8分 其中事件B 的结果有4种，它们是： (,),(,),(,),(,)f f f e a b c d . …………9分 所以这2人的票价和恰好为8元的概率为4()15P B =. ………………… 10分（Ⅲ）解：(20,22]s ∈． …………………13分 考点：古典概型概率，分层抽样 19.（本小题满分14分）设点F 为椭圆2222 1(0)x y E a b a b +=>>：的右焦点，点3(1,)2P 在椭圆E 上，已知椭圆E 的离心率为12.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设过右焦点F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，记ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积为t ，求t 的最大值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）964【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，一般需列出两个独立条件：21=a c 及点)23,1(P 在椭圆上，解方程组得椭圆方程为 22143x y +=. （Ⅱ）由题意得需根据直线l 斜率表示ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积，由直线与椭圆联立方程组解得2221438k k x x +=+，212241234k x x k -=+，从而PA PB t k k k =⨯⨯1212332211y y k x x --=⨯⨯--12121233[(1)][(1)]22()1k x k x k x x x x --⨯--=⨯-++122121239(2)24[]()1k x x k k x x x x -+-+=+⨯-++233()44k k k k =--⨯=--，再根据二次函数求出其最大值.试题解析：（Ⅰ）解：设22b a c -=，由题意，得21=a c ， 所以 2a c =，b =. …………………2分则椭圆方程为 2222143x y c c+=，又点)23,1(P 在椭圆上， 所以2213144c c+=，解得21c =， 故椭圆方程为 22143x y +=. ………………… 5分（Ⅱ）解：由题意，直线l 的斜率存在，右焦点(1,0)F ， ………………… 6分 设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， ……… 7分由 22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得 2222(34)84120k x k x k +-+-=. ………………… 8分由题意，可知0>∆，则有 2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， ………… 9分 所以直线PA 的斜率11321PAy k x -=-，直线PB 的斜率22321PB y k x -=-， …………… 10分 所以PA PB t k k k =⨯⨯1212332211y y k x x --=⨯⨯--12121233[(1)][(1)]22()1k x k x k x x x x --⨯--=⨯-++2121212121239[()1](2)24()1k x x x x k x x k x x x x -++-+-+=⨯-++122121239(2)24[]()1k x x k k x x x x -+-+=+⨯-++233()44k k k k =--⨯=--. ………………… 12分 即 22339()4864t k k k =--=-++，所以当38k =-时，ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积t 有最大值964. ………14分考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系 20.（本小题满分13分）设*n ∈N ，函数ln ()n x f x x=，函数e ()xn g x x =，(0,)x ∈+∞.（Ⅰ）判断函数()f x 在区间(0,)+∞上是否为单调函数，并说明理由；（Ⅱ）若当1n =时，对任意的12,(0,)x x ∈+∞， 都有12()()g x f x t ≤≤成立，求实数t 的取值范围；（Ⅲ）当2n >时，若存在直线l y t =：（t ∈R ），使得曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线l 的两侧，写出n 的所有可能取值. (只需写出结论) 【答案】（Ⅰ）不是单调函数（Ⅱ）1e et ≤≤（Ⅲ）{3,4} 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据导数研究函数单调性，先求导数：11ln ()n n xf x x +-'=，再求导函数零点1e nx =，列表分析得函数()f x 在区间1(0,e )n上为单调递增，区间1(e ,)n+∞上为单调递减.即函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. （Ⅱ）先转化条件为：当(0,)x ∈+∞时，max min ()()g f x t x ≤≤，因此求实数t 的取值范围，就是分别求max min ()()g f x x ，，这可利用导数求函数最值（Ⅲ）由题意得：直线l 为曲线()y f x =与曲线()y g x =分割线，由（Ⅱ）得1()()ng f e n ≤，因此n 的所有可能取值为{3,4}试题解析：（Ⅰ）解：结论：函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. …………………1分 求导，得 11ln ()n n xf x x +-'=， …………………2分 令 ()0f x '=，解得1e n x =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：所以函数()f x 在区间1(0,e )n上为单调递增，区间1(e ,)n+∞上为单调递减. 所以函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. …………………4分（Ⅱ）解：当1n =时，函数ln ()x f x x =，e ()xg x x=，0x >.由题意，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞， 都有12()()g x f x t ≤≤恒成立，只需当(0,)x ∈+∞时，max min ()()g f x t x ≤≤. …………………5分 因为 21ln ()xf x x-'=. 令()0f x '=，解得e x =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：所以max ()(e)ef x f ==. …………………7分 又因为2e (1)()x x g x x-'=. 令 ()0g x '=，解得1x =.当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：所以min ()(1)e g x g ==. …………………9分 综上所述，得1e et ≤≤. …………………10分 （Ⅲ）解：满足条件的n 的取值集合为{3,4}. …………………13分 考点：利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数最值。

2015年北京西城区理科高三一模数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、【来源】 2015年北京西城区高三一模理科第1题2015年北京西城区高三一模文科第1题设集合，集合，若，则实数的范围是（）A. B. C. D.2、【来源】 2015年北京西城区高三一模理科第2题2016~2017学年北京西城区北京师范大学第二附属中学高三上学期期中理科第2题2017~2018学年北京朝阳区北京中学高一下学期期中第3题4分2016~2017学年北京海淀区北京育英学校高二下学期期末文科第4题5分2018~2019学年北京东城区北京景山学校高二上学期期中第2题复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、【来源】 2015年北京西城区高三一模理科第3题2018~2019学年北京西城区北京师范大学附属中学高三上学期期中理科第3题5分在极坐标系中，曲线是（）A. 过极点的直线B. 半径为的圆C. 关于极点对称的图形D. 关于极轴对称的图形4、【来源】 2015年北京西城区高三一模理科第4题2014~2015学年北京东城区高一下学期期末第4题3分2015年北京西城区高三一模文科第4题执行如图所示的程序框图，若输入的的值为，则输出的的值为（）．A. B. C. D.5、【来源】 2015年北京西城区高三一模理科第5题2015年北京西城区高三一模文科第6题2020~2021学年北京朝阳区北京陈经纶中学高一上学期期中第8题5分设函数的定义域为，则“，”是“函数为增函数”的（）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6、【来源】 2015年北京西城区高三一模理科第6题一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（）．A. B. C. D.7、【来源】 2015年北京西城区高三一模理科第7题2015~2016学年北京通州区潞河中学高一下学期期中第7题5分2016~2017学年北京海淀区北京育英学校高二下学期期末文科第8题5分2016~2017学年北京海淀区清华大学附属实验学校高一下学期期中马班第8题5分2015年北京西城区高三一模文科第8题已知枝玫瑰与枝康乃馨的价格之和大于元，而枝玫瑰与枝康乃馨的价格之和小于元，那么枝玫瑰和枝康乃馨的价格的比较结果是（）A. 枝玫瑰的价格高B. 枝康乃馨的价格高C. 价格相同D. 不确定8、【来源】 2015年北京西城区高三一模理科第8题2017~2018学年10月北京海淀区首都师范大学附属中学高二上学期月考理科B第8题6分已知抛物线和所围成的封闭曲线如图所示，给定点，若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点对称，则实数的取值范围是（）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9、【来源】 2015年北京西城区高三一模理科第9题2015年北京西城区高三一模文科第9题2018~2019学年北京东城区北京汇文中学高三上学期期中文科第11题5分已知平面向量满足，，那么10、【来源】 2015年北京西城区高三一模理科第10题2019~2020学年10月北京海淀区北京市第五十七中学高二上学期月考第13题已知双曲线:的一个焦点是抛物线的焦点，且双曲线的离心率为，那么双曲线的方程为11、【来源】 2015年北京西城区高三一模理科第11题在中，角所对的边分别为. 若，，，则12、【来源】 2015年北京西城区高三一模理科第12题2018~2019学年北京海淀区北京市第五十七中学高二上学期期中第10题5分若数列满足，且对于任意的，都有，则；数列前项的和．13、【来源】 2015年北京西城区高三一模理科第13题2016年北京海淀区北方交通大学附属中学高三零模理科第13题5分2020~2021学年北京海淀区首都师范大学附属中学高二上学期期中第13题4分2018~2019学年北京东城区北京市第五十五中学高三上学期期中理科第12题5分2015年安徽蚌埠高三三模理科第13题5分某种产品的加工需要，，，，五道工艺，其中必须在的前面完成（不一定相邻），其他工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，与必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有种．（用数字作答）14、【来源】 2015年北京西城区高三一模理科第14题2015~2016学年北京海淀区首都师范大学附属中学高一下学期期末第13题4分2017~2018学年北京海淀区北京市中关村中学高二上学期期末理科第23题2016~2017学年10月北京海淀区北京市第五十七中学高二上学期月考第17题如图，四面体的一条棱长为，其余棱长均为，记四面体的体积为，则函数的单调增区间是；最大值为.三、解答题（本大题共6小题，共80分）15、【来源】 2015年北京西城区高三一模理科第15题2018~2019学年12月北京朝阳区三里屯一中高三上学期月考理科第15题13分2016~2017学年12月北京朝阳区北京市第八十中学高三上学期月考文科第15题13分设函数，.(1) 当时，求函数的值域．(2) 已知函数的图象与直线有交点，求相邻两个交点间的最短距离.16、【来源】 2015年北京西城区高三一模理科第16题2018~2019学年北京海淀区北方交通大学附属中学高二下学期期末第17题14分2017~2018学年9月湖北武汉武昌区湖北省武昌实验中学高三上学期月考理科第19题12分2018~2019学年北京东城区北京市第五中学高三上学期期中理科第16题13分年月日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．(1) 如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选人，试估计此人乘坐地铁的票价小于元的概率；(2) 从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选人，记为这人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求的分布列和数学期望；(3) 小李乘坐地铁从地到陶然亭的票价是元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为公里，试写出的取值范围．(只需写出结论)17、【来源】 2015年北京西城区高三一模理科第17题2016~2017学年北京海淀区北京市八一中学高二上学期期中理科第20题10分2015~2016学年北京东城区北京市第五中学高三上学期期中理科第18题14分如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，平面平面，且, ，点是的中点.(1) 证明：平面；(2) 若直线BF与平面所成角的正弦值为，求的长；(3) 判断线段上是否存在一点，使/平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18、【来源】 2015年北京西城区高三一模理科第18题2018~2019学年北京丰台区北京市丰台区丰台第二中学高三上学期期中理科第20题14分设，函数，函数，.(1) 当时，写出函数零点个数，并说明理由；(2) 若曲线与曲线分别位于直线的两侧，求的所有可能取值.19、【来源】 2015年北京西城区高三一模理科第19题2018~2019学年北京东城区北京市第二中学高二上学期期中航二班第20题14分2018~2019学年北京西城区北京市第四中学高二下学期开学考试第19题14分设，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且点和关于点对称.(1) 求椭圆的方程；(2) 过右焦点的直线与椭圆相交于两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.20、【来源】 2015年北京西城区高三一模理科第20题2017~2018学年12月北京西城区北京市第十三中学高三上学期月考理科第20题13分已知点列(，)满足，且与() 中有且仅有一个成立．(1) 写出满足且的所有点列；(2) 证明：对于任意给定的（，），不存在点列，使得；(3) 当且（）时，求的最大值．1 、【答案】 B;2 、【答案】 C;3 、【答案】 D;4 、【答案】 B;5 、【答案】 B;6 、【答案】 A;7 、【答案】 A;8 、【答案】 D;9 、【答案】;10 、【答案】;11 、【答案】;12 、【答案】;;13 、【答案】;14 、【答案】或;;15 、【答案】 (1);(2);16 、【答案】 (1) ．;(2) 随机变量的分布列为：．;(3) ．;17 、【答案】 (1) 证明过程见解析;(2) 或;(3) 时，//平面.;18 、【答案】 (1) 函数不存在零点;(2);19 、【答案】 (1);(2) 存在直线：，使得四边形的对角线互相平分;20 、【答案】 (1) 符合条件的点列为；或；或．;(2) 证明过程见解析;(3) 当时，有最大值;第11页，共11页。

北京市西城区2015年初三一模试卷数学 2015.4一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。

1.31的相反数是 A. 31 B.-31C. 3D.-32.据市烟花办相关负责人介绍，2015年除夕零时至正月十五24时，全市共销售烟花爆竹约箱，同比下降了32%，将用科学记数法表示应为A.1.96×105B. 1.96×104C. 19.6×104D.0. 196×1063.下列运算正确的是A.3a+3b=6abB.a 3-a=a 2C. (a 2)3=a 6D.a 6÷a 3=a 24.如图是一个 几何体的直观图，则其主视图是5.甲、乙、丙、丁四名选手参加100米决赛，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签的方法决定各自的跑道，若甲首先抽签，则甲抽到1号跑道的概率是A.1B.21 C. 31D. 416.下列图形中，即是轴对称图形又是中心对称图形的是A. B. C. D.7.如图,线段AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB,如果∠BOC=70°，那么∠BAD 等于 A. 20° B. 30° C. 35° D. 70°8.在平面直角坐标系xoy 中，第一象限内的点P 在反比例函数的图象上，如果点P 的纵坐标是3，OP=5，那么该函数的表达式为A.y=x 12 B. y=-x 12 C.y=x 15 D.y=-x159.为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住在该小区50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图。

这组数据的众数和中位数分别是A.6,4B.6,6C.4,4D.4,610.如图，过半径为6的⊙O 上一点A 作⊙O 的切线l ,P 为⊙O于点H ，连接PA ，如果PA=x ,AH=y ,那么下列图象中，能大致表示y 与x A. B. C. D.A. B. C.二、填空题（本题共18分，每小题3分）11.如果分式51-x 有意义，那么x 的取值范围是 . 12.半径为4cm ，圆心角为60°的扇形的面积为 cm 2. 13.分解因式：12m 2-3= .14.如图，△ABC 中，AB=AC,点D,E 在BC 边上，当 时，△ABD ≌△ACE.(添加一个适当的条件即可).15. 如图是蹊跷板的示意图，立柱OC 与地面垂直，以O 为横板AB 的中点．．，AB 绕点O 上下转动，横板AB 的B 端最大高度h 是否会随横板长度的变化而变化呢？一位同学做了如下研究：他先设AB=2m,OC=0.5m,通过计算得到此时的h 1，再将横板AB换成A ′B ′,O 为横板A ′B ′的中点，且A ′B ′=3m ，此时B ′点的最大高度为h 2，由此得到h 1与h 2的大小关系是：h 1 h 2（填“＞”、“=”或“＜”），可进一步得出h 随横板的长度的变化而 （填“不变 ”或“改变”）.16.如图，数轴上，点A 的初始位置表示的数为1，现点A 做如下移动：第1次点A 向左移动3个单位长度至点A 1,第2次从点A 1向右移动6个单位长度至点A 2，第3次从点A 2向左移动9个单位长度至点A 3，…，按照这种移动方式进行下去，点A 4表示的数是 ，如果点A n 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是 。

北京市西城区2015年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科） 2015.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．C 4．B 5．A 6．B 7．D 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．2 10．π11．13 12．2213y x -= 3y x =±13．1032 14．4900 注：第12，13题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为90=∠ABC ，4=AB ，3=BC ，所以3cos 5C =，4sin 5C =，5=AC ， ………………… 3分 又因为DC AD 4=，所以4=AD ，1=DC . ………………… 4分 在BCD ∆中，由余弦定理，得2222cos BD BC CD BC CD C=+-⋅ ………………… 7分223323123155=+-⨯⨯⨯=，所以 5104=BD . ………………… 9分 （Ⅱ）在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin CD BDCBD C=∠，所以 410154sin 5CBD=∠， ………………… 12分所以 10sin 10CDB ∠=. ………………… 13分16．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：设公差为d ，由题意，得11122,15546,2a d a d a d +=⎧⎪⎨+⨯⨯=+⎪⎩………………… 4分 解得12a =-，2d =， …………………5分 所以2(1)224n a n n =-+-⨯=-， ………………… 6分212(1)232n S n n n n n =-+-⨯=-． ………………… 7分（Ⅱ）解：因为444,,m n a a a ++成等比数列，所以2444m n a a a ++=， ………………… 9分即2(24)4(24)m n +=+， ………………… 10分化简，得21(2)22n m =+-， ………………… 11分考察函数21()(2)22f x x =+-，知()f x 在(0,)+∞上单调递增，又因为5(1)2f =，(2)6f =，*n ∈N ， 所以当2m =时，n 有最小值6． ………………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AE AF =，点G 是EF 的中点，所以 AG EF ⊥. …………………1分 又因为 //EF AD ，所以 AG AD ⊥. …………………2分因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，AG ⊂平面ADEF ，所以 AG ⊥平面ABCD . …………………4分FCA DBG EMN 因为 CD ⊂平面ABCD ，所以 AG ⊥CD . …………………5分（Ⅱ）证明：如图，过点M 作MN //BC ，且交AB 于点N ，连结NF ， 因为13AM MC=，所以14MN AM BCAC==， …………………6分因为 2BC EF =，点G 是EF 的中点， 所以 4BC GF =，又因为 //EF AD ，四边形ABCD 为正方形， 所以 GF //MN ，GF MN =. 所以四边形GFNM 是平行四边形.所以 //GM FN . ……………8分 又因为GM ⊄平面ABF ，FN ⊂平面ABF ，所以 GM //平面ABF . …………………11分 （Ⅲ）解：点O 为线段GC 的中点. …………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记事件A 为“此人乘坐地铁的票价小于5元”， …………………1分 由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20（人）.所以票价小于5元的有6040100+=（人）． …………………2分 故120人中票价小于5元的频率是10051206=． 所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率5()=6P A ． …………………4分 （Ⅱ）解：记事件B 为“这2人的票价和恰好为8元”， …………………5分由统计图，得120人中票价为3元、4元、5元的人数比为60:40:203:2:1=，则6名学生中票价为3元、4元、5元的人数分别为3，2，1（人）. …………6分记票价为3元的同学为,,a b c ，票价为4元的同学为,d e ，票价为5元的同学为f ， 从这6人中随机选出2人，所有可能的选出结果共有15种，它们是：(,),(,)c a b a ， (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,(,)d e f c d e f d e f ea a ab b b bc c cd ,(,),(,)f f d e . …………………8分其中事件B 的结果有4种，它们是： (,),(,),(,),(,)f f f e a b c d . …………9分所以这2人的票价和恰好为8元的概率为4()15P B =. ………………… 10分 （Ⅲ）解：(20,22]s ∈． …………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设22b a c -=，由题意，得21=a c ， 所以 2a c =，3b c =. …………………2分则椭圆方程为2222143x y c c +=， 又点)23,1(P 在椭圆上， 所以2213144c c+=，解得21c =， 故椭圆方程为 22143x y +=. ………………… 5分 （Ⅱ）解：由题意，直线l 的斜率存在，右焦点(1,0)F ， ………………… 6分 设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ……… 7分由 22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得 2222(34)84120k x k x k +-+-=. ………………… 8分由题意，可知0>∆，则有 2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， ………… 9分 所以直线PA 的斜率11321PAy kx -=-，直线PB 的斜率22321PB y k x -=-， …………… 10分 所以PA PB t k k k =⨯⨯1212332211y y k x x --=⨯⨯-- 12121233[(1)][(1)]22()1k x k x k x x x x --⨯--=⨯-++2121212121239[()1](2)24()1k x x x x k x x k x x x x -++-+-+=⨯-++122121239(2)24[]()1k x x k k x x x x -+-+=+⨯-++ 233()44k k k k =--⨯=--. ………………… 12分 即 22339()4864t k k k =--=-++， 所以当38k =-时，ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积t 有最大值964. ………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：结论：函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. …………………1分求导，得 11ln ()n n xf x x+-'=， …………………2分 令 ()0f x '=，解得1e nx =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：x1(0,e )n1e n1(e ,)n+∞()f x ' +0 -()f x↗↘所以函数()f x 在区间1(0,e )n上为单调递增，区间1(e ,)n+∞上为单调递减.所以函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. …………………4分（Ⅱ）解：当1n =时，函数ln ()xf x x =，e ()xg x x=，0x >.由题意，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞， 都有12()()g x f x t ≤≤恒成立，只需当(0,)x ∈+∞时，max min ()()g f x t x ≤≤. …………………5分 因为 21ln ()xf x x -'=. 令()0f x '=，解得e x =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：x(0,e) e(e,)+∞()f x '+0 -()f x↗↘所以max 1()(e)ef x f ==. …………………7分 又因为2e (1)()x x g x x -'=.令 ()0g x '=，解得1x =.当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：x(0,1)1(1,)+∞()g x '-0 +()g x↘↗所以min ()(1)e g x g ==. …………………9分 综上所述，得1e et ≤≤. …………………10分 （Ⅲ）解：满足条件的n 的取值集合为{3,4}. …………………13分。

2015.4.28 西城一模真题试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1、13的相反数是A. 13B.13C. 3D. -32、据市烟花办相关负责人介绍，2015年除夕零时至正月十五24时，全市共销售烟花爆竹约196 000箱，同比下降了32%，将196 000用科学计数法表示为A.1.96×105B.1.96×104C.19.6×104D.0.196×1053、下列运算正确的是A.3a+3b=6abB.a3-a=a2C.(a2)3=a6D.a6÷a2=a34、如图是一个几何体的直观图，则其主视图是A B C D5、甲、乙、丙、丁四名选手参加100米决赛，赛场共设1,2,3,4四条跑道.选手以随机抽签的方式决定各自的跑道.若甲首先抽签，则甲抽到1号跑道的概率是A.1B.12C.13D.146、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D7、如图，线段AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，如果∠BOC=70°，那么∠BAD 等于（ ）DO BACA. 20°B. 30°C. 35°D. 70°8、在平面直角坐标系x O y 中，第一象限内的点P 在反比例函数的图像上，如果点P 的纵坐标是3，OP=5，那么该函数的表达式为（ ） A. 12y x= B. 12y x=-C. 15y x=D. 15y x=-9、为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住在该小区的50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图.这组数据的众数和中位数分别是（ ）A. 6，4B. 6，6C. 4，4D. 4，610、如图，过半径为6的圆O 上一点A 作圆O 的切线l ，P 为圆O 上的一个动点，作PH ⊥l 于点H ，连接PA.如果PA=x ，AH=y ，那么下列图象中，能大致表示y 与x 的函数关系的是（ ）lOP612 2083A B C D二．填空题（本题共18分，每小题3分） 11、如果分式15x 有意义，那么x 的取值范围是 . 12、半径为4cm ，圆心角为60°的扇形面积为 2cm . 13、分解因式：122m -3= .14、如图，△ABC 中，AB=AC,点D,E 在BC 边上，当 时，△ABD ≌△ACE（添加一个适当的条件即可）B15、如图是跷跷板的示意图，立柱OC 与地面垂直，以O 为横板AB 的中点，AB 绕点O 上下转动，横板AB 的B 端最大高度h 是否会随横板长度的变化而变化呢?一位同学做了如下研究：他先设AB=2m ，OC=0.5m ，通过计算得到此时的1h ,再将横板AB 换成横板A’B’,O 为横板A’B’的中点，且A’B’=3m ，此时B’点的最大高度为2h ,由此得到1h 与2h 的大小关系是1h 2h （填“＞”，“＝”或“＜”），可进一步得出，h 随横板长度的变化而 ．（填“不变”或“改变”）16、如图，数轴上，点A 的初始位置表示的数为1.现点A 做如下移动：第1次点A 向左移动3个单位长度至点1A ，第2次从点1A 向右移动6个单位长度至点2A ，第3次从点2A 向左移动9个单位长度至点3A ，...，按照这种移动方式进行下去，点4A 表示的数是 ，如果点n A 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是 ．A 3A 2A A 1123456–1–2–3–4–5–6三．解答题（本题共30分，每小题5分） 17、计算：12+(p -2008)0+(12)-1-6tan30°．18、如图，∠C=∠E ，∠EAC=∠DAB ，AB=AD ．求证：BC=DE ．C19、解不等式组⎩⎨⎧->+≤-.84)15(3.02x x x20、先化简，再求值：a 3+3a a 2+2a +1¸a +3a +1-1a +1，其中a =2．CED21、从北京到某市可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是520千米。

北京市西城区 2015 年初三一模试卷数学2015. 4一、选择题 ( 本题共30 分，每小题 3 分 )下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．1的相反数是311C. 3D.3 A. B.332．据市烟花办相关负责人介绍，2015 年除夕零时至正月十五24 时，全市共销售烟花爆竹约196 000 箱，同比下降了32%．将 196 000 用科学记数法表示应为A. 1.96105B. 1.96104C. 19.6104D. 0.196 1063．下列运算正确的是A. 3a3b 6abB. a3a a2C. a23a6D. a6a3a24．如图是一个几何体的直观图，则其主视图是5．甲、乙、丙、丁四名选手参加100 米决赛，赛场共设1， 2， 3， 4 四条跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道．若甲首先抽签，则甲抽到 1 号跑道的概率是A. 11C.11 B.3D.246．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是7．如图，线段AB 是⊙ O 的直径，弦CD 丄 AB，如果∠ BOC=70 °，那么∠ BAD 等于A. 20°B.30 °C. 35°D.70°8．在平面直角坐标系 xOy 中，第一象限内的点 P 在反比例函数的图象上，如果点 P 的纵坐标是 3，OP= 5，那么该函数的表达式为1212A.yB.yx x1515C. yD. yx x9．为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住在该小区的50 名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图．这组数据的众数和中位数分别是A. 6 ，4B. 6 ， 6C. 4，4D. 4， 610．如图，过半径为 6 的⊙ O 上一点 A 作⊙ O 的切线l， P 为⊙ O 上的一个动点，作PH ⊥l于点 H，连接 PA．如果 PA= x， AH= y，那么下列图象中，能大致表示y 与x的函数关系的是二、填空题 (本题共 18 分，每小题 3 分 )11．如果分式1有意义，那么x 的取值范围是．x 512．半径为 4cm，圆心角为60°的扇形的面积为cm2．13．分解因式：12m2 3 =．14．如图，△ ABC 中， AB=AC ，点 D，E 在 BC 边上，当时，△ ABD ≌ △ACE．（添加一个适当的条件即可）15．如图是跷跷板的示意图，立柱OC 与地面垂直，以 O为横板 AB 的中点， AB 绕点 O 上下转动，横板 AB．．的 B 端最大高度 h 是否会随横板长度的变化而变化呢？一位同学做了如下研究：他先设AB= 2 m，OC= 0.5 m，通过计算得到此时的h1，再将横板 AB换成横板 A′B′， O 为横板 A′B′的中点，且 A′B′=3m，此时 B′点的最大高度为h2，由此得到h1与 h2的大小关系是： h1 h2（填“＞”、“＝”或“＜” ）．可进一步得出， h 随横板的长度的变化而（填“不变”或“改变” ）．16．如图，数轴上，点 A 的初始位置表示的数为1，现点 A 做如下移动：第 1 次点 A 向左移动 3 个单位长度至点 A1，第2次从点 A1向右移动6个单位长度至点 A2，第3次从点 A2向左移动9个单位长度至点A3，,，按照这种移动方式进行下去，点A4表示的数是，如果点A n与原点的距离不小于20，那么n的最小值是．三、解答题 (本题共 30分，每小题 5分 )17．计算：12π0 1 )1 6 tan30 ．2008(218．如图，∠ C=∠ E，∠ EAC=∠ DAB， AB=AD ．求证： BC=DE ．2 x0，19．解不等式组3 5x 1 4x8.a23a a 3120．先化简，再求值：，其中a 2．a22a 1 a 1 a 121．从北京到某市可乘坐普通列车或高铁．已知高铁的行驶路程是400 千米，普通列车的行驶路程是520千米．如果高铁的平均速度是普通列车平均速度的 2.5 倍，且乘坐高铁比乘坐普通列车少用 3 小时．求高铁的平均速度是多少千米/时．22．已知关于 x 的一元二次方程x22( m1) x m(m 2) 0 .（ 1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；（ 2）若x 2 是此方程的一个根，求实数m 的值．四、解答题 ( 本题共 20 分，每小题 5 分 )23．如图，四边形 ABCD 中，BD 垂直平分 AC，垂足为点 F ，E 为四边形 ABCD 外一点，且∠ ADE =∠ BAD ，AE⊥ AC．（1）求证：四边形 ABDE 是平行四边形；（2）如果 DA 平分∠ BDE ， AB= 5，AD= 6，求 AC 的长．\24．在北京，乘坐地铁是市民出行时经常采用的一种交通方式．据调查，新票价改革政策的实施给北京市轨道交通客流带来很大变化．根据 2015 年 1 月公布的调价后市民当时乘坐地铁的相关调查数据，制作了以下统计表以及统计图．根据以上信息解答下列问题：（ 1）补全扇形图；（ 2）题目所给出的线路中，调价后客流量下降百分比最高的线路是，调价后里程x（千米）在范围内的客流量下降最明显．对于表中客流量不降反增而且增长率最高的线路，如果继续按此变化率增长，预计2016 年 1 月这条线路的日均客流量将达到万人次；（精确到 0.1）（3）小王同学上学时，需要乘坐地铁15.9 公里到达学校，每天上下学共乘坐两次．问：调价后小王每周（按 5 天计算）乘坐地铁的费用比调价前多支出元．（不考虑使用市政一卡通刷卡优惠，调价前每次乘坐地铁票价为 2 元）25．如图，AB为⊙ O 的直径，M为⊙ O 外一点，连接 MA 与⊙ O 交于点 C，连接 MB 并延长交⊙ O 于点D，经过点 M 的直线 l 与 MA 所在直线关于直线 MD 对称．作 BE⊥ l 于点 E，连接 AD， DE．（ 1）依题意补全图形；（ 2）在不添加新的线段的条件下，写出图中与∠BED 相等的角，并加以证明．26．阅读下面的材料：小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：如果α，β都为锐角，且tan 11的度数．， tan，求23小敏是这样解决问题的：如图 1，把，放在正方形网格中，使得 ABD， CBE，且 BA，BC 在直线 BD 的两侧，连接AC，可证得△ ABC 是等腰直角三角形，因此可求得=∠ ABC=°.请参考小敏思考问题的方法解决问题：如果，都为锐角，当 tan 4 ， tan 32 的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出时，在图5∠ MON=，由此可得=______°.五、解答题 (本题共 22 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分 )27、已知二次函数 y 1 x 2 bx c 的图象 C 1 经过 ( 1,0) ， (0, 3) 两点．（ 1）求 C 1 对应的函数表达式；（ 2）将 C 1 先向左平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位，得到抛物线 C 2 ，将 C 2对应的函数表达式记为y 2 x 2 mx n ，求 C 2 对应的函数表达式；3y 3 2x 3 ，2 x ≤ a．．x（ ）设在（ ）的条件下，如果在 2 ≤ 内存在 某一个的值，使得 y 2 ≤ y 3 成立，利用函数图象直接写出a 的取值范围．28、 △ ABC 中， AB=AC ．取 BC 边的中点 D ，作 DE ⊥ AC 于点 E ，取 DE 的中点 F ，连接 BE ， AF 交于点H ．（ 1）如图 1，如果BAC 90 ，那么 AHB ，AF；BE（ 2）如图 2，如果 BAC60 ，猜想AHB 的度数和AF的值，并证明你的结论；BE（ 3）如果BAC ，那么AF．（用含的表达式表示）BE29、给出如下规定：两个图形G1和 G2，点P为 G 1上任一点，点Q 为G2上任一点，如果线段PQ 的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形 G1和 G2之间的距离．在平面直角坐标系 xOy 中， O 为坐标原点．（1）点 A 的坐标为A(1,0)，则点B(2,3)和射线 OA 之间的距离为 ________，点C ( 2,3)和射线 OA 之间的距离为 ________；（ 2）如果直线 y=x 和双曲线y k2 ，那么 k=；（可在图 1 中进行研究）之间的距离为x（ 3）点 E 的坐标为 (1, 3 )，将射线 OE 绕原点 O 逆时针旋转60 ，得到射线 OF ，在坐标平面内所有和射线 OE， OF 之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M ．①请在图 2 中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）②将射线 OE ，OF 组成的图形记为图形W，抛物线y x2 2 与图形M的公共部分记为图形N ，请直接写出图形 W 和图形 N 之间的距离．北京市西城区2015 年初三一模试卷数学试卷参考答案及评分标准2015. 4一、选择题（本题共30 分，每小题 3 分）题号12345678910答案B A C C D A C A B C 二、填空题（本题共18 分，每小题 3 分）1112131415168BD=CE，∠ BAD=∠ CAE，∠ ADB =∠AEC，=，x 3 2m1 2m 1 BE=CD，∠BAE=∠CAD，∠ADE =∠AED，57， 13不变3AE=AD（只填一个即可）三、解答题（本题共30 分，每小题5 分）17．解：0( 1)16tan3012 π 200823= 2 3 1 2 6,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 4 分3=2 3 3 2 3=3． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 5 分18．证明：如图1．∵∠ EAC=∠DAB ，∴ EAC1DAB1．即∠ BAC=∠DAE ．,,,,,,,, 1 分在△ ABC 和△ ADE 中，C E,BAC DAE , ,,,,,,,,, 3 分图 1AB AD ,∴△ ABC≌△ ADE ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 4 分∴ BC = DE ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 5 分2x，①19．解：14x8. ②3 5x由①，得 x 2 ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 2 分由②，得 15x 3 4x 8 ．系数化 1，得 x 1 ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4 分所以原不等式组的解集为 x2 ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5 分20．解：a 2 3aa 3 1a22a 1 a 1a 1=a a3a 31 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2 分a2a1a 11a a3 a 11a2a 3 a 11= a1 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3 分a 1 a1= a1．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4 分a 1当 a2 时， 原式 =211．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 5 分2 1 321．解：设普通列车的平均速度为 x 千米 / 时． ,,,,,,,,,,,,,,,,, 1 分则高铁的平均速度是2.5x 千米 /时．依题意，得400 3520 ． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2 分2.5xx解得 x120 ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 3 分 经检验， x 120 是原方程的解，且符合题意． ,,,,,,,,,,,, 4 分所以 2. 5x 300 ．答：高铁的平均速度是300 千米 /时 . ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5 分22．（ 1）证明：2(m 1) 24m( m 2)4m 2 8m 4 4m 28m8m 2 4 ． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1 分∵ 8m 2 ≥ 0，∴ 8m 2 4 ＞ 0． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2 分∴方程总有两个不相等的实数根． ,,,,,,,,,,,,,,,3 分（ 2）解：∵ x2 是此方程的一个根，∴ ( 2)22 ( 2)(m 1)m(m 2) 0 ．22m 0 ．整理得 m解得 m 1 0 ， m 2 2 ． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5 分四、解答题（本题共20 分，每小题 5 分）23．（ 1）证明：∵ ADE BAD ，∴ AB ∥ ED ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1 分∵ BD 垂直平分 AC ，垂足为 F ，∴ BDAC ， AF=FC ．又∵ AE AC ，∴EAC DFC90 ．∴四边形ABDE 是平行四边形． ,,,,,,,,,,,,,,,,（2）解：如图 2，连接 BE 交 AD 于点 O．∵DA 平分∠ BDE，∴∠ ADE= ∠ 1．又∵ ADE BAD ，∴∠ 1= ∠ BAD ．∴ AB= BD ．,,,,,,,,,,,, 3 分∴ ABDE 是菱形．∵ AB= 5， AD= 6，∴ BD=AB= 5，AD BE ，OA 1AD 3 ．2在 Rt△OAB中，OB AB2OA2 4 ．∵ S V ABD 11AD OB BD AF ，22∴ 6 4 5 AF ．解得 AF 4.8 ．,,,,,,,,,, 4 分∵ BD 垂直平分 AC，∴ AC 2 AF9.6 ．,,,,,,,, 5 分注：其他解法相应给分．24．解：（ 1）补全扇形图如图 3 所示． ,,,,,,, 1 分（2） 2 号线， 52＜ x≤ 72 ， 22.2．（各 1 分）,,,,,,,,,,,,,,,, 4 分（ 3） 30．,,,,,,,,,,,,,,, 5 分25．解：（ 1）依题意，补全图形如图4． ,,,,,, 1 分（ 2）BAD ．,,,,,,,,,,,,,, 2 分证明：如图5，连接 BC， CD．∵直线 l 与直线 MA 关于直线MD 对称，∴12．,,,,,,,,, 3 分∵ AB 为⊙O的直径，∴ACB 90 ，即BC MA ．又∵ BE l ，∵ MC MB cos 1 ， ME MB cos 2 ，∴MC=ME ．又∵ C， E 两点分别在直线 MA 与直线 l 上，可得 C， E 两点关于直线 MD 对称．∴3BED ．,,,,,,, 4 分又∵3BAD ，∴BAD BED ．,,,,,, 5 分26．解： 45． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 1 分2 分图2图 3图 4图 511画图见图 6．,,,,,,,,,,,,,,, 3 分45． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 5 分五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）27．解：（ 1）∵二次函数y1x2bx c 的图象C1经过 ( 1,0) ， (0,3)两点，1 b c 0,1 分∴,,,,,,,,,,,,c 3.b2,2 分解得,,,,,,,,,,,,,c 3.∴抛物线 C 的函数表达式为y1x 22x 3 ．1,,,,,,,,,,,,,, 3 分（ 2）∵y1x2 2 x 3=(x1)2 4 ，图 7∴抛物线 C1的顶点为(1,4) ．,,,,,,,,,,,,,,,,,, 4 分∴平移后抛物线 C 2的顶点为(0,0)，它对应的函数表达式为y2x2．,5分（3）a≥1（见图 7）．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,28．解：（ 1） 90，1．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 2（ 2）结论： AHB 90， AF3．BE2证明：如图8，连接 AD．∵AB=AC，∠ BAC=60°，∴△ ABC 是等边三角形．∵D 为 BC 的中点，∴ AD⊥ BC．∴∠ 1+∠ 2=90°．又∵ DE ⊥ AC，∴∠ DEC =90°．∴∠ 2+∠ C=90°．∴∠ 1=∠ C=60°．设 AB=BC=k （k0 ），7 分2 分图8则 CE 1CDk， DE3k ．244∵ F 为 DE 的中点，∴ DF 1DE3k ， AD3328AB k ．22∴ AD 3 ， DF 3 ．BC2CE212∴ ADDF ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 3 分BCCE又∵∠ 1=∠ C ，∴△ ADF ∽△ BCE ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 4 分 ∴ AFAD 3 ， ,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 5 分BEBC 2∠ 3=∠ 4．又∵∠ 4+∠ 5=90°，∠ 5=∠6，∴∠ 3+∠ 6=90°．∴ AHB 90 ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,6 分（ 3） 1tan （90）． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 7 分22注：写 1 cos或其他答案相 分．2sin29．解：（ 1） 3，13 ．（每空各 1 分） ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2 分 （2） 1．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4 分（3）①如 9， 点 O 分 作射 OE 、OF 的垂 OG 、OH ， 形 M ：y 正半 ，∠ GOH的 及其内部的所有点（ 中的阴影部分）．,,,,,,,,7 分9明：（画 2 分，描述 1 分）（ 形 M 也可描述 ： y 正半 ，直 y3x 下方与直 y3x33下方重叠的部分（含 界） ）② 4． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分313。