正弦交流电路

－1－ 模块二 正弦交流电路 学习目标 了解正弦交流电的基本概念 掌握正弦交流电的三要素即振幅、角频率和初相位 熟练掌握正弦交流电的相量表示法 掌握R、L、C单一元件参数的交流电路和RLC串、并联交流电路的电压与电流间的关系 理解交流电路中的瞬时功率、有功功率、无功功率、视在功率 掌握串、并联谐振电路的谐振条件

课题一 正弦交流电的基本概念

在现代工农业生产和日常生活中，广泛地使用着交流电。其主要原因是与直流电相比，交流电在产生、输送和使用方面具有明显的优点和重大的经济意义。例如在远距离输电时，采用较高的电压可以减少线路上的损失。对于用户来说，采用较低的电压既安全又可降低电器设备的绝缘要求。这种电压的升高和降低，在交流供电系统中可以很方便而又经济地通过变压器来实现。 如图2-1所示的几种电压和电流的波形图。

oiu,toiu,toiu,

tt

IU,

o (a) 直流信号 (b) 方波 (c) 三角波 (d) 正弦波 图 2-1 常见电压和电流波形图 在图2-1(a)中，电压和电流的大小与方向不随时间的变化而变化，是恒定的，这种恒定的电压和电流称为直流电压和直流电流，简称为直流电或直流量。 在图2-1(b)～(d)中，电压和电流的大小和方向随时间按一定规律周期性变化的量，称为交变电压和交变电流，简称为交流电或交流量。在交流电中应用最广泛的是正弦交流电，如图2-1(d)所示。由于交流电的大小和方向都是随时间不断变化的，也就是说，每一瞬间电压和电流的数值都不相同，因此在分析和计算交流电路时就要比直流电路复杂得多。 一、正弦量的三要素

正弦交流电是随时间按照正弦函数规律周期性变化的电压和电流，简称为正弦量或正弦信号，如图2-2所示。 －2－

0iu,

t

t

iu,mmIU,

图2-2 正弦量波形图 正弦量在任一时刻的值称为瞬时值。正弦电压、电流的瞬时值表达式为 umtUusin

imtIisin

式中mU、mI称为振幅或最大值，它表示正弦信号在整个变化过程中能达到的最大值；称为角频率，它表示了单位时间正弦信号变化的弧度数；u、i称为初相角，简称初相。若已知一个正弦信号的振幅、角频率和初相角，就能将这个正弦信号的瞬时值表达式确定下来，所以振幅、角频率和初相角称为正弦量三要素。 1.振幅 正弦交流电流的波形如图2-3所示。图中的mI为电流振幅，又称峰值，用带下标m的大写英文字母表示。例如mU、mI、mE分别表示正弦电压、正弦电流、正弦电动势的振幅。正弦量的瞬时值表达式中的系数就是振幅，它是与时间无关的定值。

0t

it

t

imI

图2-3 正弦交流电流的波形图 正弦量的瞬时值是随时间而变化的，不便于用它表示正弦量的大小。因此，在工程上常用有效值来计算正弦电压和电流的大小。 －3－

有效值是指与交流电热效应相同的直流电流的数值。在正弦交流电中，一般用有效值来描述各量的大小。有效值是通过电流的热效应来规定的，若周期性电流i在一个周期内流过电阻R所产生的热量与另一个恒定的直流电流I流过相同的电阻R在相同的时间里产生的热量相等，即这个直流电流I和周期电流i的热效应是等效的，因此将这个直流电流的数值定义为该周期性交流电流的有效值。交流电的有效值必

须大写字母表示，例如I、U、E分别表示交流电流、交流电压、交流电动势的有效值。 有效值用大写字母表示，经数学推导有效值与最大值之间的关系为 正弦电流的有效值为 2mII 正弦电压的有效值为 2mUU 正弦电动势的有效值为 2mEE 引入有效值以后，正弦电压和正弦电流的瞬时值表达式也可表示为 uumtUtUusin2sin

iimtItIisin2sin

注意：交流设备铭牌标注的电压、电流均为有效值；交流电压表和交流电流的读数也为有效值。 2.角频率 图2-3中的称为角频率，它表示了单位时间正弦信号变化的弧度数，单位是弧度/秒（rad/s）。角频率与频率、周期的关系为 fT22 Tf1

频率的单位为赫兹（Hz），周期的单位为秒（s）。 周期、频率和角频率三个量都是说明正弦交流电变化快慢的。三个量中只要知道一个，即可求出其

它两个量。例如,在我国工业和照明用电的频率为f50Hz (称为工频)，其周期为sfT02.05011，

角频率sradf/3145022。 3.初相角 正弦量瞬时值表达式中的ut和it为电压和电流正弦量的相位角，简称相位。u、i



称为初相角，简称初相，单位为弧度（rad）,初相反映了正弦量在计时起点（即0t）所处的状态。一般规定初相在~范围内，初相角在纵轴的左边时，为正角，取0；初相角在纵轴的右边时，

为负角，取0。 例2-1试计算下列正弦量的周期、频率和初相角。 （1）)30314(sin5t （2）)60(cos8t

解： （1）周期 s02.050131422T －4－

频率 Hz5002.011Tf 初相 30 （2）周期 s222T

频率 Hz5.0211Tf 初相 150 二、相位差 两个频率正弦量初相位之差称为它们之间的相位差，用来表示。正弦电压与正弦电流的相位差为

iuiutt)()( 当两个同频率正弦量的计时起点作相同的改变时，它们的相位和初相也随之改变，但两者之间的相位差始终不变。我们只讨论同频率正弦量的相位差。

若0，表示iu，表明电压的相位超前于电流的相位，或电流滞后于电压的相位；

若0，表示iu，表明电压的相位滞后于电流的相位，或电流超前于电压的相位； 若0，表示iu，表明电压与电流同相； 若，表示iu，表明电压与电流反相； 若2，表示2iu，表明电压与电流正交。 注意： 1.两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时的选择起点无关。 2.不同频率的正弦量比较无意义。

例2-2 已知某正弦交流电压、电流的瞬时值分别为Vtu)6100sin(311，Ati)3100sin(5。分别写出该电压、电流的幅值，有效值，频率、周期、角频率，初相，以及电压与电流的相位差。 解：电压、电流的增幅 VUm300，AIm5

有效值 )(2202311VU，)(5.325AI

角频率 100，频率 Hzf5021002，周期 )(02.01sfT 初相 6u，3i 电压与电流的相位差 2)3(6iu －5－

课题二 正弦量的相量表示法及复数运算 当正弦量的三要素确定以后，该正弦量就被唯一确定了，若要用正弦量的瞬时值表达式进行计算，就要到三角函数的运算，其计算是非常繁琐的。而正弦量相量表示法可以解决这个问题，它把三角函数的运算简化为代数运算。正弦量的相量表示法的基础就是复数。

一、复数及其运算 由实轴和虚轴所构成的复平面上，一个复数A可以用一条有向线段来表示，在图2-4中，复数A的长度记为A，它称为复数A的模；有向线段与实轴i的夹角记为，称为复数A的辐角；有向线段端点

的横坐标a称为复数A的实部；其在虚轴j上的纵坐标b则称为复数A的虚部。

图2-4 复数的相量表示 1.复数的表示形式 复数有多种表示形式，有代数式、指数式、三角函数式和极坐标式。

代数式为 jbaA

指数式为 jreA 三角函数式为 sincosjrrA 极坐标式为 rA 以上为复数的几种表达形式，它们之间可以互换。 22bar abarctan

cosra

sinrb

虚数单位1j，j90sinj90cose90j。 2.复数的运算 进行复数的四则运算时，一般情况下，复数的加、减运算采用代数式进行，其实部与实部相加、减，虚部与虚部相加、减；复数的乘、除法运算采用极坐标式进行，两复数相乘，模相乘，辅角相加，两复数相除，辅角相减；复数的乘、除法运算也可采用三角函数式或指数式进行。

+j +i A b

a r

0  －6－

例2-3 已知复数43jA，34jB，试计算BA、BA、AB、BA/。 解：77)34()43()34()43(jjjjBA jjjjBA1)34()43()34()43( 将复数A、B转换成极坐标形式为： 53543jA 37534jB 则 9025)375)(535(AB 181)375/()535(/BA 二、正弦量的相量表示及运算

为了与一般的复数区别，我们把表示正弦量的复数称为相量，并在大写字母上打“•”，例如U、I、E。

1.相量的表示 正向量的相量表示即可以用幅值相量，也可以用有效值相量。例如：

uumtUtUusin2sin、iimtItIisin2sin的相量式可表

示为 幅值相量： ummUU immII 有效值相量：uUU iII 幅值相量与有效值相量之间的关系为 UUUUuumm22

IIIIiimm22

2.相量图 正弦量的相量可以在复平面上画出其相量的图形称为相量图。同一相量图中相量必须同频率。画相量图时，实轴、虚轴可省略。假设)sin(111tIim，)sin(222tIim，则有效值相量表示为

111II，222II



，其相量图如图2-5所示。

11I

2I2