第十讲：定积分的应用9题

高三新数学第一轮复习教案—导数、定积分

一．课标要求：

1．导数及其应用

（1）导数概念及其几何意义

① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。

（2）导数的运算

① 能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的导数；

② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））的导数；

③ 会使用导数公式表。

（3）导数在研究函数中的应用

① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；

② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

（4）生活中的优化问题举例

例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。

（5）定积分与微积分基本定理

① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；

② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。

（6）数学文化

收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。

二．命题走向

导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计2007年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：

第 1 页 共 6 页 第十六节 定积分及其简单应用

知识梳理

一、连续曲线

一般地，如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I上的________．

二、以直代曲求曲边梯形的面积的方法与步骤

1．分割：n等分区间[a，b]．

2．近似代替：取点ξi∈[]xi－1，xi.

3．求和：

4. 取极限：

三、定积分的定义

如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续曲线，用分点a＝x0

其中f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，b，a分别叫做积分上限和下限，区间[a，b]叫做积分区间，“∫”称为积分号．

四、定积分∫abf(x)dx的实质

1．当f(x)在区间[a，b]上大于0时，∫abf(x)dx表示___________________，这也是定积分的几何意义(如图①)．

2．当f(x)在区间[a，b]上小于0时，∫abf (x)dx表示_______________________(如图②)．

3．当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，∫abf(x)dx表示________________________(如图③)． 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，了解微积分基本定理的含义.

第 2 页 共 6 页

五、微积分基本定理(牛顿－莱布尼兹公式)

一般地，如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫ab(x)dx＝________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿―莱布尼兹公式，可以把F(b)－F(a)记作F(x)|ba，即∫abf(x)dx＝____________.

其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．

六、基本的积分公式

∫ab0dx ＝C；∫abxmdx ＝1m＋1xm＋1＋C(m∈Q，m≠－1)；∫ab1x dx＝ln||x＋C；∫abexdx ＝ex＋C；∫abaxdx ＝axln a＋C；∫abcos xdx ＝sin x＋C；∫absin xdx ＝－cos x＋C(各式中的C均为常数)．

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------------- 泰山学院信息科学技术学院教案

数值分析 教研室

课程名称 高等数学研究 授课对象

授课题目 第九讲 定积分的证明题与应用 课时数 2

教学

目的 通过教学使学生掌握有关定积分的存在性问题与不等式的证明方法，掌握微元法、面积、体积及弧长的计算。

重

点

难

点 1不定积分有关的的存在性问题的证明；

2不定积分有关的的不等式的证明；

3．面积、体积、弧长的计算。

教

学

提

纲

第九讲 定积分的证明题与应用

一、定积分的性质

二、定积分证明题

（１）存在性证明

（２）积分表示的不等式的证明

三、定积分应用

1．微元法

2．面积

（1）直角坐标情形

（2）极坐标情形

3．体积

4．弧长

1）y=f(x)在区间[a,b]上可导，且)(xf连续，则在[a,b]上的曲线可求长，且弧长dxxfLba)(12，是弧长公式。

2）参数方程)(tx )(ty （x）

与在，上连续，则dtttL22 -------------

------------- 教学过程与内容 教学

后记

第九讲 定积分的证明题与应用

一、定积分的性质

（１）当ba时，abbadxxfdxxf)()(.

（２）线性性：badxxsgxkf)]()([badxxfk)(badxxgs)(

（３）区间可加性：badxxf)(bccadxxfdxxf)()(

（４）不等性：],[ba上)()(xgxf，则dxxfba)( dxxgba)(.)(ba

dxxfba)(dxxfba)(.)(ba

（５）积分中值定理：如果函数)(xf，)(xg在闭区间],[ba上连续，)(xg在],[ba上不变号，则在积分区间],[ba上至少存在一个点 ，使

利用 定积分定积分 的几何意义计算

图形如图:SHAPE\*MERGEFORMAT所围面积例

利用不定积分的几何意义判定积分的正负

利用不定积分的几何意义计算定积分

利用定积分表示下列平面图形阴影部分的面积:

范智北京联合大学商学院特殊教育学院

[2]宁波张宁生、黄丽娇、AaCraft、DavidS.Martin、顾林.何为认知策略

教学对聋人学习者的影响[J].心理科学，2004(1):13~17

[1]钱佩玲.古今数学思想方法与中学数学(第二版)[M].北京:北京师范大学出版社，2008.8:3、23~44

:求曲线,及所围成图形的面积。解:

.计算下列积分:(1).(2).(3).(4).解:

【中图分类号】G642【文献标识码】A【文章编号】1674-4810(2011)05-0074-02一教学背景1987年，全国第一所残疾人高等教育学府长春大学特殊教

育学院成立。在几十年间，我国残疾人高等特殊教育事业蓬勃发展。其中，面

向听障生招生的多为计算机科学与技术、园林设计、艺术设计等方面的本科、

高职相关专业。对于需要学习数学的专业来说，微积分是学狗途游戏网

()生入学后所接触的第一门数学基础课。众所周知，数学是学习其他学科的工具，在培养人的思维、思想方法方面，有着其他学科所不可

替代的独特作用。听障生由于其自身条件的限制，在经过中等教育后，无论是

所掌握的数学知识，还是在逻辑思维、解决问题的方法方面较正常同龄生都有

很大的差距。因此，通过高等教育阶段的数学教育，丰富学生的数学知识，进

一步提高听障生逻辑思维能力，就显得尤为重要。不可否绿色游戏下载网

()认，我国听障生高等教育还处于起步阶段，对于听障生高

等数学教育、教学规律的研究还处于探索阶段。高等教育与中等教育又存在着

很大的区别。在中学，教师主要精力用于通过大量的题目演练来培养学生的技能技巧，学生(特别是听障生)则是在教师的直接指导下进行模仿和单一性的学