高中数学人教A版选修4-5 3-3 排序不等式 同步测试3
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第三节 排序不等式
解答题
1．若a1≤a2≤…≤an，而b1≥b2≥…≥bn或a1≥a2≥…≥an而b1≤b2≤…≤bn，证明：a1b1＋a2b2＋…＋anbnn≤a1＋a2＋…＋ann·b1＋b2＋…＋bnn.当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时等号成立．
证明 不妨设a1≤a2≤…≤an，b1≥b2≥…≥bn.
则由排序原理得：
a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn
a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤a1b2＋a2b3＋…＋anb1
a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤a1b3＋a2b4＋…＋an－1b1＋anb2
……
a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤a1bn＋a2b1＋…＋anbn－1.
将上述n个式子相加，得：n(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)
≤(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)
上式两边除以n2，得：a1b1＋a2b2＋…＋anbnn
≤a1＋a2＋…＋annb1＋b2＋…＋bnn.
等号当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时成立．
2．设a1，a2，…，an为实数，证明：
a1＋a2＋…＋ann≤ a21＋a22＋…＋a2nn.
证明 不妨设a1≤a2≤a3≤…≤an
由排序原理得
a21＋a22＋a23＋…＋a2n＝a1a1＋a2a2＋a3a3＋…＋anan.
a21＋a22＋a23＋…＋a2n≥a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋ana1
a21＋a22＋a23＋…＋a2n≥a1a3＋a2a4＋a3a5＋…＋ana2
a21＋a22＋a23＋…＋a2n≥a1an＋a2a1＋a3a2＋…＋anan－1
以上n个式子两边相加 n(a21＋a22＋a23＋…＋a2n)＝(a1＋a2＋a3＋…＋an)2
两边同除以n2得
a21＋a22＋a23＋…＋a2nn≥a1＋a2＋a3＋…＋ann2
所以 a21＋a22＋a23＋…＋a2nn≥a1＋a2＋a3＋…＋ann
结论得证．
3．设a1，a2，…，an为正数，求证：a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1an＋a2na1≥a1＋a2＋…＋an.
证明 不妨设a1>a2>…>an>0，
则有a21>a22>…>a2n
也有1a1<1a2<…<1an，
由排序原理：乱序和≥反序和，得：
a21a2＋a22a3＋…＋a2na1≥a21a1＋a22a2＋…＋a2nan＝a1＋a2＋…＋an.
4．设A、B、C表示△ABC的三个内角的弧度数，a，b，c表示其对边，求证：aA＋bB＋cCa＋b＋c≥π3.
证明 法一 不妨设A>B>C，则有a>b>c
由排序原理：顺序和≥乱序和
∴aA＋bB＋cC≥aB＋bC＋cA
aA＋bB＋cC≥aC＋bA＋cB
aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC
上述三式相加得
3(aA＋bB＋cC)≥(A＋B＋C)(a＋b＋c)＝π(a＋b＋c)
∴aA＋bB＋cCa＋b＋c≥π3.
法二 不妨设A>B>C，则有a>b>c，
由排序不等式aA＋bB＋cC3≥A＋B＋C3·a＋b＋c3，
即aA＋bB＋cC≥π3(a＋b＋c)， ∴aA＋bB＋cCa＋b＋c≥π3.
5．设a，b，c为正数，利用排序不等式证明a3＋b3＋c3≥3abc.
证明 不妨设a≥b≥c>0，∴a2≥b2≥c2，
由排序原理：顺序和≥反序和，得：
a3＋b3≥a2b＋b2a，b3＋c3≥b2c＋c2b
c3＋a3≥a2c＋c2a
三式相加得2(a3＋b3＋c3)
≥a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)．
又a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.
所以2(a3＋b3＋c3)≥6abc，
∴a3＋b3＋c3≥3abc.
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
6．设a，b，c是正实数，求证：aabbcc≥(abc)a＋b＋c3.
证明 不妨设a≥b≥c>0，则lg a≥lg b≥lg c.
据排序不等式有：
alg a＋blg b＋clg c≥blg a＋clg b＋alg c
alg a＋blg b＋clg c≥clg a＋alg b＋blg c
alg a＋blg b＋clg c＝alg a＋blg b＋clg c
上述三式相加得：
3(alg a＋blg b＋clg c)≥(a＋b＋c)(lg a＋lg b＋lg c)
即lg(aabbcc)≥a＋b＋c3lg(abc)
故aabbcc≥(abc)a＋b＋c3.
7．设xi，yi (i＝1,2，…，n)是实数，且x1≥x2≥…≥xn，y1≥y2≥…≥yn，而z1，z2，…，zn是y1，y2，…，yn的一个排列．
求证：∑ni＝1 (xi－yi)2≥∑ni＝1 (xi－zi)2.
证明 要证∑ni＝1 (xi－yi)2≥∑ni＝1 (xi－zi)2 只需证∑ni＝1y2i－2∑ni＝1xiyi≥∑ni＝1z2i－2∑ni＝1xizi.
因为∑ni＝1y2i＝∑ni＝1z2i，∴只需证∑ni＝1xizi≤∑ni＝1xiyi.
而上式左边为乱序和，右边为顺序和．
由排序不等式得此不等式成立．
故不等式∑ni＝1 (xi－yi)2≥∑ni＝1 (xi－zi)2成立．
8．已知a，b，c为正数，且两两不等，求证：2(a3＋b3＋c3)>a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)．
证明 不妨设a>b>c>0.则a2>b2>c2，a＋b>a＋c>b＋c，
∴a2(a＋b)＋b2(a＋c)＋c2(b＋c)
>a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)，
即a3＋c3＋a2b＋b2a＋b2c＋c2b
>a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)，
又∵a2>b2>c2，a>b>c，
∴a2b＋b2a 即a2b＋b2a＋b2c＋c2b 所以有2(a3＋b3＋c3)>a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)．
