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选修4-5 不等式选讲 班级____________ 姓名________________第1课时 不等式的基本性质(学案)一、学习目标：1.复习比较两个实数大小的几何意义和代数意义；2.复习、归纳不等式的基本性质，学会证明这些性质，并会利用不等式的性质解决一些简单的比较大小的问题；3.通过对不等式的实数大小的比较和不等式性质的证明，培养学生逻辑推理、逻辑论证的能力.二、试一试：(一).引例：生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为_____，加入m 克糖 后的糖水浓度为__________，要说明糖水更甜，只要证________________即可。
怎么证呢?（二）不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的_____________即可。
当00a ,b >>时，我们还可以用求商的方法来比较两个实数的大小，即：2、不等式的基本性质：性质1.__________________________________________________________________. 性质2.__________________________________________________________________. 性质3.__________________________________________________________________. 推论.__________________________________________________________________.性质4.__________________________________________________________________.推论1.__________________________________________________________________. 推论2.__________________________________________________________________. 推论3.__________________________________________________________________. 推论4.__________________________________________________________________.三、练一练：1.已知a>b ，c<d ，求证：a-c>b-d ．2.已知a>b>0，c<0，求证：b ca c >。
高中数学北师大版选修4-5不等式选讲第一章《平均值不等式》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
知识与技能
(1).回顾和复习平均值不等式(两个).
(2).理解三个正数的平均值不等式.了解n个正数的平均值不等式.
(3).会运用三个正数的平均值不等式求一些特定函数的最值.
过程与方法
(1).经历从两个实数的重要不等式到基本不等式的复习回顾,从而循序渐进的过渡到三个正数实数的平均值不等式的过程,不断逐步提高学生的类比、猜测、分析、归纳、概括的能力;
(2).通过平均值不等式的推导和运用,进一步掌握证明的综合法,并渗透等价转化的数学思想方法和运用条件的数学严谨性。
情感、态度与价值观
在动手探讨和证明平均值不等式的学习过程中,培养学生的类比、猜测、分析、归纳、概括的能力;亲身经历平均值不等式的获得过程,感受数学的连续美,同时养成扎实严谨的学习习惯,增强学生战胜困难的意志品质和锲而不舍的钻研精神.
2学情分析
知识方面
(1)在必修5学生已经学习了基本不等式,并初步理解了基本不等式的意义和利用基本不等式解决问题的方法,具备主动探究平均值不等式的基础;
(2)根据学习类比推理的经验,学生对基本不等式有了一定的认识,会继续往下猜测,所以,将猜测的结果理性化将会是对他们的一个挑战;
学生自身方面
(1)我所教授的班级是理科实验班,他们数学基础相对好一点,思维比较活跃,对新鲜事物有一定的好奇心和探索欲望,对老师的讲授敢于质疑,有自己的想法和主见,愿意自己去探索是什么和为什么,并且具备了初步的探索能力;
(2)对数学猜测的学习只是停留在表面,对猜测的形成过程不重视,所以无法深刻理解;。
《绝对值的不等式的解法及应用》教学设计
【教学目标】
1 掌握含有两个有绝对值的不等式的解法，
2 掌握含参数绝对值不等式的解法
3 通过教学，体会数形结合、等价转化的数学思想方法．
【教学重点】
含有绝对值的不等式的解法．
【教学难点】
理解绝对值不等式解法的灵活运用．
【教学方法】
本节课主要采用数形结合法与讲练结合法．首先复习绝对值的概念和绝对值不等式的基本性质，然后师生共同探讨两个绝对值不等式的解法，从而逐步引导学生学习简单的含有绝对值的不等式的解法．。
选修4－5不等式选讲第2课时不等式的证明1 不等式证明的常用方法1 比拟法：比拟法是证明不等式的一种最根本的方法，也是一种常用方法，根本不等式就是用比拟法证得的．比拟法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负．比拟法证明不等式的步骤：作差商、变形、判断符号．其中的变形主要方法是分解因式、配方，判断过程必须详细表达．2 综合法：综合法就是从题设条件和已经证明过的根本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直到推出要证明的结论，即为“由因导果〞，在使用综合法证明不等式时，常常用到根本不等式．3 分析法：分析法就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，直至推出显然成立的不等式，即为“执果索因〞．2 不等式证明的其他方法和技巧1 反证法从否认结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否认是错误的，从而肯定结论是正确的证明方法．2 放缩法欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得A≥C1≥C2≥…≥C n≥B，利用传递性到达证明的目的．3 数学归纳法[备课札记]题型1用比拟法证明不等式例1求证：求证：1当∈R时，1＋24≥23＋2；2当a，b∈0，＋∞时，a a b b≥ab错误!解析：1证法一1＋24－23＋2＝23－1－＋1－1＝－123－－1＝－123－2＋－1＝－1[22－1＋－1]＝－1222＋2＋1＝－12[2＋错误!2＋错误!]≥0，∴1＋24≥23＋2证法二1＋24－23＋2＝4－23＋2＋4－22＋1＝－12·2＋2－12≥0，∴1＋24≥23＋22错误!＝a错误!b错误!＝错误!错误!，当a＝b时，错误!错误!＝1当a>b>0时，错误!>1，错误!>0，那么错误!错误!>1当b>a>0时，01综上可知，当a、b∈0，＋∞时，a a b b≥ab错误!成立．用比拟法证明不等式的一般步骤是：作差(商)—变形—判断—结论，而变形的方法一般有配方法、通分和因式分解错误!a>0，b>0，求证：错误!＋错误!≥错误!＋错误!证明：证法1∵错误!－错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!≥0，∴原不等式成立．证法2由于错误!＝错误!＝错误!＝错误!－1≥错误!－1＝1又a>0，b>0，错误!>0，∴错误!＋错误!≥错误!＋错误!题型2用分析法、综合法证明不等式例2设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2解析：证法一综合法∵a≥b>0，∴a2≥b2，那么3a2≥2b2，那么3a2－2b2≥0又a－b≥0，∴a－b3a2－2b2≥0，即3a3－2ab2－3a2b＋2b3≥0，那么3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，故原不等式成立．证法二分析法要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需证3a3＋2b3－3a2b－2ab2≥0，即3a2a－b＋2b2b－a≥0，也即a－b3a2－2b2≥0*∵a≥b>0，∴a－b≥0又a2≥b2，那么3a2≥2b2，∴3a2－2b2≥0，*式显然成立，故原不等式成立．综合法是由因导果，宜于表达，适合人们的思维习惯，但是，要求考生要有较强的观察与变形的能力分析法是执果索因，利于思考，但是表述格式要求严谨，二者各有所短，相互补充但凡能用分析法证明的不等式，一定可以用综合法证明错误!a>0，求证：错误!－错误!≥a＋错误!－2证明：要证错误!－错误!≥a＋错误!－2，只需证错误!＋2≥a＋错误!＋错误!，只需证a2＋错误!＋4＋4错误!≥a2＋错误!＋2＋2错误!错误!＋2，即证2错误!≥错误!错误!，只需证4错误!≥2错误!，即证a2＋错误!≥2，此式显然成立．∴原不等式成立．题型3放缩法在不等式中的应用例3设m是|a|，|b|和1中最大的一个，当||>m时，求证：|错误!＋错误!|m，∴||>|a|，||>|b|，||>1，∴|错误!＋错误!|≤|错误!|＋|错误!|＝错误!＋错误!，添加或减少项，利用有界性等(2)在用放缩法证明不等式时，“放〞和“缩〞均有一个度错误!假设实数、、满足＋2＋3＝aa为常数，求2＋2＋2的最小值．解：∵ 12＋22＋322＋2＋2≥＋2＋32＝a2，即142＋2＋2≥a2，∴2＋2＋2≥错误!，即2＋2＋2的最小值为错误!例4：假设a，b，c都是小于1的正数，求证：1－ab，1－bc，1－ca不可能同时大于错误!证明：假设1－ab，1－bc，1－ca同时大于错误!，∵1－a>0，b>0，∴错误!≥错误!>错误!＝错误!，同理错误!>错误!，错误!>错误!三个不等式相加得错误!>错误!，不可能，∴1－ab，1－bc，1－ca不可能同时大于错误!对于某些问题中所证结论假设是“都是〞“都不是〞“至多〞“至少〞等问题，一般用反证法有些题目虽不含此类要求(如此题)，但直接证明不易入手，也可考虑用反证法注意在否认时，需将“且〞改为“或〞例5：用数学归纳法证明：3n≥1＋2nn∈N*．证明：1n＝1时，3n＝3,1＋2n＝3，那么3n≥1＋2n成立．2假设n＝≥1，∈N*时命题成立．即3≥1＋2，那么当n＝＋1时，3＋1＝3·3≥31＋2．又31＋2－[1＋2＋1]＝4，而4>0，那么31＋2>1＋2＋1，那么3＋1>1＋2＋1，即命题对于n＝＋1也成立．由1，2得命题对于一切正整数n都成立．与自然数n有关的不等式证明问题，如果用常规方法有困难，可以考虑利用数学归纳法来证明．在利用数学归纳法证明不等式时，在第二步骤中，要注意利用归纳假设．同时，这一步骤往往会涉及到分析法、放缩法等综合手段．错误!用数学归纳法证明：当n是不小于5的自然数时，总有2n>n2成立．证明：1 当n＝5时，25>52，结论成立．2 假设当n＝∈N，≥5时，结论成立，即有2>2，那么当n＝＋1时，左边＝2＋1＝2·2>2·2＝＋12＋2－2－1＝＋12＋－1－错误!－1＋错误!>＋12＝右边∴也就是说，当n＝＋1时，结论成立．∴由1、2可知，不等式2n>n2对n∈N，n≥5时恒成立．1 在a、b、m、n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，求am＋bnbm＋an的最小值．解：利用柯西不等式求解，am＋bnan＋bm≥错误!＋错误!2＝mn·a＋b2＝2·1＝2，且仅当错误!＝错误!m＝n时取最小值22 设、、∈R，且满足2＋2＋2＝1，＋2＋3＝错误!，求＋＋的值．解：由柯西不等式可知＋2＋32＝14≤2＋2＋2·12＋22＋32，因为2＋2＋2＝1，所以当且仅当错误!＝错误!＝错误!时取等号．此时＝2，＝3代入＋2＋3＝错误!得＝错误!，即＝错误!，＝错误!，所以＋＋＝错误!3 a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b证明：∵ 2a3－b3－2ab2＋a2b＝2a3－2ab2＋a2b－b3＝2aa2－b2＋ba2－b2＝a2－b22a＋b＝a＋ba－b2a＋b，又a≥b>0，∴a＋b>0，a－b≥0，2a＋b≥0，∴a＋ba－b2a＋b≥0，∴2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，∴2a3－b3≥2ab2－a2b4 设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1证明：1 ab＋bc＋ca≤错误!；2 错误!＋错误!＋错误!≥1证明：1 由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca由题设得a＋b＋c2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1所以3ab＋bc＋ca≤1，即ab＋bc＋ca≤错误!2 因为错误!＋b≥2a，错误!＋c≥2b，错误!＋a≥2c，故错误!＋错误!＋错误!＋a＋b＋c≥2a＋b＋c，即错误!＋错误!＋错误!≥a＋b＋c所以错误!＋错误!＋错误!≥11 正数a、b、c满足abc＝1，求证：a＋2b＋2c＋2≥27证明：a＋2b＋2c＋2＝a＋1＋1b＋1＋1c＋1＋1≥3·错误!·3·错误!·3·错误!＝27·错误!＝27当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立．2 函数f＝m－|－2|，m∈R，且f＋2≥0的解集为[－1，1]．1 求m的值；2 假设a，b，c∈R，且错误!＋错误!＋错误!＝m，求证：a＋2b＋3c≥9解：1 ∵ f＋2＝m－||≥0，∴||≤m，∴m≥0，－m≤≤m，∴f＋2≥0的解集是[－1，1]，故m＝12 由1知错误!＋错误!＋错误!＝1，a、b、c∈R，由柯西不等式得a＋2b＋3c ＝a＋2b＋3c错误!≥错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!·错误!2＝93 ，，∈R＋，且＋＋＝11 假设22＋32＋62＝1，求，，的值．2 假设22＋32＋t2≥1恒成立，求正数t的取值范围．解：1 ∵ 22＋32＋62错误!＋错误!＋错误!≥＋＋2＝1，当且仅当错误!＝错误!＝错误!时取“＝〞．∴ 2＝3＝6，又∵＋＋＝1，∴＝错误!，＝错误!，＝错误!2 ∵ 22＋32＋t2错误!≥＋＋2＝1，∴22＋32＋t2min＝错误!∵22＋32＋t2≥1恒成立，∴错误!≥1∴t≥64 1 求函数＝错误!＋错误!的最大值；2 假设函数＝a错误!＋错误!最大值为2错误!，求正数a的值．解：1 ∵错误!＋错误!2≤1＋1－1＋5－＝8, ∴错误!＋错误!≤2错误!当且仅当1·错误!＝1·错误!即＝3时，ma＝2错误!2 a错误!＋错误!2＝错误!2≤a2＋4＋1＋错误!－＝错误!a2＋4，由错误!a2＋4＝2021＝±2，又∵ a>0，∴a＝21 算术—几何平均不等式假设a1，a2，…，a n∈R＋，n>1且n∈N*，那么错误!叫做这n个正数的算术平均数，错误!叫做这n个正数的几何平均数．根本不等式：错误!≥错误!n∈N*，a i∈R＋，1≤i≤n．2 绝对值三角形不等式假设a、b是实数，那么||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|推论1：|a1＋a2＋…＋a n|≤|a1|＋|a2|＋…＋|a n|推论2：如果a、b、c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当a－bb －c≥0时，等号成立．3 柯西不等式假设a、b、c、d为实数，那么a2＋b2c2＋d2≥ac＋bd24 三角不等式设1、1、2、2∈R，那么错误!＋错误!≥错误!。
《排序不等式》教学设计第1课时教学目标:1、了解并会用向量递归方法讨论排序不等式。
2、初步会用排序不等式证明一些简单不等式问题和实际应用问题。
教学重点：会用排序不等式证明简单不等式和解决实际问题。
教学难点：排序不等式的证明。
教学过程（一）问题探讨一：甲，乙两位老师同时到学校教务处复印资料，教务处只有一台复印机，甲复印8页需5min，乙复印15页需9min，哪位老师先复印，可使两人等候时间之和最小？（学生讨论，老师小结）小结：这个问题的实质是如何对两组实数（5，9）和（1，2）进行一一搭配的问题思考：对于任意两组实数的搭配的大小关系？设计意图:从实际问题到一般结论,从具体到抽象,既激发了学生的兴趣,又符合认识的规律,且前面有实际问题的铺垫，那么后面的猜测和证明学生都是可以自己完成的，这样能收到较好的教学效果。
（二）问题探讨二：某加油站每次只能对一辆汽车加油，已知一辆大型卡车加油需7min，一辆中型卡车加油需5min，而一辆小型轿车加油只需4min，现有这三种车各一辆同时到达该加油站，怎么样安排加油顺序，才能使加油和等候的时间和最小？分析：由于第一辆车在加油时，三辆车都在等候，而第二辆车加油时，加满油的车已走开，故只有两辆车在等候，最后辆车加油时只有一辆车在等候，因此问题的实质是两组实数7，5，4和3，2，1的一一搭配问题，这样的搭配方案共有6种。
设计意图：可以要求学生把6种方案都一一列出，分别计算等候时间，作比较后得到最优方案，然后再抽象成例题先算，再猜，最后证明，这样有益于学生理解问题的背景和实质。
（三）新知探究分析：例题即是3个排序不等式，采用的是通过逐步调整，一步一步靠近欲证目标的证明策略，具体做法固定一组数据不变，而逐次调整与之一一搭配的另一序列，要在调整中不断比较大小，逐步过渡到顺序而最终得证。
证明的表达式有些类似于分类讨论。
课堂小结:排序不等式，顺序和≥乱序和≥逆序和作业布置1.课本34页，习题2-2，A组，5，6题2.思考:。
选修4-5 不等式选讲课 题： 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。
要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。
而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。
还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。
怎么证呢? 二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。
课 题： 第01课时 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。
要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。
而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。
还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。
怎么证呢?二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。
平均值不等式-北师大版选修4-5 不等式选讲教案一、知识点回顾1. 不等式的定义不等式是指两个实数之间的大小关系的式子。
2. 不等式的性质不等式在进行推导时要注意以下性质：•加减同项•倍乘同项•变形3. 平均值不等式平均值不等式是指对于一组实数a1, a2, ……,an，其算术平均数与其几何平均数之间存在如下关系：(a1 + a2 + …… + an) / n ≥ (a1 × a2 × …… × an) ^ (1/n)当且仅当所有的a1～an都相等时等号成立。
二、练习题1. 已知正整数a、b、c和d，且a < b < c < d，那么以下哪个不等式成立？(A)(a + d) / 2 > (b + c) / 2(B)(a + d) / 2 < (b + c) / 2(C)(a + d) / 2 ≥ (b + c) / 2(D)(a + d) / 2 ≤ (b + c) / 2解答：由于a、b、c、d是正整数，且a < b < c < d，因此有：•b > a•c > b•d > c两边分别相加得：a + d >b + c两边同时除以2，得：(a + d) / 2 > (b + c) / 2因此选项（A）成立，其他选项均不成立。
2. 已知a、b是正整数，且a + b = 10，那么a×b的最大值是多少？解答：按照平均值不等式的形式，有：(a + b) / 2 ≥ (a × b) ^ (1/2)代入a + b = 10，得到：5 ≥ (a × b) ^ (1/2)两边平方，得：25 ≥ a × b因此a×b的最大值为25。
三、实例演练1. 元素平均值不等式已知正数1 ≤ x1 < x2 < …… < xn，证明：(x1 + x2 + …… + xn) / n ≥ (x1 × x2 × …… × xn) ^ (1/n)证明：当n=2时，式子变形为：(x1 + x2) / 2 ≥ (x1 × x2) ^ (1/2)两边平方得：(x1 + x2) ^ 2 / 4 ≥ x1 × x2化简得：(x1 - x2) ^ 2 ≥ 0该式显然成立，因此对于n=2时，原式成立。
不等式的性质-北师大版选修4-5 不等式选讲教案一、不等式的定义不等式是表示不等关系的数学式子。
在不等式中，我们主要会遇到以下三种符号：•大于号 >，表示大于的关系；•小于号 <，表示小于的关系；•不等于号≠，表示不等于的关系。
二、不等式的性质1. 加减不等式如果对不等式的两边同时加上（减去）同一个数，则不等式的关系不变。
例如：如果a < b，则有a + c < b + c。
2. 乘除不等式如果两边同时乘（除）以同一个正数，则不等式的关系不变。
例如：如果a < b 且 c > 0，则有ac < bc。
如果两边同时乘（除）以同一个负数，则不等式的关系会变化。
例如：如果a < b 且 c < 0，则有ac > bc。
需要注意的是，当两边同时乘（除）以同一个负数时，一定要颠倒不等式的方向。
3. 绝对值不等式对于任何实数a和b，都有|a + b| ≤ |a| + |b|。
根据这个不等式，我们可以推得以下两个结论：•|a - b| ≥ |a| - |b|;•|a - b| ≥ |b| - |a|。
4. 平方不等式对于任何实数a和b，有以下公式成立：•(a + b)² ≥ 4ab；•(a - b)² ≥ 0。
这两个公式分别叫做“算术-几何平均值不等式”和“平方差公式”。
需要注意的是，当取等号时，等号右边的值必须是非负实数，否则不等式就不成立了。
5. 根式不等式对于一般的不等式，有以下公式成立：√(a² + b²) ≥ |a| + |b|。
这个公式也叫做“柯西不等式”。
需要注意的是，当取等号时，等号右边的值必须是非负实数，否则不等式就不成立了。
三、例题讲解例题1已知x > 0，y < 0，则下列不等式中正确的是（）。
A. xy < 0B. x + y < xC. x - y < xD. x + y < 0解：由于x > 0 和 y < 0，因此可以得出以下不等式：xy < 0。
“折线型”函数图像及其最值的探究西安市长安区第六中学 赵宝 一．设置情景，趣味导入： 54321-+-+-+-+-=x x x x x y 12-=x y 11x x k y -=1x 1k 11x x k y -=①有一个分界点为1x x =，01>k 时，在）（1,x ∞-单调递减，在），（∞+1x 单调递增，图②当像为正“V ”型； 01<k 时，在）（1,x ∞-单调递增，在），（∞+1x 单调递减，图当像为倒“V ”型； 01>k 时，当1x x =时，函数有最小值为0； ③当01<k 为，当1x x =时，函数有最大值为0当小试牛刀： 说说下列函数何时取到最值？最值是多少？23-=x y23+-=x y2-=x y1+-=x y★★任务二：画出212---=x x y 的图像x)1,(-∞ )2,1( ),2(+∞ 21k k +-1 -3 1 正负k- - 增减减 减 增探究二：思考)(212211x x x x k x x k y <-+-=的图像的大致形状？几何画板验证小结：（师生共同完成）小结二：①有两个分界点分别为1x x =，2x x =②021>+k k 在）（1,x ∞-单调递减，0-21>k k 在），（21x x 单调递增，在），（∞+1x 单调递增； 021>+k k 在）（1,x ∞-单调递减，0-21<k k 在），（21x x 单调递减，在），（∞+1x 单调递增； 021<+k k 在）（1,x ∞-单调递增，0-21>k k 在），（21x x 单调递增，在），（∞+1x 单调递减； 021<+k k 在）（1,x ∞-单调递减，0-21<k k 在），（21x x 单调递减，在），（∞+1x 单调递增； ③021>+k k 函数有最小值；021<+k k 函数有最大值；★★★任务三：画出33212-+---=x x x y 的图像探究三：思考)(321332211x x x x x k x x k x x k y <<-+-+-=的图像的大致形状？小结：（学生完成）四．链接高考，模拟训练 模拟练习题1（2021年新课标1卷23题） 模拟练习题2（2021年全国新课标卷3第23题）五．小结归纳，形成系统1. 你能总结一下“折线型函数”图像的规律吗？2. 谈谈你本节课的收获3现在你能画出54321-+-+-+-+-=x x x x x y 了吗？六．课外练习，提高拓展作业：【基础题】1【提高题】2已知函数3212342)(---+-++-+=x x x a x x x f 的最大值为4，求a 的值。
高中数学北师大版选修4-5不等式选讲第一章《含有绝对值的不等式》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1.知识与技能:理解绝对值的几何意义,理解绝对值不等式定理,掌握定理的两种证明思路及其几何意义, 会用绝对值不等式解决一些简单问题。
2.过程与方法:充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法,体会转化和数形结合的数学思想,并能运用绝对值不等式公式进行推理和证明。
3.情感、态度与价值观:体验不等式的美感,提高推理能力,增强学习兴趣。
能运用所学的知识,正确地解决的实际问题。
2学情分析
学生虽然在初中接触过绝对值的定义与几何意义,但对于绝对值不等式没有深入研究过,所以本节课的知识对学生来说比较新鲜,同时,利用几何意义探究绝对值不等式相关问题的方法对学生来说比较困难。
3重点难点
三、教学重点:绝对值不等式定理的生成与绝对值不等式的几何意义。
四、教学难点:绝对值不等式的发现及完善和推导、取等条件。
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】猜谜语
小小竖线两边夹,
数形结合理解它。
负数遇它乾坤倒,
正数遇它不变化。
(打一数学名词)
谜底:绝对值。
绝对值不等式教学目标1掌握绝对值不等式的基本定理及其应用2注意使用绝对值不等式的必要技巧与方法3会用绝对值不等式求最值学情分析学生在初中已经学过绝对值的概念，也在高中必修课程中学习不等式的相关内容，这些内容的学习为本节知识的学习打下了基础，本节所学知识容易识记，但由于由绝对值不等式定理产生的相关推论相对复杂，学生不易灵活运用本节我采用多媒体与板书相结合的方式，启发式与探究式相结合的教学方法，注重师生的合作探究，促进学生对本节的掌握重点难点重点：对绝对值不等式+a b a b +≤的掌握难点：对绝对值不等式+a b a b +≤及其相关推论的灵活运用教学过程（一）复习回顾1实数a 的绝对值a 的几何意义与代数意义 2a b -的几何意义（二）设置疑问，激发兴趣问题：两个施工队甲、乙分别被安排在公路沿线的两个地点A 、B 施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10公里和第2021处现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处？（三）探究新知 由ab a b =和(0)a a b b b=≠，提出探究问题：a b +和a b +也相等吗？通过师生合作探究，得出结论：对任意实数,a b ，有+a b a b +≤，当且仅当0ab ≥时等号成立（四）推理论证从代数的角度严格证明上述定理，了解并掌握含有绝对值不等式的一种证明技巧与方法（五）课堂训练，巩固新知例1 若,22A a B b εε-<-<，求证：（1）()()A B a b ε+-+<；（2）523232A B a b ε+--< 例2 求证：对任意实数,,a b c ，有a b a c c b -≤-+-（六）运用新知，解决问题，前后呼应运用刚学过的知识解决之前提出的实际应用问题（七）知识再探究，拓展新知通过教师引导学生推理变形，得到绝对值不等式+a b a b +≤的相关推论a b a b a b -≤±≤+（八）课堂小结1 对任意实数,a b ，有+a b a b +≤，当且仅当0ab ≥时等号成立2 对任意实数,a b ，a b a b a b -≤±≤+（九）布置作业 P9 习题1-2 A 组 第1-4题。
选修4－5不等式选讲全国卷错误!年考情图解高考命题规律把握高考对本章考查主要有以下两个方面：1绝对值不等式的求解与函数问题的综合，这是高考命题的热点；2绝对值不等式中的恒成立问题与不等式的证明相结合第一节绝对值不等式1绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立❶定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当a－bb－c≥0时，等号成立2绝对值不等式的解法1含绝对值不等式||＜a与||＞a的解法：不等式a＞0a＝0a＜0||＜a 错误!∅∅||＞a {|＞a或＜－a}{|∈R且≠0}R2|a＋b|≤cc＞0和|a①|a＋b|≤c⇔－c≤a＋b≤c；②|a＋b|≥c⇔a＋b≥c或a＋b≤－c3|－a|＋|－b|≥cc＞0和|－a|＋|－b|≤cc＞0型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；❷③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想1等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用定理求函数的最大小值时，应特别注意2定理1还可以变形为|a－b|≤|a|＋|b|，等号成立的充要条件是ab≤0分区间讨论时，要注意以下两点：1不要把分成的区间的端点遗漏2原不等式的解集是若干个不等式解集的并集，而不是交集[熟记常用结论]错误![小题查验基础]一、判断题对的打“√”，错的打“×”1若||＞c的解集为R，则c≤02不等式|－1|＋|＋2|＜2的解集为∅3对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立4对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立答案：1×2√3×4×二、选填题，b为满足ab＜0的实数，那么A|a＋b|＞|a－b|B|a＋b|＜|a－b|C|a－b|＜||a|－|b|| D|a－b|＜|a|＋|b|解析：选B∵ab＜0，∴|a－b|＝|a|＋|b|＞|a＋b|2不等式3≤|5－2|＜9的解集为A[－2,1∪[4,7 B－2,1]∪4,7]C－2，－1]∪[4,7 D－2,1]∪[4,7解析：选D由题意得错误!即错误!解得错误!不等式的解集为－2,1]∪[4,73不等式|2－a|＜b的解集为{|－1＜＜4}，则a＋b的值为A－2 B2C8 D－8解析：选C∵|2－a|＜b的解集为{|－1＜＜4}，∴b＞0，由|2－a|＜b，得－b＜2－a＜b，即错误!＜＜错误!∴错误!＝4，∴a＋b＝8，故选C4不等式|＋1|－|－2|≥1的解集是________解析：令f＝|＋1|－|－2|＝错误!当－1＜＜2时，由2－1≥1，解得1≤＜≥2时，f＝3＞错误!答案：错误!＝|－4|＋|＋4|的最小值为________解析：因为|－4|＋|＋4|≥|－4－＋4|＝8，所以所求函数的最小值为8答案：8考点一绝对值不等式的解法[师生共研过关][典例精析]2021·洛阳第一次统考已知函数f＝错误!|－a|a∈R1当a＝2时，解不等式错误!＋f≥1；2设不等式错误!＋f≤的解集为M，若错误!⊆M，求实数a的取值范围[解]1当a＝2时，原不等式可化为|3－1|＋|－2|≥3①当≤错误!时，原不等式可化为－3＋1＋2－≥3，解得≤0，所以≤0；②当错误!＜＜2时，原不等式可化为3－1＋2－≥3，解得≥1，所以1≤＜2；③当≥2时，原不等式可化为3－1＋－2≥3，解得≥错误!，所以≥2综上所述，当a＝2时，原不等式的解集为{|≤0或≥1}2不等式错误!＋f≤可化为|3－1|＋|－a|≤3，依题意知不等式|3－1|＋|－a|≤3在错误!上恒成立，所以3－1＋|－a|≤3，即|－a|≤1，即a－1≤≤a＋1，所以错误!解得－错误!≤a≤错误!，故所求实数a的取值范围是错误![解题技法]解绝对值不等式的常用方法基本性质法对a∈R＋，||＜a⇔－a＜＜a，||＞a⇔＜－a或＞a平方法两边平方去掉绝对值符号零点分区间法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式组求解数形结合法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解[过关训练]已知函数f＝|＋1|－|2－3|1画出＝f的图象；2求不等式|f|＞1的解集解：1由题意得f＝错误!故＝f的图象如图所示2由f的表达式及图象可知，当f＝1时，可得＝1或＝3；当f＝－1时，可得＝错误!或＝5，故f＞1的解集为{|1＜＜3}；f＜－1的解集为错误!所以|f|＞1的解集为错误!考点二绝对值不等式性质的应用[师生共研过关][典例精析] 2021·银川模拟设函数f＝2－－15，且|－a|＜11解不等式|f|＞52求证：|f－fa|＜2|a|＋1[解]1因为|2－－15|＞5，所以2－－15＜－5或2－－15＞5，即2－－10＜0或2－－2021，解得错误!＜＜错误!或＜－4或＞5，所以不等式|f|＞5的解集为错误!2证明：因为|－a|＜1，所以|f－fa|＝|2－－15－a2－a－15|＝|－a＋a－1|＝|－a|·|＋a－1|＜1·|＋a－1|＝|－a＋2a－1|≤|－a|＋|2a－1|＜1＋|2a－1|≤1＋|2a|＋1＝2|a|＋1，即|f－fa|＜2|a|＋1[解题技法]绝对值不等式性质的应用利用不等式|a＋b|≤|a|＋|b|a，b∈R和|a－b|≤|a－c|＋|c－b|a，b∈R，通过确定适当的a，b，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式[过关训练]若对于实数，有|1－|≤2，|＋1|≤1，求|2＋3＋1|的最大值解：因为|2＋3＋1|＝|2－1＋3＋1|≤2|－1|＋3|＋1|≤7，所以|2＋3＋1|的最大值为7考点三含绝对值不等式的综合问题[师生共研过关][例1]2021·辽宁五校联合体模拟已知函数f＝|－a|＋|2－a|a∈R1若f1＜11，求a的取值范围；2若∀a∈R，f≥2－－3恒成立，求的取值范围[解]1f1＝|1－a|＋|2－a|＝错误!当a≤1时，3－2a＜11，解得a＞－4，∴－4＜a≤1；当1＜a＜2时，1＜11恒成立；当a≥2时，2a－3＜11，解得a＜7，∴2≤a＜7综上，a的取值范围是－4,72∵∀a∈R，f≥2－－3恒成立，又f＝|－a|＋|2－a|≥|－a－2－a|＝||，∴||≥2－－3，∴错误!或错误!解得0≤≤3或－错误!≤＜0，∴的取值范围是[－错误!，3][例2]2021·南昌模拟设函数f＝|2＋3|＋|－1|1解不等式f＞4；2若存在∈错误!使不等式a＋1＞f成立，求实数a的取值范围[解]1由已知，得f＝错误!∴f＞4⇔错误!或错误!或错误!⇔＜－2或0＜≤1或＞1综上，不等式f＞4的解集为－∞，－2∪0，＋∞2存在∈错误!使不等式a＋1＞f成立⇔a＋1＞f min，∈错误!由1得，∈错误!时，f＝＋4，f min＝错误!，∴a＋1＞错误!，∴a＞错误!，∴实数a的取值范围为错误![解题技法]1含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法1分离参数法：运用“f≤a⇔f ma≤a，f≥a⇔f min≥a”可解决恒成立问题中的参数范围问题求最值的3种方法：①利用基本不等式和不等式的相关性质解决；②将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；③利用性质“||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|”求最值2更换主元法：求解含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法3数形结合法：在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可更直观解决问题2不等式能成立问题1在区间D上存在实数使不等式f＞A成立，等价于在区间D上f ma＞A；2在区间D上存在实数使不等式f＜B成立，等价于在区间D上f min＜B3不等式恰成立问题1不等式f＞A在区间D上恰成立，等价于不等式f＞A的解集为D；2不等式f＜B在区间D上恰成立，等价于不等式f＜B的解集为D[过关训练]12021·惠州第一次调研已知函数f＝|2－1|＋|＋1|，g＝|－a|＋|＋a|1解不等式f＞9；2若∀1∈R，∃2∈R，使得f1＝g2，求实数a的取值范围解：1f＝错误!f＞9等价于错误!或错误!或错误!解得＞3或＜－3，所以原不等式的解集为{|＞3或＜－3}2∀1∈R，∃2∈R，使得f1＝g2，等价于f min≥g min因为g＝|－a|＋|＋a|≥2|a|，由1知f≥f 错误!＝错误!，所以2|a|≤错误!，解得－错误!≤a≤错误!，所以实数a的取值范围是错误!22021·全国卷Ⅰ已知函数f＝－2＋a＋4，g＝|＋1|＋|－1|1当a＝1时，求不等式f≥g的解集；2若不等式f≥g的解集包含[－1,1]，求a的取值范围解：1当a＝1时，不等式f≥g等价于2－＋|＋1|＋|－1|－4≤0①当＜－1时，①式化为2－3－4≤0，无解；当－1≤≤1时，①式化为2－－2≤0，从而－1≤≤1；当＞1时，①式化为2＋－4≤0，从而1＜≤错误!所以f≥g的解集为错误!2当∈[－1,1]时，g＝2所以f≥g的解集包含[－1,1]，等价于当∈[－1,1]时，f≥2又f在[－1,1]的最小值必为f－1与f1之一，所以f－1≥2且f1≥2，得－1≤a≤1 所以a的取值范围为[－1,1]错误! 12021·沈阳模拟已知函数f＝|－1|＋|－a|1若函数f的值域为[2，＋∞，求实数a的值；2若f2－a≥f2，求实数a的取值范围解：1∵|－1|＋|－a|≥|－1－－a|＝|a－1|，∴|a－1|＝2，解得a＝3或a＝－12由f2－a≥f2，得3|a－1|－|a－2|≥1，则错误!或错误!或错误!解得a≤0或错误!≤a≤2或a＞2，综上，实数a的取值范围是－∞，0]∪错误!＝|2＋3|－|2－1|1求不等式f＜2的解集；2若存在∈R，使得f＞|3a－2|成立，求实数a的取值范围解：1不等式f＜2等价于错误!或错误!或错误!解得＜－错误!或－错误!≤＜0，∴不等式f＜2的解集是－∞，02∵f≤|2＋3－2－1|＝4，∴f ma＝4，∴|3a－2|＜4，解得－错误!＜a＜2，∴实数a的取值范围是错误!32021·成都模拟已知函数f＝|－2|＋|＋1|，∈R1当＝1时，若不等式f＜4的解集为{|1＜＜2}，求1＋2的值；2当∈R时，若关于的不等式f≥恒成立，求的最大值解：1由题意，得|－2|＋|＋1|＜4当＞2时，原不等式可化为2＜5，∴2＜＜错误!；当＜－1时，原不等式可化为－2＜3，∴－错误!＜＜－1；当－1≤≤2时，原不等式可化为3＜4，∴－1≤≤2综上，原不等式的解集为错误!，即1＝－错误!，2＝错误!∴1＋2＝12由题意，得|－2|＋|＋1|≥在∈R上恒成立，则当＝2时，不等式3≥成立，∴≥0①当≤－2或≥0时，∵|＋1|≥1，∴不等式|－2|＋|＋1|≥恒成立②当－2＜≤－1时，原不等式可化为2－－－≥，可得≤错误!＝－1＋错误!，∴≤3③当－1＜＜0时，原不等式可化为2－＋＋≥，可得≤1－错误!，∴＜3综上，可得0≤≤3，即的最大值为342021·全国卷Ⅰ已知f＝|＋1|－|a－1|1当a＝1时，求不等式f＞1的解集；2若∈0,1时不等式f＞成立，求a的取值范围解：1当a＝1时，f＝|＋1|－|－1|，即f＝错误!故不等式f＞1的解集为错误!2当∈0,1时|＋1|－|a－1|＞成立，等价于当∈0,1时|a－1|＜1成立若a≤0，则当∈0,1时，|a－1|≥1，不满足题意；若a＞0，则|a－1|＜1的解集为错误!，所以错误!≥1，故0＜a≤2综上，a的取值范围为0,2]52021·甘肃第二次诊断检测设函数f＝|－3|，g＝|－2|1解不等式f＋g＜2；2对于实数，，若f≤1，g≤1，证明：|－2＋1|≤3解：1解不等式|－3|＋|－2|＜2①当＜2时，原不等式可化为3－＋2－＜2，可得＞错误!，所以错误!＜＜2②当2≤≤3时，原不等式可化为3－＋－2＜2，可得1＜2，所以2≤≤3③当＞3时，原不等式可化为－3＋－2＜2，可得＜错误!，所以3＜＜错误!综上，不等式f＋g＜2的解集为错误!2证明：|－2＋1|＝|－3－2－2|≤|－3|＋2|－2|≤1＋2＝3，当且仅当错误!或错误!时等号成立＝5－|＋a|－|－2|1当a＝1时，求不等式f≥0的解集；2若f≤1，求a的取值范围解：1当a＝1时，f＝错误!。
