数学思想方法与课堂教学

1 数学思想方法与课堂教学

徐州市铜山中学 李玉新

中学数学的教学过程，实质上是运用各种数学理论进行数学知识教学的过程。在这个过程中，必然要涉及数学思想的问题。数学课程标准将数学思想方法的培养列入数学的课程目标，数学思想方法将作为数学素质教育的重要内容已引起教育界的普遍关注和高度重视，从而确立了数学思想方法在素质教育中的重要地位。那么我们应当如何认识数学思想方法？在数学教学中又应当如何展示和渗透数学思想方法？以下根据自己的教学实践谈谈自己的粗浅见解。

一、什么是数学思想方法

所谓数学思想方法是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学关系和用数学解决问题的指导思想；并数学地提出问题、解决问题（包括数学内部问题和实际问题）过程中，所采用的各种方式、手段、途径等。“数学思想”比一般的“数学概念”具有更高的概括抽象水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻。“数学思想”是与其相应的“数学方法”的精神实质与理论基础，“数学方法”则是实施相关的“数学思想”的技术与操作程式。中学数学用到的各种数学方法，都体现着一定的数学思想。

二、在教学中运用数学思想方法的意义

数学思想方法产生于数学知识，而数学知识又蕴藏着数学思想，二者相辅相成，密不可分。正是数学知识与数学思想方法的这种辩证统一性，决定了我们在传授数学知识的同时必须重视数学思想方法的教学。因此在数学教学活动中，学生的认知活动不能仅限于掌握课本中的数学知识，更重要的是在知识的探索过程中领会和掌握数学思想方法。教学实践表明：在讲授数学概念、公式、定理的形成过程中渗透数学思想方法就能发展抽象概括能力和逻辑思维能力，在例题教学中运用数学思想方法启发学生发现解题思路，寻求解题规律，就能培养学生分析问题和解决问题的能力。

数学思想方法又是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂。因此，引导学生领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是使学生提高思维水平，真正懂得数学的价值，建立科学的数学观念，从而发展数学、运用数学的重要保证，也是现代 2 教学思想与传统教学思想根本区别之一。

总之，加强数学思想方法的教学就能优化课堂教学，有利于把握好能力目标的发展点，培养学生的创新意识，进而提高学生的数学素质。

三、数学思想方法的特性和作用

数学思想是在数学的发展史上形成和发展的，它表现在对数学对象的开拓之中，表现在对数学概念、命题和数学模型的分析与概括之中，还表现在新的数学方法的产生过程中。它具有如下的突出特性和作用。

1、数学思想凝聚成数学概念和命题、原则和方法

我们知道，不同层次的思想，凝聚成不同层次的数学模型和数学结构，从而构成数学的知识系统与结构。在这个系统与结构中，数学思想起着统帅的作用。

2、数学思想深刻而概括，富有哲理性

各种各样的具体的数学思想，是从众多的具体的个性中抽取出来且对个性具有普遍指导意义的共性。它比某个具体的数学问题(定理、法则等)更具有一般性，其概括程度相对较高。现实生活中普遍存在的运动和变化、相辅相成、对立统一等“事实”，都可作为数学思想进行哲学概括的材料，这样的概括能促使人们形成科学的世界观和方法论。

3、数学思想富有创造性

借助于分析与归纳、类比与联想、猜想与验证等手段，可以使本来较抽象的结构获得相对直观的形象的解释，能使一些看似无处着手的问题转化成极具规律的数学模型。从而将一种关系结构变成或映射成另一种关系结构，又可反演回来，于是复杂问题被简单化了，不能解的问题的解找到了。如将著名的哥尼斯堡七桥问题转化成一笔画问题，便是典型的一例。

四、数学思想方法的教学策略

由于数学思想方法是基于数学知识而高于数学知识的一种隐性的数学知识，要在反复的体验和实践中才能使个体被逐渐认识、理解，转化为个体认知结构中对数学学习和问题解决有着生长点和开放面的稳定成分。因此，教材内容的合理编排和高质量的教学设计是贯彻数学思想方法教学的基础和保证。

1、首先教师要更新观念，提高对数学思想方法理解和认识

数学思想和数学方法，既要理解为数学中深层次的基础知识，又要理解为解决问题时的思维策略。心理学家认为，人们在学习思考时，注意力要在高层次的策略性知识 3 与低层次的描述性知识及程序性知识之间不断转换，不仅要注意到自己加工的材料，而且要注意到自己的加工过程和加工方法，不断反省自己的策略是否恰当，优化自己的加工过程。而在数学学科中，这种策略性知识与事实性知识的结合是非常紧密的，是相互渗透、相互融洽的，只要教师在教学中有意识地渗透、传授，学生就可以通过课堂教学获得大量的关于解决数学问题的一般和特殊的策略性知识。在教学中挖掘与渗透数学思想，是使传统的知识型教学向能力型培养转化，造就开拓型、创造型人才的有力工具和重要手段。

2、教师要回归课本，深刻分析和挖掘教材

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象概括，它蕴涵于数学知识的发生、发展和应用过程中，有的数学思想方法与内容溶于一体，如化归思想、分类讨论思想、数形结合思想；有的数学思想方法则与相关的内容溶为一体，如配方法、换元法、待定系数法，除数学归纳法作为单调内容作为一节单独列出来以外，其余的数学思想方法均隐含于教材中，因此都需要教师在教学中去挖掘其中的数学思想方法。然而在一章或一单元的教学中，将涉及很多的数学思想方法，就需要教师根据教材内容有意识突出一种或几种思想方法的教学，如在不等式单元教学中将涉及代换思想、函数方程思想、数形结合思想、分类思想和化归思想；在指数函数的学习中将涉及函数思想、分类思想、数形结合思想、化归思想等，即使是同一数学思想，在不同教学阶段，不同的教学内容，也应提出不同的要求。

3、落实措施，反复应用

要实现数学思想和方法的教学目标，需要教师开展扎扎实实的教学工作，把数学思想和方法的教学落实到教学的每一个环节。学生对数学思想方法的学习要经过感受、领悟和发展三个阶段，因此教师的教学过程应该从以下几个方面渗透数学思想方法。

1）、在知识形成阶段渗透数学思想方法。

在知识形成阶段，可渗透观察、试验、比较、分析、抽象概括等抽象化、模型化的思想方法。如：函数思想方法、方程思想方法、极限思想方法、统计思想方法等等。比如在高中代数《数列》的教学中，如果能及时渗透函数的观点去理解和应用数列的通项公式和前n项和的公式，那么对学生概念的理解和问题的解决都有很大的帮助。

2）、在问题的解决探索过程中揭示数学思想方法。

许多教师往往产生这样的困惑：题目讲得不少，但学生总是停留在模仿型解题的水平上，只要条件稍稍一变则不知所措，学生一直不能形成较强解决问题的能力。更谈不 4 上创新能力的形成。究其原因就在于教师在教学中的就题论题，殊不知授之以“渔”比授之以“鱼”更为重要。因此，在数学问题的探索的教学中重要的是让学生真正领悟隐含于数学问题探索中的数学思想方法，使学生从中掌握关于数学思想方法方面的知识，并把这些知识消化吸收成具有“个性”的数学思想。逐步形成用数学思想方法指导思维活动，这样在遇到同类问题时才能胸有成竹，从容对待。在解题教学中一般从以下几个方面引导学生，培养学生自觉运用数学思想解题的意识。

注意分析探求解题思路时数学思想方法的运用。解题的过程就是在数学思想的指导下，合理联想提取相关知识，调用一定数学方法加工、处理题设条件及其隐含的信息，逐步缩小题设与结论间的差异的过程，也可以说是运用化归思想思维的过程。解题思路的寻求就自然是运用思想方法分析解决问题的过程。

注意数学思想方法在解决典型问题中的运用。如解题中求二面角大小最常用的方法之一就是：根据已知条件，在二面角内寻找或作出过一个面内一点到另一个面上的垂线，然后利用三垂线定理或其逆定理作出二面角的平面角。这个通法就是在化立体问题为平面问题的转化思想的指导下求得的。其中三垂线定理在构图中的运用，也是分析、联想等数学思维方法运用之所得。

调整思路，克服思维障碍时，注意数学思想方法的运用。通过认真观察，挖掘隐含条件，以产生新的联想；分类讨论，使条件确切，结论易求；化一般为特殊，化抽象为具体，使问题简化等都值得我们一试。分析、归纳、类比等数学思维方法，数形结合、分类讨论、转化等数学思想是走出思维困境的武器与指南。

用数学思想指导知识、方法的灵活运用，进行一题多解、一题多变的练习，培养思维的发散性、灵活性、敏捷性；对习题灵活变通、引伸推广，培养思维的深刻性、抽象性；引导对解法的简捷性的反思评估，不断优化思维品质，培养思维的严谨性、批判性。对同一数学问题的多角度的审视引发的不同联想，是一题多解的思维本源。丰富的、合理的联想，是对知识的深刻理解及类比、转化、数形结合、函数与方程等数学思想运用的必然。数学方法、数学思想的自觉运用往往使我们运算简捷、推理机敏，是提高数学能力的必由之路。

3）、在知识总结阶段概括数学思想方法。

数学思想方法贯穿在整个中学数学教材的知识点中，以内隐的方式溶于数学知识体系。要使学生把这种思想内化成自己的观点，应用它去解决问题，就要把各种知识所表现出来的数学思想适时作出归纳概括。概括数学思想方法要纳入教学计划，要有目的、 5 有步骤地引导学生参与数学思想的提炼概括过程，特别是章节复习时，在对知识复习的同时，将统领知识的数学思想方法概括出来，增强学生对数学思想的应用意识，从而有利于学生更透彻地理解所学的知识，提高独立分析、解决问题的能力。

在复习中要充分展现知识形成发展过程，揭示其中蕴涵的丰富的数学思想方法。如几何体体积公式的推导体系，集公理化思想、转化思想、等积类比思想及割补转换方法之大成，就是这些思想方法灵活运用的完美范例。只有通过展现体积问题解决的思路分析，并同时形成系统的条理的体积公式的推导线索，才能把这些思想方法明确地呈现在学生的眼前。学生才能从中领悟到当初数学家的创造思维进程，这对激发学生的创造思维，理解数学思想，掌握数学方法的作用是不可低估的。

注重知识在教学整体结构中的内在联系，揭示思想方法在知识互相联系、互相沟通中的纽带作用。如函数、方程、不等式的关系，当函数值等于、大于或小于一常数时，分别可得方程，不等式，联想函数图象可提供方程、不等式的解的几何意义。运用转化、数形结合的思想，这三块知识可相互为用。注意总结建构数学知识体系中的数学思想方法，揭示思想方法对形成科学的、系统的知识结构，把握知识的运用，深化对知识的理解等数学活动中的指导作用。如函数图象变换的复习中，把散见于二次函数、反函数、正弦型函数等知识中的平移、伸缩、对称变换，引导学生运用化曲线间的关系为对应动点之间的关系的转化思想及求相关动点轨迹的方法统一处理，得出图象变换的一般结论。深化学生图象变换的认识，提高了学生解决问题的能力及观点。

4）、在数学课外活动课中渗透数学思想方法

综合实践活动课是中学阶段新增的一门课程，根据数学科的特点，往往采取兴趣小组、学科讲座、竞赛辅导、数学研究性学习活动等形式开展数学活动课。在素质教育的导向下，数学活动课日益活跃，究其原因，是数学活动课不仅为广大中学生所喜爱，而且是数学教师普遍选用的对数学课堂教学有益补充的活动方式。特别是在数学讲座等活动中适当渗透数学思想和方法，给数学教学带来了生机，使过去那死水般的应试题海教学一改容颜，焕发了青春，充满了活力。