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第四章 中学数学的思想和方法

第四章 中学数学的思想和方法

• 2． 4． 枚举法 ：解某些数学题时，有时要根据题目的一部分 条件，把可能的答案一一列举出来，然后根据另一部分条件检验， 筛选出题目的答案。这种解题方法叫枚举法。 • 2． 5． 类比法 ：“类比”是根据两个或两类事物有些属性相 同，推测它们另一些属性也可能相同的推理。在解题中，根据题 中所求问题与已知条件相类似的关系，利用类比推理，找类比模 型，从而寻找解题途径的方法叫类比法。 例16 时钟六点整， 分针与时针正好在一条直线上，至少再过多少时间，两针重合？ 在思考此题时，如果把时针1小时所走的一格看作路程单位，那 么就可以联想到行程问题：“甲乙两人同时同向而行，甲在乙前 面6千米，甲每小时行1千米，乙每小时行12千米。问乙经过多少 时间能追上甲？”通过“分针、时针重合”与“追及”的类比， 就可以找到解题途径，求出两针第一次重合时间为6÷（12 - 1） =（小时）即32分钟。
• 三．数学中常用的一般方法 • 公理化方法 • 数学模型法
• 四．数学中的典型方法 • 构造法 • 反证法
• 二．几种常见的解题方法 • 2． 1． 化归法 ：就是用联系、运动、发展变化的观点来看待 问题，把有待解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经 解决或容易解决的问须。化归法的实质就是对问题进行变形，促 使矛盾转化。转出的方式要根据题目的内容灵活运用。 • 2． 2． 假设法 ：假设法是先对题目中的已知条件或问题作出 某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量上出现 的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种解题思想方法。 • 2．3．逆推法 ：采用与事情发生过程相反的顺序思考的解题方 法叫做逆推法。
• • • • • • •
• 二、符号化思想 • 数学离不开符号，数学的符号化语言能够不分国家和 种族到处通用。英国著名的哲学家、数学家罗索说过： 什么是数学？数学就是符号加逻辑。数学的符号化思 想随着数学发展的需要逐步形成，而符号化思想的发 展又成为数学发展的重要推动因素。 • 本部分思考题和ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ究计划： • 符号化思想在中学数学中的运用 • 列方程解应用题的思想

中考复习课件—初中数学思想方法的教学与应用资料

中考复习课件—初中数学思想方法的教学与应用资料
初中数学思想方法的教学与应用
什么是数学思想和方法
数学思想，就是对数学知识的本质的认识。是从某 些具体的数学内容和对数学的认识过程中提练上升数 学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指 导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。 数学方法指在数学中提出问题、解决问题（包括 数学内部问题和实际问题）过程中，所采用的各种方 式、手段、途径等。 数学思想和数学方法是紧密联系的，强调指导思 想时，称数学思想，强调操作过程时，称数学方法。
1 2 1 1 ,y1),N( 4 ,y2),P( 2
4、若M( ,y3)三点都在函数 （k<0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ） A、 y2＞y3＞y1 B、 y2＞y1＞y3 C 、 y3＞y1＞y2 D、 y3＞y2＞y1
中位数 czsy6050@

6、
5、对于二次函数y＝ax2＋bx＋c若a＞0，b＜0，c ＜0， 则下面关于这个函数与x轴的交点情况正确的是（ ） A.只有一个交点 B.有两个，都在x轴的正半轴 C.有两个，都在x轴的负半轴 D.一个在x轴的正半轴，一个在x轴的负半轴
教学体现
•多边形内角和的探索 •整式乘法运算法则探索 •直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关 系探索 •分式方程的解法、多元方程（组）的解 法、一元二次方程的解法 •几何实体与其三视图
中位数
czsy6050@
应
用
1、 如图，“回”字形的道路宽为1米，整个
“回”字形的长为8米，宽为7米，一个人从 入口点A沿着道路中央走到终点B，他共走 了 .
中位数
czsy6050@
应
2、 1
用
1、若x=1时，代数式ax3+bx+7的值为4，则当x= -1时， 求ax3+bx+7的值为；

初三数学复习--思想方法.ppt

初三数学复习--思想方法.ppt

x 10.3 x 10.3 （C） （D） y 2.2 y 0.2
分析：对比两个方程组发现：x+2=a=8.3, y-1=b=1.2, 所以x=6.3, y=2.2 .故选（A).
3 2．若点 A(x1，y1)、B(x2，y2)在反比例函数 y＝－ 的图象上，且 x1<0<x2，则 y1、y2 和 0 x 的大小关系是( ) A．y1>y2>0 B．y1<y2<0 C．y1>0>y2 D．y1<0<y2
（3）由图可知，x＞1或﹣2＜x＜0．
2k1 b 1
k
考点四 分类讨论的思想
例 4.如图⊙O 的半径为 1，AB 是⊙O 的一条弦，且 AB＝ 3，则弦 AB 所对圆周角的度 数为( ) A．30° B．60° C．30° 150° 或 D．60° 120° 或
【点拨】注意一条弦所对圆周角的度数有两个，这两个圆周角相等或互补．
在数学的海洋中，一 道道数学题只是大海中 的一朵朵浪花，谁能踏 遍每一朵浪花呢？
数学思想方法是学习数学知识的精髓，是培养数学分析问题、解决问题能力提升的有效 途径，在数学学习过程中，如果经常反思总结一些数学思想方法，能达到触类旁通的解题目 的，而且能节省审题时间，因此，在中考冲刺阶段一定要多进行题后反思的环节，力争通过 反思数学思想方法达到“做一题，会一类”的目的． 初中数学思想主要有：①整体思想；②转化思想；③数形结合思想；④分类讨论思想； ⑤函数与方程的思想；⑥统计思想；⑦特殊到一般的思想等．
分析：连接OD，由正方形性质可知∠EOD ＝∠DOC＝45°， 在Rt△OED中，OD＝ 2 ， 因为正方形的边长为1，所以OE＝DE＝1， 所以，设两部分阴影的面积中的一部分为M ，另一部分为N，则阴影部分面积可求，但 这种方法较麻烦，用转化的方法解此题较为 简单，设一部分空白面积为P， 因为∠BOD＝∠DOC，所以M＝P， 所以 s阴影 =s矩形CAFD = 2 1

中学数学思想和方法 优质课件

中学数学思想和方法 优质课件
18
19
于是，就将图1抽象成图2，并且将原来 提出的实际问题，抽象成能否一笔画出 图2的问题。欧拉研究了一笔画的更一 般问题，认为，一个连通图如果可以一 笔画成，则除了起点和终点外，其余点 处的连线总是一进一出成双成对的，必 有偶数条 ,这样的点称为偶点 ,而七桥问 题的点都不是偶点，所以不能实现一笔 画，也就是不能实现每个桥只走一次而 回到原点想法。欧拉运用了数学抽象的 方法，成功地解决了这个问题，并由此 产生了数学一个新的分支----图论。
13
逻辑型思想方法，包括演绎法、分类法、 完全归纳法、不完全归纳法、观察法、 类比法等，这类方法都具有确定的逻辑 结构。例如，演绎法具有严格的逻辑表 达结构。
14
操作技巧型思想方法，包括比较法、公 式法、特殊化方法、构造法、变换法等 方法，这类方法常常用于具体解题，具 有一定的操作步骤。
的内容、公理化的方法。
7
公理化作为现代数学的一种基本的表述方法和发展
方式就是以欧几里得的《几何原本》为其开端的，《九 章算术》共分九章，每一章都包括若干道问题， 每道问题后给以答案，一些问题给出解题的方法。 《九章算术》对我国古代数学作了总结和发展， 它具有如下的特点：开放的归纳体系、算法化的 内容与模型化的方法。
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( 一) 抽象和概括
抽象，是人们在感性认识的基础上，透 过现象，深入里层，抽取出事物的本质 特征、内部联系和规律，从而达到理性 认识的思维方法。抽象的过程离不开比 较、归纳、分析、综合，要经过“去粗 取精、去伪存真、由此及彼、由表及里” 的加工制作过程，排除那些无关的或非 本质的次要因素，抽取出研究对象的重 要特征、本质因素、普遍规律与因果关 系加以认识，从而为解答问题提供某种 科学依据或一般原理。

中学教学中数学思想方法PPT课件

中学教学中数学思想方法PPT课件

通过大量练习，熟悉逻辑推理和归纳分类 方法，提高解题速度和准确性。
学习借鉴他人经验
反思总结
阅读数学名著、论文等，学习数学家们的 思维方式和解题方法，借鉴他们的经验提 高自己的能力。
对自己的学习过程和解题方法进行反思总 结，找出不足之处并加以改进，不断完善 自己的思维方式和解题方法。
06
创新意识和实践能力培养
解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映 。
数学思想与数学方法的关系
相辅相成，数学思想是数学方法的灵魂，数学方法 是数学思想的表现形式。
重要性及意义
80%
提高学生数学素养
数学思想方法是数学素养的重要 组成部分，掌握数学思想方法有 助于学生更好地理解和应用数学 知识。
100%
培养学生创新能力
数学思想方法具有高度的抽象性 和概括性，能够激发学生的创新 思维和创造力。
排列组合基本原理和公式介绍
01
02
03
04
排列定义
从n个不同元素中取出m个元素 （0≤m≤n），按照一定的顺序 排成一列，叫做从n个元素中取 出m个元素的一个排列。
组合定义
从n个不同元素中取出m个元素 （0≤m≤n），不考虑元素的顺 序，叫做从n个元素中取出m个 元素的一个组合。
基本原理
加法原理和乘法原理，是排列 组合问题的基础。
统计方法
包括描述性统计和推断性统计两大类，前者主要 对数据进行整理和描述，后者则通过样本数据对 总体进行推断和预测。
05
逻辑推理与归纳分类能力训练
逻辑推理基本规则和方法介绍
逻辑推理基本规则
包括同一律、矛盾律、排中律等基本逻辑规则，确保推理过程严 密、准确。
逻辑推理方法

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36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
Hale Waihona Puke 6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿

初中数学思想方法的与应用 精品优选公开课件

初中数学思想方法的与应用 精品优选公开课件
1、在概念形成过程中 2、在公式定理的证明过程中 3、在例题教学中 4、在练习过程中
四、初中数学思想方法的教学与应用
• 类比思想 • 整体思想 • 数形结合思想 • 分类讨论思想 • 转化与化归思想 • 方程与函数思想
1、类比思想
•
类比法，是通过对两个研究对象的比
较，根据它们某些方面（属性、关系、特
2x+6=3-x
• 解一元一次不等式：
2x+6﹤3-x
• 2、教学中，用找规律来解题的方法类比在试
题中也经常出现，比如：如果定义一种运算法
则：a*b=b（a+b）-ab+3，则5*2= 。
•
解：5*2=2×（5+2）-5×2+3=7
•
此类题目主要是让学生读懂新定义符号的
• 实际意义，它就是一种方法的“类比”。
x
（2019甘肃陇南）28、如图，抛物线y=ax2+bx+4交x 轴于A（-3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C， 连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点， 点P的横坐标为m． （1）求此抛物线的表达式； （2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点 Q．试探究点P在运动过程中， 是否存在这样的点Q，使得以 A，C，Q为顶点的三角形是 等腰三角形．若存在，请求出
应用
1、若x=1时，代数式ax³+bx+7的值为4，则当x= -1时， 求ax³+bx+7的值为；
2、 若x-2y=-5，则2（x-2y）2--7(x-2y)3+3(x-2y)2-（x-2y）3的值为_______.
3、若代数式2x+4y-2=3，求代数式4x+8y-5的值是多少？
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教学体现
•二次函数求最值 •解直角三角形的相关问题 •最大利润问题 •最佳分配方案问题 •空间与图形的相关问题 •根据相关信息求函数关系式
应用
1、 如图，ABC中，BC＝4， A C23， A C B60
P为BC上一点，过点P作PD//AB，交AC于D。连结AP，问点P 在BC上何处时， ⊿APD 面积最大？
O
x
2t4
S41(4t)2 2
• (江苏连云港2019) 如图，在平面直角坐标系xOy 中的，一抛个物交线点为L1：A，过且点点C(A0的，横﹣坐3)，标与为抛2，物点线PL、2：Q分 别是抛物线L1、抛物线L2上的动点．
• （1）求抛物线L1对应的函数表达式； • （2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平
A
D
B
PH
C
２、某学校有一段25米长的旧围栏，（如图用AB表示），现打 算利用该围栏（或它的一部分）为一边，围成一块面积为100 ㎡的长方形草坪，如图，其中CD＜CF。已知整修旧围栏的费 用为每米1.75元，建造新围栏的价格为每米4.5元，设利用旧围 栏CF的长度为x米，修建草坪围栏的总费用为y元。 （1）求出y与x之间的函数关系式。 （2）若计划修建费用只有150元，则应利用旧围栏多少米？ （3）若计划修建费用只有120元，能否完成该草坪的围栏修建 任务？请说明理由。
教学体现
•|a |= ———— •实数的分类 •三角形的分类 •与圆有关的位置关系 •三角形判定方法的探索 •一元二次方程的解的情况 •二次函数中存在性问题
应用
1、等腰三角形的一个角等于30°，腰长为20cm， 求等腰三角形腰上的高的长；
2、已知直角三角形两边x、y的长满足
x24 y25y60 ，则第三边长为
c ＜0，则下面关于这个函数与x轴的交点情况正确的 是（ ）
A.只有一个交点 B.有两个，都在x轴的正半轴 C.有两个，都在x轴的负半轴 D.一个在x轴的正半轴，一个在x轴的负半轴
分类讨论思想
•
分类讨论思想又称逻辑划分，即把所
有研究的问题根据题目的特点和要求，分
成若干类，转化成若干个小问题来解决，
此时点Q的坐标，若不存在， 请说明理由；
• （3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含 m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为 何值时PN有最大值，最大值是多少？
谢谢
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想 找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她 说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原 因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年 ，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍 然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是 什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功 ，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你 真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的 收益远 大于同 时做很 多事； 你会明白，有人风风火火做各种 事仍未 有回报 ，是因 为他们 从未投 入过。 从“做 了”到 “做” ，正如 “知道 ”到“ 懂得” 的距离 。 3 之前单位有一个姑娘，工作特别 拼命， 只要说 起她的 名字， 大家都 会赞不 绝口： 这姑娘 工作拼 命的程 度，连 男人们 都比不 上。 后来有一次，在公司的期刊上我 看到了 对这姑 娘的采 访，来 公司四 年多， 这期间 做过车 间的流 水工， 也在三 班倒的 岗位上 一做就 是两年 ，谁也 不知道 一个女 孩子究 竟是怎 么扛过 来的。 后来部门有了提拔晋升的名额， 这位姑 娘被列 入了第 一人选 ，并且 全票通 过。 她在采访里说： 毕业第一年，许多同学都穿上了 好看的 衣服， 走在了 宽敞明 亮的写 字楼里 ，对比 光鲜亮 丽的她 们，我 却穿着 劳保服 ，每日 穿梭在 各种不 同的机 械设备 里。 记得有人笑话我，说我一个姑娘 ，干一 份这么 不体面 又危险 的活， 丢脸死 了。 我当时有点生气，可后来当我沉 浸在这 份工作 里，当 我一点 点沉淀 打磨自 己，当 我发现 自己对 工作的 热情， 其实来 源于对 工作的 投入， 而不是 周遭的 环境时 ，我就 对别人 那点看 我的眼 光毫不 在意了 。 我越来越明确自己想要什么，热 爱着什 么，我 越来越 爱现在 从事的 这个行 业，热 爱这份 工作， 更热爱 一直坚 持努力 的自己 。 年轻时，我特别佩服那些不计较 金钱、 权位、 报酬专 心工作 ，认真 学习的 人，因 为不计 较钱多 钱少肯 认真工 作的人 ，往往 觉得只 要是能 从事这 份工作 ，本身 就是对 他的最 大报酬 。 事实上，当一个人为了工作本身 而不是 工作后 的工资 来做事 情的时 候，他 往往能 够把工 作做到 最好， 也一定 会收到 更多的 报酬。 4 读者给我留言，她说：二毛，我 好羡慕 你写了 那么多 文字， 看了那 么多书 ，你是 怎样坚 持做到 的呢？ 为什么 ，我总 是坚持 不下去 呢？ 我说，那是因为你对读书写作这 件事情 不够感 兴趣， 不够热 爱。 你会不会买一本书，其实你从来 不看， 但是你 觉得好 像拥有 了其中 的知识 ？你会 不会制 定了一 个计划 ，其实 你从来 坚持不 下来， 只是享 受制订 计划那 几天的 快乐？ 我们总是习惯了这样的开始，然 后又寥 寥草草 的结束 。对事 如此， 对待生 活也是 如此， 当一个 人对自 己的生 命开始 用“潦 草”来 搪塞时 ，生命 也会开 始对他 潦草。 如果跳舞，要像没有人看着那样 尽兴； 如果热 恋，像 从未受 伤一样 去爱； 如果唱 歌，像 无人听 着那样 投入； 如果活 着，就 把人间 当天堂 那般生 活。 这个世界上有很多事，都是当你 开始认 真对待 以后， 才会发 现其中 包含的 乐趣， 你要带 着关爱 而不是 期待地 投入生 活，当 你对待 事物越 认真， 对待工 作越投 入，你 会发现 能力与 乐趣接 踵而来 。 学妹给我打电话，说她又换工作了， 这次是 销售。 电话里 ，她絮 絮叨叨 说着一 年多来 工作上 的不如 意，她 说工作 一点都 不开心 ，找不 到半点 成就感 。 末了，她问我：学姐，为什么想 找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她 说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原 因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年 ，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍 然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是 什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功 ，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你 真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的 收益远 大于同 时做很 多事； 你会明白，有人风风火火做各种 事仍未 有回报 ，是因 为他们 从未投 入过。 从“做 了”到 “做” ，正如 “知道 ”到“ 懂得” 的距离 。 3 之前单位有一个姑娘，工作特别 拼命， 只要说 起她的 名字， 大家都 会赞不 绝口： 这姑娘 工作拼 命的程 度，连 男人们 都比不 上。 后来有一次，在公司的期刊上我 看到了 对这姑 娘的采 访，来 公司四 年多， 这期间 做过车 间的流 水工， 也在三 班倒的 岗位上 一做就 是两年 ，谁也 不知道 一个女 孩子究 竟是怎 么扛过 来的。 后来部门有了提拔晋升的名额， 这位姑 娘被列 入了第 一人选 ，并且 全票通 过。 她在采访里说： 毕业第一年，许多同学都穿上了 好看的 衣服， 走在了 宽敞明 亮的写 字楼里 ，对比 光鲜亮 丽的她 们，我 却穿着 劳保服 ，每日 穿梭在 各种不 同的机 械设备 里。 记得有人笑话我，说我一个姑娘 ，干一 份这么 不体面 又危险 的活， 丢脸死 了。 我当时有点生气，可后来当我沉 浸在这 份工作 里，当 我一点 点沉淀 打磨自 己，当 我发现 自己对 工作的
应用
•
教师在讲授 “一元一次不等式”的概念时，可
以先带领学生复习“一元一次方程”的概念，引导
学生说出：方程的两边都是整式，只含有一个未知
数，并且未知数的最高次数是一次，这样的方程叫
做一元一次方程。接着教师提问：“如果我们将
‘一元一次方程’概念中的‘等式’转换成‘不等
式’又会是什么样的概念呢？”让学生充分讨论，
调动参与课堂的积极性。目的是把方程的概念引申