2014届高三数学辅导精讲精练58

2014届高三数学辅导精讲精练58

1．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为 ( )

A．1 B．4

C．1或3 D．1或4

答案 A

解析 ∵kMN＝m－4－2－m＝1，∴m＝1.

2．直线l1，l2关于x轴对称，l1的斜率是－7，则l2的斜率是 ( )

A.7 B．－77

C.77 D．－7

答案 A

解析 画出图形，根据对称性分析两直线的倾斜角之间的关系，再判断其斜率之间的关系．

如图所示，显然直线l2的斜率为7.

3．若ab<0，则过点P0，－1b与Q1a，0的直线PQ的倾斜角的取值范围是

( )

A.0，π2 B.π2，π

C.－π，－π2 D.－π2，0

答案 B 解析 kPQ＝－1b－00－1a＝ab<0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ的倾斜角的取值范围为π2，π.

4．已知直线l的倾斜角为α，且sinα＋cosα＝15，则直线l的斜率是( )

A．－43 B．－34

C．－43或－34 D．±43

答案 A

解析 ∵α为倾斜角，∴0≤α＜π.

∵sinα＋cosα＝15，∴sinα＝45，cosα＝－35.

∴tanα＝－43.

5．两直线xm－yn＝1与xn－ym＝1的图像可能是图中的哪一个 (

)

答案 B

6．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m是 ( )

A．1 B．2

C．－12 D．2或－12

答案 D

解析 当2m2＋m－3≠0时，得m≠1且m≠－32.

在x轴上截距为4m－12m2＋m－3＝1，

即2m2－3m－2＝0. ∴m＝2或m＝－12.

7．若点A(a,0)，B(0，b)，C(1，－1)(a>0，b<0)三点共线，则a－b的最小值等于 ( )

A．4 B．2

C．1 D．0

答案 A

解析 ∵A、B、C三点共线，

∴kAB＝kAC，即b－00－a＝－1－01－a，∴1a－1b＝1.

∴a－b＝(a－b)(1a－1b)＝2－ba－ab＝2＋[(－ba)＋(－ab)]≥2＋2＝4.(当a＝－b＝2时取等号)．

8．过点M(1，－2)的直线与x轴、y轴分别交于P、Q两点，若M恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为 ( )

A．2x＋y＝0 B．2x－y－4＝0

C．x＋2y＋3＝0 D．x－2y－5＝0

答案 B

解析 设P(x0,0)，Q(0，y0)，∵M(1，－2)为线段PQ中点，

∴x0＝2，y0＝－4，∴直线PQ的方程为x2＋y－4＝1.即2x－y－4＝0.

9．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为 ( )

A．x＋2y－6＝0 B．2x＋y－6＝0

C．x－2y＋7＝0 D．x－2y－7＝0

答案 B

解析 方法一 直线过P(1,4)，代入，排除A、D，又在两坐标轴上的截距为正，排除C，故选B.

方法二 设方程为xa＋yb＝1，将(1,4)代入得1a＋4b＝1.

a＋b＝(a＋b)(1a＋4b)＝5＋(ba＋4ab)≥9， 当且仅当b＝2a，即a＝3，b＝6时，截距之和最小．

∴直线方程为x3＋y6＝1，即2x＋y－6＝0.

10.已知直线l1，l2的方程分别为x＋ay＋b＝0，x＋cy＋d＝0，其图像如图所示，则有 ( )

A．ac<0 B．a

C．bd<0 D．b>d

答案 C

解析 直线方程化为l1：y＝－xa－ba，l2：y＝－xc－dc.

由图像知，－1c<－1a<0，－ba>0>－dc，a>c>0，b<0，d>0.

11．直线l过二、三、四象限，l的倾斜角为α，斜率为k，则kcosα的取值范围为________．

答案 (0,1)

解析 由题意可得α∈(π2，π)，

∴k·cosα＝tanα·cosα＝sinα∈(0,1)．

12．直线x＋a2y－a＝0(a>0)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，a的值为________．

答案 1

解析 方程可化为xa＋y1a＝1，因为a>0，所以截距之和t＝a＋1a≥2，当且仅当a＝1a，即a＝1时取等号，故a的值为1.

13．已知点M是直线l：3x－y＋3＝0与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，求所得到的直线l′的方程．

答案 x＋3＝0或x－3y＋3＝0 解析

在3x－y＋3＝0中，

令y＝0，得x＝－3，

即M(－3，0)．

∵直线l的斜率k＝3，

∴其倾斜角θ＝60°.

若直线l绕点M逆时针方向旋转30°，则直线l′的倾斜角为60°＋30°＝90°，此时斜率不存在，故其方程为x＝－3.

若直线l绕点M顺时针方向旋转30°，则直线l′的倾斜角为60°－30°＝30°，此时斜率为tan30°＝33.

故其方程为y＝33(x＋3)，即x－3y＋3＝0.

综上所述，所求直线方程为x＋3＝0或x－3y＋3＝0.

14．在△ABC中，已知A(1,1)，AC边上的高线所在直线方程为x－2y＝0，AB边上的高线所在直线方程为3x＋2y－3＝0.求BC边所在直线方程．

答案 2x＋5y＋9＝0

解析 kAC＝－2，kAB＝23.

∴AC：y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，

AB：y－1＝23(x－1)，即2x－3y＋1＝0.

由 2x＋y－3＝0，3x＋2y－3＝0，得C(3，－3)．

由 2x－3y＋1＝0，x－2y＝0，得B(－2，－1)．

∴BC：2x＋5y＋9＝0.

15．设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＝2m－6. 根据下列条件分别确定实数m的值．

(1)在x轴上的截距是－3；

(2)斜率是－1.

解析 (1)令y＝0，依题意得

 m2－2m－3≠0， ①2m－6m2－2m－3＝－3. ②

由①式，得m≠3且m≠－1.

由②式，得3m2－4m－15＝0.解得m＝3或m＝－53.

∵m≠3，∴m＝－53.

(2)由题意，得 2m2＋m－1≠0， ③m2－2m－32m2＋m－1＝－1. ④

由③式，得m≠－1且m≠12.

由④式，得3m2－m－4＝0.解得m＝－1或m＝43.

∵m≠－1，∴m＝43.

16．如图，过点P(1,2)作直线l，与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．

解析 设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，

令y＝0，得x＝k－2k，令x＝0，得y＝2－k.

∴A、B两点坐标分别为A(k－2k，0)，B(0,2－k)．

∵A、B是l与x轴、y轴正半轴的交点， ∴ k<0，k－2k>0，2－k>0.∴k<0.

S△AOB＝12·|OA|·|OB|＝12·k－2k·(2－k)＝12(4－4k－k)．

由－4k>0，－k>0，得

S△AOB≥12(4＋2－4k－k)＝4.

∴S△AOB最小值为4，方程为2x＋y－4＝0.

1．(2013·衡水调研卷)设s，t为正整数，直线l1：t2sx＋y－t＝0和l2：t2sx－y＝0的交点是(x1，y1)，对于正整数n(n>1)，过点(0，t)和(xn－1,0)的直线l与直线l2的交点记为(xn，yn)，则数列{xn}的通项公式为xn＝ ( )

A.2sn＋1 B.sn＋1

C.3sn＋1 D.4sn＋1

答案 A

解析 直线l1：t2sx＋y－t＝0和l2：t2sx－y＝0的交点是(s，12t)，过点(0，t)和(xn－1,0)的直线l的方程为y＝－txn－1x＋t，与l2的方程联立，得 t2sx－y＝0，y＝－txn－1x＋t，可得1x＝12s＋1xn－1，即1xn＝12s＋1xn－1，所以1xn－1xn－1＝12s.

因此数列{1xn}是首项为1s，公差为12s的等差数列，

则1xn＝1s＋(n－1)12s＝n＋12s，故xn＝2sn＋1.

2．(2012·江西)在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则|PA|2＋|PB|2|PC|2＝ ( )

A．2 B．4

C．5 D．10

答案 D

解析

如图，以C为原点，CB，AC所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系．设A(0，a)，B(b,0)，则D(b2，a2)，P(b4，a4)，由两点间的距离公式可得|PA|2＝b216＋9a216，

|PB|2＝9b216＋a216，|PC|2＝b216＋a216.所以|PA|2＋|PB|2|PC|2＝1016a2＋b2a2＋b216＝10.

3．若直线l：y＝kx－1与直线x＋y－1＝0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是 ( )

A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]

C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)

答案 C

解析 y＝kx－1恒过C(0，－1)点．

x＋y－1＝0，令x＝0，y＝0，得A(0,1)，B(1,0)．

只需l与线段AB有交点即可(不含A、B)，

而kCA不存在，k2＝kCB＝1，∴k∈(1，＋∞)．