2014-2015学年河南省郑州市登封一中高二(上)期中数学试卷(文科)

2014-2015学年河南省郑州市登封一中高二（上）期中数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）数列2468,,,3579，…的第10项是（ ）

A． B． C． D．

解析：由数列2468,,,3579，…可得其通项公式221nnan．

∴1021020210121a．

故选C．

2．（5分）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，c=4，60B，则b等于（ ）

A． 28 B． 27 C． 12 D． 23

解析：∵ △ ABC中，a=2，c=4，60B，

∴由余弦定理得：2222cos416812,bacacB

则23B．故选D。

3．（5分）不等式x﹣2y+6＜0表示的区域在直线x﹣2y+6=0的（ ）

A． 右上方 B． 左上方 C． 右下方 D． 左下方

解析：过点（﹣6，0）和（0，3）作出直线x﹣2y+6=0，

把原点（0，0）代入得x﹣2y+6＞0，

∴不等式x﹣2y+6＜0表示的平面区域是不含原点的半平面，

∴不等式x﹣2y+6＜0表示的平面区域在直线x﹣2y+6=0的左上方．

故选B．

4．（5分）（2014•重庆）对任意等比数列na，下列说法一定正确的是（ ）

A．

139,,aaa成等比数列 B．

236,,aaa成等比数列

C．

248,,aaa成等比数列 D．

369,,aaa成等比数列

解析：A项中222831191319,,aaqaaaqaaa，故A项说法错误，

B项中2222631261()aaqaaaq，故B项说法错误，

C项中2322841281()aaqaaaq，故C项说法错误，

D项中25221061391()aaqaaaq，故D项说法正确，

故选D．

5．（5分）已知1()2(0)fxxxx，则f（x）有（ ）

A． 最大值为0 B． 最小值为0 C． 最大值为﹣4

D． 最小值为﹣4

解析：∵ x＜0，∴ ﹣x＞0，

∴ 11()2()22124fxxxxx,

等号成立的条件是1,1xxx即．

故选C．

6．（5分）（2014•河西区二模）数列na满足11112,1nnnaaaa，其前n项积为,2014=nTT则（ ）

A． B． 1-6 C． 6 D．

﹣6

解析：∵1111nnnaaa，

∴ 11,1nnnaaa

∵12345112,3,,,2,23aaaaa故…

∴数列na是周期为4的周期数列，且12341aaaa，

∵2014=4×503+2，

∴ 2014=-6T．

故选：D．

7．（5分）推理过程⇒⇒ac＞bd⇒abdc共有三个推理步骤，其中错误步骤的个数为（ ）

A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

解析：第一个推理：⇒是错误的．

不确定b，c的符号时，由不能推导出，

第二个推理是正确的．

∵ac＞bc，bc＞bd，

∴根据不等式的传递性，有ac＞bc＞bd，即ac＞bd．

第三个推理ac＞bd⇒abdc是错误的．

∵当cd＞0时，ac＞bd，⇔abdc，

∴当cd＜0时，ac＞bd，⇔abdc，

当cd=0时，abdc无意义，

∴本题的错误推理有两个．

故选C．

8．（5分）在数列na中，1nnaca（c为非零常数）且前n项和3nnSk，则k等于（ ）

A． ﹣1 B． 1 C． 0 D． 2

解析：由1nnaca，所以数列na是等比数列，

因为当公比不等于1时等比数列的前n项和Sn=，

而3nnSk，由此可知k=﹣1．

故选A．

9．（5分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=bcosA，则△ABC为（ ）

A． 钝角三角形 B． 直角三角形 C． 锐角三角形 D． 不确定

解析：△ABC中，∵c=bcosA，

∴由正弦定理得：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=sinBcosA，

∴sinAcosB=0，又sinA≠0，

∴cosB=0，

∴ 2B，

∴△ABC为直角三角形，

故选：B．

10．（5分）已知，给出下列四个结论：

①a＜b

②a+b＜ab

③|a|＞|b|

④2abb

其中正确结论的序号是（ ）

A． ①② B． ②④ C． ②③ D． ③④

解析：∵，∴b＜a＜0．

①a＜b，错误．

②∵b＜a＜0，∴a+b＜0，ab＞0，∴a+b＜ab，正确．

③∵b＜a＜0，∴|a|＞|b|不成立．

④ab﹣b2=b（a﹣b），∵b＜a＜0，

∴ a﹣b＞0，即2()0,abbbab

∴2abb成立．

∴正确的是②④．

故选：B．

11．（5分）如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案：（△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c）：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，a，b则一定能确定A，B间距离的所有方案的序号为（ ）

A． ②③ B． ①② C． ①③ D． ①②③

解析：对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离．

对于②直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离．

故选D．

12．（5分）（2014•广州二模）将正偶数2，4，6，8，…按表的方式进行排列，记ija表示第i行第j列的数，若2014ija，则i+j的值为（ ）

第1列 第2列 第3列 第4列 第5列

第1行 2 4 6 8

第2行 16 14 12 10

第3行 18 20 22 24

第4行 32 30 28 26

第5行 34 36

38

40

… … … … … …

A． 257 B． 256 C． 254 D． 253

解析：∵2014=16×125+2×7，2014=8×252﹣2，

∴可以看作是125×2行，再从251行数7个数，也可以看作252行再去掉2个数，也就是2014在第252行第2列．

即i=252，j=2

所以i+j=252+2=254

故选：C．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．（5分）二次不等式20axbxc的解集为R的条件是 _________ ．

解析：二次不等式20axbxc的解集为R

则：二次函数的图象开口方向向下，并且y与x轴没有交点．

即：

故答案为：

14．（5分）若等差数列{an}满足345360,0aaaaa，则当n= _________ 时，{an}的前n项和最大．

解析：由题意和等差数列的性质可得345430aaaa，

4364550,0,0aaaaaa所以故∴等差数列{an}的前4项为正数，从第5项开始为负，

∴当n=4时，na的前n项和最大，

故答案为：4

15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若22()6,3cabC，则△ABC的面积是 _________ ．

解析：由22()6cab，可得22226cabab，

由余弦定理：222222cos,cababCabab

所以：222226abababab，

所以ab=6；

所以11333sin62222ABCSabC．

故答案为：．

16．（5分）已知实数x，y满足xy+9=6x+2y，且x＞2，则xy的最小值为 _________ ．

解析：∵x、y为正实数，满足xy+9=6x+2y，

∴692xyx，

令t=x﹣2（t＞0）

∴xy的最小值为27．

故答案为：27

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知2()3(6)6fxxmmx

（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＞n的解集为1,3，求实数m，n的值；

（Ⅱ）解关于m的不等式f（1）＜0．

解析：（Ⅰ）∵f（x）＞n，

∴2()3(6)6fxxmmx，

∴﹣1，3是方程23(6)60xmmx的两根，

，

∴；

（Ⅱ）由已知2(1)63,fmm

∴2630mm，

∴，

∴不等式f（1）＜0的解集为：．

18．（12分）（2014•西城区一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知222bcabc．

（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）如果6cos,3B，b=2，求a的值．

解析：（Ⅰ）∵222bcabc，即222bcabc，

∴ 2221cos22bcaAbc，

又∵A∈（0，π），

∴3A；

（Ⅱ）∵6cos3B，B∈（0，π），

∴23sin1cos3BB，

由正弦定23sin1cos3BB得sin3.sinbAaB．

19．（12分）（2014•湖北）已知等差数列na满足：a1=2，且125,,aaa成等比数列．

（Ⅰ）求数列na的通项公式；

（Ⅱ）记nS为数列na的前n项和，是否存在正整数n，使得nS＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．

解析：（Ⅰ）设数列na的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有2(2)2(24)dd，

化简得240dd，解得d=0或4，

当d=0时，na=2，

当d=4时，na=2+（n﹣1）•4=4n﹣2．

（Ⅱ）当na=2时，Sn=2n，显然2n＜60n+800，

此时不存在正整数n，使得nS＞60n+800成立，

当na=4n﹣2时，nS==22n，

令22n＞60n+800，即2304000nn，

解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），

此时存在正整数n，使得nS＞60n+800成立，n的最小值为41，

综上，当na=2时，不存在满足题意的正整数n，

当na=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41。

20．（12分）为了测量某峰顶一颗千年松树的高（底部不可到达），我们选择与峰底E同一水平线的A，B为观测点，现测得AB=20米，点A对主梢C和主干底部D的仰角分别是40°，30°，点B对D的仰角是45°．求这棵千年松树的高（即求CD的长，结果保留整数．参考数据：sin10°=0.17）