河南省郑州市第一中学2021届高三上学期开学测试数学(理)(wd无答案)

河南省郑州市第一中学2021届高三上学期开学测试数学（理）一、单选题

(★★) 1. 已知全集，集合，则（）A．B．C．D．

(★) 2. 已知，若复数是纯虚数，则的值为（）

A．1B．2C．D．

(★★) 3. 将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，则所得函数图像的解析式为（）

A．B．

C．D．

(★★) 4. 已知向量，，则下列结论正确的是（）

A．B．

C．D．

(★★) 5. 中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（）

A．174斤B．184斤C．191斤D．201斤

(★★★) 6. 在上随机取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（）

A．B．

C．D．

(★) 7. 对于直线和平面，的一个充分条件是（）

A．，∥，∥B．，，

C．，，D．，，

(★★) 8. 函数的图象大致是( )

A．B．

C．D．

(★★) 9. 冰雹猜想也称奇偶归一猜想：对给定的正整数进行一系列变换，则正整数会被螺旋式吸入黑洞(4，2，1)，最终都会归入“4-2-1”的模式.该结论至今既没被证明，也没被证伪. 下边程序框图示意了冰雹猜想的变换规则，则输出的（）

A．B．C．D．

(★★★) 10. 以为顶点的三棱锥，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为，则以为顶点，以面为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（）

A．2B．4C．6D．7

(★★) 11. 设，实数满足，若恒成立，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

(★★★) 12. 已知函数，若存在实数，，，，当时，满足，则的取值范围是（）

C．

A ．

B ． D ．

二、填空题

(★★) 13. 在 二项展开式中，常数项是_______.

(★★★) 14. 在

中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若

，则 的大小为______.

(★★★) 15. 已知直线

与圆： 相切且与抛物线 交于不同的

两点

则实数 的取值范围是_____

(★★★) 16. 若

，设函数

的零点为

，

的零点为 ，

则

的取值范围是______.

三、解答题

(★★★) 17. 已知点

是函数

的图象上一点，数列

的前 项和是

.

（1）求数列 的通项公式：

（2）若

，求数列

的前 项和 .

(★★★) 18. 某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.

购买金额

（元）

人数 10 15 20 15 20 10

（1）根据以上数据完成 列联表，并判断是否有

的把握认为购买金额是否少于60元与

性别有

关.

不少于60元

少于60元

合计

男

40

女

18

合计

（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数（元）的分布列并求其数学期望.

附：参考公式和数据：，. 附表：

2.072 2.706

3.841 6.6357.879

0.1500.1000.0500.0100.005

(★★★) 19. 如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，，、分别是、的中点，点在线段上，且.

（1）求证：不论取何值，总有；

（2）当时，求平面与平面所成二面角的余弦值.

(★★★★) 20. 已知椭圆：四个顶点中的三个是边长为的等边三角

形的顶点.

（1）求椭圆的方程：

（2）设直线与圆：相切且交椭圆于两点，，求线段的

最大值.

(★★★) 21. 已知函数，为的导函数．

（1）设，求的单调区间；

（2）若，证明：．

(★★★) 22. 已知直线的参数方程为（其中为参数），以原点为极点，

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）若点在直线上，且，求直线的斜率；

（2）若，求曲线上的点到直线的距离的最大值.

(★★★) 23. 已知（其中）.

（1）若，求不等式的解集；

（2）若不等式对恒成立，求的取值范围.