1 / 14 中考专题——与圆有关的证明和计算
纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查；一般在10分－15分左右，以后发展中利用圆的知识与其他知识点如函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位。
考查的类型：
（1）线段、角以及切线的证明；
（2）利用勾股定理、相似以及锐角三角函数进行线段，比值和阴影面积的求解.
例题精讲：
1、如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
2 / 14
2、如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若∠PAC=90°，AB=2，求PD的长．
3 / 14
3、如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，
（1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．
4、如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E． 4 / 14 （1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积．
5、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．
5 / 14
补充练习：
1、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F.
专题13隐圆问题3种模型通用的解题思路：
隐圆一般有如下呈现方式：（1）定点定长：当遇到同一个端点出发的等长线段时，通常以这个端点为圆心，
等线段长为半径构造辅助圆；（2）定弦定角：当遇到动点对定点对定线段所张的角为定值时，通常把张角
转化为圆周角构造辅助圆。当遇到直角时，通常以斜边为直径构造辅助圆。（3）四点共圆：对角互补的四边形的四个顶点共圆。隐圆常与线段最值结合考查。
类型1：定点定长1．（2023•新城区校级三模）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．
（1）已知：如图1，OAOBOC，请利用圆规画出过A、B．C三点的圆．若70AOB，则ACB35．
如图，RtABC中，90ABC，30BCA，2AB．
（2）已知，如图2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分
别为点D、E、F，求四边形BDFC的面积和BEA的大小．（3）如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满
足45BQA且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用圆的定义知A，B，C三点共圆，再利用圆周角定理求解．
（2）根据图形的平移性质，判定平移后图形形状，继而确定面积的计算方式和方法，角度问题也迎刃而解．
（3）因角度不变，借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想，判断出D点能够向右移动的最大距离，
求出四边形的最大面积．【解答】（1）以O为圆心，OA为半径作辅助圆，如图，
，70AOB，
35ACB，
故答案为35．
（2）连接PB，PE，如图，
，RtABC中，90ABC，30BCA，2AB．
4AC，60BAC，23BC．P为RtABC斜边AC中点，122BPAC，
线段AC平移到DF之后，2ABADPE，2BPAE，
1 / 30 专题24 圆的有关计算
☞解读考点
知 识 点 名师点晴
弧长和扇形面积 弧长公式 会求n°的圆心角所对的弧长
扇形面积公式 会求圆心角为n°的扇形面积
圆锥侧面积计算公式 能根据公式中的已知量求圆锥中的未知量
☞2年中考
【题组】
1．（河池）如图，用一张半径为24cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果圆锥形帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（ ）
A．240πcm2 B．480πcm2 C．1200πcm2 D．2400πcm2
【答案】A．
【解析】
试题分析：这张扇形纸板的面积=12×2π×10×24=240π（cm2）．故选A．
考点：圆锥的计算．
2．（凉山州）将圆心角为90°，面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】A． 2 / 30
考点：圆锥的计算．
3．（德州）如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（ ）
A．288° B．144° C．216° D．120°
【答案】A．
【解析】
试题分析：∵底面圆的半径与母线长的比是4：5，∴设底面圆的半径为4x，则母线长是5x，设圆心角为n°，则524180nxx，解得：n=288，故选A．
考点：圆锥的计算．
4．（宁波）如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（ ）
A．5cm B．10cm C．20cm D．5πcm
【答案】B．
考点：圆锥的计算．
5．（苏州）如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ） 3 / 30
中考考点突破之圆的专题复习
考点精讲
1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；
2.探索并证明垂径定理；
3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论；
考点解读
考点1：垂径定理及其运用
①与圆有关的概念和性质：
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.
（6）弦心距：圆心到弦的距离.
②垂径定理及其推论：
（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
（3）延伸：根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：
① 弧AC=弧AD; ②弧BD=弧CB；③CE=DE; ④AB⊥CD; ⑤AB是直径.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.
考点2：圆周角定理及其运用
①圆心角、弧、弦的关系：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
②圆周角定理及其推论：
（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,
∠A=1/2∠O.
图a 图b 图c
( 2 )推论：
① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.
