合肥工业大学新编第二学
期高等数学试卷A试题 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
一、填空题（每小题3分，共15分） 1、椭球面∑：222216x y z ++=在点
0(2,2,2)P 处的切平面方程是
___________．
2、设曲线L 的方程为221x y +=，则
2[()]L
x y y ds +-=?
．
3、设()2
1,
0,1,0,x f x x x ππ--<≤?=?+<≤? 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于 ．
4、微分方程220y y y '''++=的通解为 ．
5、设23(,,)2f x y z x y z =++，则
(1,1,1)grad f = ．
二、选择题（每小题3分，共15分） 1、设222z x y ze ++=,则11
x y dz ===( )
2
、二次积分2
0(,)dx f x y dy ? 化为极
坐标下累次积分为（ ）
3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为（ ）．
（A ）*()sin cos y x ax b A x B x =+++ （B ）*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ （C ）*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ （D ）*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线
1121
410214
x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是（ ）
)(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面
π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交
5、设曲面∑的方程为
222,x y z z ++=，1∑为∑在第一卦
限的部分，则下列结论不正确．．．
的是
（ ）．
（A ）0xdS ∑
=?? （B ）
0zdS ∑
=??
（C ）1
22
4z dS z dS ∑
∑=???? （D ）
22x dS y dS ∑
∑
=???? 三、（本题满分10分）设
(,)sin x
z f xy y y =+，其中f 具有二阶连
续偏导数，求2,z z
x x y
?????．
四、（本题满分12分）求
22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D ：
2
2
14
y x +≤上的最大值和最小值.
五、（本题满分10分）计算二重积
分：2D
I y x d σ=-??，其中
:11,02D x y -≤≤≤≤．
六、（本题满分12分）已知积分
22(5())()x x
L
y ye f x dx e f x d ---+?
与路径无关,且
6
(0)5
f =
.求
()f x ,并计算
(2,3)
22(1,0)
(5())()x x I y ye f x dx e f x dy
--=-+?.
七、（本题满分12分）计算积分
2232222
()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy I x y z ∑
+-++=++??，其中∑是
上半球面
z =，取上侧．
八、（本题满分10分）．求幂级数
∑∞
=---1
2112)1(n n
n x n 的收敛域及和函数，并求数项级数∑∞
=---11
1
2)1(n n n 的
和．
九、（本题满分4分）设
0(1,2,3,...)
n u n ≠=,且lim 1n n
n
u →∞=,则级数
111
11
(1)(
)n n n n u u ∞
+=+-+∑是否收敛如果
是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛
合肥工业大学第二学期高等数学试卷A试题 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.
一、填空题（每小题3分，共15分） 1、椭球面∑：222216x y z ++=在点 0(2,2,2)P 处的切平面方程是 ___________． 2、设曲线L 的方程为221x y +=，则 2 [() ]L x y y ds +-=? ． 3、设()2 1, 0,1,0,x f x x x ππ--<≤?=?+<≤? 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于 ． 4、微分方程220y y y '''++=的通解为 ． 5、设23(,,)2f x y z x y z =++，则 (1,1,1)grad f = ． 二、选择题（每小题3分，共15分） 1、设222z x y ze ++=,则11 x y dz === ( ) 2 、二次积分2 0(,)dx f x y dy ? 化为 极坐标下累次积分为（ ） 3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为（ ）． （A ）*()sin cos y x ax b A x B x =+++ （B ）*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ （C ）*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ （D ）*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线 1121 410214 x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是（ ） )(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面 π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交 5、设曲面∑的方程为 222,x y z z ++=，1∑为∑在第一卦 限的部分，则下列结论不正确．．． 的是 （ ）． （A ）0xdS ∑ =?? （B ）0zdS ∑ =?? （C ）1 22 4z dS z dS ∑ ∑=???? （D ）22 x dS y dS ∑ ∑ =???? 三、（本题满分10分）设 (,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连 续偏导数，求2 ,z z x x y ?????． 四、（本题满分12分）求 22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D ： 2 2 14 y x +≤上的最大值和最小值. 五、（本题满分10分）计算二重积分：2D I y x d σ=-??，其中 :11,02D x y -≤≤≤≤． 六、（本题满分12分）已知积分 22(5())()x x L y ye f x dx e f x d ---+? 与路径无关,且 6 (0)5 f = .求 ()f x ,并计算
合肥工业大学第二学期 高等数学试卷A试题 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】
一、填空题（每小题3分，共15分） 1、椭球面∑：222216x y z ++=在点 0(2,2,2)P 处的切平面方程是 ___________． 2、设曲线L 的方程为221x y +=，则 2 [() ]L x y y ds +-=? ． 3、设()2 1, 0,1,0,x f x x x ππ--<≤?=?+<≤? 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于 ． 4、微分方程220y y y '''++=的通解为 ． 5、设23(,,)2f x y z x y z =++，则 (1,1,1)grad f = ． 二、选择题（每小题3分，共15分） 1、设222z x y ze ++=,则11 x y dz === ( ) 2 、二次积分2 0(,)dx f x y dy ? 化为 极坐标下累次积分为（ ） 3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为（ ）． （A ）*()sin cos y x ax b A x B x =+++ （B ）*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ （C ）*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ （D ）*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线 1121 410214 x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是（ ） )(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面 π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交 5、设曲面∑的方程为 222,x y z z ++=，1∑为∑在第一卦 限的部分，则下列结论不正确．．．的是（ ）． （A ）0xdS ∑ =?? （B ）0zdS ∑ =?? （C ）1 22 4z dS z dS ∑ ∑=???? （D ）22 x dS y dS ∑ ∑ =???? 三、（本题满分10分）设 (,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连 续偏导数，求2 ,z z x x y ?????． 四、（本题满分12分）求 22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D ： 2 2 14 y x +≤上的最大值和最小值. 五、（本题满分10分）计算二重积分：2D I y x d σ=-??，其中 :11,02D x y -≤≤≤≤． 六、（本题满分12分）已知积分 22(5())()x x L y ye f x dx e f x d ---+? 与路径无关,且 6 (0)5 f = .求 ()f x ,并计算
高数期末考试 一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 2. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x = ??x x x x f d cos )(则 . 3. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221L n n n n n n π π ππ . 4. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 5. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 6. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 7. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 8. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 9. 设函数)(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且→=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x 并讨论' ()g x 在=0x 处的连续性. 10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足 =- 1 (1)9y 的解. 四、 解答题（本大题10分）
2012～2013 学年第 一 学期 课程代码 课程名称 高等数学A(1) 学分 课程性质:必修;、选修 、限修 考试形式:开卷 、闭卷;专业班级（教学班） 考试日期 2012.11.20 命题教师 高等数学课程组 系（所或教研室） 主任审批签名 刘植
2012～2013 学年第 一 学期 课程代码 课程名称 高等数学A(1) 学分 课程性质:必修;、选修 、限修 考试形式:开卷 、闭卷;专业班级（教学班） 考试日期 2012.11.20 命题教师 高等数学课程组 系（所或教研室） 主任审批签名 刘植
2012～2013 学年第 一 学期 课程代码 课程名称 高等数学A(1) 学分 课程性质:必修;、选修 、限修 考试形式:开卷 、闭卷; 专业班级（教学班） 考试日期 2012.11.20 命题教师 高等数学课程组 系（所或教研室） 主任审批签名 刘植 五、（12分）设()f x 在上具有二阶导数，且，， [,]a b ()()0f a f b ==()()0f a f b + ?′′>证明：（1）存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=； （2）存在(,)a b η∈，使()0f η′′=. 证明：（1）不妨设：，，即 ()0f a +′>()0f b ?′> 1()()() ()lim lim 0,x a x a f x f a f x f a x a x a x a + ++→→?′==>??>??使 1()0f x > 2()()()()lim lim 0,x b x b f x f b f x f b x b x b x b ? ? ?→→?′==>??
一、填空题（每小题3分，共15分） 1、椭球面∑：222 216x y z ++=在点 0(2,2,2)P 处的切平面方程是___________． 2、设曲线L 的方程为2 21x y +=，则 2 [() ]L x y y ds +-=? ． 3、设 ()2 1, 0,1,0, x f x x x ππ--<≤?=?+<≤? 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛 于 ． 4、微分方程220y y y '''++=的通解为 ． 5、设2 3 (,,)2f x y z x y z =++，则 (1,1,1)grad f =u u u u u r ． 二、选择题（每小题3分，共15分） 1、设2 2 2z x y ze ++=,则11 x y dz ===( ) 2 、二次积分 2 (,)dx f x y dy ? 化为极坐 标下累次积分为（ ） 3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为（ ）． （A ）*()sin cos y x ax b A x B x =+++ （B ）*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ （C ）*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ （D ）*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线 1121 410214 x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是（ ） )(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交 5、设曲面∑的方程为2 22,x y z z ++=， 1∑为∑ 在第一卦限的部分，则下列结论不正 ．． 确． 的是（ ）． （A ） 0xdS ∑ =?? （B ） 0zdS ∑ =?? （C ） 1 224z dS z dS ∑ ∑=???? （D ）2 2 x dS y dS ∑ ∑ =???? 三、（本题满分10分）设 (,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏 导数，求2,z z x x y ?????． 四、（本题满分12分）求 22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D ： 2 2 14 y x +≤上的最大值和最小值. 五、（本题满分10分）计算二重积分： 2D I y x d σ=-??，其中 :11,02D x y -≤≤≤≤． 六、（本题满分12分）已知积分 22(5())()x x L y ye f x dx e f x dy ---+?与路径无关,且 6 (0)5 f = .求()f x ,并计算 (2,3) 22(1,0) (5())(x x I y ye f x dx e f x --=-+? . 七、（本题满分12分）计算积分 223222 ()(xz dydz x y z dzdx I x y z ∑ +-+=++??
高数期末考试 一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 2. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 3. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 4. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 5. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的 无穷小. 6. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 7. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 8. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）2 2x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 9. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 10. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 11. .d )1(17 7 x x x x ?+-求
习题1 函数的概念具有某种特性的函数 1? 初等函数两个常用不等式 1.设函数2,0(2,0, x x x f x x ,+≤?=?>?,求(1(1f ?,(0f ,(1f ; (2((0f x f x Δ?Δ,((0 f x f x ?Δ?Δ(0x Δ>. 2.已知1 (f x x =(f x . 3.证明:(2sin f x x =+x 在(,?∞+∞内是严格递增函数. 4.设(f x 在[,上是奇函数,证明:若]a a ?(f x 在[0上递增,则,]a (f x 在[,上也递增. 0a ?] 5.利用均值不等式证明:1 11 (1(11n n n n ++<++(1,2,n = . 6.求证:1 (13n n +<(1,2,n = . 习题数列的极限函数的极限极限的性质
21?1. 求下列极限:1(23(1lim (23n n n n n ++→∞?+?+1; 221 11(2lim(1(1(123n n →∞??????2; 22(3lim[(1(1(1]n n r r r →∞+++ (1r <; (4lim x ; 313 1 (5lim(11x x x →??++. 2.求常数a和b ,使得 2 lim1 x x →
?=. 3.若1 1 1 ( 1 x x e f x e + = ? ,求lim( x
f x ? → , lim( x f x + → , lim( x f x → . 习题无穷小、无穷大 22?1.利用等价无穷小的代换求下列极限:0tan(2ln(1(1lim sin(3arctan(2x x x x x →?+?; 20(2lim sin x x →?;
一、填空题（每小题3分，共15分） 1、极限2sin 0 lim(13) x x x →+= ． 2、设2 arctan()y x x =，则y ' ． 3、设()f x 的一个原函数为2 x e -，则()________xf x dx '=? ． 4、曲线x e y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r e θ =从0=θ至2 π θ= 的一段弧长=l ____________． 二、选择题（每小题3分，共15分） 1、当1x →-时，3 1x +与3(1)x +为（） (A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小 (C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小 2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是（ ） (A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x - 3、设()f x 在0x =处连续，且0() lim 11cos x f x x →=-，则在点0x =处（ ） ． (A) (0)f '不存在 (B) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f '存在，且(0)0f '≠ (D) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极大值 4、下列广义积分发散的是（ ） (A) 1 +∞ ? 111sin dx x -? (C) 221ln dx x x +∞? (D) 2 x xe dx +∞--∞? 5、曲线2 2 11x x e y e --+= -（） (A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 三、计算下列各题（每小题6分，共36分） 1、22 211 1lim ( )2n n n n n n ππ π →∞ ++++++． 2、)cos 1)(1(1 cos sin 3lim 20x e x x x x x +---→． 3、求sin (0)x y x x =>的导数()y x '． 4、已知()2 ln 1,arctan , x t y t ?=+??=??求 22d d ,d d y y x x ． 5、2arctan x dx x ?． ６、设2ln(1)0()101x x f x x x +≥?? =??? 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性． 五、（本题满分10分）设曲线2 x e y =，切线2 e y x =及y 轴围成的平面图形为D ，求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V . 六、（本题满分8分）证明不等式：0>x 时，有11 ln ≥+ x x . 七、（本题满分6分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)(≠x f （01x <<）， 且0)1()0(==f f ， 证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使()2015()f f ξξ'=．
习题11- 函数 1．设函数2,0, ()2,0,x x x f x x +≤?=?>? ，求 （1）(1)f -，(0)f ，(1)f ； （2） ()(0)f x f x ?-?，()(0) f x f x -?-?（0x ?>）． 【解】（1）2|2)1(,2|)2()0(,1|)2()1(101===+==+=-==-=x x x x f x f x f ； （2） ()(0)f x f x ?-????????-=?? ?????-=??.0, 1,0,220,2)2(,0,22x x x x x x x x x x ()(0)f x f x -?-?)0(12 )2(>?-=?-?-=x x x 。■ 2．已知21 ()1f x x x =+()f x ． 【解】令x t 1=，则2111)(t t t f + +=，故2 111)(x x x f ++=。■ 3．证明：()2sin f x x x =+在(,)-∞+∞内是严格递增函数． 【证】方法1（定义法） ∵对任意2121),,(,x x x x <+∞-∞∈，有 )sin 2()sin 2()()(112212x x x x x f x f +-+=- 2 sin 2cos 2)(2sin sin )(21221121212x x x x x x x x x x -++-=-+-= 2)1(2)(22sin )1(2)(212121212x x x x x x x x -?-?+->-?-?+-≥ 012>-=x x ，其中用到)0(sin ,cos 1>≤≤-x x x x ， ∴()2sin f x x x =+在(,)-∞+∞内是严格递增函数。 方法2（导数法） ∵)(0cos 2)(+∞<<-∞>-='x x x f
合肥工业大学新编第二学期高等数学试卷A试 题 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
一、填空题（每小题3分，共15分） 1、椭球面∑：222216x y z ++=在点 0(2,2,2)P 处的切平面方程是 ___________． 2、设曲线L 的方程为221x y +=，则 2[()]L x y y ds +-=? ． 3、设()2 1, 0,1,0,x f x x x ππ--<≤?=?+<≤? 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于 ． 4、微分方程220y y y '''++=的通解为 ． 5、设23(,,)2f x y z x y z =++，则 (1,1,1)grad f = ． 二、选择题（每小题3分，共15分） 1、设222z x y ze ++=,则11 x y dz ===( ) 2 、二次积分2 0(,)dx f x y dy ? 化为极 坐标下累次积分为（ ） 3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为（ ）． （A ）*()sin cos y x ax b A x B x =+++ （B ）*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ （C ）*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ （D ）*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线 1121 410214 x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是（ ） )(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面 π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交 5、设曲面∑的方程为 222,x y z z ++=，1∑为∑在第一卦 限的部分，则下列结论不正确．．． 的是 （ ）． （A ）0xdS ∑ =?? （B ） 0zdS ∑ =?? （C ）1 22 4z dS z dS ∑ ∑=???? （D ） 22x dS y dS ∑ ∑ =???? 三、（本题满分10分）设 (,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连 续偏导数，求2,z z x x y ?????． 四、（本题满分12分）求 22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D ： 2 2 14 y x +≤上的最大值和最小值. 五、（本题满分10分）计算二重积 分：2D I y x d σ=-??，其中 :11,02D x y -≤≤≤≤． 六、（本题满分12分）已知积分 22(5())()x x L y ye f x dx e f x d ---+? 与路径无关,且 6 (0)5 f = .求
一、填空题 １．6 e ；２. 4 22 12)arctan(x x x ++ ；３. 22 22x x x e e C ----+；４. ex y =； ５ . 1)e π -． 二、选择题 １. C ；２. B ；３. B ；４. B ；５. D ． 三、解： １．利用夹逼准则, 22222 221 11ππ2πππ n n n n n n n n n n ?? <+++< ?+++++?? 再由22π 1 lim lim 1 1πn n n n n n →∞→∞==++，222π1lim lim 11πn n n n n →∞→∞==++ 22 2111 lim ( )12n n n n n n ππ π →∞+++ =+++ ２．原式23-0)(-3211 cos x -3sinx lim 2120x =+=-=→x x ； ３．两边取对数 , 化为隐式ln sin ln y x x =?， 两边对 x 求导， 1sin cos ln x y x x y x '=?+ sin sin (cos ln )x x y x x x x '∴ =?+ ； ４． 22 23d 1d 1, d 2d 4y y t x t x t +==-； ５．解： 22arctan 1111 arctan ()arctan 1x dx xd x dx x x x x x =-=-+?+??? 22 1111arctan ()arctan ln ln(1)12x x dx x x x C x x x x =-+-=-+-+++?６． 2 1012 1101 (1)()(1)1f x dx f x dx dx ln x dx x ---==+++? ??? 2ln 214 π = +-．
一、填空题（每小题3分，共15分） 1、椭球面∑：222216x y z ++=在点 0(2,2,2)P 处的切平面方程是 ___________． 2、设曲线L 的方程为2 2 1x y +=，则 2 [() ]L x y y ds +-=? ． 3、设()2 1, 0,1,0,x f x x x ππ--<≤?=?+<≤? 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于 ． 4、微分方程220y y y '''++=的通解为 ． 5、设23(,,)2f x y z x y z =++，则 (1,1,1)grad f = ． 二、选择题（每小题3分，共15分） 1、设222z x y ze ++=,则11 x y dz ===( ) 2 、二次积分2 0(,)dx f x y dy ? 化为极 坐标下累次积分为（ ） 3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为（ ）． （A ）*()sin cos y x ax b A x B x =+++ （B ）*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ （C ）*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ （D ）*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线 1121 410214 x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是（ ） )(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面π 上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交 5、设曲面∑的方程为 222,x y z z ++=，1∑为∑在第一卦限 的部分，则下列结论不正确．．． 的是（ ）． （A ）0xdS ∑ =?? （B ） 0zdS ∑ =?? （C ）1 224z dS z dS ∑ ∑=???? （D ） 22 x dS y dS ∑ ∑ =???? 三、（本题满分10分）设 (,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续 偏导数，求2,z z x x y ?????． 四、（本题满分12分）求 22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D ： 2 2 14 y x +≤上的最大值和最小值. 五、（本题满分10分）计算二重积分：2D I y x d σ=-??，其中 :11,02D x y -≤≤≤≤． 六、（本题满分12分）已知积分 22(5())(x x L y ye f x dx e f x ---+? 与路径无关,且6 (0)5 f = .求()f x ,并计
一、填空题（每题3分，共15分） 1. 1 ． 2. 19 5 ． 3. 8． 4. 4π 5. 2 二、选择题（每题3分，共15分） 1. D ． 2． C ． 3. B ． 4. A ． 5. A ． 三、（本题满分10分） 解：在方程两边关于x 求偏导数得1z z z e x x ??- =??， (1) 当(,)(1,0)x y =时，0z =，代入上式，得 (1,0)1 2 z x ?=?．类似可得 (1,0)12z y ?=?． 在(1)式两边关于y 求偏导数得22 z z z z z z e e x y x y x y ????-=?+??????，代入1,0,0x y z ===，(1,0)12 z x ?=?及(1,0)1 2 z y ?=?，解得 (1,02)18z x y ?=-??． 或者：计算得1 1z z z x y e ??==??+，23(1)z z z e x y e ?-=??+，同理可得(1,02)18z x y ?=-??． 四、（本题满分12分） 解：令2 (,)260, (,)3120,x y f x y x f x y y '=-+=???'=-=??得驻点(3,2),(3,2)-．又 (,)2,(,)0,(,)6xx xy yy f x y f x y f x y y ''''''=-==． 在驻点(3,2)处，(3,2)2,(3,2)0,(3,2)12xx xy yy A f B f C f ''''''==-====， 2240AC B -=-<，故(3,2)不是极值点； 在驻点(3,2)-处，(3,2)2,(3,2)0,(3,2)12xx xy yy A f B f C f ''''''=-=-=-==-=-， 2240AC B -=>，且0A <，故(3,2)-是极大值点，且极大值为(3,2)18.f -=-
一、填空 题 （每小题3分，共15分） 1、椭球面∑：2 2 2 216x y z ++=在点0(2,2,2)P 处的切平面方程是___________． 2、设曲线L 的方程为2 2 1x y +=，则 2[()]L x y y ds +-=? ． 3、设()2 1, 0,1,0, x f x x x ππ--<≤?=?+<≤? 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于 ． 4、微分方程220y y y '''++=的通解为 ． 5、设2 3 (,,)2f x y z x y z =++，则(1,1,1)grad f =u u u u u r ． 二、选择题（每小题3分，共15分） 1、设2 2 2z x y ze ++=,则11 x y dz ===( ) )(A 2(dx dy)-+ ) (B 22 (z 1)e (z 1)e z z dx dy --+++ )(C 22dx dy + )(D 22dx dy -+ 2 、二次积分 2 (,)dx f x y dy ? 化为极坐标下累次积分为（ ） dr r F d D dr r F d C dr r F d B dr r F d A ),(2)(),()(),()(),()(cos 20 2 cos 20 22 cos 20cos 200 θθθθθθθθθπ θππθππ θπ? ? ?? ? ? ? ?- - 3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为（ ）． （A ）*()sin cos y x ax b A x B x =+++ （B ）*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ （C ）*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ （D ）*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线 1121 410214 x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是（ ） )(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交 5、设曲面∑的方程为2 2 2 ,x y z z ++=，1∑为∑在第一卦限的部分，则下列结论不正确．．．的是（ ）． （A ）0xdS ∑ =?? （B ）0zdS ∑ =?? （C ）1 2 24z dS z dS ∑ ∑=???? （D ）22x dS y dS ∑∑ =???? 三、（本题满分10分）设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????． 四、（本题满分12分）求2 2 (,)2f x y x y =-+在椭圆域D ：2 2 14 y x +≤上的最大值和最小值. 五、（本题满分10分）计算二重积分：2 D I y x d σ= -??，其中:11,02D x y -≤≤≤≤． 六、（本题满分12分）已知积分22(5())()x x L y ye f x dx e f x dy ---+? 与路径无关,且6 (0)5 f = .求()f x ,并计算(2,3) 22(1,0) (5())()x x I y ye f x dx e f x dy --=-+? . 七、（本题满分12分）计算积分2232222 ()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy I x y z ∑ +-++=++??，其中∑是上 半球面z = ，取上侧． 八、（本题满分10分）．求幂级数∑∞ =---12112)1(n n n x n 的收敛域及和函数，并求数项级数∑∞ =---11 12)1(n n n 的和． 九、（本题满分4分）设0(1,2,3,...)n u n ≠=,且lim 1n n n u →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞ +=+-+∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？
合肥工业大学第一学期高等数学试卷A试题 This manuscript was revised on November 28, 2020
一、填空题（每小题3分，共15分） 1、极限2sin 0 lim(13) x x x →+= ． 2、设2arctan()y x x =，则y ' ． 3、设()f x 的一个原函数为2 x e -，则()________xf x dx '=?． 4、曲线x e y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r e θ=从0=θ至2 π θ= 的一段弧长=l ____________． 二、选择题（每小题3分，共15分） 1、当1x →-时，31x +与3(1)x +为（） (A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小 (C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小 2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是（ ） (A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x - 3、设()f x 在0x =处连续，且0() lim 11cos x f x x →=-，则在点0x =处（ ）． (A) (0)f '不存在 (B) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f '存在，且(0)0f '≠ (D) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极大值 4、下列广义积分发散的是（ ） (A) 1+∞?111sin dx x -? (C) 221ln dx x x +∞? (D) 2 x xe dx +∞--∞? 5、曲线2 2 11x x e y e --+= -（） (A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 三、计算下列各题（每小题6分，共36分） 1、22211 1lim ( )2n n n n n n ππ π →∞ ++++++． 2、)cos 1)(1(1 cos sin 3lim 20x e x x x x x +---→． 3、求sin (0)x y x x =>的导数()y x '． 4、已知()2 ln 1,arctan , x t y t ?=+??=??求22d d ,d d y y x x ． 5、2 arctan x dx x ?． ６、设2 ln(1)0 ()101x x f x x x +≥?? =??? 讨论()f x 在0x =处的连续性和 可导性． 五、（本题满分10分）设曲线2 x e y =，切线2 e y x =及y 轴围成的平面图形为D ，求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V . 六、（本题满分8分）证明不等式：0>x 时，有11 ln ≥+ x x . 七、（本题满分6分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)(≠x f （01x <<）， 且0)1()0(==f f ， 证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使()2015()f f ξξ'=．
合肥工业大学新编第二学 期高等数学试卷A试题 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
一、填空题（每小题3分，共15分） 1、椭球面∑：222216x y z ++=在点 0(2,2,2)P 处的切平面方程是 ___________． 2、设曲线L 的方程为221x y +=，则 2[()]L x y y ds +-=? ． 3、设()2 1, 0,1,0,x f x x x ππ--<≤?=?+<≤? 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于 ． 4、微分方程220y y y '''++=的通解为 ． 5、设23(,,)2f x y z x y z =++，则 (1,1,1)grad f = ． 二、选择题（每小题3分，共15分） 1、设222z x y ze ++=,则11 x y dz ===( ) 2 、二次积分2 0(,)dx f x y dy ? 化为极 坐标下累次积分为（ ） 3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为（ ）． （A ）*()sin cos y x ax b A x B x =+++ （B ）*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ （C ）*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ （D ）*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线 1121 410214 x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是（ ） )(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面 π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交 5、设曲面∑的方程为 222,x y z z ++=，1∑为∑在第一卦 限的部分，则下列结论不正确．．． 的是 （ ）． （A ）0xdS ∑ =?? （B ） 0zdS ∑ =?? （C ）1 22 4z dS z dS ∑ ∑=???? （D ） 22x dS y dS ∑ ∑ =???? 三、（本题满分10分）设 (,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连 续偏导数，求2,z z x x y ?????． 四、（本题满分12分）求 22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D ： 2 2 14 y x +≤上的最大值和最小值. 五、（本题满分10分）计算二重积 分：2D I y x d σ=-??，其中 :11,02D x y -≤≤≤≤． 六、（本题满分12分）已知积分 22(5())()x x L y ye f x dx e f x d ---+? 与路径无关,且 6 (0)5 f = .求
合肥工业大学第一学期高等数学试卷A试题 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
一、填空题（每小题3分，共15分） 1、极限2sin 0 lim(13) x x x →+= ． 2、设2arctan()y x x =，则y ' ． 3、设()f x 的一个原函数为2 x e -，则()________xf x dx '=?． 4、曲线x e y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r e θ=从0=θ至2 π θ= 的一段弧长=l ____________． 二、选择题（每小题3分，共15分） 1、当1x →-时，31x +与3(1)x +为（） (A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小 (C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小 2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是（ ） (A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x - 3、设()f x 在0x =处连续，且0() lim 11cos x f x x →=-，则在点0x =处（ ）． (A) (0)f '不存在 (B) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f '存在，且(0)0f '≠ (D) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极大值 4、下列广义积分发散的是（ ） (A) 1+∞?111sin dx x -? (C) 221ln dx x x +∞? (D) 2 x xe dx +∞--∞? 5、曲线2 2 11x x e y e --+= -（） (A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 三、计算下列各题（每小题6分，共36分） 1、22211 1lim ( )2n n n n n n ππ π →∞ ++++++． 2、)cos 1)(1(1 cos sin 3lim 20x e x x x x x +---→． 3、求sin (0)x y x x =>的导数()y x '． 4、已知()2 ln 1,arctan , x t y t ?=+??=??求22d d ,d d y y x x ． 5、2 arctan x dx x ?． ６、设2 ln(1)0 ()101x x f x x x +≥?? =??? 讨论()f x 在0x =处的连续性和 可导性． 五、（本题满分10分）设曲线2 x e y =，切线2 e y x =及y 轴围成的平面图形为D ，求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V . 六、（本题满分8分）证明不等式：0>x 时，有11 ln ≥+ x x . 七、（本题满分6分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)(≠x f （01x <<）， 且0)1()0(==f f ， 证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使()2015()f f ξξ'=．