合肥工业大学2014-2015第一学期《高等数学》试卷a试题.pdf

咼数期末考试一、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)2.lim (1 + 3x)sinx =1. x -0_______________________________________.已知cosx是f(x)的一个原函数， 则2.xx兀2兀22兀 2 n — 1lim — (cos 2— + cos 2 ——+||| + cos 2兀)= 3. “世 n n n n ______________ .1 2 2x arcsin x 1 , dx 二2—1书1 一 X4. _ 运______________________ .二、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)设口(x) = —x, P (x)=3-3%'x ,则当 X T 1 时()5.1 x.(A)〉(x)与-(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小； (B )〉(x)与］(x)是等价无穷小；(C (X)是比-(x)高阶的无穷小； (D ) -(x)是比〉(X)高阶的无穷小.6 设 f (x) = cos x( x + sin x ),则在 x = 0处有(A C) ■ (D ) f(x)不可导. x7.若F (x )二0( 2—x ) f( t ) dt ，其中f (x)在区间上(-1,1)二阶可导且f (x)，则().(A) 函数F(x)必在x=0处取得极大值； (B) 函数F (x)必在x = 0处取得极小值； (C) 函数F(x)在x=0处没有极值，但点(0, F(0))为曲线y = F(x)的拐点；(D) 函数F(x)在x=0处没有极值，点(0，F(0))也不是曲线y 二F(x)的拐点。

1设f (x)是连续函数，且 f (x) = x + 2 j° f (t)dt ,贝U f (x)=((A ) 2解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)10. 设函数厂y (x)由方程e x y-sin(xy)二1确定，求y (x)以及y (°).1 - x 78. 2—+2(B ) 2(C ) x 1 (D ) x 2.9.三求—dx.11.x(1 x )y(1) =14.求微分方程xy 2^xlnx满足9的解.四、解答题(本大题10分)15. 已知上半平面内一曲线 y 二y(x)(x 一0)，过点(0,1)，且曲线上任一点M&o ’y 。

一、填空题（每小题3分，共15分） 1、极限2sin 0lim(13)x x x →+= ．2、设2arctan()y x x =，则y ' ． 3、设()f x 的一个原函数为2x e-，则()________xf x dx '=⎰．4、曲线xe y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r eθ=从0=θ至2πθ=的一段弧长=l ____________．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、当1x →-时，31x +与3(1)x +为（）(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是（ ）(A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x -3、设()f x 在0x =处连续，且0()lim 11cos x f x x→=-，则在点0x =处（ ）． (A) (0)f '不存在 (B) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f '存在，且(0)0f '≠ (D) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极大值4、下列广义积分发散的是（ ）(A)1+∞⎰(B)111sin dx x -⎰ (C)221ln dx x x+∞⎰(D) 2x xe dx +∞--∞⎰5、曲线2211x x e y e--+=-（）(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1、222111lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++L ． 2、)cos 1)(1(1cossin 3lim 20x e x x x xx +---→． 3、求sin (0)xy xx =>的导数()y x '． 4、已知()2ln 1,arctan ,x t y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩求22d d ,d d y yx x ． 5、2arctan x dx x ⎰． ６、设2ln(1)0()101x x f x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪+⎩，求20(1)f x dx -⎰． 四、（本题满分10分）设 ()()22021cos , 0, 1, 0,1cos d , 0,xx x x f x x t t x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩⎰ 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性．五、（本题满分10分）设曲线2xe y =，切线2ey x =及y 轴围成的平面图形为D ，求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V .六、（本题满分8分）证明不等式：0>x 时，有11ln ≥+xx . 七、（本题满分6分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)(≠x f （01x <<），且0)1()0(==f f ，证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使()2015()f f ξξ'=．。

一、填空题（每小题3分，共15分） 1、椭球面∑：222216x y z ++=在点0(2,2,2)P 处的切平面方程是___________．2、设曲线L 的方程为221x y +=，则2[()]Lx y y ds +-=⎰ ．3、设()21,0,1,0,x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于 ． 4、微分方程220y y y '''++=的通解为 ． 5、设23(,,)2f x y z x y z =++，则(1,1,1)grad f = ．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、设222z x y ze ++=,则11x y dz ===( )2、二次积分20(,)dx f x y dy ⎰ 化为极坐标下累次积分为（ ）3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为（ ）．（A ）*()sin cos y x ax b A x B x =+++ （B ）*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ （C ）*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ （D ）*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线1121410214x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是（ ）)(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交5、设曲面∑的方程为222,x y z z ++=，1∑为∑在第一卦限的部分，则下列结论不正确．．．的是（ ）．（A ）0xdS ∑=⎰⎰ （B ）0zdS ∑=⎰⎰（C ）1224z dS z dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ （D ）22x dS y dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰三、（本题满分10分）设(,)sin xz f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂．四、（本题满分12分）求22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D ：2214y x +≤上的最大值和最小值.五、（本题满分10分）计算二重积分：2DI y x d σ=-⎰⎰，其中:11,02D x y -≤≤≤≤．六、（本题满分12分）已知积分22(5())(x xLy ye f x dx e f x ---+⎰与路径无关,且6(0)5f = .求()f x ,并计算(2,3)22(1,0)(5())()x x I y ye f x dx e f x dy--=-+⎰.七、（本题满分12分）计算积分2232222()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy I x y z ∑+-++=++⎰⎰，其中∑是上半球面z =，取上侧．八、（本题满分10分）．求幂级数∑∞=---12112)1(n nn x n 的收敛域及和函数，并求数项级数∑∞=---1112)1(n n n 的和．九、（本题满分4分）设0(1,2,3,...)n u n ≠=,且lim 1n nnu →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑是否收敛如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛。

扬州大学2008级高等数学Ⅰ（1）统考试卷A 班级学号姓名得分一、选择题（每小题３分，共30分）1．设函数1(1)0()xx xf xa x⎧⎪->=⎨⎪≤⎩在点0x=处连续，则a=【】(A)1 (B)1- (C)e (D)1e-2．若当0x→时，tan x x-与nax是等价无穷小，则a=【】（A）3-（B）13-（C）3（D）133．若()2f x'=，则00()()limhf x h f x hh→+--=【】(A)0 (B)1(C)4 (D)4-4．函数43()4f x x x=-在闭区间[1,2]-上的最小值为【】（A）5（B）0（C）16-（D）27-5．设32()1f x x x x=--+，则在区间11[,]33-上【】（A）函数()f x单调减少且其图形是凹的（B）函数()f x单调减少且其图形是凸的（C）函数()f x单调增加且其图形是凹的（D）函数()f x单调增加且其图形是凸的6．若函数()f x()f x'=【】（A (B)（C（D7．设()f x 是以T 为周期的连续函数，k 为正整数，则(1)()d a k T a kTf x x +++⎰【 】（A ）仅与k 及T 有关 （B ）仅与k 及a 有关（C ）仅与a 及T 有关（D ）仅与T 有关8．设210()00x e x f x x x ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩, 则(0)f '=【 】（A ）∞ (B)2 （C ）1 （D ）0 9．若抛物线2y ax =与曲线ln y x =相切，则常数a =【 】 (A)12e (B)2e (C)1e(D)e 10．微分方程76sin y y y x '''-+=的特解y *应具有形式【 】 (A)sin cos A x B x + (B)sin A x(C)cos A x (D)()sin ()cos Ax B x Cx D x +++二、填空题（每小题3分，共18分）11．设 0x y xy e e -+=，则d d x y x== ．12．131(1x x -+=⎰．13．曲线2y x =与y x = 围成的平面图形的面积为 ．14．曲线xx y 12+=的所有渐近线的方程为 . 15．若10[()()]d 1x f x f x e x '+=⎰，且(0)4f =，则(1)f = .16．若xy xe =是某二阶常系数齐次线性微分方程的一个特解，则该微分方程为．三、计算题（每小题6分，共42分）17．求222tan d limsinxxt tx x→⎰．18．求e x ⎰.19．求1ln dx x x ⎰．20．求内接于半径为R的球的正圆锥体的最大体积．21．求由曲线y=y x=所围平面图形分别绕x轴、y轴旋转一周所形成的旋转体的体积．22．求微分方程 cos xy y x '+= 满足初始条件1x y π==的特解．23．求微分方程265x y y y e ''' +-=的通解．四、证明题（每小题5分，共10分）24．设()f x 在[0,1]上可微，对于[0,1]上的每一个,0()1x f x <<， 且()1f x '<，试证在(0,1)内有且仅有一个ξ，使()f ξξ=．25．证明：42(4)(4)0d 2d x x x x ex e x --=⎰⎰．2008级高等数学试题A 参考答案一、1.D 2.D 3.C 4.C 5.B 6.B 7.D 8.C 9.A 10.A 二、11．1 12．2π 13.13 14．0,1x y ==± 15.5e 16.20y y y '''-+=三、17．解2022tan d limsin x x t tx x→⎰204tan d limx x t t x→=⎰ ………………………………………………2分2232002tan tan lim lim 42x x x x x x x →→== ………………………………4分 2201lim 22x x x →==. ……………………………………………6分 18．解ex⎰t22d t e t t ⎰ ……………………………………………………2分222d d t t t t e te e t ==-⎰⎰ ………………………………………4分2212t t te e C =-+ ………………………………………………5分12e C =-+. ………………………………………6分19．解 1ln d x x x ⎰=1201ln d()2x x ⎰ …………………………………………………1分 1120011ln d 22x x x x ⎡⎤=-⎣⎦⎰………………………………3分 1220011lim ln 24x x x x +→⎡⎤=--⎣⎦ ……………………………5分 14=-. ……………………………………………………6分20．解 设圆锥底半径为r ，高为h ，则2222()2r R h R Rh h =--=-． ．．．．．．．1分 于是，圆锥体积 2223111(2)(2)333V r h Rh h h Rh h πππ==-=-． ．．．．．．．．．．．3分 求导得，2()(43)3V h Rh h π'=-． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 令()0V h '=，得43h R =． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 故 34max 33281h R V V R π===． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分21．解 （1）222d ]d ()d x V x x x x x ππ=-=-， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分120()d x V x x x π=-⎰ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 6π=． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分(2)322d 2)d 2()d y V x x x x x x ππ==-， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分31222()d y V x x x π=-⎰ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分215π=． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分22．解 原方程可改写为 1cos x y y x x '+=． 这是一阶线性方程，1()P x x =，cos ()x Q x x=． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分原方程的通解为()d ()d ()d P x x P x xy e Q x e x C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰..．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分11d d cos d xx xxx ee x C x -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰1(sin )x C x =+. ．．．．．．．．．．．5分 由1x y π==得，C π=． 故所求特解为 1(sin )y x xπ==+． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分23．解 特征方程为 260r r +-=，解之得12r =，23r =-， ．．．．．．．．．．．．．．．1分 故相应的齐次方程的通解为 2312x x Y C e C e -=+． ．．．．．．．．．．．．．．．2分自由项2()5x f x e =属于()xm P x e λ型（0m =，2λ=）． 由于2λ=是特征方程的单根，故可设原方程的一个特解为2x y Axe *=， ．．．．．．．．4分 求导得：2(2)x y A Ax e *'=+，2(44)x y A Ax e *''=+．将,,y y y ***'''代入原方程得，1A =．于是，2xy xe *=． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 因此，原方程的通解为 23212xx x y C eC e xe -=++． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分四、24．证 令()()F x f x x =-，[0,1]x ∈ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 则由(0)(1)0F F <和零点定理知()F x 在(0,1)内至少有一个零点 ．．．．．．．．．．．．．3分 又由()0F x '<知()F x 在[0,1]上单调，()F x 在(0,1)内最多只有一个零点． 综上所述，()F x 在(0,1)内有且仅有一个零点，即(0,1)内有且仅有一个ξ，使()f ξξ=．．．．．．．．．．．．．．．．5分25．证242(4)(2)(2)02d d x tx x t t ex e t =+-+--=⎰⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分2(2)(2)02d t t e t +-=⎰ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 20(4)22(1)d t uu u e u =--=-⎰2(4)02du u u e -=⎰ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 2(4)02d x x e x -=⎰． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分。

2014-2015试卷 一、填空题1、极限2sin 0lim(13)x x x →+=． 2、设2arctan()y x x =，则y ′ ． 3、设()f x 的一个原函数为2x e−，则()________xf x dx ′=∫．4、曲线xe y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r e θ=从0=θ至2πθ=的一段弧长=l ____________．二、选择题 1、当1x →−时，31x+与3(1)x +为（）(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是（ ）(A) 1sin x + (B) 1sin x − (C) 1cos x + (D) 1cos x −3、设()f x 在0x =处连续，且0()lim11cos x f x x→=−，则在点0x =处（ ）． (A) (0)f ′不存在 (B) (0)0f ′=，且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f ′存在，且(0)0f ′≠ (D) (0)0f ′=，且(0)f 为()f x 的极大值4、下列广义积分发散的是（ ）(A)1∫(B)111sin dx x −∫ (C)221ln dx x x+∞∫(D) 2x xe dx +∞−−∞∫5、曲线2211x x e y e−−+=−（）(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1、222111lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++ ． 2、)cos 1)(1(1cossin 3lim 20x e x x x xx +−−−→．3、求sin (0)xy xx =>的导数()y x ′．4、已知()2ln 1,arctan ,x t y t =+ = 求22d d ,d d y y x x ．5、2arctan x dx x∫． ６、设2ln(1)0()101x x f x x x+≥= < + ，求20(1)f x dx −∫． 四、（本题满分10分）设 ()()22021cos , 0, 1, 0,1cos d , 0,xx x x f x x t t x x −<== > ∫ 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性．五、（本题满分10分）设曲线2xe y =，切线2ey x =及y 轴围成的平面图形为D ，求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V .六、（本题满分8分）证明不等式：0>x 时，有11ln ≥+xx . 七、（本题满分6分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)(≠x f （01x <<），且0)1()0(==f f ，证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使()2015()f f ξξ′=2013-2014高数试卷一、填空题 1、极限0_________x →=．2、曲线221x xy y −+=在点(1,1)处的切线方程为 ．3、设曲线()y f x =过点(0,0)，且当x 在0x =处取得增量x ∆时相应的函数值增量3()(0)y x o x x ∆=∆+∆∆→，则2lim ()________n nf n→∞=．4、设连续函数()f x 满足1()2()d f x x f x x =，则1()d __________f x x =∫．5、积分121[ln(]_________x x −+=∫．二、选择题1、设lim n n x →∞与lim n n y →∞均不存在，那么下列命题正确的是（ ）．（A ）若lim()n n n x y →∞+不存在，则lim()n n n x y →∞−必也不存在（B ）若lim()n n n x y →∞+存在，则lim()n n n x y →∞−必也存在（C ）lim()n n n x y →∞+与lim()n n n x y →∞−均不存在（D ）lim()n n n x y →∞+与lim()n n n x y →∞−中只要有一个存在，另一个必定不存在2、已知0x =是函数ln()()sin a x f x x bx+=−的可去间断点，则常数,a b 的取值情况为（ ）．（A ）1,a b =为任意实数 （B ）1,b a =为任意实数 （C ）1,a b ≠为任意实数 （D ）=1,1a b ≠3、设21sin ,0()0,0,x x f x xx ≠= = 那么()f x 在0x =处（ ）． (A) 不连续 (B) 连续但不可导 (C) 可导但()f x ′不连续 (D) 可导且()f x ′也连续 4、极限22212lim()12n nn n n n→∞++⋅⋅⋅+=+++（ ）. (A) 14 (B) 13 (C) 12(D) 15、设2sin 1x +为)(x f 的一个原函数，则()d x f x x ′=∫（ ）．(A) 22cos x x C + (B) 2222cos sin x x x C −+ (C) 2222sin cos x x x C −+ (D) 222cos sin x x x C ++三、计算下列各题（每小题５分，共3０分）1、011lim()ln(1)x x x →−+．2、设,0,(),0,x e x f x x x ≤= >求()21sin 0lim()d xxx f t t+−∞→∫．3、设y =d y 及y ′′．4、设()y y x =由220ln(1),d 1,1u t x te y u u =+ −= +∫确定，求1d d t y x =．5、x ．６、设20sin ()d 1cos xt f x t t=+∫，求220()d 1()f x x f x π′+∫． 四、（本题满分８分）已知0x →时，22cos sin ()x x A Bx Cx o x +=+++，其中2()o x 是2x 的高阶无穷小，求常数,,A B C 的值．五、（本题满分10分）设2()1xf x x x =+−，（１）求函数()f x 的单调区间，（２）求函数()f x 的极值．六、（本题满分10分）如图所示1D 是由抛物线22y x x =−与直线(0)y kx k =>围成的图形，2D 是由曲线22y x x =−与直线y kx =及x 轴围成的图形，设1D 的面积为1S ，2D 的面积为2S ，若12:1:7S S =． （１）求常数k 的值；（２）求1D 绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积x V 及2D 绕y 轴旋转一周所得到的旋转体的体积y V ． 七、（本题满分6分）证明：0x ≠时，2cos 12x x >−．八、（本题满分6分）设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且1(0)(1)0,(0)()02f f f f ><．证明：（１）在()0,1内存在两个不同的点,ξη，使得()()0f f ξη==成立；（２）(0,1)ζ∃∈使得()()0f f ζζζ′−=成立。

石家庄铁道大学2014-2015学年第一学期二0一四 级本科班期末考试试卷（A ）课程名称： 高等数学（A ）I 考试日期： 1月 日 考试时间： 120 分钟 考试性质（学生填写）：正常考试（）缓考补考（）重修（）提前修读（）一、单选题和填空题，（每小题3分，共30分）请将下列各题答案填到下面的表格内，否则不得分！．下列四对函数中，是相同函数的是 (A) 2ln(1sin )()x f x e+=与2()1sin g x x =+(B) 2()x f x x=与()g x x =(C) 2()ln(1)f x x =+与()2ln(1)g x x =+(D) ()f x =()g x x = 2．下列哪个极限不存在．．．(A) 1sin sin1lim 1x x x →-- (B) 10lim x x e →(C) 201lim sin x x x → (D) 11lim(1)xx x→+——————————————————密————封————线————内————答————题————无————效————————————班级： 学号： 姓名：3．设由1y y xe =+确定了y 是x 的隐函数，则下列结果正确的是(A)y dy e dx = (B) y y dy e xe dx=+ (C) 2ydy e dx y=- (D) 222y y d y e xe dx =+ 4．设()f x 在[1,1]-上可导，且2()(0)1lim(sin )2x f x f x →-=，则(0)f 是()f x 的 (A) 最大值 (B) 最小值 (C) 极大值 (D) 极小值 5．下列四个积分结果正确的是(A) 545sin 0x xdx -=⎰ (B) 141sin 01x x e xdx e -=+⎰(C)10-=⎰(D)201400π=⎰6．函数11()(1)xx f x e --=-的两个间断点x =0，1的类型(A) 都是第一类 (B) x =0是第一类，x =1是第二类 (C) 都是第二类 (D) x =0是第二类，x =1是第一类7．若函数21()1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在x =1处可导，则(,)a b =8．设()f x 在0x x =处可导，且0001lim(2)()4h h f x h f x →=--，则0()f x '=9．星形线33cos sin x a ty a t⎧=⎪⎨=⎪⎩（a >0，t 为参数）的全长= 10．若lim ()x af x →=∞，则称x a =是函数()y f x =的图像的垂直渐近线；若lim ()x f x b →∞=，则称y b =是函数()y f x =的图像的水平渐近线；若lim[()]0,0x f x kx b k →∞--=≠，即()lim,lim[()]x x f x k f x kx b x→∞→∞=-=，则称y kx b =+是函数()y f x =的图像的斜渐近线.函数2(3)()4(1)x f x x -=-有几条渐近线二、解答下列各题（每小题7分，共42分）1．求极限 030(tan )lim sin xx x x x dx x e x→-⎰2．求由参数方程23230sin 10tx t t y e t ⎧---=⎨-++=⎩所确定的函数()y f x =的微分dy .3．已知3ln y x x =，求(4)y——————————————————密————封————线————内————答————题————无————效———————4．求定积分0⎰5．设()f x 的一个原函数为2()xe F x x=，求2(1)xf x dx +⎰6．已知0(),(0)00xe xf x x λλλ-⎧≥=>⎨<⎩，求()xf x dx +∞-∞⎰三、解答下列各题（每小题9分，共18分）1．讨论2(3)()4(1)x f x x -=-的单调性，极值，凹凸性，拐点.列表表示结果.2．求由曲线,x x y e y e -==及直线2y e =所围成平面图形的面积A ，及该平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V .——————————————————密————封————线————内————答————题————无————效————————四、证明题（每小题5分，共10分）1．02(),0(),0x tf t dt x F x x C x ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰，其中()f x 是连续函数且(0)0f =， 若()F x 在x =0处连续，则C =0.2．达布定理：设函数()f x 在[,]a b 上可导，且()()0f a f b +-''<，则至少存在一点(,)c a b ∈使得()0f c '=. 利用达布定理证明：若函数()f x 在[,]a b 上可导，η是介于()f a +'与()f b -'之间的一个数，则至少存在一点(,)c a b ∈使得()f c η'=.。

2014—2015学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A卷( 工科类 )参考答案及评分标准各章所占分值如下：第一章函数与极限16 %；第二章一元函数的导数与微分16 %；第三章微分中值定理与导数的应用14 %；第四章不定积分15 %；第五章定积分及其应用26 % . 第六章常微分方程13 % .一．（共3小题，每小题4分，共计12 分）判断下列命题是否正确在 题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明 .1．极限xx 1sinlim 0→不存在. （ √ ）--------------------------------------------------（2分）证 设x x f 1sin )(= ，取πn x n 21=，221ππ+=n y n ，),2,1( =n0lim =∞→n n x ，0lim =∞→n n y ，但)(lim n n x f ∞→n n x 1sin lim ∞→=02sin lim ==∞→πn n ，)(lim n n y f ∞→n n y 1sinlim ∞→=1)22sin(lim =+=∞→ππn n ， 由海涅定理，xx 1sin lim 0→不存在. ---------------------------------------------------------------（2分）2．若曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处存在切线，则)(x f 在0x 点必可导. （ ⨯ ）--------------------------------------------------------（2分） 例：3x y =在)0,0(点处有切线0=x ，但3x y =在0=x 处不可导.---------------------------------------------------------（2分）3．设函数)(x f 在],[b a 上连续且下凸，在),(b a 内二阶可导，则),(b a x ∈∀有0)(>''x f . （⨯ ）----------------------------------------------------------（2分）例：4)(x x f =在]3,2[-上连续且下凸，但 0)0(=''f .. ---------------------------------------------------------（2分）二．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1. 求极限)!sin()11(lim n nnn ⋅-∞→ .解 ,0)11(lim =-∞→nn n,1)!s i n (≤n ------------------------------------------------------（3分）.0)!sin()11(lim =⋅-∴∞→n nn n ----------------------------------------------------------------（3分）2.求极限44)1(limxdte t x x t x ⎰-+∞→+.解 44)1(l i mx dtet x xt x ⎰-+∞→+⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 404)1(lim----------------------------（2分）xxx e x x e x )4()1(lim434++=+∞→---------------------------------------------------------------------（2分）.141lim 434=++=+∞→x x x x --------------------------------------------------------------------（2分）3．求极限)21(lim 222222nn nn n n n n ++++++∞→ . 解 )21(lim 222222n n nn n n n n ++++++∞→ ∑=∞→⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=ni n n n i 12111lim ------------------------------------------------------------------（2分） ⎰+=1021x dx ---------------------------------------------------------------------（2分） 4arctan 10π==x. ----------------------------------------------------------------（2分）1．求函数()xx eex f 11211++=的间断点并判断其类型.解 0=x 是)(x f 的间断点，---------------------------------------------------------------------（3分）又 )(lim 0x f x +→21211lim 11=++=+→xx x ee，)(lim 0x f x -→1211lim 110=++=-→xxx e e ， 0=∴x 是)(x f 的跳跃间断点. ---------------------------------------------------------------（3分）2．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1)(2x x x e x f x ，求 .)(x f '解 当0≠x 时，2)1(2)(22x e x x e x f x x --⋅='21222x e e x x --=----------------- （3分 ） 当0=x 时，0)0()(lim )0(0--='→x f x f f x xx e x x 1lim 20-=→201lim2x e x x -=→122lim 20==→x xe xx ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--='∴.0,1,0,12)(222x x x e e x f x x ------------------------------------------------ （ 3分 )3．设方程ln(sin )cos sin x t y t t t =⎧⎨=+⎩确定y 为x 的函数，求dy dx 与22d ydx . 解()sin ()dy y t t t dx x t '==' , --------------------------------------------------------------------（3分）22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin dt t dx =()sin d dt t t dt dx =⋅sin cos ()t t t x t +='sin tan sin t t t t =+. -----------------------------------------------------------------------（3分）1．求不定积分⎰+dx e xx ln 2.解 ⎰+dx e xxln 2⎰⋅=dx e e x x ln 2⎰=dx x e x 2-----------------------------------------------（3分）)(2122⎰=x d e x -------------------------------------------------------------------------（2分） .212C e x += ----------------------------------------------------------------------（1分）2．求不定积分⎰dx x x 2cos .解⎰dx x x 2cos ⎰+=dx xx 22cos 1 -------------------------------------------------------（2分） ⎰+=)2(sin 41412x xd x ---------------------------------------------------（2分） ⎰-+=dx x x x x 2sin 412sin 41412 C x x x x +++=2cos 812sin 41412.------------------------------------（2分）3．设)(x f 在]1,1[-上连续，求定积分dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰-.解1dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-------------------------------（2分）dx x 210120-+=⎰（上半单位圆的面积）-----------------------------------（3分）242ππ=⋅=.------------------------------------------------------------------------------（1分）解2dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-----------------------------（2分）+=0dx x 2111-+⎰-（上半单位圆的面积）-------------------------------（3分）2π=.-------------------------------------------------------------------------------------（1分）五．（本题8分）设由曲线 x y ln = 与直线 0=-ey x 及 x 轴 所围平面图形为 D (1) 求D 的面积S ；（4分）(2) 求D 绕直线e x =旋转所得旋转体的体积 V .（4分）解 曲线x y ln =与直线 0=-ey x 的交点为)1,(e ----------------------（1分）.12-=e------------------------------------------（3分） （2） ⎰⎰---=-=1210221)()(dy e e dy ey e V V V y ππ------------------------------（2分）⎰⎰+---=1221022)2()1(dy e ee e dy y e y y ππ.)3125(6)2212(3222+-=---=e e e e e πππ----------------------（2分）xx ⎰-=1)()1(dyy e e S y 12]2[e ye y -=六．（共2小题，每小题6分，共计12分）1．设有半径为R 的半球形蓄水池中已盛满水 (水的密度为ρ), 求将池中水全部抽出所做的功.解 过球心的纵截面建立坐标系如图,则半圆方程为222x y R +=. --------------------------------------------------（1分）.44gR ρπ=---------------------------------------------------------------------------（2分）2．设有质量为m 的降落伞以初速度0v 开始降落，若空气的阻力与速度成正比（比例系数为0>k ），求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解 设降落伞下降的速度为)(t v ，则根据牛顿第二运动定律，有 kv mg dtdvm-=，其中g 为重力加速度，-------------------------------------------（2分） 分离变量，得m dtkv mg dv =- ， 两端积分 ⎰⎰=-m dtkv mg dv ， 1ln 1C m t kv mg k +=-- ， 1ln kC t mkkv mg --=-， t mk Cekv mg -=- （其中1kC eC -=，0>-kv mg ）---------------------------------（2分）由已知0)0(v v =，代入上式，得0kv mg C -=，故 .)(0tm ke kmg v k mg v --+=------------------------------------------------------------（2分）y,],0[R x ∈∀所做功的微元：取],[dx x x +（其中g x dx x R g dW ⋅-=)(22πρ分）（3)(32dx x x R g -=πρ23()RW g R x x dxρπ=-⎰故七．（本题6分）求微分方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解.解 特征方程为：,0652=+-r r 特征根：.3,221==r r对应齐次方程的通解为：.3221x x e C e C y +=----------------------------------------（3分） 而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为C Bx Ax y ++=21，----------------（1分）B Ax y +='21,A y 21='',代入原方程得， 2106)(6)2(5222+-=++++-x x C Bx Ax B Ax A ， 2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax ,比较同次幂的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=.2652,10106,66C B A A B A解之得，.0,0,1===C B A .21x y =∴故所要求的通解为.23221x e C e C y x x ++=---------------------------------------------（2分）八．（本题8分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点)0(),(>x y x 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距且L 经过点)0,21(. （1）试求曲线L 的方程；（2）求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小. 解（1）过曲线L 上点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-， 令0=X ，得切线在y 轴上的截距：y x y Y '-=，由题意，得y x y y x '-=+22，即dx dy x y x y -=⎪⎭⎫⎝⎛+21，)0(>x ------------（2分）令u x y =，则,12x dx u du -=+)0(>x ,12⎰⎰-=+⇒x dxudu )0(>xC x u u ln ln )1ln(2+-=++⇒,C u u x =++⇒)1(2,将xyu =代入并化简，得 C y x y =++22，由L 经过点)0,21(，令21=x ，0=y ，得21=C ，故曲线L 的方程为：,2122=++y x y 即 241x y -=.----------------------------------（2分）（2）曲线L ：241x y -=在点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，即)(2)41(2x X x x Y --=--，亦即 )210(4122≤<++-=x x X x Y ， 切线与x 轴及y 轴的交点分别为：)0,241(2xx +，).41,0(2+x -----------------------（2分）所求面积⎰--+⋅=210222)41(2)41(21)(dx x xx x S ，)0(>x)413)(41(41)41(2)41(441)(22222222-+=+-+⋅='x x x x x x x x S ，)0(>x 令0)(='x S ，得)(x S 符合实际意义唯一驻点：63=x ， 即63=x 为)(x S 在)21,0(内的最小值点， 故所求切线方程为： 41363632++⋅-=X Y ,即.3133+-=X Y ---------------------------------------------（2分）。

合肥工业大学2018-2019学年第二学期《高等数学》期末试卷（A卷）答题时限：120 分钟考试形式：闭卷、笔试一、填空题（每小题3 分，共15 分）1. 直线⎩⎨⎧==+1zyx绕x轴旋转形成的旋转曲面方程为.2. 函数22z x y xy=+在点(1,1)处的最大方向导数为.3.设空间区域Ω为球体2221x y z++≤，则三重积分222()dx y z VΩ++=⎰⎰⎰.4. 设曲面∑的方程为z=d z S∑=⎰⎰.5. 2()dx tf x e t=⎰在区间(,)-∞+∞内关于x的幂级数展开式为.二、选择题（每小题3 分，共15 分）1.设(0,0)1,(0,0)2,(0,0)3x yf f f''===，l对x轴正向的逆时针方向转角为4π，则下列说法一定正确的是( ).(A)(,)f x y在(0,0)点连续，且lim(,)1xyf x y→→=(B)(,)f x y在(0,0)点可微，且(0,0)d(,)2d3df x y x y=+(C)(,)f x y在(0,0)点沿l方向的方向导数存在，且(0,0)52fl∂=∂(D)(,)f x y在(0,0)点不取极值2.设(,)f x y为连续函数，则121cos sind(cos,sin)df r r r rπθθθθθ+=⎰⎰( ).(A)100d(,)dx f x y y⎰(B)10d(,)dyy f x y x⎰(C)1d (,)d xx f x y y ⎰(D)11d (,)d xx f x y y -⎰3. 设:,[0,1]L y x x =∈，第一类曲线积分1=()d LI k y x s -⎰，22=()d LI y x s -⎰，其中k为常数，则12,I I 的大小关系为( ).(A)12I I <(B) 12I I > (C) 12I I =(D) 无法比较4. 设常数0λ>，则级数21sin (1)n n n n λ∞=+-∑是( ). (A)条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 敛散性与常数λ有关5．设()f x 是周期2π的函数，且21,0,(),0,x x f x x x ππ+-≤<⎧=⎨≤<⎩()s x 为()f x 的傅里叶级数展开，则(5)s =( ).(A)2(52)π-(B)62π- (C)6 (D)25三、计算题（ 本大题共6小题，共64分）1．设函数22u x y z =++，其中(),()y y x z z x ==由隐函数方程组20,ln 1y x x ye xz z ⎧+-=⎨+=⎩确定，求0d x u =。

高数期末考试一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. =+→xx x sin 20)31(lim .2. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则.3.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ.4. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .二、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)5. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.6. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '=（B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '=（D ）()f x 不可导.7. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

（A ）22x （B ）222x +（C ）1x -（D ）2x +.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 9. 设函数)(xf 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数.求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解. 四、解答题（本大题10分）11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2)求D 绕直线x =e 旋转一周所得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）13. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 1、D2、A3、C4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e .6.cx x +2)cos (21　.7.2π.8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 11. 解：101233()2xf x dx xe dx x x dx---=+-⎰⎰⎰12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

高数期末考试一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. =+→xx x sin 20)31(lim .2. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.3.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .4. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)5. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.6. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.7. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

8.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +. 9.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）10. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 11. .d )1(177x x x x ⎰+-求12. ．　求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x13. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.14. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）15. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）16. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）17. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.18. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x ye y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1330()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x xxe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

高数期末考试一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. =+→xx x sin 20)31(lim .2.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.3.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221L n n nnn n ππππ .4. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)5. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.6. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.7. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 9. 设函数)(xf 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()lim x f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）13. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 11.解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

一、填空题（每小题3分，共15分）1、椭球面∑：222216x y z ++=在点0(2,2,2)P 处的切平面方程是___________． 2、设曲线L 的方程为221x y +=，则2[()]Lx y y ds +-=⎰．3、设()21,0,1,0,x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于 ．4、微分方程220y y y '''++=的通解为 ．5、设23(,,)2f x y z x y z =++，则(1,1,1)grad f =u u u u u r．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、设222zx y ze ++=,则11x y dz===( ))(A 2(dx dy)-+ )(B 22(z 1)e (z 1)e z zdx dy --+++)(C 22dx dy + )(D 22dx dy -+2、二次积分2(,)dx f x y dy ⎰化为极坐标下累次积分为（ ）drr F d D drr F d C drr F d B dr r F d A ),(2)(),()(),()(),()(cos 202cos 2022cos 20cos 200θθθθθθθθθπθππθππθπ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为（ ）．（A ）*()sin cos y x ax b A x B x =+++ （B ）*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ （C ）*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ （D ）*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线1121410214x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是（ ） )(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交5、设曲面∑的方程为222,x y z z ++=，1∑为∑在第一卦限的部分，则下列结论不正确．．．的是（ ）．（A ）0xdS ∑=⎰⎰ （B ）0zdS ∑=⎰⎰（C ）1224zdS z dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ （D ）22x dS y dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰三、（本题满分10分）设(,)sin xz f xy y y=+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ∂∂∂∂∂． 四、（本题满分12分）求22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D ：2214y x +≤上的最大值和最小值.五、（本题满分10分）计算二重积分：2D I y xd σ=-⎰⎰，其中:11,02D x y -≤≤≤≤．六、（本题满分12分）已知积分22(5())()xx Ly yef x dx e f x dy ---+⎰与路径无关,且6(0)5f =.求()f x ,并计算(2,3)22(1,0)(5())()x x I y ye f x dx e f x dy --=-+⎰.七、（本题满分12分）计算积分2232222()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdyI x y z ∑+-++=++⎰⎰，其中∑是上半球面z =，取上侧．八、（本题满分10分）．求幂级数∑∞=---12112)1(n n n x n 的收敛域及和函数，并求数项级数∑∞=---1112)1(n n n 的和．九、（本题满分4分）设0(1,2,3,...)n u n ≠=,且lim1n nnu →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？。

系班级姓
名学号装订
线内不要答题XXXX 大学2014/2015学年第一学期《高等数学》期末考试试卷(A 卷)绝密⋆启用前(XXXX 年级)题号一二三总分复核人得分得分评卷人复核人一、选择题(共20小题，每小题3分，共60分)(类型说明：每一道试题下面有A 、B 、C 、D 四个选项，请从中选择一个最佳答案，并在答题卡上将相应题号的字母涂黑，以示正确答案.)1.已知得分评卷人复核人二、填空题(共10小题，每小题3分，共30分)(类型说明：请把答案写在题中横线上，不必写出中间过程.)2.已知得分评卷人复核人三、解答题(共2小题,每小题5分,共10分)(类型说明：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请在指定区域作答.)3.已知
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高数期末考试一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. =+→xx x sin 20)31(lim .2. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则.3.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ.4. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .二、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)5. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.6. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '=（B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '=（D ）()f x 不可导.7. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

（A ）22x （B ）222x +（C ）1x -（D ）2x +.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 9.设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数.求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2)求D 绕直线x =e 旋转一周所得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）13. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 1、D2、A3、C4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e .6.cx x +2)cos (21　.7.2π.8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 11. 解：101233()2xf x dx xe dx x x dx---=+-⎰⎰⎰12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。