2019年北京市高三数学一轮专题突破训练《三角函数》(理)及答案

课时分层训练(十九) 同角三角函数的基本关系与诱导公式A 组 基础达标一、选择题1．(2018·石家庄质检(二))若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则cos α＝( )【导学号：79140107】A.223B ．－223C ．－429D.429B [由sin(π－α)＝13得sin α＝13，又因为π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，故选B.]2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3D [∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.]3．已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2 019π2－2α的值为( ) A.45 B ．－45C ．2D ．－12B [由题意可得tan α＝2， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2 019π2－2α＝－sin2α＝－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－2tan αtan 2α＋1＝－45，故选B.] 4.cos 350°－2sin 160°sin(－190°)＝( )A ．－ 3B ．－32C.32D.3D [原式＝cos(360°－10°)－2sin(180°－20°)－sin(180°＋10°)＝cos 10°－2sin(30°－10°)－(－sin 10°)＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝ 3.]5．(2017·广州模拟)当θ为第二象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13时，1－sin θcos θ2－sinθ2的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．0B [∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13，∴cos θ2＝13.∵θ为第二象限角，∴θ2在第一象限，且cos θ2＜sin θ2， ∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ2－sin θ2cos θ2－sinθ2＝－1.] 二、填空题6．已知sin(125°－α)＝13，则sin(55°＋α)的值为________．13 [因为(125°－α)＋(55°＋α)＝180°，sin(125°－α)＝13，所以sin(55°＋α)＝sin[180°－(125°－α)]＝sin(125°－α)＝13.]7．(2017·江西上饶一模)已知π2＜α＜π，3sin 2α＝2cos α，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－9π2＝________. 【导学号：79140108】223 [∵π2＜α＜π，∴cos α＜0.∵3sin 2α＝2cos α，即6sin α·cos α＝2cos α，∴sin α＝13，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－9π2＝－cos α＝1－sin 2α＝223.]8．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15，则tan α＝________.－43[由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，消去cos α整理，得 25sin 2α－5sin α－12＝0， 解得sin α＝45或sin α＝－35.因为α是三角形的内角， 所以sin α＝45.又由sin α＋cos α＝15，得cos α＝－35，所以tan α＝－43.]三、解答题9．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°.【导学号：79140109】[解] 原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2. 10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.[解] 由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.B 组 能力提升11．已知sin α＋3cos α＋1＝0，则tan α的值为( )A.43或34 B ．－34或－43C.34或－43D ．－43或不存在D [由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos 2α＝1，即5cos 2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－35或cos α＝0，当cos α＝0时，tan α的值不存在，当cos α＝－35时，sin α＝－3cos α－1＝45，tan α＝sin αcos α＝－43，故选D.]12．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( )A ．1＋ 5B ．1－ 5C ．1± 5D ．－1－5B [由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m4.又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， ∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1± 5.又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.]13．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________.44.5 [因为sin(90°－α)＝cos α，所以当α＋β＝90°时，sin 2α＋sin 2β＝sin 2α＋cos 2α＝1，设S ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°， 则S ＝sin 289°＋sin 288°＋sin 287°＋…＋sin 21°， 两个式子相加得2S ＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S ＝44.5.] 14．已知f (α)＝sin(π－α)cos(2π－α)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin (－π－α).(1)化简 f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值.【导学号：79140110】[解] (1)f (α)＝sin α·cos α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2－2πtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝sin α·cos α·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，故f (α)＝265.。

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第二节同角三角函数基本关系式与诱导公式A组基础题组1。

sin 210°cos 120°的值为（)A。

B.— C.—D。

2.若sin α=-,且角α为第四象限角，则tan α的值等于( ）A.B。

- C。

D.-3.已知sin αcos α=,且〈α〈,则cos α—sin α的值为( ）A.- B。

C。

-D。

4。

（2016课标全国Ⅲ，5,5分)若tan α=，则cos2α+2sin 2α=（)A。

B.C。

1 D.5.已知函数f(x)=asin（πx+α)+bcos（πx+β),且f(4）=3,则f（2 015）的值为( )A.—1 B。

1 C.3 D.—36.= 。

7.(2014北京昌平期末)已知θ是第二象限的角,sin θ=，则tan θ的值为.8.已知sin（π—α）=log8,且α∈，则tan（2π—α）的值为.9。

已知sin（3π+α）=2sin，求下列各式的值:(1);(2）sin2α+2sin αcos α.10.已知sin(π-α）-cos（π+α）=,求下列各式的值.（1)sin α-cos α；（2)sin3+cos3.B组提升题组11.已知2tan α·sin α=3,-〈α〈0,则sin α=（)A.B。

考纲要求:在三角函数的解答题中，经常要解决求未知角的三角函数值，此类问题的解决方法大体上有两个，一是从角本身出发，利用三角函数关系列出方程求解，二是向已知角（即三角函数值已知）靠拢，利用已知角将所求角表示出来，再利用三角函数运算公式展开并整体代换求解，这里着力介绍第二种方法的使用和技巧.基础知识回顾:与三角函数计算相关的公式：（1）两角和差的正余弦，正切公式：①③sinsi n cos si n coscoscos cos si n si n②④sin si n cos si n coscoscos cos si n si n⑤tantan tan1tan tan⑥tantan tan1tan tan（2）倍半角公式：①sin22sin cos②cos2cos2sin22cos2112sin2③tan 22tan 1 tan2（3）辅助角公式：a s in b cos a2b2sin ，其中tan b a应用举例:类型一、利用两角和差正余弦公式求值【例1】【名校联盟2018年高考第二次适应与模拟】已知的值是A．B．C．D．【答案】B ，，则【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．【例2】【黑龙江省2018届高三高考仿真模拟(三)】已知，，则A．B．C．D．【答案】D类型二、齐次式相关的求值问题【例3】【广东省佛山市南海区南海中学2018届高三考前七校联合体高考冲刺交流】已知（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】，则先由题得【详解】，再化简，即得解.由题得,所以故答案为：C【点睛】.(1)本题主要考查三角化简求值，考查同角的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2)本题解题的关键是.【例4】【宁夏石嘴山市2018届高三4月适应性测试（一模）】若A．B．1C．D．【答案】B ，这里利用了“1”的变式，，则类型三、利用二倍角求值【例5】【广西南宁市第三中学2019届高三上学期第一次月考（开学考试）】已知（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】，则由题意首先求得【详解】的值，然后利用二倍角公式整理计算即可求得最终结果.由题意结合诱导公式可得：，则.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.【例 6】【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学 2018 届高三第三次模拟考试】已知 （ )A ．B ．C ．D ．【答案】B，则 =方法、规律归纳:1、解决此类问题的方法步骤：（1）考虑用已知角表示未知角，如需要可利用常用角进行搭配（2）等号两边同取所求三角函数，并用三角函数和差公式展开（3）利用已知角所在象限和三角函数值求出此角的其他函数值（4）将结果整体代入到运算式即可2、确定所涉及角的范围：当已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，角的范围将决定其他三角函数 值的正负，所以要先判断角的范围，再进行三角函数值的求解。

课时分层训练(十九) 同角三角函数的基本关系与诱导公式A 组 基础达标一、选择题1．(2018·石家庄质检(二))若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则cos α＝( )【导学号：79140107】A.223B ．－223C ．－429D.429B [由sin(π－α)＝13得sin α＝13，又因为π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，故选B.]2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3D [∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.]3．已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2 019π2－2α的值为( ) A.45 B ．－45C ．2D ．－12B [由题意可得tan α＝2， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2 019π2－2α＝－sin2α＝－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－2tan αtan 2α＋1＝－45，故选B.] 4.cos 350°－2sin 160°sin(－190°)＝( )A ．－ 3B ．－32C.32D.3D [原式＝cos(360°－10°)－2sin(180°－20°)－sin(180°＋10°)＝cos 10°－2sin(30°－10°)－(－sin 10°)＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝ 3.]5．(2017·广州模拟)当θ为第二象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13时，1－sin θcos θ2－sinθ2的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．0B [∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13，∴cos θ2＝13.∵θ为第二象限角，∴θ2在第一象限，且cos θ2＜sin θ2， ∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ2－sin θ2cos θ2－sinθ2＝－1.] 二、填空题6．已知sin(125°－α)＝13，则sin(55°＋α)的值为________．13 [因为(125°－α)＋(55°＋α)＝180°，sin(125°－α)＝13，所以sin(55°＋α)＝sin[180°－(125°－α)]＝sin(125°－α)＝13.]7．(2017·江西上饶一模)已知π2＜α＜π，3sin 2α＝2cos α，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－9π2＝________. 【导学号：79140108】223 [∵π2＜α＜π，∴cos α＜0.∵3sin 2α＝2cos α，即6sin α·cos α＝2cos α，∴sin α＝13，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－9π2＝－cos α＝1－sin 2α＝223.]8．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15，则tan α＝________.－43[由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，消去cos α整理，得 25sin 2α－5sin α－12＝0， 解得sin α＝45或sin α＝－35.因为α是三角形的内角， 所以sin α＝45.又由sin α＋cos α＝15，得cos α＝－35，所以tan α＝－43.]三、解答题9．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°.【导学号：79140109】[解] 原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2. 10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.[解] 由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.B 组 能力提升11．已知sin α＋3cos α＋1＝0，则tan α的值为( )A.43或34 B ．－34或－43C.34或－43D ．－43或不存在D [由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos 2α＝1，即5cos 2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－35或cos α＝0，当cos α＝0时，tan α的值不存在，当cos α＝－35时，sin α＝－3cos α－1＝45，tan α＝sin αcos α＝－43，故选D.]12．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( )A ．1＋ 5B ．1－ 5C ．1± 5D ．－1－5B [由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m4.又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， ∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1± 5.又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.]13．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________.44.5 [因为sin(90°－α)＝cos α，所以当α＋β＝90°时，sin 2α＋sin 2β＝sin 2α＋cos 2α＝1，设S ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°， 则S ＝sin 289°＋sin 288°＋sin 287°＋…＋sin 21°， 两个式子相加得2S ＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S ＝44.5.] 14．已知f (α)＝sin(π－α)cos(2π－α)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin (－π－α).(1)化简 f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值.【导学号：79140110】[解] (1)f (α)＝sin α·cos α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2－2πtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝sin α·cos α·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，故f (α)＝265.。