圆锥曲线与方程导学案
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圆锥曲线与方程
第1课时 曲线与方程
一．知识探究
1.经过(1,3).(2,5)的直线方程为 .
2.与定点的距离等于定长的点的轨迹是 ．
3.已知P1(1,1).P2(2,5)，则P1 圆(x－1)2＋y 2＝1上，而P2 圆(x－1)2＋y 2＝1上．（填在或不在）
4.在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是 ；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是 ．那么，这个方程叫做 ；这条曲线叫做 ．
5.如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？
三．典型选讲
例1分析下列曲线上的点与方程的关系：
(1)求第一、三象限两轴夹角平分线l上点的坐标满足的关系；
(2)说明过点A(2,0)平行于y轴的直线l与方程|x|＝2之间的关系．
变式训练1 (1)过(0,1)P且平行于x轴的直线l的方程是||1y吗？为什么？
(2)设(2,0)A，(0,2)B，能否说线段AB的方程是20xy？为什么？
例2已知方程22(1)10xy．
(1) 判断点(1,2)P，(2,3)Q是否在此方程表示在曲线上；(2)若点(,)2mMm在此方程表示的曲线上，求m的值．
变式训练2 已知方程22()()36xayb表示的曲线经过点(0,0)O和点(0,12)A，求a、b的值．
例3 曲线x2＋(y－1)2＝4与直线y＝k(x－2)＋4有两个不同的交点，求k的取值范围．若有一个交点呢？无交点呢？
变式训练3 若曲线y＝x2－x＋2与直线y＝x＋m有两个交点，则实数m的取值范围是________．
四.小结
对曲线与方程的定义应注意：
(1)定义中的第一条“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上点的坐标没有不满足方程的解的，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外(纯粹性)．
(2)定义中的第二条“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)．
(3)定义的实质是平面曲线上的点集和方程f(x，y)＝0的解集{(x，y)|f(x，y)＝0}之间的一一对应关系．曲线和方程的这一对应关系，既可以通过方程研究曲线的性质，又可以求出曲线的方程．
五.课堂即时练习
1．下面四组方程表示同一条曲线的一组是( )
A．y2＝x与y＝x B．y＝lgx2与y＝2lgx
C.y＋1x－2＝1与lg(y＋1)＝lg(x－2) D．x2＋y2＝1与|y|＝1－x2
2．直线x－y＝0与曲线xy＝1的交点是( )
A．(1,1) B．(－1，－1) C．(1,1).(－1，－1) D．(0,0)
3．设点A(－4,3)，B(－32，－4)，C(5，25)，则在曲线x2＋y2＝25(x≤0)上的点有________．
4．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是________．
六.课时作业
1．方程x2＋xy＝x表示的曲线是( )
A．一个点 B．一条直线 C．两条直线 D．一个点和一条直线
2．下列命题正确的是( )
A．方程xy－2＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线
B．△ABC的顶点坐标分别为A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则中线AO的方程是x＝0
C．到x轴距离为5的点的轨迹方程是 y＝5
D．曲线2x2－3y2－2x＋m＝0通过原点的充要条件是m＝0
3．曲线x2＋y2＋2Dx＋2Ey＋F＝0与x轴的两个交点位于原点两侧，则D，E，F满足的条件是________． 学习目标：1. 能说出平面直角坐标系中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义.
2．会判定一个点是否在已知曲线上．
3．能用适当方法求出曲线的交点．
重点难点：学习重点：曲线的方程.方程的曲线的概念．
难点：对曲线的方程.方程的曲线概念的理解.
4．方程x2(x2－1)＝y2(y2－1)所表示的曲线是C，若点M(m，2)与点N(32，n)均在曲线C上，则m_______n__________．
5．方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示什么曲线？为什么？
6.若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围．
第二章 圆锥曲线与方程
第2课时 求曲线的方程
学习目标：1. 能写出求曲线方程的步骤．
2．会求简单曲线的方程．
重点难点：学习重点：求曲线的方程的一般步骤与方法．
难点：根据题目条件选择合适的方法求曲线的方程．
一.知识探究
1．解析几何研究的主要问题
(1)根据已知条件，求出 ；
(2)通过曲线的方程， ．
2．求曲线的方程的步骤
(1)建立适当的坐标系，用 表示曲线上任意一点M 的坐标；
(2)写出适合条件p的点M 的集合 ；
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程 ；
(4)化方程f(x，y)＝0为 ；
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
3.求曲线方程的步骤是否可以省略？
三.典型选讲
例1 如图已知点01，F，直线1:xl，P为平面上一动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且FQFPQFQP，求动点P的轨迹C的方程.
变式训练1 若把例1中的等式关系改为QFOPFPQP,求动点P的轨迹C的方程.
例2 长为4的线段的两个端点分别在x轴.y轴上滑动，求此线段的中点的轨迹方程．
变式训练2 已知点A(－a,0)、B(a,0)，a>0，若动点M与两定点A、B构成直角三角形，求直角顶点M的轨迹方程．
例3 已知△ABC 的两顶点A、B 的坐标分别为A(0,0).B(6,0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心的轨迹方程．
变式训练3 已知A(－2,0)、B(2,0)，点C、D满足|AC→|＝2，AD→＝12(AB→＋AC→)．求点D的轨迹方程．
四.小结
1．如何理解求曲线方程的步骤
(1)在第一步中，如果原题中没有确定坐标系，首先选取适当的坐标系，通常选取特殊位置为原点，相互垂直的直线为坐标轴．建立适当的坐标系，会给运算带来方便．
(2)第二步是求方程的重要的一个环节，要仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住与曲线上任意一点M有关的等量关系，列出几何等式，此步骤也可以省略，直接将几何条件用动点的坐标表示.
(3)在化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“丢解”或“增解”．
(4)第五步的说明可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明，如某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中x(或y)的取值予以剔除．
2．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状．
3．要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．
五.课堂即时练习
1．若动点P到点(1，－2)的距离为3，则动点P的轨迹方程是( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
2．以(5,0)和(0,5)为端点的线段的方程是( )
A．x＋y＝5 B．x＋y＝5(x≥0)
C．x＋y＝5(y≥0) D．x＋y＝5(0≤x≤5)
3．若点M到x轴的距离和它到直线y＝8的距离相等，则点M的轨迹方程是________．
4．直角坐标平面xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足OP→²OA→＝4，则点P的轨迹方程是________．
5．一动点C在曲线x2＋y2＝1上移动时，它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1 C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(x＋32)2＋y2＝1
6．已知A(－1,0).B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是( )
A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0 B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0 D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
7．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为________．
8．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点 A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足OC→＝mOA→＋nOB→，其中m，n∈R，且m＋n＝1，则点C的轨迹方程为________．
9．在正三角形ABC内有一动点P，已知P到三顶点的距离分别为|PA|.|PB|.|PC|，且满足|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，求P点的轨迹方程．
10.已知△ABC中，三边c>b>a，且a，b，c成等差数列，b＝2，试求点B的轨迹方程．
第二章 圆锥曲线与方程
第3课时 椭圆及其标准方程
学习目标：1. 能说出椭圆的实际背景，体验从具体情境中抽象出椭圆模型的过程．
2．熟记椭圆的定义和标准方程，会推导椭圆标准方程．
重点难点：
学习重点：椭圆的定义及标准方程.
难点：椭圆标准方程的推导．
一.知识探究
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆，点 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
焦点
a,b,c的关系
4．平面内动点M满足|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是什么？当2a<|F1F2|时呢？
5．如何理解椭圆和圆之间的关系？
三.典型选讲：
例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．
变式训练1 根据下列条件，求椭圆的标准方程.
(1)坐标轴为对称轴，并且经过两点(0,2)A和1(,3).2B
(2)（2）经过点(2,3)且与椭圆229436xy有共同的焦点.
例2.命题甲：动点P到两定点A.B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a＞0且a为常数)；命题乙：点P的轨迹是椭圆，且A.B是椭圆的焦点，则命题甲是命题乙的( )
