高中数学 第2章《圆锥曲线与方程》2.2.1抛物线及其标准方程导学案(无答案)北师大版选修1-1(1

2.4 抛物线2.4.1 抛物线及其标准方程学 习 目 标核 心 素 养1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点)2．掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点)3．明确p 的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点)1．通过抛物线定义的学习，培养数学抽象核心素养．2．通过抛物线定义及标准方程的应用，培养学生的直观想象、数学建模等核心素养．1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．思考1：抛物线的定义中，若点F 在直线l 上，那么点的轨迹是什么？[提示] 点的轨迹是过点F 且垂直于直线l 的直线． 2．抛物线的标准方程图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y 2＝2px (p >0) F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 x ＝－p 2y 2＝－2px (p >0)F ⎝⎛⎭⎫－p 2，0x ＝p 2x 2＝2py (p >0)F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 y ＝－p 2x 2＝－2py (p >0)F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2y ＝p2思考2：(1)抛物线方程中p (p >0)的几何意义是什么？ (2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？ [提示] (1)p 的几何意义是焦点到准线的距离．(2)根据抛物线方程中一次式±2px ，±2py 来确定焦点位置，“x ，y ”表示焦点在x 轴或y 轴上，系数“±2p ”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上．1．抛物线x 2＋8y ＝0的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0，－2) C ．(0,4)D ．(0，－4)B [抛物线x 2＝－8y 的焦点在y 轴的负半轴上，且p2＝2，因此焦点坐标是(0，－2)．]2．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8C [由y 2＝8x 得p ＝4，即焦点到准线的距离为4．] 3．抛物线x ＝4y 2的准线方程是( ) A ．y ＝12B ．y ＝－1C ．x ＝－116D ．x ＝18C [由x ＝4y 2得y 2＝14x ，故准线方程为x ＝－116．]4．抛物线y 2＝－12x 上与焦点的距离等于9的点的坐标是________．(－6,62)或(－6，－62) [由y 2＝－12x 知p ＝6，准线方程为x ＝3，设抛物线上点P (x ，y )，由抛物线定义可知－x ＋3＝9，x ＝－6，将x ＝－6代入y 2＝－12x ，得y ＝±62，所以满足条件的点为(－6,62)或(－6，－62)．]求抛物线的标准方程【例1】 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝23；(2)焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为5； (3)经过点(－3，－1)；(4)焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点． 思路探究：(1)(2)(3)(4)写出焦点坐标→[解] (1)因为抛物线的准线交y 轴于正半轴，且p 2＝23，则p ＝43，所以所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y ． (2)已知抛物线的焦点在y 轴上，可设方程为x 2＝2my (m ≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m |＝5，m ＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x 2＝10y 和x 2＝－10y ．(3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝－2py (p >0)．若抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)，则由(－1)2＝－2p ×(－3)，解得p ＝16；若抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)，则由(－3)2＝－2p ×(－1)，解得p ＝92．∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－13x 或x 2＝－9y ．(4)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4，∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，p2＝3，∴p ＝6，此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ；当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x ．∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x ． 1．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 2．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题 (1)把握开口方向与方程间的对应关系．(2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，这样可以减少讨论情况的个数．(3)注意p 与p2的几何意义．[跟进训练]1．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8[答案] D抛物线的定义的应用线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程；(2)已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，对于定点A (4,2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时的P 点坐标；(3)已知动圆M 与直线y ＝2相切，且与定圆C ：x 2＋(y ＋3)2＝1外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．思路探究：(1)利用抛物线定义先求抛物线的方程，再求m 和准线方程．(2)利用抛物线的定义，把|PF |转化为到准线的距离． (3)利用|MC |的长度比点M 到直线y ＝2的距离大1求解． [解] (1)设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由p2＋3＝5得p ＝4，因此抛物线方程为x 2＝－8y ，其准线方程为y ＝2，由m 2＝24得m ＝±26．(2)如图，作PN ⊥l 于N (l 为准线)，作AB ⊥l 于B ， 则|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PN |≥|AB |，当且仅当P 为AB 与抛物线的交点时，取等号． ∴(|PA |＋|PF |)min ＝|AB | ＝4＋1＝5． 此时y P ＝2，代入抛物线得x P ＝1， ∴P (1,2)．(3)设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，则由题意可得M 到圆心C (0，－3)的距离与直线y ＝3的距离相等．由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C (0，－3)为焦点，以y ＝3为准线的一条抛物线，其方程为x 2＝－12y ．抛物线定义的两种应用 1实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.2解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.[跟进训练]2．(1)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A ．172B ．3C ． 5D ．92A [由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可得，∴点P 到准线x ＝－12的距离d ＝|PF |，易知点A (0,2)在抛物线y 2＝2x 的外部， 连接AF ，交y 2＝2x 于点P ′，欲使所求距离之和最小，只需A ，P ′，F 共线， ∴其最小值为 |AF |＝⎝⎛⎭⎪⎫0－122＋2－02＝172．](2)若位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12．求点M 的轨迹方程．[解] 由于位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等．由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p2＝12，所以p ＝1,2p ＝2，故点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)．抛物线的实际应用[已知抛物线，如何建系，才能使抛物线方程为标准方程？ [提示] 以抛物线的顶点为坐标原点，以抛物线的对称轴为坐标轴建系．【例3】 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高34米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？思路探究：建系→设方程→解方程→求出相关量→ 解决问题[解] 如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意，将B (4，－5)代入方程得p ＝85，∴抛物线方程为x 2＝－165y ．∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航． 设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )， 由22＝－165y A ，得y A ＝－54．又知船露出水面上部分为34米，设水面与抛物线拱顶相距为h ，则h ＝|y A |＋34＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航．求抛物线实际应用的五个步骤 1建立适当的坐标系.2设出合适的抛物线标准方程. 3通过计算求出抛物线的标准方程. 4求出需要求出的量.5还原到实际问题中，从而解决实际问题.[跟进训练]3．某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线型，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0．04米．若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？[解]如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系．因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A(10，－2)．设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，则102＝－2p×(－2)，所以p＝25，所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－150x2．若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时，y＝－150×82＝－1．28，即船体在x＝±8之间通过，B(8，－1．28)，此时B点距水面6＋(－1．28)＝4．72(米)．而船体高为5米，所以无法通行．又因为5－4．72＝0．28(米)，0．28÷0．04＝7，150×7＝1 050(吨)，所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现在状况下不能通过桥孔．1．焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx (m ≠0)，此时焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4，0，准线方程为x ＝－m 4；焦点在y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x 2＝my (m ≠0)，此时焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，m 4，准线方程为y ＝－m 4． 2．设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径．若M (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF |＝x 0＋p 2． 3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．1．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于( ) A ．1B ．2C ．4D ．8 A [∵14＋x 0＝54x 0，∴x 0＝1．] 2．已知抛物线y ＝mx 2(m >0)的焦点与椭圆4y 29＋x 22＝1的一个焦点重合，则m 的值为________．12 [将抛物线y ＝mx 2(m >0)的方程化为标准方程是x 2＝1m y ，所以其焦点是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14m ，因为抛物线y ＝mx 2(m >0)的焦点与椭圆4y 29＋x 22＝1的一个焦点重合，因此94－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14m 2，解得m ＝12．] 3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 1，若点A (2，－4)在抛物线上，则点A 到焦点的距离为________．4 [把点(2，－4)代入抛物线y 2＝2px ，得16＝4p ，即p ＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．故点A 到焦点的距离为4．]4．求顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线3x －5y －36＝0上的抛物线方程．[解] 因为焦点在直线3x －5y －36＝0上，且抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，所以焦点A 的坐标为(12,0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－365． 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，求得p ＝24，所以此抛物线方程为y 2＝48x ；设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，求得p ＝725， 所以此抛物线方程为x 2＝－1445y ． 综上所求抛物线方程为y 2＝48x 或x 2＝－1445y ．。

高中数学第2章圆锥曲线与方程22.1抛物线及其标准方程学案北师大版选修11学习目标：1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(难点)2.会求简单的抛物线的方程．(重点)1．抛物线的定义 (1)定义平面内与一个定点F 和一条直线l (l 不过点F )的距离相等的点的集合叫作抛物线． (2)焦点定点F 叫作抛物线的焦点． (3)准线定直线l 叫作抛物线的准线．思考：平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？[提示] 不一定．当直线l 经过点F 时，点的轨迹是过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线；l 不经过点F 时，点的轨迹是抛物线．2．抛物线标准方程的四种形式图像标准方程焦点坐标准线方程y 2＝2px (p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 x ＝－p2y 2＝－2px (p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 x ＝p 2x 2＝2py (p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 y ＝－p 2x 2＝－2py (p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 y ＝p 22[提示] 焦点到准线的距离．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线的方程都是y 关于x 的二次函数．( ) (2)二次函数的图像是抛物线．( ) (3)抛物线的焦点到准线的距离是p .( )(4)抛物线的开口方向由标准方程的一次项系数的正负确定．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．平面内到直线x ＝－1的距离与到点(－1,0)的距离相等的点的轨迹是( ) A ．抛物线 B ．y 轴 C ．x 轴D ．直线x ＝－1C [其轨迹是过(－1,0)且垂直于直线x ＝－1的直线，故选C.] 3．若抛物线x 2＝ay 的焦点坐标为(0,2)，则实数a 的值为________． [解析] x 2＝ay 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4，故a4＝2，a ＝8.[答案] 84．抛物线y ＝－18x 2的准线方程是________．[解析] y ＝－18x 2的标准方程为x 2＝－8y ，故该抛物线的准线方程为y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－84＝2.[答案] y ＝2由抛物线方程求焦点坐标、准线方程【例1】 已知抛物线方程如下，分别求其焦点和准线方程． (1)y ＝6x 2；(2)4y 2＋7x ＝0；(3)x ＝2ay 2(a ≠0)． [解] (1)将y ＝6x 2变形得x 2＝16y ，故2p ＝16，∴p ＝112，抛物线开口向上．∴焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，124，准线方程为y ＝－124.(2)将4y 2＋7x ＝0变形为y 2＝－74x .∴2p ＝74，p ＝78，抛物线开口向左．∴焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－716，0，准线方程为x ＝716. (3)将x ＝2ay 2化为y 2＝12ax .∴焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18a ，0，准线方程为x ＝－18a .1．根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时，一定要先化为标准形式，找出2p ，进而求出p 和p2的值，然后借助抛物线的开口方向即可求出焦点坐标和准线方程．2．一般地，不论a 符号如何，形如y 2＝ax (a ≠0)的抛物线，焦点均为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，准线方程均为x ＝－a4；形如x 2＝ay (a ≠0)的抛物线，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4，准线方程为y ＝－a4，而p (指焦点到准线的距离)总是正数．1．(1)抛物线x 2＝8y 的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0，－2) C ．(4,0)D ．(－4,0)(2)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________，准线方程为________． [解析] (1)由抛物线的方程为x 2＝8y 知，抛物线的焦点在y 轴上，所以2p ＝8，p2＝2，所以焦点坐标为(0,2)，故选A.(2)因为抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p2，抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，所以p ＝2，准线方程为x ＝－1.[答案] (1)A (2)2 x ＝－1求抛物线的标准方程【例2】 分别求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上．思路探究：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p ；从实际分析，一般需确定p 值和开口方向，如不能确定，应分类讨论．[解] (1)设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2py (p ＞0)，将点(－3,2)代入方程，得2p ＝43或2p ＝92，故抛物线方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y .(2)①令x ＝0，由方程x －2y －4＝0，得y ＝－2. ∴抛物线的焦点为F (0，－2)．设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，则由p2＝2，得2p ＝8.∴抛物线方程为x 2＝－8y .②令y ＝0，由x －2y －4＝0，得x ＝4. ∴抛物线的焦点为F (4,0)． 设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)， 由p2＝4，得2p ＝16. ∴抛物线方程为y 2＝16x .故所求的抛物线的方程为x 2＝－8y 或y 2＝16x .求抛物线标准方程的方法：(1)定义法，求出焦点到准线的距离p ，写出方程.(2)待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.另外，焦点在x 轴上的抛物线方程可统一设成y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可统一设成x 2＝ay (a ≠0).2．已知抛物线的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的焦点重合，则抛物线的标准方程为________．[解析] 椭圆x 26＋y 22＝1的焦点为(－2,0)，(2,0)．若抛物线以(－2,0)为焦点，则标准方程为y 2＝－8x ；若抛物线以(2,0)为焦点，则标准方程为y 2＝8x .[答案] y 2＝－8x 或y 2＝8x抛物线定义的应用[探究问题]1．若点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12.能否求点M 的轨迹方程？ [提示] 点M 到点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，即“点M 到点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离等于它到直线x ＝－12的距离”，可见，点M 的轨迹是以F 为焦点，直线x ＝－12为准线的抛物线，此时，p ＝1.故所求的点M 的轨迹方程是y 2＝2x .2．在探究1问题条件下，已知点A (3,2)是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．[提示] 将x ＝3代入y 2＝2x ，∴y ＝± 6. ∴A 在抛物线内部．设M 为其上一点，M 到准线l ：x ＝－12的距离为d .则|MA |＋|MF |＝|MA |＋d .由图可知，当MA ⊥l 时，|MA |＋d 最小，最小值是72.即|MA |＋|MF |的最小值是72.此时M 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ， ∴点M 坐标为(2,2)，即为所求．【例3】 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，求点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值．思路探究：先利用抛物线的定义，把点P 到其准线的距离转化成点P 到焦点的距离，再用三角形知识求最小值．[解] 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．∴点P 到准线x ＝－12的距离d ＝|PF |，易知点A (0,2)在抛物线y 2＝2x 的外部． 连接AF ，交y 2＝2x 于点P ′.欲使所求距离之和最小，只需P ′与P 重合，即A ，P ，F 共线，∴其最小值为|AF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋(2－0)2＝172.(变条件)本例若把“点(0,2)改为(2,1)”，其他条件不变，应如何求解． [解] (2,1)在抛物线内部，过(2,1)作准线x ＝－12的垂线交抛物线于P 1，交准线于P 2，P 到(2,1)的距离＋P 到准线的距离＝|PA |＋|PP 3|≥|AP 1|＋|P 1P 2|＝|AP 2|＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝52.解关于抛物线的最值、定值问题时，首先要注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等.1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4xD ．y 2＝4xB [由准线x ＝－2及顶点在原点， ∴焦点F (2,0)，p ＝4. ∴抛物线的方程为y 2＝8x .]2．经过点(2,4)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝8x B ．x 2＝y C ．y 2＝8x 或x 2＝yD ．无法确定C [把(2,4)代入y 2＝ax 得16＝2a ，∴a ＝8. 把(2,4)代入x 2＝by 得4＝4b ，∴b ＝1. ∴所求的抛物线的方程为y 2＝8x 或x 2＝y .] 3．抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是________． [解析] 由y 2＝4x 知焦点F (1,0)，准线为x ＝－1， ∴焦点到准线的距离为2. [答案] 24．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为________．[解析] 由题意知椭圆的右焦点为(2,0)，故p2＝2，∴p ＝4，抛物线方程为y 2＝8x ，其准线方程为x ＝－2. [答案] x ＝－25．抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M 的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M 点的坐标．[解] 设焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0，M 点到准线的距离为d . 则d ＝|MF |＝10，即9＋p2＝10.∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝－4x ， 将M (－9，y )代入抛物线的方程，得y ＝±6. ∴M 点坐标为(－9,6)或(－9，－6)．。

陕西省榆林育才中学高中数学第2章《圆锥曲线与方程》2.2.2抛物线的简单性质导学案（无答案）北师大版选修1-1
学习目标:1.使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．
2.从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能
力
重点、难点：理解并掌握抛物线的几何性质；能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质。

自主学习
合作探究
1.抛物线的几何性质：通过和椭圆几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？
(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．
(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．
(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．
(4)抛物线的离心率要联系椭圆第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为1．
2.已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．
3.过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且A(x1，y1)、B(x2，
y2)
练习反馈
1.点M到点F(4,0)的距离比它到直线l：x + 6 =0的距离小2，求M得轨迹。

2.求顶点在原点，通过点（3，-6），且以坐标为轴的抛物线的标准方程。

3.某单行隧道横断面由一段抛物线及矩形的三边组成，尺寸如图，某卡车载一集装箱，车宽3m,车与箱总高
4.5m,此车能否安全通过隧道？说明理由。

2.2 椭圆2.2.1 椭圆及其标准方程把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？[提示](1)点的轨迹是线段F1F2．(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程1．设P是椭圆x25＋y16＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于() A．4B．5C．8 D．10D[由椭圆方程知a2＝25，则a＝5，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10．]2．椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(0，－8)，F 2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )A ．x 2100＋y 236＝1B ．y 2400＋x 2336＝1C ．y 2100＋x 236＝1D ．y 220＋x 212＝1C [由题意知c ＝8,2a ＝20，∴a ＝10， ∴b 2＝a 2－c 2＝36，故椭圆的方程为y 2100＋x 236＝1．] 3．已知经过椭圆x 2100＋y 236＝1的右焦点F 2作直线AB ，交椭圆于A ，B 两点，F 1是椭圆的左焦点，则△AF 1B 的周长为________．40 [由已知得a ＝10，△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝40．] 4．椭圆8k 2x 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0，7)，则k 的值为________． －1或－17 [原方程可化为x 21k 2＋y 2－8k＝1．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－8k＞0，－8k ＞1k 2，－8k －1k 2＝7，即⎩⎨⎧k ＜0，k ＜－18，k ＝－1或k ＝－17.所以k 的值为－1或－17．]求椭圆的标准方程【例(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)． [解] (1)由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∴a ＝5，c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9． 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1．(2)由于椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∴a ＝2，b ＝1．故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1．(3)法一：①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ (3)2a 2＋(－2)2b 2＝1，(－23)2a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1．②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b2＝1，1a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15，因为a ＞b ＞0，所以无解．所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1．法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1．1．利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a ，b ，c 的等量关系；(4)求a ，b 的值，代入所设方程．2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m ＞0，n ＞0)．因为它包括焦点在x 轴上(m ＜n )或焦点在y 轴上(m ＞n )两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．[跟进训练]1．已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点，若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A ．x 22＋y 2＝1B ．x 23＋y 22＝1C ．x 24＋y 23＝1D ．x 25＋y 24＝1[答案] B椭圆中的焦点三角形问题【例2】 (1)椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为________．(2)设P 是椭圆x 225＋y 2754＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．思路探究：(1)求|PF 2|→求cos ∠F 1PF 2→求∠F 1PF 2的大小(2)在△PF 1F 2中应用余弦定理结合椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝10可以求得|PF 1|·|PF 2|，进而可求面积．(1)120° [由x 29＋y 22＝1，知a ＝3，b ＝2，∴c ＝7．∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°．](2)解：由椭圆方程知，a 2＝25，b 2＝754，所以c 2＝254，所以c ＝52，2c ＝5．在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 即25＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|．① 由椭圆的定义得10＝|PF 1|＋|PF 2|， 即100＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|．② ②－①，得3|PF 1|·|PF 2|＝75， 所以|PF 1|·|PF 2|＝25，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2534．|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 30°， 即25＝|PF 1|2＋|PF 2|2－3|PF 1|·|PF 2|．① 由椭圆的定义得10＝|PF 1|＋|PF 2|， 即100＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|．②②－①，得(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝75，所以|PF 1|·|PF 2|＝75(2－3)， 所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 30°＝754(2－3)．1．椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a ．2．椭圆中的焦点三角形椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2，称为焦点三角形．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF 1|＋|MF 2|＝2a 及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．与椭圆有关的轨迹问题 [1．如图所示，P 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 的坐标为(2,0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程．[提示] 用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量a ，b ，c ．所求点Q 的轨迹方程为x 29＋y 25＝1．2．如图所示，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹方程是什么？为什么？[提示] 当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用代入法(相关点法)求解．用代入法(相关点法)求轨迹方程的基本步骤为：(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为M (x ，y )，已知曲线上动点坐标为P (x 1，y 1)．(2)求关系式：用点M 的坐标表示出点P 的坐标，即得关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ).(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．所求点M 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1．【例3】 (1)已知P 是椭圆x 24＋y 28＝1上一动点；O 为坐标原点，则线段OP 中点Q 的轨迹方程为______________．(2)一个动圆与圆Q 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆Q 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．思路探究：(1)点Q 为OP 的中点⇒点Q 与点P 的坐标关系⇒代入法求解． (2)由圆的相切，及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹． (1)x 2＋y 22＝1 [设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，由点Q 是线段OP 的中点知x 0＝2x ，y 0＝2y ，又x 204＋y 208＝1． 所以(2x )24＋(2y )28＝1，即x 2＋y 22＝1．](2)解：由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q 1(－3,0)，R 1＝1；Q 2(3,0)，R 2＝9． 设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，如图． 由题设有|MQ 1|＝1＋R ，|MQ 2|＝9－R ， 所以|MQ 1|＋|MQ 2|＝10>|Q 1Q 2|＝6．由椭圆的定义，知点M 在以Q 1，Q 2为焦点的椭圆上， 且a ＝5，c ＝3．所以b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16，故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1．1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法．例(2)所用方法为定义法．2．对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．3．代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P (x ，y )与另一个已知曲线C ：F (x ，y )＝0上的动点Q (x 1，y 1)存在着某种联系，可以把点Q 的坐标用点P 的坐标表示出来，然后代入已知曲线C 的方程 F (x ，y )＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．[跟进训练]2．(1)已知x 轴上一定点A (1,0)，Q 为椭圆x 24＋y 2＝1上任一点，求线段AQ 中点M 的轨迹方程．[解] 设中点M 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 0，y 0)． 利用中点坐标公式， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12，y ＝y 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y . ∵Q (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 2＝1上，∴x 204＋y 20＝1． 将x 0＝2x －1，y 0＝2y 代入上式， 得(2x －1)24＋(2y )2＝1．故所求AQ 的中点M 的轨迹方程是⎝⎛⎭⎫x －122＋4y 2＝1． (2)在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，|AB |＝2，|AC |＝32，曲线E 过C 点，动点P 在曲线E上运动，且|P A |＋|PB |是定值．建立适当的平面直角坐标系，求曲线E 的方程．[解] 以AB 的中点O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．由题意可知，曲线E 是以A ，B 为焦点，且过点C 的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．则2a ＝|AC |＋|BC |＝32＋52＝4,2c ＝|AB |＝2，所以a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3．所以曲线E 的方程为x 24＋y 23＝1．1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a ＞|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2；当2a ＜|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在x 2a 2＋y 2b 2＝1与y 2a 2＋x 2b 2＝1这两个标准方程中，都有a ＞b ＞0的要求，如方程x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )就不能确定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式x a ＋y b ＝1类比，如x 2a 2＋y 2b 2＝1中，由于a >b ，所以在x 轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看x 2，y 2分母的大小)．3．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是通过待定系数法求解，二是通过椭圆的定义进行求解．1．已知A (－5,0)，B (5,0)．动点C 满足|AC |＋|BC |＝10，则点C 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．线段D ．点C [由|AC |＋|BC |＝10＝|AB |知点C 的轨迹是线段AB ．] 2．“2<m <8”是“方程x 2m －2＋y 28－m ＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [当方程表示椭圆时，应满足⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，8－m >0，m －2≠8－m ，所以2<m <8且m ≠5．因此应为必要不充分条件，故选B ．]3．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1，F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________．48 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝14， ①|PF 1|2＋|PF 2|2＝100， ②①2－②得2|PF 1||PF 2|＝96． 所以|PF 1||PF 2|＝48．]4．已知点P 在椭圆上，且P 到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3．过P 且与两焦点的连线垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．[解] 设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝5＋3，(2c )2＝52－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝12．于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1．。

2.3.1 抛物线及其标准方程了解抛物线的定义及其标准方程．1．抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(________)的距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的______，直线l叫做抛物线的________，__________的距离(定长p)叫做抛物线的焦参数．【做一做1】抛物线定义中的定点是其______，定直线是其______．抛物线定义中的定点F不在定直线l上，否则动点的轨迹不是抛物线，而是过点F与l 垂直的一条直线．2．抛物线的标准方程方程y2＝________叫做抛物线的标准方程．它所表示的抛物线的焦点在x轴的______半轴上，坐标是__________；它的准线方程是________，其中p是________的距离(焦参数)．【做一做2】抛物线y2＝4x的焦点坐标是______，准线方程是____________________．(1)抛物线中焦参数p的几何意义是焦点到准线的距离．(2)由于建立的坐标系不同，所得抛物线的方程也不同．本节中所建坐标系得到的是焦点在x轴的正半轴上的标准方程，下一节课还要学习其他形式的标准方程．1．如何理解抛物线的定义？剖析：(1)抛物线的定义用集合语言表示：P＝{M||MF|＝d}(d为M到定直线l的距离)．(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M点；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线l(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)．(3)抛物线定义中的定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F与l垂直的一条直线．(4)抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．2．抛物线的图象是双曲线的一支吗？剖析：虽然抛物线的形状与双曲线的形状看起来相似，但绝不能把抛物线当成是双曲线的一支．当抛物线上的点趋向于无穷远时，点的切线接近于和x轴平行；而双曲线上的点趋向于无穷远时，点的切线接近于与渐近线平行．抛物线没有渐近线；从方程上看，抛物线的方程与双曲线的方程有很大差别．题型一 抛物线的定义及应用【例1】若点A 的坐标为(3,2)，F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 在该抛物线上移动，为使得|PA |＋|PF |取得最小值，求点P 的坐标．分析：显然点A 在抛物线的内部，联想到平面上“到两定点距离之和最短的点在两定点连线所成的线段上”这一几何性质，欲使抛物线上一点到两定点A ，F 的距离和最短，需将A ，F 中的一个点转移到抛物线的外部，使其与另一点的连线与抛物线相交，则交点即为所求．反思：求圆锥曲线上到两定点的距离之和最小的点的位置时，通常有两种情况：(1)当两定点在曲线两侧时，连结两定点的线段与曲线的交点即为所求点；(2)当两定点在曲线同侧时，由圆锥曲线定义作线段的等量转换，转换为(1)的情形即可．题型二 求抛物线的焦点坐标和准线方程【例2】已知抛物线的方程如下，分别求它们的焦点坐标和准线方程．(1)y 2＝ax (a ＞0)；(2)3x ＝2y 2.分析：先根据抛物线的标准方程，求出p ，然后写出焦点坐标和准线方程．反思：根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化成标准方程，求出p 2的值，即可写出焦点坐标和准线方程．题型三 求抛物线的标准方程【例3】(1)已知抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离是4，则该抛物线的标准方程为______________．(2)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，抛物线上的点M (3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．分析：解第(2)题的基本思路有两个，其一设抛物线方程，利用点M 在抛物线上和点M 到焦点的距离等于5，列出关于m ，p 的方程组，解关于m ，p 的方程组；其二利用抛物线的定义，可得点M 到准线的距离为5，直接得到p 的关系式，求出p 值．反思：涉及抛物线上一点与焦点距离的问题时，要注意利用定义转化为该点到准线的距离，可简化计算．1(2010·安徽高考)抛物线y 2＝8x 的焦点坐标是______．2抛物线x －4y 2＝0的准线方程是________________．3若点A 的坐标为(2,2)，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，点P 在该抛物线上移动，为使得|PA |＋|PF |取得最小值，则P 点的坐标为______．4若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－3，则抛物线方程是________________．5若抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，其上一点M (4，a )到焦点的距离等于7，则抛物线的标准方程为______________．答案：基础知识·梳理1．F ∉l 相等 焦点 准线 焦点到准线【做一做1】焦点 准线 2．2px (p ＞0) 正 ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 x ＝－p 2 焦点到准线 【做一做2】(1,0) x ＝－1典型例题·领悟【例1】解：由抛物线的定义，|PF |等于点P 到抛物线准线的距离|PP ′|，如图所示． 因此，当且仅当P ，A ，P ′在同一条直线上时，有|PF |＋|PA |＝|PP ′|＋|PA |最小，此时点P 的纵坐标等于点A 的纵坐标，即y ＝2，将y ＝2代入y 2＝2x ，求得此时点P 的坐标为(2,2)．【例2】解：(1)由抛物线的标准方程y 2＝ax (a ＞0)知，2p ＝a .故p 2＝a 4. 因此，所给抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a 4. (2)把所给的抛物线方程变形为标准方程得y 2＝32x ， 故2p ＝32，即p 2＝38. 因此，所给抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫38，0，准线方程为x ＝－38. 【例3】(1)y 2＝8x 因为焦点到准线的距离是4，所以p ＝4，2p ＝8.又焦点在x 轴正半轴上，故所求抛物线的标准方程为y 2＝8x . (2)解：解法一：设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＝6p ，m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 22＝5. 解得⎩⎨⎧ p ＝4，m ＝26，或⎩⎨⎧ p ＝4，m ＝－2 6.故所求的抛物线方程为y 2＝8x ，m 的值为±2 6.解法二：设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程x ＝－p 2，根据抛物线定义，点M 到焦点的距离等于M 到准线的距离，则3＋p2＝5，解得p ＝4. 因此抛物线方程为y 2＝8x .又点M (3，m )在抛物线上，所以m 2＝24，解得m ＝±2 6.故所求的抛物线方程为y 2＝8x ，m 的值为±2 6.随堂练习·巩固1．(2,0) 2．x ＝－1163．(1,2) 4．y 2＝12x 5．y 2＝12x 设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，由抛物线的定义得4＋p 2＝7，p ＝6.故所求抛物线的标准方程为y 2＝12x .。

2.2.1 抛物线及其标准方程学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p 的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题.知识点一 抛物线的定义思考1 如图，在黑板上画一条直线EF ，然后取一个三角板，将一条拉链AB 固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C 点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF 上，在拉链D 处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线.这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？答案 平面内与一个定点F 和一条定直线l (定点不在定直线上)距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F 叫作抛物线的焦点，定直线l 叫作抛物线的准线. 思考2 抛物线的定义中，l 能经过点F 吗？为什么？答案 不能，若l 经过点F ，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F 且垂直于l 的一条直线.梳理 (1)定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的集合叫作抛物线. (2)焦点：点F . (3)准线：直线l .知识点二 抛物线的标准方程思考1 抛物线方程中p 有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？答案 p 是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向. 思考2 抛物线标准方程的特点？答案 (1)原点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p 为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于p2.思考3 已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？答案 一次项变量为x (或y )，则焦点在x 轴(或y 轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上.焦点确定，开口方向也随之确定. 梳理 抛物线的标准方程有四种类型类型一 抛物线定义的解读 例1 方程x ＋2＋y －2＝|x －y ＋3|2表示的曲线是( )A.圆B.椭圆C.线段D.抛物线答案 D 解析x ＋2＋y －2＝|x －y ＋3|2，它表示点M (x ，y )与点F (－3，1)的距离等于点M 到直线x －y ＋3＝0的距离，且点F (－3，1)不在直线上.根据抛物线的定义，知此方程表示的曲线是抛物线.反思与感悟 根据式子的几何意义 ，利用抛物线的定义，可确定点的轨迹，注意定义中“点F 不在直线l 上”这个条件.跟踪训练1 若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是________. 答案 抛物线解析 由题意，动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x ＋1＝0的距离大1，故动圆圆心的轨迹是以(2，0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线，其方程为y 2＝8x . 类型二 抛物线的标准方程及求解命题角度1 抛物线的焦点坐标或准线方程的求解 例2 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程. (1)y 2＝－6x ；(2)3x 2＋5y ＝0； (3)y ＝4x 2；(4)y ＝ax 2(a ≠0).解 (1)由方程y 2＝－6x ，知抛物线开口向左，2p ＝6，p ＝3，p 2＝32，所以焦点坐标为(－32，0)，准线方程为x ＝32.(2)将3x 2＋5y ＝0化为x 2＝－53y ，知抛物线开口向下， 2p ＝53，p ＝56，p 2＝512，所以焦点坐标为(0，－512)，准线方程为y ＝512.(3)将y ＝4x 2化为x 2＝14y ，知抛物线开口向上， 2p ＝14，p ＝18，p 2＝116，所以焦点坐标为(0，116)，准线方程为y ＝－116.(4)抛物线方程y ＝ax 2可化为x 2＝1ay ，当a >0时，2p ＝1a ，p ＝12a，故焦点坐标是(0，14a )，准线方程是y ＝－14a .当a <0时，2p ＝－1a ，p ＝－12a，故焦点坐标是(0，14a )，准线方程是y ＝－14a .综上，抛物线y ＝ax 2的焦点坐标(0，14a )，准线方程为y ＝－14a .引申探究1.将例2(4)的方程改为y 2＝ax (a ≠0)结果如何？ 答案 焦点是(a 4，0)，准线方程是x ＝－a4.2.将例2(4)的方程改为x 2＝ay (a ≠0)，结果如何？ 答案 焦点是(0，a 4)，准线方程是y ＝－a4. 反思与感悟 如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向.一次项的变量若为x (或y )，则x 轴(或y 轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向.跟踪训练2 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 为( ) A.2 B.1 C.12 D.14答案 A解析 注意到抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，曲线x 2＋y 2－6x －7＝0， 即(x －3)2＋y 2＝16，它表示圆心为(3，0)，半径为4的圆.由题意得⎪⎪⎪⎪⎪⎪p2＋3＝4. 又p >0，因此有p2＋3＝4，解得p ＝2，故选A.命题角度2 求抛物线的标准方程例3 求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点(－3，2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上；(3)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线相交于点A ，|AF |＝5. 解 (1)当抛物线的焦点在x 轴上且过点(－3，2)时， 可设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)， 把(－3，2)代入得22＝－2p ×(－3)， ∴p ＝23，∴所求抛物线方程为y 2＝－43x .当抛物线的焦点在y 轴上且过点(－3，2)时， 可设抛物线方程为x 2＝2py (p >0)， 把(－3，2)代入得(－3)2＝2p ×2，∴p ＝94，∴所求抛物线方程为x 2＝92y .综上，所求抛物线方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y .(2)直线x －2y －4＝0与x 轴的交点为(4，0)，与y 轴的交点为(0，－2)， 故抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)， 当抛物线的焦点为(4，0)时， 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， ∵p2＝4，∴p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝16x . 当抛物线的焦点为(0，－2)时， 设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， ∵－p2＝－2，∴p ＝4，∴抛物线方程为x 2＝－8y .综上，所求抛物线方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y . (3)设所求焦点F 在x 轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3).则由抛物线的定义得|AF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋p 2＝5，∵点A 在抛物线上， ∴(－3)2＝2pm ，从而可得p ＝±1或p ＝±9.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x . 反思与感悟 抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p ，最后写出标准方程.(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p 的值. 跟踪训练3 根据下列条件，求抛物线的标准方程. (1)焦点为(－2，0)； (2)焦点到准线的距离是4； (3)过点(1，2).解 (1)焦点在x 轴的负半轴上，p2＝2，即p ＝4.所以抛物线的方程是y 2＝－8x . (2)p ＝4，抛物线的方程有四种形式：y 2＝8x ，y 2＝－8x ，x 2＝8y ，x 2＝－8y .(3)方法一 点(1，2)在第一象限，要分两种情形讨论： 当抛物线的焦点在x 轴上时， 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)， 则22＝2p ·1，解得p ＝2， ∴抛物线方程为y 2＝4x ； 当抛物线的焦点在y 轴上时， 设抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)， 则12＝2p ·2，解得p ＝14，∴抛物线方程为x 2＝12y .方法二 设所求抛物线的标准方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，将点(1，2)代入，得m ＝4，n ＝12，故所求的方程为y 2＝4x 或x 2＝12y .类型三 抛物线在实际生活中的应用例4 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m 时，水面宽为8 m ，一小船宽4 m 、高2 m ，载货后船露出水面上的部分高0.75 m ，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0).由题意可知，点B (4，－5)在抛物线上，故p ＝85，得x 2＝－165y .当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )， 由22＝－165y A ，得y A ＝－54.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m ， 所以h ＝|y A |＋0.75＝2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m 时，小船开始不能通航.反思与感悟 涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.跟踪训练4 某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长.解 如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0).依题意知，点P (10，－4)在抛物线上， 所以100＝－2p ×(－4)，2p ＝25. 即抛物线方程为x 2＝－25y . 因为每4米需用一根支柱支撑， 所以支柱横坐标分别为－6，－2，2，6. 由图知，AB 是最长的支柱之一. 设点B 的坐标为(2，y B )， 代入x 2＝－25y ，得y B ＝－425.所以|AB |＝4－425＝3.84，即最长支柱的长为3.84米.1.抛物线y 2＋x ＝0的开口( ) A.向上 B.向下 C.向左 D.向右答案 C解析 抛物线方程y 2＋x ＝0可化为y 2＝－x . 2.抛物线y 2＝8x 的焦点坐标和准线方程分别为( ) A.(1，0)，x ＝－1B.(2，0)，x ＝－2C.(3，0)，x ＝－3D.(4，0)，x ＝－4答案 B解析 抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2，0)， 准线方程为x ＝－2.3.已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则抛物线方程可以为( ) A.y 2＝x B.y 2＝2x C.x 2＝－3y D.x 2＝－6y答案 D解析 由题意知p ＝3，故选D.4.抛物线x 2＝8y 上的点M 到x 轴的距离为6，则点M 与抛物线的焦点间的距离为________. 答案 8解析 由抛物线定义可得|MF |＝6＋p2＝8.5.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝－3；(2)抛物线与椭圆x 24＋m ＋y 23＋m ＝1的一个焦点相同.解 (1)准线方程为y ＝－3，则p2＝3，p ＝6，所以抛物线的标准方程为x 2＝12y .(2)椭圆x 24＋m ＋y 23＋m＝1的焦点坐标为F 1(1，0)，F 2(－1，0)，所以抛物线的标准方程为y 2＝±4x .1.焦点在x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y 2＝mx (m ≠0)，此时焦点坐标为F (m4，0)，准线方程为x ＝－m4；焦点在y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x 2＝my (m ≠0)，此时焦点为F (0，m 4)，准线方程为y ＝－m4.2.设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫作抛物线的焦半径.若M (x 0，y 0)在抛物线y2＝2px (p >0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF |＝x 0＋p2.40分钟课时作业一、选择题1.已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则A 点的坐标为( )A.(1，1)B.(1，±1)C.(1，－1)D.(1，0)答案 B解析 由抛物线的定义，可得|AF |＝x 0＋14，∵|AF |＝54x 0，∴x 0＋14＝54x 0，∴x 0＝1.把x 0＝1代入y 2＝x ，得y 20＝1，y 0＝±1， ∴点A 的坐标为(1，±1).2.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为( ) A.(－1，0) B.(1，0) C.(0，－1) D.(0，1)答案 B解析 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2.由题设知－p2＝－1，即p ＝2，故焦点坐标为()1，0.故选B.3.动点到点(3，0)的距离比它到直线x ＝－2的距离大1，则动点的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线答案 D解析 已知条件可等价于“动点到点(3，0)的距离等于它到直线x ＝－3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线，故选D.4.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( )A.4B.－2C.4或－4D.12或－2 答案 C解析 由题可设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0).由定义知点P 到准线的距离为4，故p2＋2＝4，∴p ＝4，∴x 2＝－8y .将点P 的坐标代入x 2＝－8y ，得m ＝±4.5.当a 为任意实数时，直线(2a ＋3)x ＋y －4a ＋2＝0恒过定点P ，则过点P 的抛物线的标准方程是( )A.x 2＝32y 或y 2＝－12xB.x 2＝－32y 或y 2＝12xC.y 2＝32x 或x 2＝－12yD.y 2＝－32x 或x 2＝12y答案 C解析 直线方程可化为3x ＋y ＋2＋a (2x －4)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋2＝0，2x －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－8，∴定点P 的坐标为(2，－8)， 利用排除法知C 正确.6.已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A.－43B.－1C.－34D.－12答案 C解析 因为抛物线C ：y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2，且点A (－2，3)在准线上，故－p 2＝－2，解得p ＝4.所以抛物线方程为y 2＝8x ，焦点F 的坐标为(2，0)， 这时直线AF 的斜率k AF ＝3－0－2－2＝－34.7.从抛物线y 2＝4x 图像上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线焦点为F ，则△MPF 的面积为( ) A.10 B.8 C.6 D.4 答案 A解析 设P (x 0，y 0)，∵|PM |＝5，∴x 0＝4， ∴y 0＝±4，∴S △MPF ＝12|PM |·|y 0|＝10.二、填空题8.已知椭圆x 2＋ky 2＝3k (k >0)的一个焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该椭圆的离心率是________.答案 32解析 抛物线的焦点为F (3，0)，∵椭圆的方程为x 23k ＋y 23＝1， ∴3k －3＝9，∴k ＝4，∴离心率e ＝323＝32. 9.抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是__________.答案 1516 解析 抛物线方程化为x 2＝14y ，准线为y ＝－116.由于点M 到焦点的距离为1，所以M 到准线的距离也为1，所以M 点的纵坐标等于1－116＝1516. 10.设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.答案 8解析 如图所示，直线AF 的方程为y ＝－3(x －2).与准线方程x ＝－2联立，得A (－2，43).设P (x 0，43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6.∴|PF |＝x 0＋2＝8.三、解答题11.已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，求△POF 的面积.解 抛物线C 的准线方程为x ＝－2，焦点F (2，0)，由|PF |＝42及抛物线的定义知，P 点的横坐标x P ＝32，从而y P ＝±26，∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝12×2×26＝2 3. 12.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值、抛物线方程及其准线方程.解 方法一 设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点F 的坐标为(0，－p 2). 因为M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5， 故⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＝6p ， m 2＋－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧ p ＝4，m ＝±2 6. 所以所求的抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2.方法二 如图所示，设所求的抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点F (0，－p 2)，准线l ：y ＝p 2，又|MF |＝5，由定义知 3＋p2＝5，所以p ＝4. 所以所求的抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2.由m 2＝－8×(－3)，得m ＝±2 6.13.已知抛物线形拱桥的顶点距离水面2 m 时，测量水面宽为8 m ，当水面上升12m 后，则水面的宽度是多少？解 以抛物线形拱桥的顶点为原点建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的标准方程为 x 2＝－2py (p >0).把B (4，－2)代入得16＝4p ，所以p ＝4.所以x 2＝－8y . 把y ＝－32代入得x ＝±2 3. 所以此时水面的宽度为4 3 m.。

江苏省响水中学高中数学第2章《圆锥曲线与方程》抛物线标准方程1导学案苏教版选修1-1学习目标：1.掌握抛物线定义、标准方程及其几何图形.能用待定系数法求抛物线的标准方程."p与抛物线的开口方向、焦点位置的关系.2.理解标准方程中"3.亲自体验由具体的演示实验探寻出一般数学结论的过程,体会探究的乐趣,激发学生的学习热情.学习运用类比的思想探寻另三种标准方程.重点：抛物线的定义和标准方程难点：抛物线标准方程推导过程的组织和引导，以及如何类比发现另三种形式的标准方程课前预习：如图,把一根直尺固定在画图板内直尺l的位置上,截取一根绳子的长度等于AC的长度,现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处,另一端用图钉固定在F处;用一支粉笔扣着绳子,紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧,然后使三角板紧靠着直尺上下滑动,这样粉笔就描出一条曲线.问题1:在上述情境中,点M到点F与点M到直线l的距离.(填相等或不相等),理由是.问题2:平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过F)的距离的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的,定直线l叫作抛物线的准线.如果定义中不加上条件“l不经过F”,即若点F在直线l上,满足条件的动点P的轨迹是,而不是抛物线.问题4:已知抛物线的标准方程,如何得到焦点坐标?先观察方程的结构,一次项变量为y)(或x ,则焦点在 y 或轴上;若系数为正,则焦点在 半轴上;系数为负,则焦点在 半轴上;若一次项变量为x ,则焦点的横坐标是一次项系数的 ,纵坐标为 ;若一次项变量为y ,则焦点的纵坐标是一次项系数的 ,横坐标为0.课堂探究：探究一:求抛物线的焦点坐标和准线方程求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:)1(x y 82-=;)2(22x y =;)3(ax y =2探究二:求抛物线的标准方程(1)已知抛物线的焦点在y 轴上,并且经过点)2,1(-M ,求抛物线的标准方程;(2)已知抛物线的焦点在坐标轴上,且抛物线过点)3,2(-,求它的标准方程.探究三:求动点的轨迹方程若动点P 到点F )2,0(的距离比它到直线04=+y 的距离小2,求动点P 的轨迹方程.课堂检测：教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

2.3.1抛物线的标准方程【学习目标】1、掌握抛物线定义，理解焦点、准线、方程的几何意义，根据已知条件写出标准方程。

2、进一步理解求曲线方程方法----坐标法，体会数形结合的思想。

【预习案】预习教材59—60页，并完成下列内容：1、抛物线的定义：2、抛物线的标准方程的推导过程：3、抛物线标准方程的四种形式，完成下表：练习、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：（1）y 2=20x （2）212x y =（3）2y 2+5x=0 （4）x 2+8y=0【课中案】例1、已知抛物线的焦点是(3,0)F ，写出它的标准方程和准线方程。

例2、已知抛物线的焦点在x 轴正半轴上，焦点到准线的距离是3,求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程。

例3、写出2yax =的焦点坐标和准线方程。

变式写出2y ax =的焦点坐标和准线方程。

【课后案】1、求焦点在y 轴上，且过A(1,-4)的抛物线标准方程。

2、已知抛物线的焦点在x 轴正半轴，且准线与y 轴之间的距离为6，求抛物线的标准方程。

3、已知点M 与点F （4,0）的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2，求点M 的轨迹方程。

4、已知点M 在抛物线212y x =上，它与焦点的距离等于9，求点M 的坐标。

5、已知抛物线26y x =和点A(4,0),点M 在此抛物线上运动，点M 与点A 的距离的最小值，并求此时点M 的坐标。

6（2016年浙江高考）若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______．7．焦点在直线x ＝1上的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝2xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x8．抛物线y 2＝ax 的焦点与椭圆x 26＋y22＝1的左焦点重合，则a 的值为( )A ．－4B ．2C ．－8D ．49．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则点P 坐标为( )A ．(32，±62) B ．(74，±72) C ． (94，±32) D ．(52，±102)10．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是()1 16 C．x2＝y－12D．x2＝2y－2A．x2＝2y－1 B．x2＝2y－。

2．2.1 椭圆的标准方程学习目标核心素养1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点) 1.通过椭圆的定义、标准方程的学习，培养学生的数学抽象素养.2.借助于标准方程的推导过程，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．(2)相关概念：两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．思考1：椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？[提示]2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a＞|F1F2|动点的轨迹是椭圆2a＝|F1F2|动点的轨迹是线段F1F22a＜|F1F2|动点不存在，因此轨迹不存在2.椭圆的标准方程焦点位置在x轴上在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形焦点坐标(±c,0)(0，±c)a ，b ，c 的关系a 2＝b 2＋c 2思考2：确定椭圆标准方程需要知道哪些量？ [提示] a ，b 的值及焦点所在的位置．1．已知点M 到两个定点A (－1,0)和B (1,0)的距离之和是定值2，则动点M 的轨迹是( ) A 一个椭圆 B ．线段ABC ．线段AB 的垂直平分线D ．直线ABB [定值2等于|AB |，故点M 只能在线段AB 上．] 2．以下方程表示椭圆的是( ) A.x 225＋y 225＝1 B ．2x 2－3y 2＝2C ．－2x 2－3y 2＝－1D.x 2n 2＋y 2n 2＋2＝0 C [A 中方程为圆的方程，B ，D 中方程不是椭圆方程．]3．以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是( ) A.x 25＋y 24＝1 B.x 23＋y 24＝1 C.x 25＋y 24＝1或x 23＋y 24＝1 D.x 29＋y 24＝1或x 23＋y 24＝1 C [若椭圆的焦点在x 轴上，则c ＝1，b ＝2，得a 2＝5，此时椭圆方程是x 25＋y 24＝1；若焦点在y 轴上，则a ＝2，c ＝1，则b 2＝3，此时椭圆方程是x 23＋y 24＝1.]求椭圆的标准方程(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)．[思路探究] 求椭圆标准方程，先确定焦点位置，设出椭圆方程，再定量计算． [解] (1)由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵2a ＝(5＋4)2＋(5－4)2＝10，∴a ＝5. 又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1. (3)法一：①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(3)2a2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b2＝1，1a 2＋(－23)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.因为a >b >0，所以无解．综上，所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝115，n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.确定椭圆方程的“定位”与“定量”提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)； (2)经过两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142. [解] (1)法一：因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆的定义知2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，所以a ＝6. 又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝4 2. 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.法二：因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设其标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧18a 2＋16b2＝1，a 2＝b 2＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝32.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.(2)法一：若椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.同理可得：焦点在y 轴上的椭圆不存在． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )． 将两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.椭圆的定义及其应用[探究问题]1．如何用集合语言描述椭圆的定义？[提示] P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a,2a ＞|F 1F 2|}． 2．如何判断椭圆的焦点位置？[提示] 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．3．椭圆标准方程中，a ，b ，c 三个量的关系是什么？[提示] 椭圆的标准方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆．a ，b ，c (都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a >b ，a >c ，且a 2＝b 2＋c 2(如图所示)．【例2】 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 为椭圆上的点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[思路探究] 由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF 1|和|PF 2|的方程，解方程组求得|PF 1|，再用面积公式求解．[解] 由已知a ＝2，b ＝3，得c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2， 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|·cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|. ①由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|. ②②代入①解得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335， 即△PF 1F 2的面积是353.(改变问法)在例题题设条件不变的情况下，求点P 的坐标． [解] 设P 点坐标为(x 0，y 0)．由本例解答可知S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝353，解得|y 0|＝353，即y 0＝±353，将y 0＝±353代入x 24＋y 23＝1得x ＝±85，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±85，±353.与椭圆有关的轨迹问题【例3】 如图，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25及点A (1,0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，求点M 的轨迹方程．[解] 由垂直平分线性质可知|MQ |＝|MA |， |CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |. ∴|CM |＋|MA |＝5.∴M 点的轨迹为椭圆，其中2a ＝5， 焦点为C (－1,0)，A (1,0)， ∴a ＝52，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214.∴所求轨迹方程为：x 2254＋y 2214＝1.在求动点的轨迹方程时，要对动点仔细分析，当发现动点到两定点的距离之和为定值且大于两定点之间的距离时，由椭圆的定义知其轨迹是椭圆，这时可根据定值及两定点的坐标分别求出a ，c ，即可写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫定义法.2．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．[解] 如图所示，设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ， 由题意动圆M 内切于圆C 1， ∴|MC 1|＝13－r . 圆M 外切于圆C 2， ∴|MC 2|＝3＋r .∴|MC 1|＋|MC 2|＝16＞|C 1C 2|＝8，∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆， 且2a ＝16,2c ＝8，b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48，故所求轨迹方程为x 264＋y 248＝1.椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识.对于求焦点三角形的面积，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，利用定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a 及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，这样可以减少运算量.1．思考辨析(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是(±3,0)．( ) (3)y 2a 2＋x 2b2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆． ( )[提示] (1)× 需2a ＞|F 1F 2|. (2)× (0，±3)．(3)× a ＞b ＞0时表示焦点在y 轴上的椭圆．2．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为( )A ．1B ．5C ．2D ．7D [由|PF 1|＋|PF 2|＝10可知到另一焦点的距离为7.]3．椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1的周长为( )A ．10B ．20C ．40D ．50B [由椭圆的定义得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝10，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10，所以△ABF 1的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝20，故选B.]4．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆C 上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1，F 2两点的距离之和为4，则椭圆C 的方程是________．x 24＋y 23＝1 [由|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4得a ＝2，∴原方程化为x 24＋y 2b 2＝1，将A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入方程得b 2＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.]。

学习 目 标核 心 素 养1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.理解曲线的方程和方程的曲线的概念．(重点、易混点)3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及掌握相互转化的思想方法.1.通过曲线与方程概念学习，培养学生的数学抽象素养. 2.借助数形结合理解曲线的方程和方程的曲线，提升学生的直观想象和逻辑推理素养.高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念学案新人教B 版选修211．曲线与方程的概念一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．一个二元方程总可以通过移项写成F (x ，y )＝0的形式，其中F (x ，y )是关于x ，y 的解析式．在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程F (x ，y )＝0之间具有如下关系： ①曲线C 上点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解； ②以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，方程F (x ，y )＝0叫做曲线的方程；曲线C 叫做方程的曲线．思考1：如果曲线与方程仅满足“以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上”，会出现什么情况？举例说明．[提示] 如果曲线与方程仅满足“以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上”，有可能扩大曲线的边界．如方程y ＝1－x 2表示的曲线是半圆，而非整圆．思考2：如果曲线C 的方程是F (x ，y )＝0，那么点P (x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是什么？[提示] 若点P 在曲线C 上，则F (x 0，y 0)＝0；若F (x 0，y 0)＝0，则点P 在曲线C 上，所以点P (x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是F (x 0，y 0)＝0.2．两条曲线的交点坐标曲线C 1：F (x ，y )＝0和曲线C 2：G (x ，y )＝0的交点坐标为方程组⎩⎪⎨⎪⎧F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0的实数解．1．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线( )A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线x－y＝0对称C[将(－x，－y)代入xy2－x2y＝2x方程不变，故选C.]2．下列各组方程中表示相同曲线的是( )A．x2＋y＝0与xy＝0B.x＋y＝0与x2－y2＝0C．y＝lg x2与y＝2lg xD．x－y＝0与y＝lg 10x[答案] D3．如图，图形的方程与图中曲线对应正确的是( )A B C D[答案] D曲线与方程的概念(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．[解] (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可.判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程.1．命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是( )A ．方程f (x ，y )＝0的曲线是CB ．方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是C C ．f (x ，y )＝0是曲线C 的方程D ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上B [“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，但“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C 上，故A 、C 、D 都不正确，B 正确．]2．方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形是( ) A ．直线2x －y ＝0 B ．直线2x ＋y ＋3＝0C ．直线2x －y ＝0或直线2x ＋y ＋3＝0D ．直线2x ＋y ＝0和直线2x －y ＋3＝0 C [方程可化为(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0， 即2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0.∴表示两条直线2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0.]曲线与方程关系的应用(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值． [解] (1)∵12＋(－2－1)2＝10， (2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， 点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．(2)∵点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴x ＝m2，y ＝－m 适合上述方程，即⎝⎛⎭⎪⎫m22＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或m＝－185，∴m的值为2或－185.(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．3．若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围．[解] ∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，∴a2＋a2＋2a＋k＝0.∴k＝－2a2－2a＝－2⎝⎛⎭⎪⎫a＋122＋12.∴k≤12，∴k的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.由方程判断其表示的曲线如何证明已知曲线C的方程是f(x，y)＝0?[提示]用“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义来证明已知曲线C的方程是f(x，y)＝0，证明中分两个步骤：第一步，设M(x0，y0)是曲线C上任一点，证明(x0，y0)是方程f(x，y)＝0的解；第二步，设(x0，y0)是方程f(x，y)＝0的任一解，证明点M(x0，y0)在曲线C上．【例3】方程(2x＋3y－5)(x－3－1)＝0表示的曲线是什么？[思路探究] 将方程转化为⎩⎪⎨⎪⎧2x＋3y－5＝0x－3≥0或x－3－1＝0，再判断曲线形状．[解] 因为(2x＋3y－5)(x－3－1)＝0，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧2x＋3y－5＝0，x－3≥0，或者x－3－1＝0，也就是2x＋3y－5＝0(x≥3)或者x＝4，故方程表示的曲线为一条射线2x＋3y－5＝0(x≥3)和一条直线x＝4.1．(变换条件)把方程换成“2x －3－1(2x ＋3y －5)＝0”，其表示什么曲线？[解] 由2x －3－1(2x ＋3y －5)＝0得2x ＋3y －5＝0(x ≥3)表示一条射线．2．(变换条件)把方程换成“(2x ＋3y －5)[log 2(x ＋2y )－3]＝0”，其表示什么曲线？ [解] 由(2x ＋3y －5)[log 2(x ＋2y )－3]＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5＝0，x ＋2y ＞0，或者x ＋2y ＝8，也就是2x ＋3y －5＝0(x ＜10)或者x ＋2y ＝8，故方程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x ＜10)(去除端点)和一条直线x ＋2y ＝8.方程表示的曲线的判断步骤提醒：(1)方程变形前后要等价，否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线． (2)当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想．1．思考辨析(1)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y ＝±x .( ) (2)方程x －y ＝0表示直角坐标系中第一、三象限的角平分线．( )(3)条件甲：“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，条件乙：“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的图形”，则条件甲是条件乙的充要条件．( )[提示] (1)√(2)× x －y ＝0表示直角坐标系中第一、三象限的角平分线． (3)× 必要不充分条件．2．若P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C.12 D.13D [因为点P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，代入曲线方程可得a ＝13，故选D.]3．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________．4个点 [由方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，表示四个点．]4．方程1－|x|＝1－y表示的曲线是________．两条线段[由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0，1－|x|≥0，∴y＝|x|，|x|≤1.∴曲线表示两条线段．]。

2.2.1 双曲线及其标准方程课堂导学三点剖析一、双曲线的定义【例1】 已知双曲线的两个焦点F 1、F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程.解析：若以线段F 1F 2所在的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则双曲线的方程为标准形式.由题意得2a =24,2c =26,∴a =12,c =13,b 2=132-122=25.由于双曲线的焦点在x 轴上，双曲线的方程为2514422y x -=1. 若以线段F 1、F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系，则双曲线的方程为2514422x y -=1. 温馨提示求轨迹方程时，如果没有直角坐标系，应先建立适当的直角坐标系，求双曲线的标准方程就是求a 2、b 2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴.双曲线的焦点所在的坐标轴，不像椭圆那样看x 2、y 2的分母的大小，而是看x 2、y 2的系数的正、负.二、求双曲线的标准方程【例1】 求满足下列条件的双曲线的标准方程.(1)经过点A (1，3104)，且a =4; (2)经过点A (2，332)、B (3，-22). 解析：(1)若所求双曲线方程为12222=-by a x (a ＞0,b ＞0),则将a =4代入，得22216b y x -=1,又点A (1,3104)在双曲线上，∴29160161b -=1, 解得b 2＜0,不合题意，舍去. 若所求双曲线方程为2222bx a y -=1(a ＞0,b ＞0),同上，解得b 2=9,∴双曲线的方程为91622x y -=1. (2)设双曲线方程为mx 2+ny 2=1(mn ＜0),∵点A (2,332)、B (3，-22)在双曲线上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.41,31.189,1344n m n m n m 解之，得 ∴所求双曲线的方程为4322y x -=1. 温馨提示求双曲线的标准方程首先要做的是确定焦点的位置.如果不能确定，解决方法有两种：一是对两种情形进行讨论，有意义的保留，无意义的舍去；二是设双曲线方程为mx 2+ny 2=1(mn ＜0),解出的结果如果是m ＞0,n ＜0,那么焦点在x 轴上，如果m ＜0,n ＞0,那么焦点在y 轴，在已知双曲线的两个焦点及经过一个点时，可以用双曲线的定义，直接求出a .应加强练习，注意体会.三、确定方程表示的曲线类型【例3】 已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型.解析：(1)当k =0时，y =±2,表示两条与x 轴平行的直线.(2)当k =1时，方程为x 2+y 2=4，表示圆心在原点，半径为2的圆.(3)当k ＜0时，方程为kx y 4422--=1，表示焦点在y 轴上的双曲线. (4)当0＜k ＜1时，方程为4422y kx +=1，表示焦点在x 轴上的椭圆. (5)当k ＞1时，方程为4422y kx +=1，表示焦点在y 轴上的椭圆. 温馨提示本题是判定方程所表示的曲线类型.对参数k 讨论时首先要找好讨论的分界点，除了区别曲线类型外，同一类曲线还要区别焦点在x 轴和y 轴的情况.各个击破类题演练1已知点F 1(-2，0)、F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|-|PF 1|=2，当点P 的纵坐标是21时，点P 到坐标原点的距离是( ) A.26 B.23 C.3 D.2解析：由题意知，P 点的轨迹是双曲线的左支，c =2,a =1,b =1,∴双曲线的方程为x 2-y 2=1.把y =21代入双曲线方程，得x 2=1+41=45,∴|OP |2=x 2+y 2=,464145=+∴|OP |=.26答案：A变式提升1在△MNG 中，已知NG =4.当动点M 满足条件s in G -s in N =21s in M 时，求动点M 的轨迹方程. 解析：如右图所示，以NG 所在的直线为x 轴，以线段NG 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系.∵sin G -sin N =21sin M ∴由正弦定理，得|MN |-|MG |=21×4 ∴由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以N 、G 为焦点的双曲线的右支(除去与x 轴的交点)∴2c =4,2a =2,c =2,a =1,∴b 2=c 2-a 2=3.∴动点M 的轨迹方程为x 2-32y =1(x ＞0，且y ≠0)类题演练2 双曲线2222by a x -=1(a ＞0,b ＞0)与直线x =6的一个交点到两焦点的距离分别是30和20，求该双曲线的方程.解：将x =6代入双曲线方程，得22226by a -=1. 则y =±226a ab -, 设一个交点P 的坐标为(6，226a a b -), 则由题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==-++-=,,30)6()6(,20302222222222b a c a a b c a 解之得a =5,b 2=.3658925⨯ 故所求的双曲线方程为.136589252522=⨯-y x。

2.2.2 抛物线的简单性质(二)学习目标 1.掌握抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题.知识点 直线与抛物线的位置关系 思考1 直线与抛物线有哪几种位置关系？ 答案 三种：相离、相切、相交.思考2 若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？答案 不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时，也只有一个交点. 梳理 直线与抛物线的位置关系与公共点个数.直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b2＝0的解的个数.当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点.当k ＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点.类型一 直线与抛物线的位置关系例1 已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x ，问：k 为何值时，直线l 与抛物线C 有两个交点，一个交点，无交点？解 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0， Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝16(1－k 2). (1)若直线与抛物线有两个交点， 则k 2≠0且Δ>0， 即k 2≠0且16(1－k 2)>0， 解得k ∈(－1，0)∪(0，1).所以当k ∈(－1，0)∪(0，1)时， 直线l 和抛物线C 有两个交点. (2)若直线与抛物线有一个交点， 则k 2＝0或当k 2≠0时，Δ＝0， 解得k ＝0或k ＝±1.所以当k ＝0或k ＝±1时，直线l 和抛物线C 有一个交点. (3)若直线与抛物线无交点， 则k 2≠0且Δ<0. 解得k >1或k <－1. 所以当k >1或k <－1时， 直线l 和抛物线C 无交点.反思与感悟 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况.跟踪训练1 设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 斜率的取值范围是( ) A.[－12，12]B.[－2，2]C.[－1，1]D.[－4，4]答案 C解析 准线方程为x ＝－2，Q (－2，0). 设l ：y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，y 2＝8x ，得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，x ＝0，即交点为(0，0)；当k ≠0时，由Δ≥0，得－1≤k <0或0<k ≤1， 综上，k 的取值范围是[－1，1]. 类型二 弦长与中点弦问题例2 已知抛物线y 2＝6x ，过点P (4，1)引一条弦P 1P 2使它恰好被点P 平分，求这条弦所在的直线方程及|P 1P 2|.解 方法一 由题意易知直线方程的斜率存在，设所求方程为y －1＝k (x －4).由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝kx －4k ＋1，得ky 2－6y －24k ＋6＝0.当k ≠0时，Δ＝62－4k (－24k ＋6)>0.① 设弦的两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， ∴y 1＋y 2＝6k ，y 1y 2＝6－24kk.∵P 1P 2的中点为(4，1)， ∴6k＝2，∴k ＝3，适合①式.∴所求直线方程为y －1＝3(x －4)， 即3x －y －11＝0，∴y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22， ∴|P 1P 2|＝ 1＋1k2y 1＋y 22－4y 1y 2＝1＋1922－－＝22303. 方法二 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2). 则y 21＝6x 1，y 22＝6x 2，∴y 21－y 22＝6(x 1－x 2)，又y 1＋y 2＝2， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2＝3， ∴所求直线的斜率k ＝3，故所求直线方程为y －1＝3(x －4)， 即3x －y －11＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －11，y 2＝6x ，得y 2－2y －22＝0，∴y 1＋y 2＝2，y 1y 2＝－22， ∴|P 1P 2|＝ 1＋1k2y 1＋y 22－4y 1y 2＝1＋19·22－－＝22303.反思与感悟 中点弦问题解题策略两方法跟踪训练2 已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为26，过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向. (1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率. 解 (1)由C 1方程可知F (0，1)， ∵F 也是椭圆C 2的一个焦点， ∴a 2－b 2＝1，又∵C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2的图像都关于y 轴对称， ∴易得C 1与C 2的公共点的坐标为(±6，32)，∴94a 2＋6b2＝1， 又∵a 2－b 2＝1，∴a 2＝9，b 2＝8， ∴C 2的方程为y 29＋x 28＝1；(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， ∵AC →与BD →同向， 且|AC |＝|BD |，∴AC →＝BD →，∴x 1－x 2＝x 3－x 4， ∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程：y ＝kx ＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 29＋x28＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0，由根与系数的关系可得x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k2， 又∵(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4， ∴16(k 2＋1)＝162k2＋8k22＋4×649＋8k2，化简得16(k 2＋1)＝162k 2＋＋8k22， ∴(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64， 即直线l 的斜率为±64. 类型三 抛物线中的定点(定值)问题例3 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点. (1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点. 解 (1)由题意知，抛物线的焦点为(1，0)， 设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程y 2＝4x ， 消去x ，得y 2－4ty －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4. 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ， 消去x ，得y 2－4ty －4b ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b . 因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2 ＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b ， 又OA →·OB →＝－4，∴b 2－4b ＝－4， 解得b ＝2，故直线过定点(2，0).反思与感悟 在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化. 跟踪训练3 如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4，2)作倾斜角互补的两条直线AB 、AC 交抛物线于B 、C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值.证明 方法一 设k AB ＝k (k ≠0). ∵直线AB ，AC 的倾斜角互补， ∴k AC ＝－k (k ≠0)，即直线AB 的方程是y ＝k (x －4)＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －＋2，y 2＝x ，消去y 后，整理得k 2x 2＋(－8k 2＋4k －1)x ＋16k 2－16k ＋4＝0.∵A (4，2)，B (x B ，y B )是上述方程组的解， ∴4x B ＝16k 2－16k ＋4k2， 即x B ＝4k 2－4k ＋1k2. 以－k 代换x B 中的k ，得x C ＝4k 2＋4k ＋1k2. ∴k BC ＝y B －y C x B －x C＝k x B －＋2－[－k x C －＋2]x B －x C＝k x B ＋x C －x B －x C＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋2k 2－8－8kk 2＝－14.∴直线BC 的斜率为定值.方法二 设B (y 21，y 1)，C (y 22，y 2)， 则k BC ＝y 2－y 1y 22－y 21＝1y 2＋y 1. ∵k AB ＝y 1－2y 21－4＝1y 1＋2，k AC ＝y 2－2y 22－4＝1y 2＋2， 由题意得k AB ＝－k AC ， ∴1y 1＋2＝－1y 2＋2，则y 1＋y 2＝－4， 则k BC ＝－14，为定值.1.过点P (0，1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个交点的直线有( ) A.4条 B.3条 C.2条 D.1条 答案 B解析 当斜率不存在时，过P (0，1)的直线是y 轴，与抛物线y 2＝x 只有一个公共点. 当斜率存在时，设直线为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k －1)x ＋1＝0， 当k ＝0时，符合题意；当k ≠0时，令Δ＝(2k －1)2－4k 2＝0， 得k ＝14.∴与抛物线只有一个交点的直线共有3条.2.若抛物线y 2＝2x 上有两点A ，B ，且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( ) A.12 B.14 C.16 D.18 答案 A解析 线段AB 所在的直线的方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12.3.已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( ) A.4 B.8 C.16 D.32 答案 B解析 ∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2，0)，准线为x ＝－2， ∴K (－2，0).设A (x 0，y 0)，过A 点向准线作垂线AB ，垂足为B ，则B (－2，y 0)， ∵|AK |＝2|AF |， 又|AF |＝|AB |＝x 0＋2，∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2，得y 20＝(x 0＋2)2， 即8x 0＝(x 0＋2)2，解得A (2，±4).∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8.4.设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上任意一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为________. 答案 (1，±2)解析 由题意知F (1，0)，设A (y 204，y 0)，OA →＝(y 24，y 0)，AF →＝(1－y 204，－y 0)，由OA →·AF →＝－4，可得y 0＝±2，所以A (1，±2).5.已知A ，B 为抛物线E 上不同的两点，若抛物线E 的焦点为(1，0)，线段AB 恰被M (2，1)所平分.(1)求抛物线E 的方程； (2)求直线AB 的方程； (3)求弦AB 的长.解 (1)由于抛物线的焦点为(1，0)，所以p2＝1，p ＝2，所以所求抛物线的方程为y 2＝4x . (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，②且x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.由②－①得，(y 1＋y 2)(y 2－y 1)＝4(x 2－x 1)， 所以y 2－y 1x 2－x 1＝2. 所以所求直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)， 即2x －y －3＝0.(3)⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，2x －y －3＝0，得y 2－2y －6＝0，y 1＋y 2＝2，y 1y 2＝－6， |AB |＝ 1＋14y 1＋y 22－4y 1y 2＝52×22－－＝35.求抛物线的方程常用待定系数法和定义法：直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化.40分钟课时作业一、选择题1.与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程为( ) A.2x －y ＋3＝0 B.2x －y －3＝0 C.2x －y ＋1＝0 D.2x －y －1＝0答案 D解析 设直线方程为2x －y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋m ＝0，y ＝x 2，得x 2－2x －m ＝0，Δ＝4＋4m ＝0，∴m ＝－1， ∴直线方程为2x －y －1＝0.2.直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 的中点的横坐标为2，则k 等于( ) A.2或－1 B.－1 C.2 D.3答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，得k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝2，即x 1＋x 2＝4，∴x 1＋x 2＝4k ＋8k＝4，∴k ＝2或－1，经判别式检验知k ＝2符合题意.3.已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2与抛物线D ：y 2＝20x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝8，则圆C 的面积是( )A.5πB.9πC.16πD.25π 答案 D解析 抛物线D ：y 2＝20x 的准线方程为x ＝－5. 圆C 的圆心(－2，0)到准线的距离d ＝3.又由|AB |＝8，∴r 2＝d 2＋(AB2)2＝25，故圆C 的面积S ＝25π，故选D.4.已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于( ) A.2 2 B.2 3 C.4 D.2 5答案 B解析 由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则M 到焦点的距离为x M ＋p 2＝2＋p2＝3，∴p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x . ∴y 20＝4×2＝8，∴|OM |＝22＋y 20＝4＋8＝2 3.5.过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( ) A.213 B.215 C.217 D.219答案 B解析 由直线方程为y ＝－2(x －1)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －，y 2＝8x ，得y 2＋4y －8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－8，∴|AB |＝1＋14·－2＋4×8＝215.6.已知点A (0，－3)，B (2，3)，点P 在x 2＝y 上，当△PAB 的面积最小时，点P 的坐标是( ) A.(1，1) B.(32，94) C.(23，49) D.(2，4)答案 B解析 ∵A (0，－3)，B (2，3)，k AB ＝3， ∴直线AB 的方程y ＝3x －3. 设直线y ＝3x ＋t 是抛物线的切线，∴△PAB 高的最小值是两直线之间的距离.把直线y ＝3x ＋t 代入x 2＝y ，化简得x 2－3x －t ＝0，由Δ＝0，得t ＝－94，此时x ＝32，y ＝94， ∴P 点坐标为(32，94). 7.已知直线l ：y ＝k (x ＋2)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点在抛物线C 准线上的射影分别是M ，N ，若|AM |＝2|BN |，则k 的值是( )A.13B.23C.2 2D.223答案 D解析 设抛物线C ：y 2＝8x 的准线为m ：x ＝－2.直线y ＝k (x ＋2)(k >0)恒过定点P (－2，0)，如图，过A ，B 分别作AM ⊥m 于M ，BN ⊥m 于N .由|AM |＝2|BN |，得点B 为AP 的中点，连接OB ，则|OB |＝12|AF |， ∴|OB |＝|BF |，∴点B 的横坐标为1，∴点B 的坐标为(1，22). 把B (1，22)代入直线l ：y ＝k (x ＋2)(k >0)，解得k ＝223，故选D. 二、填空题8.直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________.答案 0或1解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0，当k ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点；当k ≠0时，由Δ＝(4k －8)2－16k 2＝0，得k ＝1，∴k ＝0或1.9.抛物线焦点在y 轴上，截得直线y ＝12x ＋1的弦长为5，则抛物线的标准方程为________________.答案 x 2＝－20y 或x 2＝4y解析 设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，y ＝12x ＋1，得x 2－a 2x －a ＝0. 设直线与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝a 2，x 1x 2＝－a ， |AB |＝ 1＋14·x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝ 1＋14·a 24＋4a ＝5， 得a ＝－20或4，经检验，a ＝－20或4都符合题意.∴抛物线方程为x 2＝－20y 或x 2＝4y .10.过抛物线y 2＝4x 的顶点O 作互相垂直的两弦OM 、ON ，则M 的横坐标x 1与N 的横坐标x 2之积为_______________________________________________________________. 答案 16解析 由已知设OM 的斜率为k ，则ON 的斜率为－1k. 从而OM 的方程为y ＝kx ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝kx ，解得M 的横坐标x 1＝4k2. 同理可得N 的横坐标x 2＝4k 2，可得x 1x 2＝16.三、解答题11.(1)设抛物线y 2＝4x 被直线y ＝2x ＋k 截得的弦长为35，求k 的值；(2)以(1)中的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P 点的坐标.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝2x ＋k ，得4x 2＋(4k －4)x ＋k 2＝0.设直线与抛物线交于A (x 1，y 1)与B (x 2，y 2)两点，此时Δ＝(4k －4)2－4×4k 2>0，即k <12.x 1＋x 2＝1－k ，x 1x 2＝k 24.所以|AB |＝＋22x 1－x 22＝x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝－k 2－5k 2 ＝－2k .因为|AB |＝35， 所以－2k ＝35，解得k ＝－4，满足k <12，所以k ＝－4.(2)因为三角形的面积为9，底边长为35，所以三角形高h ＝2×935＝655.因为点P 在x 轴上，所以设P 点坐标是(x 0，0)，则点P 到直线y ＝2x －4的距离等于h ，所以h ＝655＝|2x 0－4|5，解得x 0＝－1或5.所以P 点坐标为(－1，0)或(5，0).12.已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点.(1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值.(1)证明 如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝－x ，y ＝k x ＋，消去x 得，ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得，y 1y 2＝－1，y 1＋y 2＝－1k. 因为A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，所以y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，所以y 21·y 22＝x 1x 2.因为k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，所以OA ⊥OB . (2)解 设直线与x 轴交于点N ，显然k ≠0，令y ＝0，得x ＝－1，即N (－1，0).因为S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2| ＝12|ON |·|y 1－y 2|， 所以S △OAB ＝12·1·y 1＋y 22－4y 1y 2＝12 －1k 2＋4.因为S △OAB ＝10，所以10＝12 1k 2＋4， 解得k ＝±16. 13.已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点M (4，0).(1)若点F 到直线l 的距离为3，求直线l 的斜率；(2)设A ，B 为抛物线上两点，且AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值.解 (1)由已知x ＝4不合题意，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，由已知抛物线C 的焦点坐标为(1，0)，因为点F 到直线l 的距离为3， 所以|3k |1＋k 2＝3，解得k ＝±22，所以直线l 的斜率为±22.(2)设线段AB 中点的坐标为N (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，因为AB 不垂直于x 轴，则直线MN 的斜率为y 0x 0－4，直线AB 的斜率为4－x 0y 0，直线AB 的方程为y －y 0＝4－x 0y 0(x －x 0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝4－x 0y 0x －x 0，y 2＝4x ，消去x 得(1－x 04)y 2－y 0y ＋y 20＋x 0(x 0－4)＝0，所以y 1＋y 2＝4y 04－x 0，因为N 为AB 的中点，所以y 1＋y 22＝y 0，即2y 04－x 0＝y 0，所以x 0＝2.即线段AB 中点的横坐标为定值2.。

§2.3.1抛物线及其标准方程【自主学习】阅读课本P-P 内容，完成导学案自主学习内容. 一．学习目标掌握抛物线的定义、标准方程及其推导过程． 二．自主学习1.抛物线定义： 2．推导抛物线的标准方程：如图所示，建立直角坐标系系，设|KF|=p （p >0）,那么焦点F 的坐标为)0,2(p，准线l 的方程为2p x -=，（自己完成推导过程）（1）它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F （2p,0），准线方程是2p x -=（2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式．3．抛物线的准线方程：如图所示，分别建立直角坐标系，设出|KF|=p （p >0），则抛物线的标准方程如下：三．自主检测1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是 （ ） (A) （0，41） (B) （0，81） (C) （21，0） (D) （41，0）2.求下列抛物线方程的焦点坐标和准线方程．（1）y 2＝12x ， （2）y ＝12x 2，3．顶点在原点，焦点在y 轴上，且过点P （4，2）的抛物线方程是 ．答案：1.B; 2(1)焦点坐标:(3,0),准线方程:3x =-; (2)焦点坐标:1(0,)3,准线方程:13y =-3.28x y =§2.3.1抛物线及其标准方程【课堂检测】1.求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点是05F （，）；（2）对称轴是y 轴，且过点63--（，）（3）准线为8y =2.若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ．【拓展探究】探究一：求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）对称轴是x 轴，且顶点与焦点的距离等于6；（2）过点32-（，）；（3）焦点在直线240x y --=上；探究二：若抛物线22(0)y px p =->上一点M ，其横坐标为-9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M 点的坐标。

浙江省台州市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.1 抛物线及其标准方程学案（无答案）新人教A版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（浙江省台州市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.1 抛物线及其标准方程学案（无答案）新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为浙江省台州市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.1 抛物线及其标准方程学案（无答案）新人教A版选修2-1的全部内容。

2。

4。

1 抛物线及其标准方程学习目标：1.理解掌握抛物线的定义、标准方程及推导过程；2.掌握抛物线的定义及标准方程的应用。

自主学习：抛物线的定义学习教材P64—65定义平面内与一个________和一条____________(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的______思考1、(1)在抛物线定义中,若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗?(2）椭圆与双曲线的焦点均有两个，抛物线的焦点有几个?自主学习：抛物线的标准方程思考2、类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程,你认为应如何选择坐标系,才能使所建立的抛物线的方程更简单？怎样推导抛物线的标准方程？小结1、抛物线的标准方程思考3、（1)总结双曲线标准方程的结构特征,如何由方程确定抛物线的开口方向?p 的几何意义是什么？（2)方程)0(2≠=m mx y 及)0(2≠=m my x 表示的曲线是抛物线吗？若是，它的焦点坐标和准线方程是什么小结2、合作学习:例1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程(1） x y 42= (2)0522=+y x(3))0(2>=p px y (4))0(22≠=a ax y例2、求适合下列条件的抛物线的标准方程,并写出它们的焦点坐标和准线方程(1)顶点在原点,焦点到原点的距离为5，开口向下；（2)顶点在原点,过点)23,2(-H（3)焦点在直线01243=--y x 上自主学习：教材P66例1及例2思维拓展:已知抛物线y2 ，点P是此抛物线上一动点,点A的坐标为（12，6),求点P到点A的距离与x4其到x轴距离之和的最小值。

2.2.1 抛物线及其标准方程
学习目标：1。

掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．2。

进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对
比、概括、转化等方面的能力
重点、难点：1。

掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程
2.掌握解析几何的基本思想方法,提高分析、对比、概括、转
化等方面的能力。

自主学习
复习椭圆知识：
合作探究
由教材提供的方法画出抛物线的图像，归纳出抛物线的定义和推导标准方程：
(1)定义：．定点F叫做抛物线的，定直线l叫做抛物线的 .
（2）抛物线标准方程的推导过程：a）建系设标:
b)建立等量关系，推导方程：。