第8章 相量法例题

结论 任意一个正弦时间函数都有唯
一与其对应的复数函数。 一与其对应的复数函数。
i = 2 Icos( ωt + ϕ ) ↔ F ( t ) = 2 Ie
j ( ω t +ϕ )
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§8-3 相量法的基础
i = 2 Icos( ωt + ϕ ) ↔ F ( t ) = 2 Ie
F(t)还可以写成 F ( t ) = 还可以写成
1 I= T
def
∫
∫
T
0
i 2 ( t )dt
可定义电压有效值： 可定义电压有效值： 电压有效值
1 U= T
def T 0
u 2 ( t )dt
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§ 8-2
正弦量
正弦电流、 正弦电流、电压的有效值
设正弦电流 i = I m cos(ω t + φi )
1 T 2 I= I m cos 2 (ω t + φi ) dt T ∫0 = 1 I m = 0.707 I m 2
ejπ/2 =j , e-j π /2 = -j, 可以看成旋转因子。 可以看成旋转因子。
ejπ= –1 故 +j, –j, -1 都 1 j,
4
§ 8-2
1.正弦量： 正弦量： 正弦量
i + u _
正弦量
i
0
T
ωt
波形
瞬时值表达式
i(t) = I m cos( ω t + φi )
周期T 和频率f 周期 和频率
i、 I m 、 I ；
u、U m 、U
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i = I m cos(ω t + φi ) = 2 Icos(ω t + φi ) u = U m cos(ω t + φu ) = 2U cos(ω t + φu )

ρ = a2 + b2
b
A (a + jb)
a = ρcosϕ, b = ρsinϕ ϕ ϕ
二.复数的加减 复数的加减 虚部(+j) 虚部 已知. 已知 A = a1 + jb1 , B = a2 + jb2 A A+B 则: A±B =(a1+jb1)±(a2 + jb2) ± ± ϕ1 =(a1±a2) +j (b1±b2) O ϕ2 实部(+1) 实部 jϕ1 ,B = ρ e-jϕ2 ϕ ϕ 如果. 如果 A = ρ1e 2 B 四边形法则 可用如图表示A± 可用如图表示 ±B
O ϕ -ϕ 虚部(+j) 虚部
A=a+jb
实部(+1) 实部
-b
A*= a–jb
§8-3. 正弦量的相量表示法
复数A 一.复数 =Im ωt + ϕ的旋转矢量表示 +j 复数 任一时刻旋转矢量OA 任一时刻旋转矢量 A 在横轴的投影为: 在横轴的投影为 A ω Imcos(ωt + ϕ) ω ωt+ϕ ϕ 在纵轴的投影为: 在纵轴的投影为 Im ϕ Imsin(ωt + ϕ) ω 复数A= Imcos(ωt + ϕ)+jImsin(ωt + ϕ)O 复数 ω ω 就是旋转矢量 的代数表示 旋转矢量OA的代数表示 的代数表示. 就是旋转矢量 此复数的实部即为正弦量. 此复数的实部即为正弦量 正弦量的复数 旋转矢量表示 复数,旋转矢量 二. 正弦量的复数 旋转矢量表示 ω i=Imcos(ωt + ϕ) = Re[Imej(ωt + ϕ)] ω 式中Re[ ]是取复数实部的意思 式中 是取复数实部的意思. 是取复数实部的意思

w 2 f 2 T
单位： rad/s ，弧度 / 秒 i Im O T 2
(3) 初相位(initial phase angle) i 反映正弦量的计时起点。
/w i
twt
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
i
一般规定：| | 。
O
t
=0 =－/2
二. 相位差 ：
T
0
1 cos 2(w t i ) 1 dt t 2 2
T 0
1 T 2
1 2 T Im I Im 0.707 I m T 2 2
i(t ) I m cos(w t i ) 2I cos(w t i )
Im 2I
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
u( t ) u1 ( t ) u2 ( t ) Re( 2 U 1 e Re( 2 U 1 e
可得其相量关系为：



jwt
) Re( 2 U 2 e jwt )


jwt
2U2 e

jwt
) Re( 2 (U 1 U 2 )e jwt )
U U1 U 2
相量的模表示正弦量的有效值
相量的幅角表示正弦量的初相位
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u( t ) 2U cos(w t θ ) U Uθ
例1 已知
i 141.4 cos(314t 30o )A u 311.1cos(314t 60o )V
试用相量表示i, u .
e cos j sin
指数形式
F=|F|（cos + jsin ）

20.6214.04 180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536
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例3 已知正弦电流波形如图，＝103rad/s，
1.写出 i(t) 表达式；2.求最大值发生的时间t1
解 i(t) 100cos(103t )
结论
两个正弦量 进行相位比
(2) i1(t) 3π104co(s(1π002π) t 5π3040) 0 较时应满足
(3)i2 (uuti12i2)(2((tt(t))t))11011030c0330coscc00oi5oos0nsπ(s(s1((11((102(4001000000100πππ552ππtt0t0πt)t0)11311450031535005520)π)0000)0)40)不能同 函 号 值比频 ， 范数1 较率 且 围、相、 在 比同位同 主 较符2差。
I3
解 U12000
jX L j4 5 j20
1
jX C
j 5
0.02
j10Ω
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I
IR
IL
IC
U R
U jX L
U jX C
120
1 15
1 j20
1 j10
8 j6 j12 8 j6 1036.90 A
i(t) 10 2 cos(5t 36.90)A
+ I
(4) i1(t) 5cos(100π t 300 )
i2 (t) 3cos(100π t 300 )
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例5
已知 i 141.4cos(314t 30o )A u 311.1cos(314t 60o )V