计算不定式极限一般方法洛必达法则共22页

数论洛必达法则-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:数论洛必达法则是数学中一个重要的定理，它在解决极限计算问题中扮演着重要的角色。

洛必达法则主要用于解决形式为\frac{0}{0}或\frac{\infty}{\infty}的不定式极限问题。

这个法则的提出和应用，极大地简化了求解极限的复杂程度，成为数学分析中的重要工具。

在本文中，我们将对洛必达法则进行详细的介绍，包括其概念、应用和意义。

我们将深入探讨这一定理在数论领域中的重要性，以及它在数学研究和实际问题中的应用。

同时，我们也会对洛必达法则的局限性进行探讨，以及未来在这一领域中的发展展望。

通过本文的阐述，读者将更加深入地理解数论洛必达法则，并对数学研究中的极限问题有更深入的认识。

1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文将分为引言、正文和结论三部分进行阐述。

引言部分将从概述、文章结构和目的三方面介绍数论洛必达法则的重要性和意义。

正文部分将详细介绍洛必达法则的概念、应用和意义，包括其在数论领域的具体运用和影响。

结论部分将对洛必达法则进行总结，并讨论其局限性和未来的发展方向，以展望洛必达法则在数论研究中的潜力。

每个部分将以清晰的逻辑顺序和详细的论证来展现洛必达法则在数论领域的重要性和价值。

1.3 目的本文旨在深入探讨数论中的洛必达法则，并分析其概念、应用和意义。

通过对洛必达法则进行系统性的介绍和解读，旨在帮助读者更好地理解这一重要的数学原理，并且探讨洛必达法则在数论领域中的具体运用。

同时，本文也将对洛必达法则的局限性进行深入分析，并展望未来在数论研究中的潜在应用。

通过本文的阐述，读者将能够更全面地了解洛必达法则在数论领域中的重要性和意义，以及未来可能的发展方向。

2.正文2.1 洛必达法则的概念洛必达法则是数学中的一个重要概念，通常用于解决极限计算中的不定式形式。

它最初由意大利数学家洛必达（L'Hôpital）在17世纪提出，并在微积分学中得到广泛应用。

高中数学洛必达法则
高中数学中，洛必达法则是一种用于解决极限问题的方法。

它适用于形如 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 的不定式极限，通过对分子、分母同时求导，然后取极限的方式，可以得到相应的极限值。

具体来说，洛必达法则包含以下三个步骤：
1. 确定不定式极限形式，即 $frac{0}{0}$ 或
$frac{infty}{infty}$。

2. 对分子、分母同时求导，得到导数。

3. 取导数极限，即可得到原极限的值。

需要注意的是，洛必达法则只适用于一些特定的极限情况，对于其他类型的极限问题，可能需要使用其他方法来解决。

此外，在实际应用中，也需要注意洛必达法则的合理性和适用性，以避免出现误解和错误。

- 1 -。

1.概念：
洛必达法则（别称：伯努利法则）是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

2.公式；
用于求解“0/0”型与“∞/∞”型极限
（1）0/0型不定式极限
若函数f(x)和个g(x)满足下列条件
①和
②在点a的某去心邻域内两者都可导，且
则：
（2）∞/∞型不定式极限
若函数f(x)和个g(x)满足下列条件
①
②在点a的某去心邻域内两者都可导，且
则：
3.注意事项：
(1)在每次使用洛必塔法则之前，必须验证是“0/0”型与“∞/∞”型极限。

(2)洛必塔法则是分子与分母分别求导数，而不是整个分式求导数；
(3)使用洛必塔法则求得的结果是实数或∞，则原来极限的结果就是这个实数或∞，求解结束；如果最后得到极限不存在，也不能断言原来的极限也不存在，应该考虑用其它的方法求解。

第14节 洛必达法则知识与方法在有的问题中，我们要研究函数的图象，但函数存在没有定义的点，代入解析式计算函数在该点处的函数值时，会出现诸如00、∞∞的不定式，从而无法用初等的方法研究函数在该点附近的图象走势.例如，在研究函数()ln 1xf x x =-在1x =附近的图象时，初等代数的方法就会显得束手无策，此时，我们需要用到高等代数中的一个重要定理：洛必达法则.1．洛必达法则：设函数()f x 与()g x 在()()000,x x εε+>上存在导数，()0g x '≠，且()()0lim lim 0x x x x f x g x ++→→==或∞，()()lim x x f x a g x +→'='，其中a 为有限值或无穷大，则 ()()()()lim lim x x x x f x f x a g x g x ++→→'=='（其中0x x +→表示从0x 的右侧无限逼近0x ，类似的，0x x -→表示从0x 的左侧无限逼近0x ）类似的，对于左侧极限，也有相应的结论：()()()()lim lim x x x x f x f x a g x g x --→→'==' 洛必达法则给了我们一种求极限的简便方法，在高中数学的范畴，一般来说，洛必达法则的条件都能够满足，因此，如果遇到00型、∞∞型的不定式，就可以把分子分母分别求导，再求极限，所得的结果与原来的极限值是相等的.下面我们来考虑1x →时，式ln 1x x -的极限值，注意到该式的分子ln 0x →，分母10x -→，属于00型的不定式，分子分母在1x =附近都能求导，所以两者相除所得的极限值等于分子分母分别求导之后再相除求极限所得值，即()()1111ln ln limlim lim 1111x x x x xx x x →→→'===-'-. 如果我们要作出函数()()ln 0,11xf x x x x =>≠-的图象，可以先求导研究其单调性，再作草图. 易求得()()21ln 1x x x f x x x --'=-，令()()1ln 0g x x x x x =-->，则()ln g x x '=-，显然()001x g x >⇔<<'，()01g x x '<⇔>，所以()g x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；从而()()10g x g ≤=，当且仅当1x =时取等号，故()0f x '<，所以()f x 在()0,1和(1,)+∞上均为减函数，虽然()f x 在1x =处没有定义，但我们已经求出了它在1x →时的极限，再求出当0x +→、x →+∞时()f x 的极限值()00ln lim lim 11x x x f x x ++→→-∞===+∞--，()ln 1lim lim lim 01x x x x f x x x →+∞→+∞→+∞===-，据此就可以作出函数()y f x =的草图，如下图所示.洛必达法则在高等代数中的应用非常广泛，在高中数学里，我们也可以用它来解决一些简单的求极限问题.下面通过一些实例来感受洛必达法则的作用.提醒：①若用了一次洛必达法则后，仍然满足洛必达法则的使用条件，那么可以再用洛必达法则，直到不满足洛必达法则的使用条件为止；②在解答题中使用洛必达法则，存在被扣分的风险，所以本节的例题和强化训练，我们都只选取小题.解答题中使用洛必达法则的方法和小题中类似；③同学们提前了解洛必达法则，主要目的是学习一个新的研究函数的工具，能够站在更高处，更为透彻地看待问题，不应该是为了用它投机取巧，反而忽略了高中数学中本该重点学习的初等方法.典型例题【例1】若函数()21x f x e ax x =---有2个零点，则实数a 的取值范围是________.【解析】显然()00f =，所以0是函数()f x 的一个零点，从而当0x ≠时，()f x 应还有1个零点，此时，()22101x x e x f x e x ax a x --=⇔--=⇔=，设()()210x e x g x x x --=≠，则()()322xe x x g x x -++'=，令()()()22x h x x e x x =-++∈R ，则()()11x h x x e '=-+，()"x h x xe =，所以()00h x x ''>⇔>，()00h x x ''<⇔<，从而()h x '在(),0-∞上，在()0,+∞上，又()00h '=，所以()0h x '≥恒成立，从而()h x 在R 上，而()00h =，所以当0x <时，()0h x <，从而()0g x '>，当0x >时，()0h x >，从而()0g x '>， 故()g x 在(),0-∞和(0,)+∞都是增函数，由洛必达法则，()20000111lim lim lim lim 222x x x x x x x e x e e g x x x →→→→---====，()211lim lim lim 02x x x x x e x e g x x x →-∞→-∞→-∞---===，()211lim lim lim lim 22x x xx x x x e x e e g x x x →+∞→+∞→+∞→+∞---====+∞ 所以函数()y g x =的大致图象如图所示，由图可知当且仅当0a >且12a ≠时， 直线y a =与函数()y g x =的图象有1个交点，此时()f x 共有2个零点，所以实数a 的取值范围是110,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】110,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【例2】若当0x ≥时，()2ln 1x x ax -+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.【解析】当0x =时，不等式()2ln 1x x ax -+≤对任意的实数a 都成立， 当0x >时，不等式()2ln 1x x ax -+≤等价于()2ln 1x x a x -+≥,令()()()2ln 10x x f x x x -+=>，则()()2322ln 11x x x x f x x -+++'=， 令()()()222ln 101x g x x x x x =-++>+，则()()2201x g x x '=-<+，所以()g x 在()0,+∞上，又()00g =，所以()0g x <，从而()0f x '<，所以()f x 在()0,+∞上，由洛必达法则，()()()2011ln 1111lim lim lim lim 2212x x x x x x x f x xx x ++++→→→→--++====+， 所以要使()a f x ≥恒成立，只需12a ≥，故实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭强化训练1.（★★★★）若函数()1 2ln f x a x x x ⎛⎫ ⎪⎝-⎭=-有且仅有3个零点，则实数α的取值范围是________.【解析】显然1x =是函数()f x 的1个零点：当 0x >且1x ≠时，()22ln 01x xf x a x =⇔=-， 所以()f x 共有3个零点等价于直线y a =与函数22ln 1x xy x =-（0x >且1x ≠）的图象有2个交点，令()22ln 1x xg x x =-（0x >且1x ≠），则()()()()222221ln 211x x x g x x -++-'=-， 令()()()()2221ln 210h x x x x x =-++->，则()2224ln 24ln 2h x x x x x x x x ⎛⎫'=-+-=-+- ⎪⎝⎭令()()224ln 20u x x x x=+->，则()()()3341144x x u x x x x +-'=-=, 所以()01u x x '>⇔>，()001u x x '⇔<<<，从而()u x 在()0,1上，在()1,+∞上，又()10u =，所以()0u x ≥恒成立，从而()0h x '≤，故()h x 在()0,+∞上，因为()10h =，所以当01x <<时，()0h x >，从而()0g x '>；当1x >时，()0h x <，从而()0g x '<，所以()g x 在()0,1上，在()1,+∞上，由洛必达法则，()220000222ln 2ln 2lim lim lim lim lim 011111x x x x x x x x xxg x x x x x x +++++→→→→→=====-+-+， ()21112ln 2ln 2lim lim lim 112x x x x x x g x x x→→→+===-，()222ln 2ln 2lim lim lim lim 0122x x x x x x x x g x x x →+∞→+∞→+∞→+∞+====-， 所以函数()y g x =的大致图象如图所示，由图可知，当且仅当01a <<时，直线y a =与函数()y g x =的图象有2个交点，故a 的取值范围是()0,1.【答案】()0,12.（★★★★）若当1x ≥时，不等式112ln a ax a x x-++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是________. 【解析】显然当1x =时，不等式对任意的a 都成立，当1x >时，()2111ln 112ln 21ln 1a x x x ax a x a x x a x x x x --+⎛⎫++-≥⇔+-≥-+⇔≥ ⎪⎝⎭-， 令()()()2ln 111x x x g x x x -+=>-，则()a g x ≥恒成立，()()()()31ln 211x x x g x x -++-'=-，令()()()()ln 1211h x x x x x =-++->，则()1ln 1h x x x '=--+，()210xh x x-''=<，所以()h x '在()1,+∞上，又()10h '=，所以()0h x '<，从而()h x 在()1,+∞上，结合()01h =知()0h x <，故()0g x '<，所以()g x 在()1,+∞上，由洛必达法则， ()()()21111ln 1ln 11lim lim lim lim 21221x x x x x x x x g x x x x ++++→→→→-+====--，从而要使()a g x ≥恒成立，需满足12a ≥. 【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3.（★★★★）若当0x ≥时，11x xe ax --≤+恒成立，则实数a 的取值范围是________. 【解析】显然当0x =时，不等式11x xe ax --≤+对任意的a 都成立，当0x >时，10x e -->，从而要使11x xe ax --≤+恒成立，首先，10ax +>恒成立，所以0a ≥①，此时，()()11111111111x xx x x x x e x x x x e ax ax a a ax e e e x x e -----+-≤⇔+≤⇔≤-⇔≤-⇔≤+----， 设()()()()1101x x x e f x x x e -+=>-，则()()()2222211x x xe x ef x x e -++'=-，设()()()22210x x g x e x e x =-++>，则()()2222x x g x e e x x '=---，设()()22220x h x e x x x =--->，则()()'210x h x e x =-->，所以()h x 在()0,+∞上，又()00h =，所以()0h x >恒成立，从而()0g x '>，故()g x 在()0,+∞上， 因为()00g =，所以()0g x >恒成立，从而()0f x '>，故()f x 在()0,+∞上，由洛必达法则，()()()()()()0001111lim lim lim lim 11221x x xx x x x x x x x e x e xe f x x e x e x e ++++→→→→-++====+-+-， 所以当且仅当12a ≤时，()a f x ≤恒成立，结合①可得实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【答案】10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.（★★★★）不等式11n ae n -⎛⎫⎪⎝⎭+≥对任意的n *∈N 成立，则实数a 的取值范围是________.【解析】()11111ln 1111ln 1ln 1n ae n a n a a n n n n n -⎛⎫⎛⎫+≥⇔-+≥⇔-≥⇔≤- ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()()()1101ln 1f x x x x =-<≤+，则()()()()()22221ln 11ln 1x x x f x x x x -++'=++， 令()()()()221ln 101g x x x x x =-++<≤，则()()()222ln 1ln 1g x x x x '=-+-+，()()2ln 1"1x x xg x -+⎡⎤⎣⎦=+， 易证当1x >时，1ln x x ->，所以当0x >时，()ln 1x x >+，从而()0g x ''>，故()g x '在()0,+∞上，又()00g '=，所以()0g x '>恒成立，故()g x 在()0,+∞上，结合()00g =可得()0g x >恒成立，所以()0f x '>恒成立，从而()f x 在(]0,1上，由洛必达法则，()()()()()()22111ln 1111lim lim lim lim 11ln 12ln 1111x x x x x x x x f x x x x x x x x ++++→→→→--+-++====--++++++，因为1n a f ⎛≤⎫⎪⎝⎭对任意的n *∈N 都成立，所以()011limlim 2n x f f x n a +→+∞→⎛⎫==- ⎪⎝⎭≤【答案】1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【反思】当0x +→时，()11ln 1x x -+属于“∞-∞”型，这种情况虽然不能直接用洛必达法则求极限，但可以通分转化为()()ln n 11l x x x x -++，变成型的不定式，再用洛必达法则.。