线性回归分析的基本步骤要点

步骤一、建立模型 知识点： 1、总体回归模型、总体回归方程、样本回归模型、样本回归方程 ①总体回归模型：研究总体之中自变量和因变量之间某种非确定依赖关系的计量模型。YXU 特点：由于随机误差项U的存在，使得Y和X不在一条直线/平面上。 例1：某镇共有60个家庭，经普查，60个家庭的每周收入（X）与每周消费（Y）数据如下： 每周收入（X） 每周消费支出（Y） 80 55 60 65 70 75 100 65 70 74 80 85 88 120 79 84 90 94 98 140 80 93 95 103 108 113 115 160 102 107 110 116 118 125 180 110 115 120 130 135 140 200 120 136 140 144 145 220 135 137 140 152 157 160 162 240 137 145 155 165 175 189 260 150 152 175 178 180 185 191

作出其散点图如下：

406080100120140160180200

4080120160200240280X

Y

②总体回归方程（线）：由于假定0EU，因此因变量的均值与自变量总处于一条直线上，这条直线|EYXX就称为总体回归线（方程）。 总体回归方程的求法：以例1的数据为例 1）对第一个Xi，求出E(Y|Xi)。 每周收入（X） 每周消费支出（Y） E(Y|Xi) 80 55 60 65 70 75 65 100 65 70 74 80 85 88 77 120 79 84 90 94 98 89 140 80 93 95 103 108 113 115 101 160 102 107 110 116 118 125 113 180 110 115 120 130 135 140 125 200 120 136 140 144 145 137 220 135 137 140 152 157 160 162 149 240 137 145 155 165 175 189 161 260 150 152 175 178 180 185 191 173

由于01|iiiEYXX，因此任意带入两个Xi和其对应的E(Y|Xi)值，即可求出01和，并进而得到总体回归方程。 如将222777100,|77200,|137XEYXXEYX和代入

01|iiiEYXX可得：01001177100171372000.6

以上求出01和反映了E(Y|Xi)和Xi之间的真实关系，即所求的总体回归方程为：|170.6iiiEYXX，其图形为：

406080100120140160180200

4080120160200240280X

YY vs. X

③样本回归模型：总体通常难以得到，因此只能通过抽样得到样本数据。如在例1中，通过抽样考察，我们得到了20个家庭的样本数据： 每周收入（X） 每周消费支出（Y） 80 55 100 65 70 120 79 84 140 80 93 160 102 107 110 180 110 200 120 136 220 135 137 240 137 145 260 150 152 175

那么描述样本数据中因变量Y和自变量X之间非确定依赖关系的模型ˆYXe就称为样本回归模型。

④样本回归方程（线）：通过样本数据估计出ˆ，得到样本观测值的拟合值与解释变量之间的关系方程ˆˆYX称为样本回归方程。如下图所示：

406080100120140160180

4080120160200240280X

YY vs. X

⑤四者之间的关系： ⅰ：总体回归模型建立在总体数据之上，它描述的是因变量Y和自变量X之间的真实的非确定型依赖关系；样本回归模型建立在抽样数据基础之上，它描述的是因变量Y和自变量X之间的近似于真实的非确定型依赖关系。这种近似表现在两个方面：一是结构参数ˆ是其真实值的一种近似估计；二是残差e是随机误差项U的一个近似估计； ⅱ：总体回归方程是根据总体数据得到的，它描述的是因变量的条件均值E(Y|X)与自变量X之间的线性关系；样本回归方程是根据抽样数据得到的，它描述的是因变量Y样本预测值的拟合值ˆY与自变量X之间的线性关系。 ⅲ：回归分析的目的是试图通过样本数据得到真实结构参数的估计值，并要求估计结果ˆ足够接近真实值。由于抽样数据有多种可能，每一次抽样所得到的估计值ˆ都不会相同，即的估计量ˆ是一个随机变量。因此必须选择合适的参数估计方法，使其具有良好的统计性质。 2、随机误差项U存在的原因： ①非重要解释变量的省略 ②人的随机行为 ③数学模型形式欠妥 ④归并误差（如一国GDP的计算） ⑤测量误差等 3、多元回归模型的基本假定 ①随机误差项的期望值为零()0iEU ②随机误差项具有同方差性2() 1,2,,iVaruin ③随机误差项彼此之间不相关(,)0 ; ,1,2,,ijCovuuijijn ④解释就变量X1,X2,···,Xk为确定型变量，与随机误差项彼此不相关。 (,)0 1,2,, 1,2,,ijjCovXuikjn ⑤解释就变量X1,X2,···,Xk之间不存在精确的（完全的）线性关系，即解释变量的样本观测值矩阵X为满秩矩阵：rank(X)=k+1⑥随机误差项服从正态分布，即：ui~N(0,2)，i=1,2,···,n 步骤二、参数估计 知识点： 1、最小二乘估计的基本原理：残差平方和最小化。 2、参数估计量：

① 一元回归：1201ˆˆˆiiixyxYX ② 多元回归：1ˆTXXXY 3、最小二乘估计量的性质（Gauss-Markov定理）： 在满足基本假设的情况下，最小二乘估计量ˆ是的最优线性无偏估计量（BLUE估计量） 步骤三、模型检验 1、经济计量检验（后三章内容） 2、统计检验 ①拟合优度检验 知识点： ⅰ：拟合优度检验的作用：检验回归方程对样本点的拟合程度 ⅱ：拟合优度的检验方法：计算（调整的）样本可决系数22/RR

21RSSESSRTSSTSS，2/11/1ESSnkRTSSn

注意掌握离差平方和、回归平方和、残差平方和之间的关系以及它们的自由度。 计算方法：通过方差分析表计算 方差来源 符号 计算公式 自由度(d.f.) 均方值(MSS) 离差平方和 TSS 2iiYY n-1 2ii

YY/n-1

回归平方和 RSS 2ˆiiYY k 2

ˆ

ii

YY/k

残差平方和 ESS 2ˆiiYY n-k-1 2

ˆ

ii

YY/ n-k-1

例2：下表列出了三变量（二元）模型的回归结果： 方差来源 平方和（SS） 自由度 均方值 离差平方和TSS 66042 14 回归平方和RSS 65965 残差平方和ESS 1） 样本容量为多少？ 解：由于TSS的自由度为n-1，由上表知n-1＝14，因此样本容量n=15。 2） 求ESS 解：由于TSS＝ESS＋RSS，故ESS＝TSS－RSS＝77 3） ESS和RSS的自由度各为多少？ 解：对三变量模型而言，k=2，故ESS的自由度为n-k-1＝12 RSS的自由度为k＝2 4） 求22RR和

解：2659650.998866042RSSRTSS，2/110.9986/1ESSnkRTSSn ②回归方程的显著性检验（F检验） 目的：检验模型中的因变量与自变量之间是否存在显著的线性关系 步骤：1、提出假设：0121:...0:0 , 1,2,...,kjHHjk至少有一

2、构造统计量：/~(,1)/1RSSkFFknkESSnk 3、给定显著性水平，确定拒绝域,1FFknk 4、计算统计量值，并判断是否拒绝原假设 例3：就例2中的数据，给定显著性水平1%，对回归方程进行显著性检验。

解：由于统计量值/65965/25140.13/177/12RSSkFESSnk， 又0.012,126.93F，而0.015140.132,126.93FF 故拒绝原假设，即在1%的显著性水平下可以认为回归方程存在显著的线性关系。 附：2RF与检验的关系：

由于22222/1/1/1/1RSSRSSRRRSSESSRkTSSESSRSSRFRSSkRnkFESSnk 又 ③解释变量的显著性检验（t检验） 目的：检验模型中的自变量是否对因变量存在显著影响。 知识点：

多元回归：2ˆ1,11iiiieSCnk，其中1,1iiC为1XX中位于第i+1行和i+1列的元素；