导学案3.1.2两条直线平行与垂直的判定

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

1．理解两条直线平行或垂直的判断条件．(重点)

2．会利用斜率判断两条直线平行或垂直．(难点)

3．能利用直线的斜率来判断含字母参数的两直线的平行或垂直．(易错点)

[基础·初探]

教材整理1 两条直线平行与斜率的关系

阅读教材P86“练习”以下至P87“例3”以上部分，完成下列问题．

设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下：

前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°

对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线斜率都不存在

图示

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若两条直线斜率相等，则两直线平行．( )

(2)若l1∥l2，则k1＝k2.( )

(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交．( )

(4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行．( )

【解析】 (1)、(4)中两直线有可能重合，故(1)(4)错误；(2)可能出现两直线斜率不存在情况，故(2)错误；(3)正确． 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×

教材整理2 两条直线垂直与斜率的关系

阅读教材P88“例5”以上部分，完成下列问题．

对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2

图示

直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是( )

A．平行 B．重合

C．相交但不垂直 D．垂直

【解析】 设两直线的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1，故l1与l2垂直．

【答案】

D

[小组合作型]

两条直线平行的判定

根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．

(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；

平行与垂直导学案

一、引言

在几何学中，平行和垂直是基本的几何概念。理解和掌握平行和垂直的概念及其性质对于解决几何问题和应用几何学知识至关重要。本文档将以平行和垂直为主题，提供导学案，帮助读者深入理解和运用这两个概念。

二、平行线

1. 平行线的定义

平行线是指在同一个平面上，永远不相交的两条直线。它们的斜率相等，但是截距不同。

2. 平行线的性质

- 平行线上的任意两点与另外一条直线上的任意两点连线所得的对应线段，它们的比值是相等的。

- 若两条平行线与同一条第三线相交，则相交线与其中一条平行线的关系与另一条平行线相交线的关系相同。 - 平行线之间不存在交点，无论它们所处的位置如何变化。

3. 平行线的判定方法

- 双射线法：如果有一条直线与两条平行线相交，且所形成的两对内角互补，那么这两条直线是平行线。

- 逆命题法：如果两条直线的相邻内角或补角互等，那么这两条直线是平行线。

- 同位角或同旁内角等于180°，则两条直线平行。

三、垂直线

1. 垂直线的定义

垂直线是指在同一个平面上与另一条直线相交时，所形成的两对内角互为直角的直线。

2. 垂直线的性质

- 垂直线上的任意两点与另外一条直线上的任意两点连线所得的对应线段，它们的乘积是相等的。 - 垂直线和水平线（平行于横坐标轴的直线）之间的夹角为90度。

- 垂直线与平面上的任意一条直线的夹角如果是直角，则它们互相垂直。

3. 垂直线的判定方法

- 互补角法：如果两条直线的夹角是直角，那么这两条直线是垂直线。

- 垂直角法：如果两条直线交叉相交，且所形成的四个内角互为垂直角或互为补角，那么这两条直线是垂直线。

四、平行与垂直的应用

1. 平行线的应用

- 平行线的概念在平面几何中广泛应用于解决直线的相交性质问题。

- 平行线还可以应用于解决平面图形的性质问题，如矩形、平行四边形等。 2. 垂直线的应用

- 垂直线的概念在平面几何中常被用于解决直角三角形问题。

《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定》教案

【教材分析】

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习两条直线平行和垂直的判定。

直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定在初中运用几何法已经进行了学习，而在坐标系下，运用代数方法即坐标法，是一种新的观点和方法，需要学生理解和感悟。

两直线平行和垂直都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明.

【教学目标与核心素养】

课程目标 学科素养

A. 理解两条直线平行与垂直的条件.

B.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.

C.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题. 1.数学抽象：两条直线平行与垂直的条件

2.逻辑推理：根据斜率判定两条直线平行或垂直

3.数学运算：利用两直线平行或垂直的条件解决问题

4.直观想象：直线斜率的几何意义，及平行与垂直的几何直观

【教学重点】：理解两条直线平行或垂直的判断条件

【教学难点】：会利用斜率判断两条直线平行或垂直

【教学过程】

教学过程 教学设计意图

一、情境导学

过山车是一项富有刺激性的娱乐项

通过生活中的现实情境，提出问题，明确研究问题运用代数方法探究两直线目.实际上,过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道,它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着,为了使设备安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接,这些钢筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到过山车中的平行和垂直吗?两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢?

二、探究新知

（一）、两条直线平行与斜率之间的关系

设两条不重合的直线l1,l2,倾斜角分别为α1,α2,斜率存在时斜率分别为k1,k2.则对应关系如下:

第1页 共4页 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

【学习目标】理解并掌握由直线斜率判断直线位置关系的方法。

【学习重点】通过直线斜率，判断两条直线的位置关系

【知识链接】直线的倾斜角为，则此直线的斜率.

当______时，k>0； 当______时，k=0；

当______时，k<0； 当______时，k不存在

【基础知识】

时，满足什么关系？

时，位置关系如何？

垂直，则满足什么关系？

时，位置关系如何？

【例题讲解】

例1 已知A（2，3），B（－4，0），P（－3，１），Q（－1，2），判断直线BA与PＱ的位置关系，并证明你的结论.

变式迁移1 若A( -2,3),B(3,-2),C(,m)三点共线，则m的值为( ) A. B.-

C.-2 D.2

分析：kAB=kBC,,m=.

答案：A

例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），B（2，-1），C(4,2),D(2,3),试判断ktan21//ll21kk与21kk21ll与21ll与21kk与121kk21ll与21212132122332m21

第2页 共4页 四边形ABCD的形状，并给出证明.

变式迁移2

直线：ax+3y+1=0，：x+(a-2)y+a=0，它们的倾斜角及斜率依次分别为，（1）a=_____________时， =150°；

（2）a=_____________时，⊥x轴；

（3）a=_____________时，；

（4）a=_____________时，重合；

（5）a=_____________时，

答案：（1）

（2）2 （3）3 （4）-1 （5）1.5

例3．判断以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形的形状.