两条直线平行与垂直的判定学案

《两条直线平行与垂直的判定》教学设计一、教材分析本课内容选自普通高中新课程标准实验教科书人教版数学必修2的第三章第二节，介绍的是平面解析几何的知识。

从本章开始学生初步、系统地了解平面解析几何的知识，在第一、二章的学习中，学生已掌握了高中立体几何的初步知识，这有利于学生从新的角度了解高中数学几何教学内容编排体系。

通过本章知识的学习可以让学生从新认识平面几何的知识，又可以为选修里面的圆锥曲线理论知识的学习打下重要的基础，起到承上启下的作用。

同时在本章中，学生初步尝试从新的观念来认识直线和方程的联系，再从基本概念和基本方法深化对直线方程的理解，从而使知识规律化、系统化、网络化。

这种学习方式的过程和方法一经掌握，可以轻松地学习第四章圆的方程的内容。

本节内容是在学习了直线的倾斜角和斜率的基础上，重点学习直线与直线在平面中的特殊位置关系。

只有掌握了两条直线的位置关系，才能更进一步的来学习直线方程，教材利用两条直线的倾斜角和斜率的关系引出了两条直线的平行和垂直的位置关系这一节课的知识结构非常系统，有利于学生形成规律性的知识网络。

二、知识结构分析以上的简要教材分析，可从这一章的知识结构的思维导图中得以充分体现。

三、课标的分析《普通高中数学课程标准》关于直线与方程的内容标准指出：将直线的倾斜角代数化，探索确定直线位置的几何要素，建立直线的方程，把直线问题转化为代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。

这种思想贯穿本章教学的始终，帮助学生不断地体会数形结合的思想方法。

从课标中这部分内容标准的要求，可以知道直角坐标系使几何研究又一次飞跃，几何从此跨入了一个新的时代。

在欧氏几何里，我们直接依据图形中点、直线、平面的关系，研究图形的性质。

现在我们采用另外一种研究方法：坐标法。

坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的一种方法。

在平面直角坐标系中，给直线插上方程的“翅膀”，通过直线的方程研究直线之间的位置关系：平行、垂直，以及两条直线的交点坐标，点到直线的距离公式等等。

y
解： 直线BA的斜率kBA
直线PQ的斜率kPQ
Q P
A
kBA kPQ
x
30 1 2 (4) 2 1 2 1 1 (3) 2
又 k AP
B
O
3 1 2 1 2 (3) 5 2
直线AB // PQ
例2. 已知四边形ABCD的四个顶点分别为 A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明. 1 解：k AB kCD 2 3 k AD kCB 2 因为k AB kCD , k AD kCB AB / / CD, AD / /CB 四边形ABCD是平行四边形。
解 : k AB k PQ
k AB kPQ
6 3 2 3 ( 6) 3 6 3 3 60 2
2 3 1, 直线AB PQ. 3 2
例2. 已知四边形ABCD的四个顶点分别为 A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形 ABCD的形状，并给出证明.
(2)两直线垂直 k AB kPQ -1
k AB
m 0
练习:
3、已知直线 l1经过点A（3，a），B（a-2，3）,直线 l2 经过点C（2，3），D（-1，a-2），若 l1 l2 ，求 a 的值。 分析：
l1 l2 k1 k2 1或l1 , l2一斜率不存在另一斜率 为0
l1 l2 k1 k2 1或l1, l2一斜率不存在另一斜率为0
例4、已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三 点，试判断△ABC的形状。
（分析:借助图形，通过观察猜想: 三角形ABC是直角 三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证。）

3.1.2两条直线平行与垂直的判定基础梳理1．两条直线平行的判定．两条不重合的直线平行的条件是(斜率都存在)：它们的斜率相等．即：α1＝α2⇔l1∥l2⇔k1＝k2.上述结论的前提是两条直线不重合并且斜率都存在．例如：已知两不重合直线的倾斜角都为0°，则这两直线平行．已知两不重合直线的倾斜角都为90°，则这两直线平行．2．两条直线垂直的判定．探究两直线l1，l2垂直时，它们的斜率k1，k2的关系．(1)l1，l2的倾斜角α1＝90°，α2＝0°时，斜率k1不存在；k2＝0，此时两直线垂直．(2)两直线的斜率都存在时，两直线垂直，则它们的斜率k1，k2的乘积k1k2＝－1.反之亦然，即：l1⊥l2⇔k1k2＝－1．例如：已知直线l1的斜率为3，l2的斜率为－13，则l1⊥l2.►思考应用1．当两条直线的斜率相等时，两条直线一定平行吗？解析：一定，课本说“两条直线时，一般是指两条不重合的直线”．2．当直线l1⊥l2时，它们的倾斜角α1，α2的关系是什么(α1<α2)? 解析：α2＝90°＋α1.自测自评1．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(B)A．－3 B．3 C．－13D.132．过点A(1，2)和B(－3，2)的直线与直线y＝0的位置关系是(B) A．相交B．平行C．重合D．垂直3．直线l1的倾斜角为60°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为(D) A. 3 B．－ 3C.33D．－334．经过点(m，3)和(－2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是2．题型一两条直线平行与垂直的关系(1)若l1∥l2，则l1的斜率k1＝－a3，题型二两直线平行与垂直的应用基础达标1．下列命题①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；②如果两直线平行，则它们的斜率相等；③如果两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；④如果两直线垂直，则它们斜率之积为－1.其中正确的为(B )A ．①②③④B ．①③C ．②④D ．以上全错2．给定三点A(1，0)、B(－1，0)、C(1，2)，则过A 点且与直线BC 垂直的直线经过点(A )A ．(0，1)B ．(0，0)C ．(－1，0)D ．(0，－1)解析：∵k BC ＝2－01－（－1）＝1， ∴过A 点且与直线BC 垂直的直线的斜率为－1.又∵k ＝1－00－1＝－1， ∴直线过点(0，1)．3．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1，4)，直线l 2经过两点(2，1)，(x ，6)，且l 1∥l 2，则x ＝(A )A ．2B ．－2C ．4D ．14．设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，下面四个结论： ①PQ ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS ∥QS ；④RP ⊥QS.正确的个数是(C )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由斜率公式知k PQ ＝－4－26＋4＝－35，k SR ＝12－62－12＝－35，k PS ＝12－22＋4＝53，k QS ＝12＋42－6＝－4·k PR ＝6－212＋4＝14，∴PQ ∥SR ，PS ⊥PQ ，RP ⊥QS.而k PS ≠k QS ，所以PS 与QS 不平行，故①②④正确，选C .5．下列各对直线不互相垂直的是(C )A ．l 1的倾斜角为120°，l 2过点P(1，0)，Q(4，3)B ．l 1的斜率为－23，l 2过点A(1，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12C ．l 1的倾斜角为30°，l 2过点P(3，3)，Q(4，23)D ．l 1过点M(1，0)，N(4，－5)，l 2过点A(－6，0)，S(－1，3)6．以A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)为顶点的三角形是(D )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 为直角顶点的直角三角形D ．以B 为直角顶点的直角三角形7．确定l 1与l 2的位置关系(填“∥”或“⊥”)(1)l 1过点A(2，3)，B(－1，0)，l 2过点P(1，0)且斜率为1，则l 1________l 2.(2)l 1过点C(3，1)，D(－2，0)，l 2过点M(1，－4)且斜率为－5，则l 1________l 2.解析：(1)∵kl 1＝3－02＋1＝1，∴l 1∥l 2. (2)kl 1＝15，∴kl 1·kl 2＝－1，∴l 1⊥l 2. 答案：(1)∥ (2)⊥ 巩固提升8．直线l 1、l 2的斜率k 1、k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________．解析：由根与系数的关系可知k 1＋k 2＝32，k 1·k 2＝－b 2， 则当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－b 2＝－1，解得b ＝2； 当l 1∥l 2时，k 1＝k 2＝34， 解得b ＝－2k 1·k 2＝－98. 答案：2 －989．△ABC 的顶点A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC 为直角三角形，求m 的值．解析：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7；若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即－12·m －12－1＝－1，得m ＝3；若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，∴k AC ·k BC ＝－1，即m ＋1－3·m －12－1＝－1，得m ＝±2.综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2.10．已知四边形MNPQ 的顶点M(1，1)，N(3，－1)，P(4，0)，Q(2，2)，求证：四边形MNPQ 为矩形．证明：∵k MN ＝1＋11－3＝－1，k PQ ＝2－02－4＝－1，∴MN ∥PQ.又∵k MQ ＝2－12－1＝1，k NP ＝0＋14－3＝1，MQ ∥NP ，∴四边形MNPQ 为平行四边形．又∵k MN·k MQ＝－1，∴MN⊥MQ.∴四边形MNPQ为矩形．1．对垂直与平行关系的理解应注意，当两直线的斜率相等时，并不一定两直线平行，还要注意判断一下两直线是否重合．2．无论是判断两条直线平行还是垂直，都需注意对特殊情况的讨论，即注意分类讨论思想方法的运用．3．利用这两个关系判断三角形或四边形形状时首先根据各点坐标求出各边斜率，再根据斜率判断各边所在直线的位置关系，进而得知形状．在求斜率、求点的坐标等问题时经常用到这两类关系．。

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定【学习目标】熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．【自主学习】一、基础知识1.两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即：___________________________.2．两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.即_____________________________．二、辨析应用1．初步运用（1）已知点A(2,0)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率为_______．（2）若直线l1⊥l2的倾斜角分别为α，β，且l1⊥l2，则α与β的关系是________．（3）直线l1的倾斜角为60°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为________．（4）判断下列各对直线平行还是垂直：①经过两点（2,3），（-1,0）的直线l1，与经过点（1,0）且斜率为1的直线l2；②经过两点（3,1），（-2,0）的直线l3，与经过点（1,-4）且斜率为-5的直线l4；2．概念辨析（1）两条直线平行，则它们的斜率相等，对吗?反之成立吗？（2）两条直线互相垂直，则它们的斜率互为倒数，对吗？反之成立吗？（3）特殊情况下的两直线平行与垂直．当两条直线中有一条直线没有斜率时：①当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为_____，两直线位置关系是________.②当另一条直线的斜率为 0 时，一条直线的倾斜角为_____，另一条直线的倾斜角为_____，两直线的位置关系是__________.【典例精析】例1．已知A(5，-1)，B(1,1)，C(2,3)三点，试判断△ABC的形状．例2．已知定点A(-1 ,3), B (4, 2) ，以A, B 为直径的端点，作圆与x 轴有交点C ，求交点C 的坐标．例3．已知直线l1经过点A(2，a)，B(a-1，3)，直线l2经过点C(1,2)，D(-2，a+2)．（1）若l1∥l2，求a的值；（2）若l1⊥l2，求a的值．【当堂检测】1. 下列说法正确的是（）. A．若l1⊥l2，则k1·k2=-1；B．若直线l1∥l2，则两直线的斜率相等；C．若直线l1，l2的斜率均不存在，则l1⊥l2；D．若两直线的斜率不相等，则两直线不平行．2. 过点A( 1, 2) 和点B (-3 , 2) 的直线与直线y= 1 的位置关系是（）.A．相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对3．试确定m的值，使过点A(m，1)，B(-1，m)的直线与过点P(1，2)，Q(-5,0)的直线：①平行；②垂直．【总结提升】1．l1∥l2↔k1·k2或l1，l2的斜率都不存在且不重合. 2．l1⊥l2↔k1·k2=-1或k 1= 0 且l2的斜率不存在，或k 2= 0 且l1的斜率不存在．【巩固练习】基础训练（21）。