3.1.2两直线平行与垂直的判定

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定题型全归纳【归纳总结】判定两条直线是平行还是垂直要“三看”：一看斜率是否存在，若两直线的斜率都不存在，则两直线平行，若一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则两直线垂直；斜率都存在时，二看斜率是否相等或斜率乘积是否为－1；两直线斜率相等时，三看两直线是否重合，若不重合，则两直线平行．题型一 两直线平行例1：已知A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( )A ．1B ．0C ．0或2D ．0或1 变式1：7．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2∥l 1，且l 2过点A (－2，－1)和B (3，a )，则a 的值为________．题型二 两直线垂直例2：已知△ABC 的顶点坐标为A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，试求m 的值．变式1：已知△ABC 三个顶点坐标分别为A (－2，－4)，B (6,6)，C (0，6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．变式2：已知△ABC 的顶点B (2,1)，C (－6,3)，其垂心为H (－3,2)，则其顶点A 的坐标为________．变式3：直线l 过点A (0,1)和B (－2,3)，直线l 绕点A 顺时针旋转90°得直线l 1，那么l 1的斜率是_______；直线l 绕点B 逆时针旋转15°得直线l 2，则l 2的斜率是_______.变式4：已知两点A (2,0)、B (3,4)，直线l 过点B ，且交y 轴于点C (0，y )，O 是坐标原点，且O 、A 、B 、C 四点共圆，那么y 的值是( ) A ．19 B ．194C ．5D ．4题型三两直线平行、垂直综合应用例3：直线l1经过点A(m,1)，B(－3,4)，直线l2经过点C(1，m)，D(－1，m＋1)，当l1∥l2或l1⊥l2时，分别求实数m的值．变式1：直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝_________；若l1∥l2，则b＝_________.变式2：已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．3.1.2 两条直线平行与垂直的判定题型全归纳参考答案题型一 两直线平行 例1：D 变式1：4 题型二 两直线垂直例2：解 k AB ＝－1－15－1＝－12，k AC ＝－1－m 5－2＝－m ＋13，k BC ＝m －12－1＝m －1．若AB ⊥AC ，则有－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ＋13＝－1， 所以m ＝－7．若AB ⊥BC ，则有－12·(m －1)＝－1，所以m ＝3．若AC ⊥BC ，则有－m ＋13·(m －1)＝－1，所以m ＝±2．综上可知，所求m 的值为－7，±2,3．变式1：k AB ＝6－－6－－＝54， k BC ＝6－66－0＝0，k AC ＝6－－0－－＝5．由k BC ＝0知直线BC ∥x 轴，∴BC 边上的高线与x 轴垂直，其斜率不存在． 设AB 、AC 边上高线的斜率分别为k 1、k 2， 由k 1·k AB ＝－1，k 2·k AC ＝－1，即k 1·54＝－1，k 2·5＝－1，解得k 1＝－45，k 2＝－15．∴BC 边上的高所在直线斜率不存在；AB 边上的高所在直线斜率为－45；AC 边上的高所在直线斜率为－15．变式2：(－19，－62) 变式3：1，－33变式4： B题型三 两直线平行、垂直综合应用 例3：当l 1∥l 2时，由于直线l 2的斜率存在，则直线l 1的斜率也存在， 则k AB ＝k CD ，即4－1－3－m ＝m ＋1－m－1－1，解得m ＝3；当l 1⊥l 2时，由于直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，则k AB k CD ＝－1， 即4－1－3－m ·m ＋1－m －1－1＝－1，解得m ＝－92.综上，当l 1∥l 2时，m 的值为3；当l 1⊥l 2时，m 的值为－92.变式1： 2 －98变式2： (1)如下图，当∠A ＝∠D ＝90°时，∵四边形ABCD 为直角梯形， ∴AB ∥DC 且AD ⊥AB ． ∵k DC ＝0，∴m ＝2，n ＝－1. (2)如下图，当∠A ＝∠B ＝90°时， ∵四边形ABCD 为直角梯形，∴AD ∥BC ，且AB ⊥BC ，∴k AD ＝k BC ，k AB k BC ＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝2－－4－5，n ＋1m －5·2－－4－5＝－1，解得m ＝165，n ＝－85.综上所述，m ＝2，n ＝－1或m ＝165，n ＝－85.。

解 : k BA k PQ 30 2 (4) 2 1 1 ( 3) 1 2 1 2
B
Q P
O x y
A
k BA k PQ
BA ∥ PQ
例题讲解 例2、已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0， 0），B（2，-1），C（4，2），D（2，3），试 判断四边形ABCD的形状，并给出证明。
E、若直线l1 ⊥ l2，则它们的斜率之积为-1；
例题讲解
例3、已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3） Q（6，-6），判断直线AB与PQ的位置关系。
解 : k AB k PQ 63 3 (6) 63 60 2 3 3 2

k AB k PQ -1 BA PQ
解 : k AB 1 0 20 1 2
k BC
2 ( 1) 42 1
2
y

3 2
3 2
D C A
O
k CD
k DA
k AB k CD , k BC k DA AB ∥CD , BC ∥ DA 因此四边形 ABCD 是平行四边形 .
B
设两条直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2 （ α1、α2≠90°）.
例题讲解
例4、已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三 点，试判断△ABC的形状。
解 : k AB k BC 1 ( 1) 1 5 3 1 2 1 2
B
O
0

1 2
y
C
k AB k BC 1 AB BC 即 ABC 90 .
x
y
l2 l1
条件：都有斜率
α1

直线AB与PQ垂直.
例4. 已知A(5，-1)，B(1，1)，C(2，3)三点， 试判断△ABC的形状.
△ABC是直角三角形.
高中数学备课组
练习
1. 若三点A(5，1)，B(a，3)，C(- 4，2) 在同一条直线上，确定常数a的值.
a= -13.
高中数学备课组
2. 已知A(0，3)，B(－ 1，0)，C(3，0)，求D点 的坐标，使四边形ABCD为直角梯形 (A、B、C、 D按逆时针方向排列).
高中数学备课组
tan0 0
3 tan30 3 tan45 1

tan tan( 180 ) tan120 3

tan135 1
tan60 3
tan90 不存在；
3 tan150 3

当0 90 时， tan 0 k 0； 当90 180 时， tan 0 k 0.
y
18 9 D(3，3)或D ( , ). 5 5
A
.
O
D
D
B
.
.
C
x
高中数学备课组
作业
高中数学备课组
l1 l2 k1k2 1.
注意:上面的等价是两直线斜率存在．
特殊情况下的两直线垂直． 两条直线中有一条直线没有斜率, 另一条直线 的斜率为0 (或:一条直线的倾斜角为90°,另一条 直线的倾斜角为0°)两直线互相垂直.
高中数学备课组
例题示范
例3．已知A(-6，0)，B(3，6)，P(0，3) ， Q(6，－6)，判断直线AB与PQ的位置关系.
高中数学备课组
思考：l1⊥l2 时，k1与k2满足什么关系？.

k2=_______.
解：由斜率定义，直线l的斜率k=tan 30°= 3， 3
因为l1∥l，所以k1=k=
3 3
.
因为l2⊥l,所以k2·k=-1,
所以k 2
=
1 k
=

3.
答案： 3
3
3
16
例3 已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），Q（6， -6），试判断直线AB与PQ的位置关系.
C.0
D. 1
2
解：选A.l1,l2的斜率分别为2,-a,由l1∥l2，可知
a=-2.
12
思考3 设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2 ,
l1 ⊥ l2时，k1与k2满足什么关系？
提示：
如图，α2 =α1 + 90o，
tanα2
=
tan(α1
+ 90o
)=
-
1 tanα1
,
即k1k2 = -1.
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
1
平面内两条直线有哪些位置关系？ 平行或相交
2
为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度， 我们引入倾斜角的概念，进而又引入了直线的斜率.
y
.
O
x
能否通过斜率来 判断两条直线的
位置关系？
3
1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件. （重点）
2.会运用条件判断两直线是否平行或垂直. （难点）
反之，成立,可得
y l2
l1
α1 α2
O
x
l1 l2 k1k2 = 1.
13
思考4
设两条直线l1的斜率k1 = 0,l2的斜率不存在,
l1 ⊥ l2吗？