广东省广州市2014届高三调研测试数学文试题-Word版包含答案)

陕西省宝鸡市2014届高三教学质量检测（三）数学（文科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第15考题为三选一，其它题为必考题，考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字9笔或碳素笔书写，字体：工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上． 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.在复平面内，复数)32(i i +对应点位于（ ）A. 第一象限B.第二象限C. 第三象限D.第四象限2.若曲线ax x y +=3在坐标原点处的切线方程是02=-y x ，则实数=a （ ） A. 1 B. 1- C. 2 D.2-3.已知，x c x b a x lg ,,)21(2===，当2>x 时，c b a ,,的大小关系为（ ）A. c b a <<B.b c a << C. a b c <<D.b a c <<36、已知),,0(,2sin cos πααα∈-=-则=αtan （ ）A.1-B. 22-C. 22 D.1 5、已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则球的表面是（ ） A 、499π B 、3π C 、283π D 、289π6.已知函数，若要得到函数sin()6y x π=--的图像，只需学科网将函数)(x f y =图像上所有的点（ ） A.向左平移2π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度C. 向左平移32π个单位长度D.向右平移32π个单位长度7.已知Ω＝{（x ，y ）｜｜x ｜＋｜y ｜≤4}，A ＝{（x ，y ）｜x 2＋y 2≤8}，向区域Ω内随机投一点P ，则点P 落入到区域A 的概率为 （ ）A.88π- B. 44π- C. 8π D. 4π8、某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则有A 、a ＝4B 、a ＝5C 、a ＝6D 、a ＝79、已知平面向量→→b a ,的夹角为120，且1.-=→→b a ，则→→-b a 的最小值为（ ）13.6 B. 3 C. 2 D.110.已知R x ∈，符号][x 表示不超过x 的最大整数，若函数)0(][)(>-=x a xx x f 有且仅有2个零点，则a 的取值范围是 （ ）B.]32,21( B. ]32,21[C. 23(,]34D. 23[,]34第Ⅱ卷 （非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上（必做题11—14题，选做题15题）11.观察下列等式，..........6765636142927253972444+++=++=+= 照此规律，第4个等式可为 12、设函数,1()2,1xx a x f x x -+<⎧=⎨≥⎩的最小值为2，则实数a 的取值范围是＿＿＿13、已知变量x ，y 满足条件10290x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则x ＋y 的最大值是＿＿＿14、过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作一条斜率为k 的直线与圆x 2＋y 2＝34，则k 的取值范围是＿＿＿＿ 15．选做题（请在下列3道题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分） A(不等式选讲)若实y x ,数满足,62322≤+y x 则y x +2的最大值为_____________ B(参数方程和坐标系选讲)在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin ρθ＝－2的距离为_____________C(几何证明选讲)如图,，以直角ABC 的直角边AC 为直径作圆O ，交斜边AB 于点D ，过点D 作圆O 的切线，交BC 于点E ，则BEBC＝__________三 解答题：(本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.)（1）(本小题满分12分）已知向量)2cos ),6cos(4(),1,(sin x x n x m ωπωω-==→→，其中→→=n m x f .)()0(>ω，函数最小正周期为R x ∈,π。

2014届安徽省示范高中高三第一次联考 文科数学一、选择题（50分）（1）集合A ＝{x|x2－2x ≤0}，B ＝{x|lg （x －1）≤0}，则A ∩B ＝A 、{x|1≤x ≤2}B 、{x|1＜x ≤2}C 、{x|－1＜x ＜0}D 、{x|x ≤2}（2）已知函数，则f （f （0））的值为A 、－1B 、0C 、1D 、2（3）在平面直角坐标系中，A 1），B 点是以原点O 为圆心的单位圆上的动点，若则||OA OB 的最大值是 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 （3）集合则集合S 的个数为A 、0B 、2C 、4D 、8 （4）若，且，则（5）已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x2＋y2＝－2y ＋3，直线l 的方程为ax ＋y －1＝0，则直线l 与圆C 的位置关系是A 、相离B 、相交C 、相切D 、相切或相交（6）函数f （x ）的图象如图所示，若函数y ＝f （x ）－c 与x 轴有两个不同的交点，则c 的取值范围是 A 、（－2，－0.5） B 、［－2，－0.5） C 、（1.1，1.8） D 、［－2，－0.5）U （1.1，1.8） （7）n S 为等差数列{n a }的前n 项和，正项等比数列{n b }中，则A 、8B 、9C 、10D 、11（8）已知函数的部分图象如图所示，则f （0）＝A 、1BC 、2D 、（9）给出下列五个命题：①净A ，B ，C 三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的A 个体为9个，则样本容易为30；②一组数据1、2、3、4、5的平均数、众数、中位数相同；③甲组数据的方差为5，乙组数据为5、6、9、10、5，那么这两组数据中较稳定的是甲；④已知具有线性相关关系的两个变量满足的回归直线方程为y=1－2x。

则x每增加1个单位，y平均减少2个单位；⑤统计的10个样本数据为则样本数据落在内的频率为0.4其中真命题为（10）已知函数是R上的减函数，则a的取值范围是二、填空题（25分）（11）执行如图所示的程序框图，若判断框内填的条件是i≤2014，则输出的结果S是＿＿＿＿（12）已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为＿＿＿＿（13）已知x，y满足条件的最大值为＿＿＿＿（14）在三棱锥P－ABC中，任取两条棱，则这两条棱异面的概率是＿＿＿＿（15）如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知平面ABC）是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，有下列命题：①平面'A FG⊥平面ABC；②BC∥平面'A DE；③三棱锥'A－DEF的体积最大值为3164a；④动点'A在平面ABC上的射影在线段AF上；⑤直线DF与直线'A E可能共面。

江西省九所重点中学2014届高三下学期3月联合考试数学文试题（word版）注意事项：1、本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间为120分钟．2、本试卷分试题卷和答题卷，第1卷(选择题)的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第1卷的无效．第I卷(选择题共5 0分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数z=÷等(f为虚数单位)的共轭复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设a，b∈R，则“a>b”是“(a一b)b2>0”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．月底，某商场想通过抽取发票的10％来估计该月的销售总额。

先将该月的全部销售发票存根进行了编号：1，2，3，…，然后拟采用系统抽样的方法获取一个样本．若从编号为1,2，…，10的前10张发票存根中随机抽取一张，然后再按系统抽样的方法依编号顺序逐次产生第二张、第三张、第四张、…，则抽样中产生的第二张已编号的发票存根，其编号不可能是A．19 B．17 C．23 O．134．如图给出的计算的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是6．已知数列{},n n n a 若点{n,a }(n N*)在直线y-2=k(x-5)上,则数列{a }的前9项和S 9等于 A ．16 B ．18C ．20D ．227．某几何体的三视图如图所示，当xy 最大时， 该几何体的体积为A ．B ．C ．D ．9．如图，抛物线y 2=2px （p>0）的焦点为F ，斜率k=l 的直线l 过焦点F ，与抛物线交于A 、B 两点，若抛物线的准线与x 轴交点为N ，则ta n ∠ANF=第II 卷（非选择题，共1 00分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知集合，则实数a 的取值范围是 . 12．已知角缈的终边经过点P （3，-4），函数f （x ）=sin （ωx+ϕ）（ω>0）的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于3π，则()12f π的值为 .13．已知圆O ：x 2+y 2=l ，由直线l ：x+y+k=0上一点P 作圆0的两条切线，切点为A ，B ，若在直线，上至少存在一点P ，使∠APB=60°，则k 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足sin sin sin sin b a B Cc B A--=-，关于x 的不等式x 2cosC+4xsinC+6≥0对任意的x ∈R 恒成立． （1）求角A 的值；（2）求f(C ）=2sinC ·cosB 的值域．17．（本小题满分12分）生活富裕了，农民也健身啦，一天，一农民夫妇带着小孩共3人在新农村健身房玩传球游戏，持球者将球等可能的传给其他2人，若球首先从父亲传出，经过4次传球．（1）求球恰好回到父亲手中的概率；（2）求小孩获球（获得他人传来的球）的次数为2次的概率．18．（本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30。

试卷类型：A2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）2012.3本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数y =A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．[)1,-+∞D ．()1,-+∞2．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为A ．2-B ．1-C ．0D ．23．如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的最小正周期为2π，则ω的值为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．84．在△ABC 中，60ABC ∠=，2AB =，3BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为 A ．16 B ．13 C ．12 D ．235．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积．．．为A．3B．C ．8 D ．126．在平面直角坐标系中，若不等式组20,20,x y x y x t +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤表示的平面区域的面积为4，则实数t 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4 7．已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增，则实数m 的值为A ．3B ．2C ．2或3D ．2-或3-8．已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =， ()0,2b =，则⨯a b 的值为A ．8-B ．6-C ．6D ．89．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知圆O ：222x y r +=，点()P a b ，（0ab ≠）是圆O 内一点，过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为1l ，直线2l 的方程为20ax by r ++=，那么A ．12l l ∥，且2l 与圆O 相离B ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相切C ．12l l ∥，且2l 与圆O 相交D ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相离二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．若函数()()2ln 1f x x ax =++是偶函数，则实数a 的值为 ．12．已知集合{}13A x x =≤≤，{}3B x a x a =+≤≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为 ．13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，…，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦AB 的中点， 3OP =cm ，弦CD 过点P ，且13CP CD =，则CD 的长为 cm ．15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：1,1x s y s =+⎧⎨=-⎩（s 为参数）和C ：22,x t y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数）， 若l 与C 相交于A 、B 两点，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 2α的值． 17．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考 试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图4的频率分布直方图．（1）求图中实数a 的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级 期中考试数学成绩不低于60分的人数； （3）若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学 生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．18．（本小题满分14分）如图5所示，在三棱锥ABC P -中，AB BC ==平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，5 121 22 图2 P图4图31AD =，3CD =，2=PD ．（1）求三棱锥ABC P -的体积； （2）证明△PBC 为直角三角形．19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S =，且2a ，7a ，22a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368n T <≤．20．（本小题满分14分）已知函数32()f x x ax b =-++(),a b ∈R ． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若对任意[]3,4a ∈，函数()f x 在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围． 21．（本小题满分14分）已知椭圆2214y x +=的左、右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，的双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ． （1）求曲线C 的方程；（2）设点P 、T 的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；（3）设TA B ∆与POB ∆（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且PA PB uu r uu rg ≤15，求2212S S -的取值范围．2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．11．0 12．[]0,1 13．35，10 14．15三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：9f π⎛⎫ ⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………1分tantan 341tan tan34ππ+=ππ-…………………………………………………………………………3分 2==-……………4分（2）解法1：因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………………………………5分 ()tan α=+π………………………………………………………………6分tan 2α==．………………………………………………………………7分所以sin 2cos αα=，即sin 2cos αα=． ① 因为22sin cos 1αα+=， ② 由①、②解得21co s 5α=．………………………………………………………………………………9分所以2c oαα=-………………………………………………………………………………11分132155=⨯-=-．………………………………………………………………………12分解法2：因为3t a n 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………………………………5分 ()tan α=+π………………………………………………………………6分tan 2α==．………………………………………………………………7分所以22cos 2cos sin ααα=-……………………………………………………………………………9分2222cos sin cos sin αααα-=+…………………………………………………………………………10分221tan 1tan αα-=+………………………………………………………………………………11分143145-==-+．……………………………………………………………………………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以1⨯+0a ++．………………………………………………1分 解得0.03a =．……………………………………………………………………………………………2分（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为110(0.0050.01)-⨯+0.85=．…………3分由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.⨯=人． …………………………………………………………………5分（3）解：成绩在[)40,50分数段内的人数为400.052⨯=人，分别记为A ，B ．……………………6分成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人，分别记为C ，D ，E ，F ．…………………7分若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共15种．…………………………………………9分如果两名学生的数学成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)40,50分数段内，另一个成绩在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10． 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有：(),A B ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共7种．……………………所以所求概率为()715P M =．…………………………………………………………………………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………2分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，因为AB BC =， 所以AC BE ⊥．因为AB BC ==4=AC ， 所以2B E =-…4分所以△ABC的面积12ABC S AC BE ∆=⨯⨯=5分 因为2=PD ，所以三棱锥ABC P -的体积13P A BC A B CV SD -∆=⨯⨯1422233=⨯=．……………………7分 （2）证法1：因为PD ⊥AC ，所以△PCD 为直角三角形．因为2PD=，3CD =，所以PC =9分连接BD，在Rt △BDE 中，因为90BED ∠=o，BE ，1DE =，所以BD ===10分由（1）知PD ⊥平面ABC ，又BD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥BD ．在Rt△PBD 中，因为90PDB ∠=o，2PD =，BD =， 所以2P B =+．……………………………………………………BPACDE在PBC ∆中，因为BC =PB =PC =所以2BC+=．………………………………………………………………………………13分所以P ∆为直角三角形．……………………………………………………………………………14分证法2：连接BD ，在Rt △BDE 中，因为90BED ∠=o，BE ，1DE =，所以BD ===8分在△BCD 中，3CD =，BC ，BD =，所以222BC BD CD +=，所以BC BD ⊥．………………10分 由（1）知PD ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ， 所以BC PD ⊥． 因为BD PD D = ，所以BC ⊥平面PBD ．…………………………………………………………………………………12分 因为PB ⊂平面PBD ，所以BC PB ⊥．所以P ∆为直角三角形．……………………………………………………………………………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） （1）解：因为数列{}n a 是等差数列，所以()11n a a n =+-，()112n n n S na d -=+．……………………………………………………1分 依题意，有52722270,.S a a a =⎧⎪⎨=⎪⎩即()()()1211151070,621.a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩………………………………………3分 解得16a =，BPACDE4d =．……………………………………………………………………………………5分所以数列{}n a 的通项公式为42n a n =+（*n ∈N ）．…………………………………………………6分 （2）证明：由（1）可得224n S n n =+．……………………………………………………………………7分所以()21124n S n ==++142n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭．…………………………………………………8分所以123111111n n nT S S S S S -=+++++L1111111111111114342443541142n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………9分 111114212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭31118412n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭．………………………………………………………………………10分因为311108412n T n n ⎛⎫-=-+< ⎪++⎝⎭，所以38n T <．………………………………………………11分 因为11110413n n T T n n +⎛⎫-=->⎪++⎝⎭，所以数列{}n T 是递增数列．………………………………12分所以116n T T ≥=．………………………………………………………………………………………13分 所以1368n T ≤<．…………………………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：因为32()f x x ax b=-++，所以22()3233a f x x ax x x ⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭．……………………1分当a =时，()f x '≤，函数()f x 没有单调递增区间；……………………………………………2分当0a >时，令()0f x '>，得203ax <<． 故()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭；…………………………………………………………………3分 当0a <时，令()0f x '>，得203ax <<． 故()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．…………………………………………………………………4分 综上所述，当0a =时，函数()f x 没有单调递增区间；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当a <时，函数()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭．……………………………………5分（2）解：，由（1）知，[]3,4a ∈时，()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间为(),0-∞和2,3a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭． …………………………………6分所以函数()f x 在x =处取得极小值()0f b =，……………………………………………………7分函数()f x 在23ax =处取得极大值324327a a fb ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．………………………………………………8分 由于对任意[]3,4a ∈，函数()f x 在R 上都有三个零点，所以()00,20.3f a f <⎧⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩即30,40.27b ab <⎧⎪⎨+>⎪⎩……………………………………………………………………10分 解得34027a b -<<．……………………………………………………………………………………11分因为对任意[]3,4a ∈，3427a b >-恒成立，所以33max44342727a b ⎛⎫⨯>-=-=- ⎪⎝⎭．………………13分 所以实数b的取值范围是()4,0-．……………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．…………………………………………………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >，=，即2b =．所以双曲线C的方程为2214y x -=．……………………………………………………………………3分（2）证法1：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线AP 的斜率为k （0k >），则直线AP 的方程为(1)y k x =+，………………………………………………………………………4分联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩………………………………………………………………………………5分 整理，得()22224240k x k x k +++-=，解得1x =-或2244k x k -=+．所以22244k x k -=+．…………………………………………………………6分同理可得，21244k x k+=-．…………………………………………………………………………………7分 所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =）， 则111AP y k x =+，221AT y k x =+．…………………………………………………………………………4分 因为A Pk k =，所以121211y yx x =++，即()()2212221211y y x x =++．……………………………………5分因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以221114y x -=，222214y x +=． 即()221141y x =-，()222241y x =-．…………………………………………………………………6分所以()()()()22122212414111x x x x --=++，即12121111x x x x --=++．……………………………………………………7分 所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分证法3：设点11(,)P x y ，直线AP 的方程为11(1)1y y x x =++，………………………………………4分 联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩…………………………………………………………………………5分 整理，得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦， 解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++．…………………………………………………………………6分将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++，得11x x =，即211x x =． 所以121x x ⋅=． (8)分（3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则()111,PA x y =--- ，()111,PB x y =--．因为15PA PB ⋅≤ ，所以()()21111115x x y ---+≤，即221116x y +≤．…………………………9分因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤． 因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．…………………………………………10分因为1221||||||2S AB y y ==，21111||||||22S OB y y ==， 所以()()2212144S S -=．……………………………11分由（2）知，121x x ⋅=，即211x x =． 设21t x =，则14t <≤，221245S S t t-=--． 设()45t t f t =--，则()()()222241t t f t t t -+'=-+=， 当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<， 所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减． 因为()21f =，()()140f f ==， 所以当4t =，即12x =时，()()2212min40SS f -==．……………………………………………12分当2t =，即1x 时，()()2212max21SS f -==．………………………………………………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1．……………………………………………………………………14分说明：由()222212121254541S S x x x x -=-+≤-=，得()2212max1S S -=，给1分．。