1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2单调性等)

2 T
二、奇偶性
y
o
x
正弦函数是奇函数, 余弦函数是偶函数.
三、最大值与最小值
y
o
x
正弦函数当且仅当x 2k 且仅当x 2k

2
, k Z时取得最大值1, 当

2 余弦函数当且仅当x 2k , k Z时取得最大值1,当且仅 当x 2k , k Z时取得最小值 1.
解：（1）∵
3cos( x 2 ) 3cos x
∴自变量x只要并且至少要增加到x+2
y 3cos x, x R 的值才能重复出现.
，函数
所以，函数 y 3cos x, x R 的周期是 2
(2) sin(2 x 2 ) sin 2( x ) sin 2 x
§ 1.4.2 正弦函数、 余弦函数的性质 (一)
引入
y
o
ห้องสมุดไป่ตู้
x
周期函数: 对于函数f(x),若存在一个非零常数 ,使 T
得当x取定义域内的每一个值 都有 时, f ( x T ) f ( x)
称之, 非零常数T叫做这个函数的周期.
新课
若在周期函数 的所有周期中存 f(x) 在一个最小的正数, 则这个最小正数就 叫做f(x)的最小正周期.
, k Z时取得最小值 1;
例2、求下列函数的最 及取得最值时自 值, 变量x的集合:
(1) y cos x 1, x R; ( 2) y 3 sin 2 x, x R;
小结
1. 周期函数的定义，周期，最小正周期
2. 三角函数的奇、偶性
3. 三角函数的单调性；
作业
一、 周期性 正弦函数是周期函数2k( k Z , k 0)都 ,

x
0
2
4
1、正弦函数的图像变化有没有周期性？ 2、如果有，图像是以多少距离为最小间隔反复出现的？
我们说正弦函数为周期函数，2是它 的周期。
返回
数的角度
-2
y 0X
y=sinx(x∈R)
2 x
X+2π
x
x+2
4
对于正弦函数上的每一个自变量每增加2,函数值就 重复出现。
sin(2+x)=sinx，那么正弦函数 y=sinx是周期函数， 2是正弦函数 的周期。
1.4.2正弦函数、余弦函数 的性质
我们已经学习了函数的哪些性质？
定义域、值域、单调性、奇偶性
现象1
现象2
同学们可以再举出一些例子吗？
像以上这样“周而复始、重复出现” 的变化规律称之为周期性。
下一页
海水在月球和太阳引力的作用下，会发生潮涨潮 落重复现象。 返回
返 回
形的角度
y
-2
y=sinx(x∈R)
x (1) y sin(3x), x R;(2) y cos ; 3 (3) y 3sin(2 x ); 10
3、分别判断f ( x) sin x 是否周期函数，如果是, 它们的周期是多少？
思考：如果T(T≠0)是f(x) 的周期，那么2T 是f(x) 的周期吗？3T 呢？-T，-2T呢？ nT(n∈Ｚ，n ≠0)是f(x) 的周期吗？
T
2

( 0)
(其中A，，为常数，且A 0， 0) 4)f ( x) A cos( x ), x R
T
2

(其中A，，为常数，且A 0， 0)
5) f ( x) sin(2 x), x R

正弦函数余弦函数的性质（单调性）正弦函数和余弦函数是高中数学中常见的三角函数，它们具有许多重要的性质。

单调性是它们非常重要的性质之一。

在本文中，我们将详细讨论正弦函数和余弦函数的单调性，希望能帮助读者更好地理解和掌握这两个函数的特性。

让我们来回顾一下正弦函数和余弦函数的定义。

正弦函数记作sin(x)，它表示的是单位圆上一个点的纵坐标，即sin(x) = y。

余弦函数记作cos(x)，它表示的是单位圆上一个点的横坐标，即cos(x) = x。

正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集合R，值域是[-1, 1]。

接下来，我们将分别讨论正弦函数和余弦函数的单调性。

首先讨论正弦函数的单调性。

在定义域内，正弦函数的单调性与其自变量的取值有关。

我们知道，在单位圆上，正弦函数表示的是一个点的纵坐标，而单位圆的纵坐标是在[-1, 1]之间变化的。

我们可以得出结论：正弦函数的单调性是周期性的。

具体地说，正弦函数在每个周期内都是先增后减或先减后增的。

这是因为在单位圆上，随着自变量从0增加到π/2，正弦函数的取值是逐渐增大的；而当自变量从π/2增加到π时，正弦函数的取值则逐渐减小；接着在从π增加到3π/2的过程中又是逐渐增大的；最后在从3π/2增加到2π时，又是逐渐减小的。

我们可以得出结论：正弦函数在每个周期内都是先增后减或先减后增的，是一个周期函数。

总结一下，正弦函数和余弦函数的单调性都是周期性的。

在每个周期内，正弦函数都是先增后减或者先减后增的；而余弦函数则是先减后增或者先增后减的。

这些性质使得正弦函数和余弦函数在数学建模、物理学、工程等领域中有着广泛的应用。

掌握正弦函数和余弦函数的单调性是非常重要的。

希望本文的讨论能够帮助读者更好地理解和掌握这些函数的性质，为进一步的学习和研究打下良好的基础。

________ T＝2π
函数名称 图象与性质 性质分类 图象 奇偶性 _________ 奇函数 _________ 偶函数 y＝sinx y＝cosx
不同处
函数名 称 图象与性质 性质分类 在 不同 处 y＝sinx y＝cosx
单调性
π π [2kπ－π，2kπ](k∈Z) 上 2kπ－ ，2kπ＋ (k∈Z) 在 ____________________ 2 2 ________________________ 递增； 上递增； 在 在 π 3 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 2kπ＋ ，2kπ＋ π(k∈Z) ________________________ 2 2 ________________________ 上递减 上递减
π π π 【解】 (1)由 2kπ－2≤x＋3≤2kπ＋2(k∈Z)， 5 π 得 2kπ－6π≤x≤2kπ＋6(k∈Z)． π π 3 由 2kπ＋2≤x＋3≤2kπ＋2π(k∈Z)， π 7 得 2kπ＋6≤x≤2kπ＋6π(k∈Z)． ∴函数
π y＝2sinx＋3的单调增区间为
(2)可化为 y＝Asin2x＋Bsinx＋C 或 y＝Acos2x＋Bcosx＋C(A≠0) 的最大、最小值可利用二次函数在区间[－1,1]上的最大、最小值 的求法来求(换元法)． Asinx＋B Acosx＋B 2 (3)形如 y＝ 或 y＝ (A ＋C2≠0)的最大值最 Csinx＋D Ccosx＋D 小值可解出 sinx 或 cosx 后利用其有界性来求．
2．比较三角函数值大小的方法 先利用诱导公式把要比较的三角函数值转化为同一单调区间 上的同名三角函数值，再利用三角函数的单调性比较大小． 3．求三角函数值域或最值的常用方法 (1)可化为单一函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋k 的最大值为|A|＋k， 最小值为－|A|＋k(其中 A、 ω、 k 为常数， A≠0， ω≠0)．