数值分析-第五版-考试总结
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第一章：数值分析与科学计算引论 截断误差：近似 解与精确解之间的误差。 近似值的误差：（.为准确值）： e*-x*-x
近似值的误差限一： 1疋 近似值相对误差（较小时约等）
近似值相对误差限 ： 函数值的误差限 : 苗⑺“ Ifool叱） 近似值；一士心:化叙…®）"八■有n位有效数字:
第二章：插值法 P(对J =0.1/*%?] Oo + %呵+…+偽！曙=九 % +如股+…+ %!珥=Y1
% +舸斗1 +…+ %坊=儿 2•拉格朗日插值
(x- xk)6Jn+1(xk) .次插值基函数: (X- x0)-(x-xfc-i)(x-曲十 1)…a — XJJ)
(Xk - X0)-(Xk - Xk_i) (xk - xk¥1)-(xk
- X„)
1•多项式插值 其中: P(x) = a()+ OjX + …+ an^
I
>k— O.L—.n
= _xl(r-n+l 引入记号: ^n+l(X)={X-Xo)(A?-粗)…(#- Xj 余项：
=f(x} - SG)=:;:;詁+W > 5 e 3：
3•牛顿插值多项式： ^nW = /（^0）+f必珀（"叼）+・” +/■［和巧严如（龙-坯”心-*_』 〔阶均差（把中间去掉，分别填在左边和右边） ： 店”“皿］丿杯Fmr gd
余项:
4•牛顿前插公式（令心'小，计算点值，不是多项式）： PQ +th）=/o +帧 + 忖A讥 + - + 心1）：：*%°
〔阶差分： AVo = An"7i - 余项：
严（和E3J
5•泰勒插值多项式:
•阶重节点的均差: 6.埃尔米特三次插值： p（x） -f（^XQ）十打和尤』仗—如+f 1叼公1也］（JC-衍）（工一 Xi） +人（尤-叼）（黑-衍）o— x2）
其中，A的标定为： 咋沪f （社） 7.分段线性插值:
第三章：函数逼近与快速傅里叶变换
pn(x) = 7(XQ) + f(xQ)(x -和)+
“•+警(U
血屯“匈 1.-:-属于’.维空间： 5(玄)=。评] J=o
2•范数： max |zj and max |/(x)| ||x||x =
Iklli = y IxJ and f |/(x)| dx Iklb = and((严(町必卡
4•最佳逼近的分类（范数的不同、是否离散） ||/(x) -P(x)||n = min |[/(x) -P(x)|| ||f00 —严⑷监=mm llAx) -PaUI；
最小二乘拟合（离散点） |『一卩||；=卿||广一尸||；
5•正交多项式递推关系： 41+1 （划二（戈一叫1）%（巧一傀叫T（刃 ^oW =0 _ （jQjpnW^w） _ （跖（班％an % _ （＜PnW^n（^）） 瓠 一 （＜jpn-i（x）.^-i（x））
6•勒让德多项式： 正交性：
3•带权内积和带权正交: = I p(x) fWg{x)dx = 0
奇偶性:
Kifl
最优一致 I-范数）逼近多项式 F 亡 a. ......
一-范数）逼近多项式 最佳平方（ pfl(-^)=(-irpnw 递推关系： (n+l)Pn+1(x) = (2n + l)^Pn(x) -nPn^(x} 7 .切比雪夫多项式：
递推关系： ^*+1(^) = 2XTB(X) — Tfl-iOO 正交性： 0 f m# 门
n —d m- JI 工 0
nf m= n = 0
■' 1在I J "、I上有〔个零点： 2k -1 x> = cos ------ n,k = lt*^t7i
7n
在 i■■- M上有 暑；i个零点：(最优一致逼近) b -a 2k+ 1 b-^a xk = ——cos——— 疋— ^ = 0.1/-^
2 2(n+1) 2
首项 的系数： _ 8•最佳平方逼近： ||/(x) - r(Jt)||| =出雲 Ilf匕)-s(x)\\j =詰憾J p(x)[/(x) -S(x)]2di 法方程： n
工(必冋)丐=⑺必)
正交函数族的最佳平方逼近： % 一(敕•吸) 9•最小二乘法： m ll<5H^ = smm J^)[S(xf)-ytl2
法方程：
1 &（氾%
Jcg
-1 VI —-0 J D fl 工(徵华j)dj = (f咄
正交多项式的最小二乘拟合 ： 第四章 数值积分与数值微分
1•求积公式具有^次代数精度 求积公式（多项式与函数值乘积的和），对于次数不超过 不成立 6 n \ f （均必二》山
Ja Sc=O
2•插值型求积公式 $ T* b t+ kWdx = y f = y Ag订
2 k^Ja 自
/?n（x）dr = J M + 1）, a卄i（約旳 3. 求积公式代数精度为 〔时的余项 町T"（艸-£血餡沪而 4•牛顿-柯特斯公式：将卜匚匸划分为〔等份构造出 插值型求积公式 n 人（切
" = 1 5•梯形公式：当n=1时， -
T= 乎［加）+兀圳焉｛刀二-导（b-好f輛 /2） = £ /訂=±*2） = ?
6•辛普森公式：当 n=2时， 7 ? 7
7•复合求积公式： 一一 ' ' Z 复合梯形公式： n-1 Tn = 5 /(a)+/(/>)凡(fl =- »r=l
复合辛普森公式:
［的多项式成立， /?Lfl= f 1/⑴一 =
J s
+4/ b — a b — a 』八、 曲/）亠贡（丁）竹帧 + 8•高斯求积公式（求待定参数 和）： （1）求高斯点（ ）：令---. : 一 与任何次数不超过〔的多项式. 带权
正交，即则由［■，个方程求出高斯点：＜ O （2）求待定参数•「匸:縄为〔小心：一》：：.丿汀匕J,「 也为次数不超过1的多项式。 9•高斯-勒让德求积公式：取权函数为 心「'•的勒让德多项式「-一 的零点即为求积公式的高斯点。 2k+l
10.高斯-切比雪夫求积公式：取权函数为 「的切比雪夫多项式的零点 •二即为求积
公式的高斯点。
第五章解线性方程组的直接方法 1•矩阵的从属范数： n IMIloo =段蕊》|為j|G亍元素绝^值之和中最大的｝
J=1 n IHlk =搜嗥》如 例元素绝对值之和中最大的）
'r^1
2•条件数：
con4[A)2 = 第?当 A = A7!寸xond(A)2 = 第六章解线性方程组的迭代法 1•迭代法： Ax = b
(M-If)x = b r = M-1to+JP1b 加)=Bx^ + f
】im x--
二#皿+4》f（如刀+2
*=0
門-二
工f偸）+门町凤（f） s：=i 2•迭代法收敛：… 存在。 3•迭代法收敛的充分必要条件： ,谱半径 i点」」 , jlnlO 4•渐进收敛速度:亠，「二―二门乳：迭代次数估计： -
5•雅可比迭代法： Ax = b D-N
(D -N)x = b x = DlNxiD-xb 卅十对=+ f
6•高斯-塞德尔迭代法： Ax = b A = (D-L)-U = M-U (M -U)x = b r = flf1l/jr+M-1b
尹十 i) =
G* + f
7•严格对角占优矩阵：此矩阵为非奇异矩阵，其雅可比迭代法与高斯 -塞德尔迭代法均收敛。 1如＞》|呦|
8•弱对角占优矩阵：若此矩阵也为 不可约矩阵，则其雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法均收敛。 laj >2^|0(；| 7=1
其中，可约矩阵：n阶矩阵A有如下型式，否则为不可约矩阵。
9•超松弛迭代法：为高斯-塞德尔迭代法的一种修正。 Ax = b
(M-N)x = b 瓦=M lN = {D- a)tr^(U + D) = (D -讥厂- a))D + a)U) f = M~1b = ^D-1 — G)
M = C-D - I)JV = (-P 4-I/-D)
