3.3.1 两条直线的交点坐标

3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标一、教学目标1. 知识与技能会求利用二元一次方程组的解的情况来判断直线和直线是否相交，并能熟练地求出交点.2. 过程和方法1）经历两直线交点坐标的求法，会初步判断两直线位置关系：相交或平行.2）学会用代数方程的解来研究平面中两条直线的位置关系.3. 情感、态度和价值观感受用代数方法研究几何问题的方便,增强学习解析几何学的信心.二、教学重点，难点重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。

难点：两直线相交与二元一次方程的关系。

三、教学方法启发引导式四、教学教具多媒体投影仪五、教学过程（一）创设情境，导入新课用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。

设问1：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？（二）师生互动，探究新知思考：已知两直线l1：A1x+B1y +C1=0, l2：A2x+B2y+C2=0，如何判断这两条直线的关系？教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。

设问2：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？ 学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？（1） 若二元一次方程组有唯一解，l 1与l 2 相交。

（2） 若二元一次方程组无解，则l 1与l 2平行。

（3） 若二元一次方程组有无数解，则l 1 与l 2重合。

课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？ （三）概念辨析，巩固提高 例1：求下列两直线交点坐标l 1 ：3x +4y -2=0l 2 ：2x +y +2=0解：解方程组 ⎩⎨⎧=++=-+0220243y x y x得 x=-2，y=2所以，l 1与l 2 的交点坐标为M （-2，2），例2 判断下列各对直线的位置关系。

顺德区容山中学__高二__年级__数学_学科活力课堂导学案课题 §3.3.1两条直线的交点坐标 §3.3.2 两点间的距离 设计者：__杨时香 黄宗勤_审核者：__叶建华 _日期：___10月24日____ 学习目标：1.会求二元一次方程组的解；2.掌握判断两条直线相交的方法，会通过解方程组求两条直线的交点坐标；3.了解过两条直线交点的直线系方程的问题；4.理解平面内两点间距离公式的推导过程；5.掌握两点间距离公式及其简单应用。

学习重点：求两条直线的交点坐标及掌握两点间距离公式应用学习难点：过两条直线交点的直线系方程第一部分：个体自学（预习教材P 102~ P 106，找出疑惑之处）问题：1.如何用代数方法求方程组的解?2.如何利用方程判断两直线的位置关系？3.若两条直线相交，如何求直线的交点坐标？4. 设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的任意两个点，则AB =第二部分：合作探究探究一：直线上的点与其方程0=++C By Ax 的解有什么样的关系？那如果两直线相交于一点A(a ,b )，这一点与两直线0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 有何关系？ 看下表，并填空。

几何元素及关系 代数表示点A A （a ，b ）直线LL ：Ax+By+C=0 点A 在直线上直线L 1与 L 2的交点A 探究二：如何利用方程判断两直线的位置关系？两直线是否有公共点，要看它们的方程是否有公共解。

因此，只要将两条直线1l 和2l 的方程联立，得方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 1．若方程组无解，则1l 与2l2.若方程组有且只有一个解，则1l 与2l3.若方程组有无数解，则1l 与2l探究三：当λ变化时，方程0)22(243=+++-+y x y x λ表示什么图形？图形有什么特点？结论：经过直线0:1111=++C y B x A l 和0:2222=++C y B x A l 的交点的直线可表示为： 0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ探究四：在平面直角坐标系中，任意两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离是多少?两点间的距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的任意两个点，则AB =第三部分：展示分享例1：求下列两条直线的交点坐标: 1l ：3x+4y-2=02l :2x+y+2=0例2：判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.（1）1l ：0243=-+y x 022:2=++y x l（2）043:1=+-y x l 026:2=-y x l（3）0543:1=-+y x l 01086:2=-+y x l例3：求经过点（2，3）且经过两直线1:340,l x y +-=2:5260l x y ++=的交点的直线方程。

b 2

O C (0,0)
A(a,0x)
BM MA MC


a
2


b
2
2 2
21
x y 1(a 0,b 0) ab
当垂直于坐标轴和 经过原点时不适用
Ax By C 0 (其中A、B不同时为0)
当直线与y轴垂直时 x x0 0 或 x x0
当直线与x轴垂直时 y y0 0 或 y y0
2
两直线的交点 1.讨论下列二元一次方程组解的情况:
y1 P1(x1,y1)
P2(x2, y2)
| P2Q || y2 y1 |
Q(x2,y1)
O x1
x2
x
| P1Q || x2 x1 |
17
两点间距离公式
一般地，已知平面上两点P1(x1， y)1 和P2(x2，y2)，利 用上述方法求点P1和P2的距离为
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y 1)2
( A1x B1 y C1) ( A2x B2 y C2 ) 0
为待定系数
此直线系方程少一条直线l2
10
例3: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点，且满足下列条件 的直线l的方程。
(1)过点(2,1)；(2)和直线3x-4y+5=0垂直; (3)和直线2x-y+6=0平行
1xx

y y
1 1

0 0
一组解

x0 y 1
2 xx
y y
1 0 1 0
3xx

y y
1 1

利用求交点坐标的方法，能否判断两条 直线的位置关系？
将两条直线的方程联立 A1 x B1 y C1 0
A2 x B2 y C2 0
方程组有唯一解 方程组无解 方程组有无数解
两条直线相交
两条直线平行
两条直线重合
例1：判断下列直线的位置关系。 如果相交，求出交点的坐标
两点间距离公式
y
y2
P2(x2, y2)
| P2Q || y2 y1 |
y1 P1(x1,y1) x1 Q(x2,y1) x2
O
x
| PQ 1 || x2 x1 |
两点间距离公式
y
| PQ 1 || x2 x1 |
P2(x2,y2)
| P2Q || y2 y1 |
P1(x1,y1) O
x=3 x+2y－1=0， 得 y= －1 2x－y－7=0 ∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）
又∵直线x+2y－5=0的斜率是－1/3 ∴所求直线的斜率是3 所求直线方程为y+1=3（x－3）即 3x－y－10=0
解法二：所求直线在直线系2x－y－7+λ（x+2y－1）=0中 经整理，可得（2+λ）x+（2λ－1）y－λ－7=0 2+λ ∴ － ———— =3 解得 λ= 1/7 2λ－1 因此，所求直线方程为3x－y－10=0
3x 4 y 4 0 l2 : 6 x 2 y 1 0
b1 b2
3 k1 k2 4
所以l1//l2
另一方面
3x 4 y 4 0 6x 2 y 1 0
所以l1//l2
无解 直线l1与l2的无交点