高中数学 第二章 基本初等函数Ⅰ章末专题整合 新人教A版必修1

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1<2a<2,即 < < 1.
2
综上可知,a 的取值范围为
答案:
1
2
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,1
1
2
,1 .
专题一
专题二
专题三
专题四
专题四 指数函数、对数函数、幂函数的单调性的应用
1.解指数不等式、对数不等式
求解指数不等式、对数不等式时,一般是利用指数函数、对数函
数的单调性去掉底数,转化为关于指数或真数的不等式,再求解.特
所以x的取值范围为0<x<3.
12/13/2021
> 0,
log3 < log3 3,
专题一
专题二
专题三
专题四
2.求定义域
求形如函数y=f(ax)和y=f(logax)的定义域时,往往把ax和logax看成
一个整体,列出关于ax和logax的不等式(组),解得定义域.
应用 1 函数 y=
6 -36的定义域是_____________.
5
2
5
域内是增函数,所以log 5 < log 总成立;当 0<a<1 时,函数 y=logax
2
2
2
5
5
5
在定义域内是减函数,由 log < log , 得a< , 即0<a< .
故 a 的取值范围是 0,
2
5
∪(1,+∞).
(2)log3x<1=log33,所以 x 满足的条件为
即x>0,且 x<3.
由y=2x的单调性可知y=2x在区间[0,+∞)内的最小值是20=1,所以有

• 一、阅读教材P50～52回答： ，
3
12
a12＝a4＝a 3 思考：
(1)结果的指数与被开方数的指数、根指数有什么关系？
由此可得：当根式的被开方数的指数被根指数整除时，
根式可以写成 a
的形式．
• (2)当根式的被开方数的指数不能被根指数 整除时，根式是否也可以写成分数指数幂 的形式？
• 答案： 可以
• 2．我们规定：
• (幂无3)意0的义 正分数指数．幂(其等中于a>00,0，的m负，分n∈数N指*数， 且n>1)
• 整(4数)规定了分分数数指数幂的意义以后，指数的 概念就从 推广到 ．
• (5)整数指数幂的运算性质，对于有理数指
数幂也同样am适·an用＝a的m＋有n(a>①0，m、n∈Q)
• 计算下列各式：
• [点评] 一般地，进行指数幂运算时，化 负指数为正指数，化根式为分数指数幂， 化小数为分数进行运算．
• 化简：
[分析] 注意分析各幂中指数间的相互关系，如－12＝－14 ×2，－1＝－14×4 等，从而能利用乘法公式进行运算．
• [解析] 原式
• 总结评述：对于这类问题，要仔细观察分 析指数的关系与变化，灵活地运用乘法公 式进行因式分解和变形.
• [例1] x取何值时，下列各式有意义？
• [分析] 根据根式与分数指数幂的意义解 题．
• [解析] (1)1－x≥0，∴x≤1. • (2)x－1≠0，∴x∈R且x≠1.
• x取何值时，下列各式有意义？
• [例2] 化简
• [分析] 利用分数指数幂的运算性质来化 简．
• 总结评述：根式与指数运算混合时，将 根式化为分数指数幂表示运算较为方 便．原式有根式时，最后结果一般应化为 根式．

是减函数
在第一象限内，当 α＞1 时，图象下 在第一象限内，图象
凸；当 0＜α＜1 时，图象上凸
都下凸
幂函数 y＝xα(α 为常数)
α＞0
α＜0
(1)α 是奇数时，幂函数为奇函数；α
是偶数时，幂函数是偶函数． 性
(2)幂函数的图象最多只能同时出现在 质
两个象限内，必出现在第一象限内，
一定不会出现在第四象限内
式子
常数
指数函数：y＝ax a 为底数
(a>0 且 a≠1)
幂函数：y＝xα α 为指数
名称 x
指数 底数
y 幂值 幂值
[典例 1] (1)下列函数： ①y＝x3； ②y＝12x； ③y＝4x2； ④y＝x5＋1； ⑤y＝(x－1)2； ⑥y＝x； ⑦y＝ax(a>1)．
其中幂函数的个数为 ( )
[练习 2]对于幂函数 y＝xα(α∈R)，当 α 取不同的正数时，在 区间[0,1]上，其图象是一簇美丽的曲线(如图所示)，设点 A(1,0)， B(0,1)，连接 AB，线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y＝xα，y＝xβ 的图象三等分，即 BM＝MN＝NA，则 αβ＝________.
答案：1 解析：过 M，N 分别作 x 轴、y 轴的垂线，则由题 意知，点 M 的坐标为13，32，点 N 的坐标为23，13，
2．在第一象限，作直线 x＝a(a>1)，它同各幂函数图象都相 交，若按交点从下到上的顺序，对应的幂指数有什么规律？
答案：幂指数按从小到大的顺序排列．
类型 1 幂函数的概念 [要点点击] 1.幂函数解析式的结构特征 (1)指数为常数． (2)底数是自变量． (3)幂 的系数为 1.
2．幂函数与指数函数的比较

log1 ,0 < ≤ 1,
2
(2)y=|log1 | =
其图象如图②所示,
2
log2 , > 1,
其定义域为(0,+∞),值域为[0,+∞),在区间(0,1]上是减函数,在区间
(1,+∞)内是增函数.
图①
图②
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.一般地,函数y=f(x±a)±b(a,b为正实数)的图象可由函数
由(1)知f(x)的定义域为(-1,1),
且f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)= -[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),
故f(x)为奇函数.
(3)因为当a>1时,f(x)在定义域(-1,1)内是增函数,
所以由f(x)>0,得loga(x+1)-loga(1-x)>0,即loga(x+1)>loga(1-x),即
y=f(x)的图象变换得到.
将y=f(x)的图象向左或向右平移a个单位长度可得到函数y=f(x±a)
的图象,再向上或向下平移b个单位长度可得到函数y=f(x±a)±b的
图象(记忆口诀:左加右减,上加下减).
2.含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换,一般地,y=
f(|x-a|)的图象是关于x=a对称的轴对称图形,也可以由y=f(x)的图象
题型二
题型三
题型四
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【变式训练 1】 计算:(log43+log83)(log32+log92)-log1 32.
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解:原式 =
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