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《两条直线的交点坐标》ppt课件 (1)

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两条直线交点的坐标(课件)高中数学新教材选择性必修第一册

两条直线交点的坐标(课件)高中数学新教材选择性必修第一册

第一课时 “两直线的交点坐标”课时教学设计
（四）教学过程——问题5
问题5：根据对问题4的研究，我们可以怎么样判断直线 l1 与直线 l2 的位置关系？ 师生活动：学生思考、讨论交流，总结结论.
设计意图：对问题4的探究进行总结归纳，同时得到判断两直线位置关系的方法．
第一课时 “两直线的交点坐标”课时教学设计
设计意图：总结复习引入部分的探究，并得到求交点坐标的方法.
第一课时 “两直线的交点坐标”课时教学设计
（四）教学过程——问题1
.
例1：求下列两条直线的交点坐标，并画出图形.
l1 : 3x 4 y 2 0,l2 : 2x y 2 0.
解：（1）解方程组
3x 4 y 2 0, 2x y 2 0,
从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养 学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对 应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般 方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的 位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入 寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描 述这三类情况，在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜 率、截距判定两直线位置关系的一致性.
第一课时 “两直线的交点坐标”课时教学设计
，
（四）教学过程——问题2
问题2：
如果两直线 l1 : A1x + B1 y + C1 = 0 l2 : A2x + B2 y + C2 = 0 相交于一点 A
,若点 A 的坐标为 (m, n) 则点 A 的坐标与这两条直线的方程有何关系?
几何元素

直线的交点坐标与距离公式课件PPT

直线的交点坐标与距离公式课件PPT

1．求经过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点且与直 线 3x＋y－1＝0 平行的直线方程．
解： 法一：设所求的直线为 l，
由方程组2x＋x－y＋3y－2＝3＝0 0， 得xy＝ ＝－ －5753， . ∵直线 l 和直线 3x＋y－1＝0 平行， ∴直线 l 的斜率 k＝－3. ∴根据点斜式有 y－－75＝－3x－－35， 即所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
法二：
∵直线 l 过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点， ∴设直线 l 的方程为 2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0. ∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行， ∴λ＋3 2＝λ－1 3≠2－λ－13，解得 λ＝121. 从而所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
题型二 两点间距离公式的应用 【例 2】 试在直线 x－y＋4＝0 上求一点 P，使点 P 到点 M(－ 2，－4)，N(4,6)的距离相等．
思路点拨：有以下两种思路：①设出 P 点坐标，根据条件列 出方程，由此求出 P 点坐标；②由条件求出线段 MN 的中垂线方 程，与已知直线方程联立，可得 P 点坐标．
自学导引
1．两条直线的交点坐标
(1)直线的交点坐标：设两条直线的方程是 l1：A1x＋B1y＋C1＝ 0 ， l2 ： A2x ＋ B2y ＋ C2 ＝ 0 ， 两 条 直 线 的 交 点 坐 标 就 是 方 程
A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0
的解．
(2)两直线位置关系与方程组 的解的关系：
4．已知点 P(x,2)，Q(－2，－3)，M(1,1)，且|PQ|＝|PM|，则 x ＝________.

《两条直线的交点坐标》教学课件(15张PPT)

《两条直线的交点坐标》教学课件(15张PPT)
同一直角坐标系中的两条直线l1：A1x+B1y+C1 =0, l2:A2x+B2y+C2=0有几种位置关系？ l1 l2 l1 l2 如何用代数的方 l2 法来判断这两条直线 ？ l1和l2平行的位置关系呢 l1和l2重合 l1
l1和l2相交
下面的表格中，你能用代数表示表示出左边 的几何元素及关系吗？ 几何元素及关系 点A 直线l1 点A在l1直线上 直线l1与l2的交 点是A 代数表示 A（ a， b ） l1：A1x+B1y+C1=0
解:（3）将方程变形后，解方程组
( 2 -1)x+y-3=0 x+( 2 +1)y-2=0
得出方程组无解.
所以直线l1与l2没有公共点，即直线l1与l２平行.
光线从M(-2，3)射到x轴上的一点P(1，0)后 被x轴反射，求反射光线所在的直线方程. y M
o P
x
解:（1）将方程变形后，解方程组
17 x= 2x-3y-7=0 得： 16 13 4x+2y-1=0 y= 8 13 17 所以l1与l2相交， 交点坐标为（ ， 8 ）. 16
判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求 出交Байду номын сангаас的坐标 （1）l1:2x-3y=7， l2:4x+2y=1 + 2 （2）l1:2x-6y+4=0， l2:y= x 3 3 （3）l1:( 2 -1)x+y=３， l2:x+( 2 +1)y=2
判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求 出交点的坐标 （1）l1:x-y=0， l2:3x+3y-10=10 （2）l1:3x-y+4=0， l2:6x-2y-1=0 （3）l1:3x+4y-5=0， l2:6x+8y-10=10 3x-y+4=0 解:（2）解方程组 6x-2y-1=0

新教材高中数学直线的交点坐标与距离公式：两条直线的交点坐标pptx课件新人教A版选择性必修第一册

新教材高中数学直线的交点坐标与距离公式：两条直线的交点坐标pptx课件新人教A版选择性必修第一册
l1∥l2
＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系是________．
l1∥l2
[方程组无解，则l1与l2无公共点，从而l1∥l2．]
3．直线l1 ：4x－y＋3＝0与直线l2 ：3x＋12y－11＝0的位置关系是
l1⊥l2
________．
l1⊥l2
[由4×3＋(－1)×12＝0得l1⊥l2．]
15x＋5y＋16＝0
的直线方程为_________________．
2
因此l1与l2的斜率相等，但截距不相等，所以它们平行．
(2)l1：x－2y＋1＝0，l2：x＋2y＋5＝0．
[解]
− 2 + 1 = 0，
解方程组ቊ
可得x＝－3，y＝－1，
+ 2 + 5 = 0，
因此，l1与l2相交，而且交点坐标为(－3，－1)．
类型3 直线系过定点问题
【例3】 (1)直线mx－3y＋2m＋3＝0，当m变动时，所有直线都经
l1
l2
设这两条直线的交点为P，则点P既在直线__上，也在直线__上．所
以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的
1 + 1 + 1 = 0，
方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组 ቊ + + = 0
2
2
2
的解．
知识点2 两直线的位置关系和方程组解的个数的关系
第二章
直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标
1．会用解方程的方法求两条相交直线的交点坐标．(数学
学习 运算)
任务 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(数学

两条直线的交点坐标、两点间的距离公式 课件

两条直线的交点坐标、两点间的距离公式 课件

两条直线的交点坐标 两点间的距离公式
要点 两条直线的交点 (1)已知两条直线的方程分别是 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x ＋B2y＋C2＝0，当方程组 AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00，有唯一解时，l1 与 l2 相交；有无穷多个解时，说明直线 l1 与 l2 重合；当方程组无解 时，l1 与 l2 平行．
②类似地，有 l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
(4)①设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则 |P1P2|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2. ②原点 O(0，0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|＝ x2＋y2.
如何设直线系方程？
答：(1)与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程是 Ax＋By＋ m＝0(m≠C)；
(2)经过两直线交点的直线系方程：(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x ＋B2y＋C2)＝0(其中不包括直线 A2x＋B2y＋C2＝0)．
(3)已知 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与 l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 ①A1B2－A2B1≠0⇔l1 与 l2 相交；A1B2－A2B1＝0 且 A1C2－A2C1 ≠0⇔l1∥l2；A1B2－A2B1＝0 且 A1C2－A2C1＝0⇔l1 与 l2 重合．
题型三 两点间的距离公式的应用
例 3 求函数 y＝ x2－8x＋20＋ x2＋1的最小值． 【思路分析】 常规方法显然行不通，只有进行转化！根据结 构联想距离．
【 解 析 】 原 式 可 化 为 y ＝ （x－4）2＋（0－2）2 ＋ （x－0）2＋（0－1）2 ，考虑 两点间 的距 离 公式形 式得三点 A(4，2)，B(0，1)，P(x，0)，则上述问题转化为：在 x 轴上求一 点 P(x，0)，使得|PA|＋|PB|最小．作点 A(4，2)关于 x 轴的对称点 A′(4，－2)，可知|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，故|PA|＋|PB| 的最小值为|A′B|的长度．由两点间的距离公式，得|A′B|＝ 42＋（－2－1）2＝5，所以，函数 y＝ x2－8x＋20＋ x2＋1的 最小值为 5.

两条直线的交点坐标课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册

两条直线的交点坐标课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册

【例1】 判断下列各组直线的位置关系,若相交,求出交点坐标.
(1)l1:2x+y+3=0,l2:x-2y-1=0;
(2)l1:x+3y-1=0,l2:2x+6y-2=0;
(3)l1:6x-2y+3=0,l2:3x-y+2=0.
2 + + 3 = 0,
= -1,
解:(1)解方程组
得
所以交点坐标为(-1,-1),所以直线
综上,该直线必过定点,定点的坐标为(1,-1).
证法三:直线方程可整理为x+y+k(x-y-2)=0,
则直线(k+1)x-(k-1)y-2k=0过直线l1:x+y=0与直线l2:x-y-2=0的交点.
+ = 0,
= 1,
联立得方程组
解得
= -1.
--2 = 0,
所以直线恒过定点(1,-1).
(2)直线x=2与直线y=3没有交点.( × )
(3)两条直线的交点坐标就是两条直线的方程组成的方程组的解.( √ )
(4)过直线l1:x-y+1=0与直线l2:3x+y-7=0的交点的所有直线可写为参数形式
x-y+1+λ(3x+y-7)=0(其中λ∈R).( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
两直线的位置关系及交点坐标
过两直线交点的直线方程
【例2】 求过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行
的直线方程.
3
=- ,
2-3-3 = 0,
5
解法一:由
解得
7

两条直线的交点坐标、两点间的距离公式 课件


命题方向1 ⇨两直线的交点问题
判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标： (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0； (3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0.
[思路分析] 题中给出了两条直线的方程，要判断它们的位置关系，只需看它们组成的方程组的解 的个数．
(3)若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，解得a＝1， 当a＝1，l2与l3重合． (4)若l1∥l3，则a×1－1×1＝0得a＝1， 当a＝1时，l1与l3重合． 综上，当a＝1时，三条直线重合；当a＝－1时，l1∥l2； 当a＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线共有三个交点，需a≠±1且a≠－2. [正解] D
两条直线的交点坐标 两点间的距离公式
1．两条直线的交点坐标 (1)求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点 坐标，因此解方程组即可．
(2)应用：可以利用两直线的___交__点__个__数____判断两直线的位置关系． 一般地，将直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的方程联
3．坐标法
(1)定义：通过建立平面直角坐标系，用代数方法解决几何问题的方法称为坐标法．
( 2 ) 步 骤 ： ① 建 立 _ _坐_ _ _标_ _系_ _ _ _ _ ， 用 坐 标 表 示 有 关 的 量 ： ② 进 行 有 关 代 数 运 算 ； ③ 把 代 数 运 算 结 果
“翻译”成几何关系．
解法一：∵|AB|＝ －1－12＋[3－－1]2＝ 20＝2 5， |AC|＝ 3－12＋[0－－1]2＝ 5， |BC|＝ [3－－1]2＋0－32＝ 25＝5， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， 即△ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形．

2.3.1两条直线的交点坐标(教学课件)- 高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册


两条直线相交
二元一次方程 组有唯一解
直线l,J2还 有 哪些位置关系
平行
重合
问题4.已知直线l₁:A₁x+B₁y+C₁=0,l:A₂x+B₂y+C₂=0
平行，能否判断对应的二元一次方程组的解的情况呢
从形的角度看
直线l₁//l₂
直线lj,J₂没有公共点
从代数的角度看
不 存在点P(xo,y₀)的坐标满足
解 直线l₁,l₂方程化为斜截式，
则k₁=1,k₂=-1,k₁≠k₂,
所以，直线l₁与l₂相交.
例2.判断下列各对直线的位置关系.
(2)l:3x-y+4=0,l ₂:6x-2y-1=0
解 直线l₁,l₂ 方程化为斜截式，
则k₁=k₂=3,b₁≠b₂, l₁/l₂.
所以，
例2.判断下列各对直线的位置关系. (3)l:3x+4y-5=0,l₂:6x+8y-10=0
Q(2,-6)在直线l 上
追问：为什么可以作这样的判断呢?
直线l上的点
对应 关系
直线l 的方程的解
直线l:Ax+By+C=0
点P
在直线l上
C=0
问题2.已知直线 l₁:A₁x+B₁y+C₁=0,l₂:A₂x+B₂y+C₂=0 相交，它们的交点坐标与直线l₁,l₂的方程有他么途系?
从形的角度看
直线l₁,l₂ 相交
的交点且过坐标原点的直线l的方程 .
解 解方程组
,得
所以，两条直线的交点为
所以，直线l的的斜率 故直线l的方程
即4x-3y=0
和l₂ :6x-4y+1=0

【课件】两条直线的交点坐标课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册


方法总结：
(1)求过两直线交点的直线方程的方法 ①方程组法：一般是先解方程组求出两直线的交点坐标，再结 合其他条件求出直线方程． ②直线系法：先设出过两直线交点的直线系方程，再结合条件 利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．如过两条已知 直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为
3
-1
-2
巩固练习
3.直线l经过原点, 且经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点, 求直线l的方程.
解1:
解方程组
2x 6 x
2 4
y y
1 1
0，得 0
x
3 2
,y
2.
直线2x 2 y 1 0与6x 4 y 1 0的交点坐标为( 3 , 2). 2
直线l的方程为
A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0).
(2)含有参数的直线恒过定点问题的解法 ①直接法 将已知的直线方程转化为点斜式、斜截式等形式的方程，进而得定点． ②特殊值法 取出直线系中的两条特殊直线，它们的交点就是所有直线都过的定点． ③方程法 将已知的直线方程整理成关于参数的方程，由于直线恒过定点，则关于参 数的方程应有无穷多解，进而求出定点．
恒过定点的直线问题
求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与 直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．
解 1：由方程组2xx＋－y＋3y－2＝3＝0，0，
解得x＝－35， y＝－57．
因为直线l和直线3x＋y－1＝0平行，所以直线l的斜率k＝－3.
所以根据点斜式有 y－－75 ＝－3x－－53 ， 即所求直线 l 的方程为 15x＋5y＋16＝0.

2.3.1 两条直线的交点坐标(课件)高二数学选择性必修第一册(人教A版2019)


【证明】
直线方程可化为(x＋2y－1)m＋(－x －y＋5)＝0.
缺点
不能表示 后面的那条直线：A2 x B2 y C 2 0
应用
凡是求过某交点的直线方程，都可以这样设所求直线方
程，然后根据已知条件求出 λ 即可.
能力提升
题型三
含一个参数的直线方程过定点问题
例题3
证明：不论 m 为何实数, 直线 (m－1) x＋(2m－1) y=m－5
都恒过某一定点.
(2) 解方程组
,
6 x 2 y 1 0 ———— ②
① 2 ②得9 0, 矛盾, 这个方程组无解, 所以l1 与l2 无公共点, 即l1 / / l2
结论：方程组无解 l1与l2 位置关系：平行
应用新知
例 2：判断下列各对直线的位置关系. 如果相交, 求出交点的坐标：
①设：设交点坐标P x0 , y0 ;
A1 x0 B1 y0 C1 0
②构：将交点坐标代入两条直线方程，构成方程组
;
A2 x0 B2 y0 C 2 0
③解：解方程组，得到交点坐标.
探究新知
几何角度
代数角度
点P
坐标：P x0 , y0
直线l
方程：Ax By C 0
1
A． 6, 2
B． , 0
6
1 1
C． ,
2 6





1 1
D． ,
6 2
2 4 k
x
2 4 kkx y 2k 10
2 k 1
x
0
6 k 1 ，
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无解，
这表明直线 l1 和 l2 没有公共点，故 l1∥l2.
练习1：下列各对直线是否相交，如果相交，求出交点的
坐标，否则试着说明两线的位置关系： （1）l1:x-y=0, l2:x+3y-10=0; （2）l1:3x-y+4=0, l2:6x-2y-1=0; （3）l1:3x+4y-5=0, l2:6x+8y-10=0;
判断两直线的位置关系 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交 点．
(1)l1：2x－y＝7 和 l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0 和 l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0 和 l2：y＝－2x＋3.
பைடு நூலகம்
思维突破：可依据方程组解的情况来判断两直线的位置关
解:（１）x=5/2,y=5/2，两直线有交点（５／2，５／2） （２）方程组无解，两直线无交点。 l1‖l2 （３）两方程可化成同一个方程，两直线有无数个交 点。 l1与l2重合
1. 两直线交点的求法---联立方程组。 2. 两直线位置关系的判断:解方程组,根据解的个数。 3. 共点直线系方程及其应用
l1 , l2相交 唯一解 A1x B1 y C10 l1 , l2重合 无穷多解 A2 x B2 y C 20 l , l 无解 1 2平行
(代数问题) (几何问题)
例1：求下列两条直线的交点： l1：3x+4y－2=0；l2：2x+y+2=0.
系．
2x－y－7＝0 解：(1)方程组 3x＋2y－7＝0
x＝3 的解为 y＝－1
，
因此直线 l1 和 l2 相交，交点坐标为(3，－1)．
2x－6y＋4＝0 (2)方程组 4x－12y＋8＝0
有无数组解，
这表明直线 l1 和 l2 重合．
4x＋2y＋4＝0 (3)方程组 2x＋y－3＝0
L:Ax+By+C=0 Aa+Bb+C=0
点A的坐标是方程组的解
点A在直线l上
直线l1与l2的交点是A
A1x B1y C1 0 A 2 x B 2 y C 2 0
（二）讲解新课：
两条直线的交点： 如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0 相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定 A1x+B1y+C1=0 是它们的方程组成的方程组 A x+B y+C =0 2 2 2 A x+B1y+C1=0 的解；反之，如果方程组 1 A2x+B2y+C2=0 只有一个解，那么以这个解为坐标的点就是直线 A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点。
思考5：对于两条直线 l1 : A1x B1y C1 0 和 l 2 : A2x B2y C2 0 ,若方程组
A1x B1y C1 0 A 2 x B 2 y C 2 0
有惟一解，有无数组解，无解，则两直 线的位置关系如何？
二元一次方程组的解与两条直线的位置关系
3.3.1
两条直线的交点坐标
知识探究（一）：两条直线的交点坐标
思考1:若点P在直线l上，则点P的坐标 (x0，y0)与直线l的方程Ax+By+C=0有什么 关系？ Ax0+By0+C=0
思考2:直线2x+y-1=0与直线2x+y+1=0， 直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的位置 关系分别如何？
解：解方程组
M -2
y 2
3x+4y－2 =0 2x+y+2 = 0
得
x= －2 y=2
0
l1 l2
x
∴l1与l2的交点是M（- 2，2）
例2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程 : l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.
x= 2 x－2y+2=0 得 y=2 解：解方程组 2x－y－2=0 ∴l1与l2的交点是（2，2） 设经过原点的直线方程为 y=k x 把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为 x-y=0
思考3:能根据图形确定直线3x+4y-2=0与 直线2x+y+2=0的交点坐标吗？有什么办 法求得这两条直线的交点坐标？
y P o x
思考4:一般地，若直线l1:A1x+B1y+C1=0 和l2:A2x+B2y+C2=0相交，如何求其交点 坐标？
几何元素及关系 点A 直线l 代数表示 A (a, b)