三角函数与解三角形1.【2015高考福建，文6】若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-【答案】D【解析】由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则12cos 13α==，则sin tan cos ααα= 512=-，故选D ． 【考点定位】同角三角函数基本关系式．【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，在sin α、cos α、tan α三个值之间，知其中的一个可以求剩余两个，但是要注意判断角α的象限，从而决定正负符号的取舍，属于基础题． 2.【2015高考重庆，文6】若11tan ,tan()32a ab =+=,则tan =b （ ） (A) 17 (B) 16 (C) 57 (D) 56【答案】A【解析】11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯，故选A. 【考点定位】正切差角公式及角的变换.【名师点睛】本题考查角的变换及正切的差角公式，采用先将未知角β用已知角α和αβ+表示出来，再用正切的差角公式求解.本题属于基础题，注意运算的准确性. 3.【2015高考山东，文4】要得到函数4y sin x =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（ ） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B【解析】因为sin(4)sin 4()312y x x ππ=-=-，所以，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12π个单位，故选B .【考点定位】三角函数图象的变换.【名师点睛】本题考查三角函数图象的变换，解答本题的关键，是明确平移的方向和单位数，这取决于x 加或减的数据.本题属于基础题，是教科书例题的简单改造，易错点在于平移的方向记混. 4.【2015高考陕西，文6】“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要 【答案】A【解析】22cos 20cos sin 0(cos sin )(cos sin )0ααααααα=⇒-=⇒-+=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，故答案选A . 【考点定位】1.恒等变换；2.命题的充分必要性.【名师点睛】1.本题考查三角恒等变换和命题的充分必要性，采用二倍角公式展开cos 20α=，求出sin cos αα=或sin cos αα=-.2.本题属于基础题，高考常考题型.【2015高考上海，文17】已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）.A.233 B. 235 C.211 D. 213 【答案】D【解析】设直线OA 的倾斜角为α，)0,0)(,(>>n m n m B ，则直线OB 的倾斜角为απ+3，因为)1,34(A ，所以341tan =α，m n =+)3tan(απ，3313341313413=⋅-+=m n ，即2216927n m =，因为491)34(2222=+=+n m ，所以491692722=+n n ，所以213=n 或213-=n （舍去）， 所以点B 的纵坐标为213. 【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式.【名师点睛】设直线OA 的倾斜角为α，)0,0)(,(>>n m n m B ，则αtan =OA k ，)3tan(απ+=OB k ，再利用三角函数定义、两点间的距离公式找关于m 、n 的等式求解结论.数学解题离不开计算，应仔细，保证不出错.5.【2015高考广东，文5】设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =且b c <，则b =（ ）AB ．2 C． D ．3 【答案】B【解析】由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以(22222b b =+-⨯⨯，即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ． 【考点定位】余弦定理．【名师点晴】本题主要考查的是余弦定理，属于容易题．解题时要抓住关键条件“b c <”， 否则很容易出现错误．本题也可以用正弦定理解，但用正弦定理求角时要注意检验有两角的情况，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是余弦定理，即2222cos a b c bc =+-A ．6.【2015高考浙江，文11】函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，最小值是 ．【答案】π【解析】()211cos 2113sin sin cos 1sin 21sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=++=++=-+3)42x π=-+，所以22T ππ==；min 3()2f x =. 【考点定位】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变换.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质以及三角恒等变换.主要考查学生利用恒等变换化简三角函数，利用整体代换判断周期与最值的能力.本题属于容易题，主要考查学生的基本运算能力以及整体代换的运用. 7.【2015高考福建，文14】若ABC ∆中，AC =，045A =，075C =，则BC =_______．【解析】由题意得0018060B A C =--=．由正弦定理得sin sin AC BC B A =，则sin sin AC ABC B=，所以BC ==．【考点定位】正弦定理．【名师点睛】本题考查正弦定理，利用正弦定理可以求解一下两类问题：（1）已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角；（2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形其他边与角．关键是计算准确细心，属于基础题．8.【2015高考重庆，文13】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且12,cos ,4a C ==-3sin 2sin A B =,则c=________. 【答案】4【解析】由3sin 2sin A B =及正弦定理知：32a b =,又因为2a =,所以2b =，由余弦定理得：22212cos 49223()164c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=，所以4c =;故填：4. 【考点定位】正弦定理与余弦定理.【名师点睛】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，先由正弦定理将3sin 2sin A B =转化为3a=2b 结合已知即可求得b 的值，再用余弦定理即可求解.本题属于基础题，注意运算的准确性及最后结果还需开方. 9.【2015高考陕西，文14】如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y ＝3sin (6πx ＋Φ)＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m )的最大值为____________. 【答案】8【解析】由图像得，当sin()16x π+Φ=-时min 2y =，求得5k =，当sin()16x π+Φ=时，max 3158y =⨯+=，故答案为8.【考点定位】三角函数的图像和性质.【名师点睛】1.本题考查三角函数的图像和性质，在三角函数的求最值中，我们经常使用的是整理法，从图像中知此题sin()16x π+Φ=-时，y 取得最小值，继而求得k 的值，当sin()16x π+Φ=时，y 取得最大值.2.本题属于中档题，注意运算的准确性.【2015高考上海，文1】函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为 . 【答案】π【解析】因为x x 2cos 1sin 22-=，所以x x x f 2cos 2321)2cos 1(231)(+-=--=，所以函数)(x f 的最小正周期为ππ=22. 【考点定位】函数的周期，二倍角的余弦公式.【名师点睛】本题先用二倍角的余弦公式把函数转化为x x f 2cos 2321)(+-=，再根据ωπ2=T 求周期. 二倍角的余弦公式可正用、逆用以及变形运用.10.【2015高考湖南，文15】已知ω>0,在函数y=2sin ωx 与y=2cos ωx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为ω =_____. 【答案】2πω=【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为12211154242k k k k Z ππππωω+++-∈（（，），（（，），， , 距离最短的两个交点一定在同一个周期内，(22221522442πππωω∴=-+--∴=（）（）， .【考点定位】三角函数图像与性质【名师点睛】正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形. 应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一.这样就能理解条件“距离最短的两个交点” 一定在同一个周期内，本题也可从五点作图法上理解.11.【2015高考天津，文14】已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x ∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 ．【解析】由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤,且()222πsin cos sin 14f ωωωω⎛⎫=+=⇒+= ⎪⎝⎭,所以2ππ42ωω+=⇒=【考点定位】本题主要考查三角函数的性质.【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x = 对称,则()0f x A = 或()0f x A =-.12.【2015高考四川，文13】已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是______________. 【答案】－1【解析】由已知可得，sin α＝－2cos α，即tan α＝－22sin αcos α－cos 2α＝22222sin cos cos 2tan 1411sin cos tan 141ααααααα----===-+++ 【考点定位】本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识，考查综合处理问题的能力. 【名师点睛】同角三角函数(特别是正余弦函数)求值问题的通常解法是：结合sin 2α＋cos 2α＝1，解出sin α与cos α的值，然后代入计算，但这种方法往往比较麻烦，而且涉及符号的讨论.利用整体代换思想，先求出tan α的值，对所求式除以sin 2α＋cos 2α(＝1)是此类题的常见变换技巧，通常称为“齐次式方法”，转化为tan α的一元表达式，可以避免诸多繁琐的运算.属于中档题.13.【2015高考安徽，文12】在ABC ∆中，6=AB ， 75=∠A ， 45=∠B ，则=AC .【答案】2【解析】由正弦定理可知：45sin )]4575(180sin[AC AB =+-245sin 60sin 6=⇒=⇒AC AC【考点定位】本题主要考查正弦定理的应用.【名师点睛】熟练掌握正弦定理的适用条件是解决本题的关键，本题考查了考生的运算能力.14.【2015高考湖北，文15】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =_________m.【答案】.【解析】在ABC ∆中，030CAB ∠=，000753045ACB ∠=-=， 根据正弦定理知，sin sin BC ABBAC ACB=∠∠，即1sin sin 2AB BC BAC ACB =⨯∠==∠tan CD BC DBC =⨯∠==.【考点定位】本题考查解三角形的实际应用举例，属中档题.【名师点睛】以实际问题为背景，将抽象的数学知识回归生活实际，凸显了数学的实用性和重要性，体现了“数学源自生活，生活中处处有数学”的数学学科特点，能较好的考查学生识记和理解数学基本概念的能力和基础知识在实际问题中的运用能力.【2015高考上海，文14】已知函数x x f sin )(=.若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，且12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),2(*∈≥N m m ，则m 的最小值为 . 【答案】8【解析】因为函数x x f sin )(=对任意i x ，j x ),,3,2,1,(m j i ⋅⋅⋅=，2)()(|)()(|min max =-≤-x f x f x f x f j i ， 欲使m 取得最小值，尽可能多的让),,3,2,1(m i x i ⋅⋅⋅=取得最高点，考虑π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),2(*∈≥N m m 按下图取值满足条件，所以m 的最小值为8.【考点定位】正弦函数的性质，最值.【名师点睛】本题重点考查分析能力，转化能力，理解函数x y sin =对任意i x ，j x ),,3,2,1,(m j i ⋅⋅⋅=，2)()(|)()(|min max =-≤-x f x f x f x f j i 是关键.15.【2015高考北京，文11】在C ∆AB 中，3a =，b =23π∠A =，则∠B = ． 【答案】4πAB【解析】由正弦定理，得sin sin a b A B ==sin B =4B π∠=. 【考点定位】正弦定理.【名师点晴】本题主要考查的是正弦定理，属于容易题．解题时一定要注意检验有两解的情况，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是正弦定理，即sin sin a b=A B．16.【2015高考北京，文15】（本小题满分13分）已知函数()2sin 2x f x x =-． （I ）求()f x 的最小正周期； （II ）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．【答案】（I ）2π；（II ）.（Ⅱ）∵203x π≤≤，∴33x πππ≤+≤. 当3x ππ+=，即23x π=时，()f x 取得最小值.∴()f x 在区间2[0,]3π上的最小值为2()3f π=.考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值.【名师点晴】本题主要考查的是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数的最值，属于中档题．解题时要注意重要条件“20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数的图象，即211sin cos 222αα=-+，()sin cos a x b x x ϕ+=+，函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>）的最小正周期是2πωT =．17.【2015高考安徽，文16】已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++ （Ⅰ）求()f x 最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）最大值为10 【解析】（Ⅰ）因为x x x x x x x x f 2cos 2sin 12cos cos sin 2cos sin )(22++=+++=1)42sin(2++=πx所以函数)(x f 的最小正周期为ππ＝＝22T . （Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果，1)42sin(2)(++=πx x f当]2,0[π∈x 时，]45,4[42πππ∈+x由正弦函数x y sin =在]45,4[ππ上的图象知，当242ππ=+x ，即8π=x 时，)(x f 取最大值12+；当4542ππ=+x ，即4π=x 时，)(x f 取最小值0.综上，)(x f 在[0,]2π上的最大值为12+，最小值为0.【考点定位】本题主要考查同角的基本关系、三角恒等变换、三角函数B x A y ++=)sin(ϕω的性质，以及正弦函数的性质.【名师点睛】熟练掌握三角函数的同角的基本关系和恒等变换公式以及三角函数B x A y ++=)sin(ϕω的性质是解决本题的关键，考查了考生的基本运算能力.18.【2015高考福建，文21】已知函数()2cos 10cos 222x x xf x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 【答案】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ⅱ）详见解析．【解析】（I ）因为()2cos 10cos 222x x xf x =+ 10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =． （II ）（i ）将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象．又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >．由45<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >． 因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5k x >． 亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 【考点定位】1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式．【名师点睛】三角函数的定义域、值域、单调性、周期、奇偶性、对称性都是通过将解析式变形为()sin()f x A x ωφ=+进行；若三角函数图象变换是纵向伸缩和纵向平移，都是相对于()f x 而言，即()()f x Af x →和()()f x f x k →+，若三角函数图象变换是横向伸缩和横向平移，都是相对于自变量x 而言，即()()f x f x ω→和()()f x f x a →+；本题第（ⅱ）问是解三角不等式问题，由函数周期性的性质，先在一个周期内求解，然后再加周期，将存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，转化为解集长度大于1，是本题的核心．19.【2015高考广东，文16】（本小题满分12分）已知tan 2α=．（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值． 【答案】（1）3-；（2）1． 【解析】试题分析：（1）由两角和的正切公式展开，代入数值，即可得tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）先利用二倍角的正、余弦公式可得222sin 22sin cos sin sin cos cos 21sin sin cos 2cos ααααααααααα=+--+-，再分子、分母都除以2cos α可得22sin 22tan sin sin cos cos 21tan tan 2αααααααα=+--+-，代入数值，即可得2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．试题解析：（1）tan tantan 1214tan 341tan 121tan tan 4παπααπαα+++⎛⎫+====- ⎪--⎝⎭- （2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+-- 考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.【名师点晴】本题主要考查的是两角和的正切公式、特殊角的三角函数值、二倍角的正、余弦公式和同角三角函数的基本关系，属于中档题．解本题需要掌握的知识点是两角和的正切公式、二倍角的正、余弦公式和同角三角函数的基本关系，即()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-，sin 22sin cos ααα=，2cos 22cos 1αα=-，sin tan cos ααα=． 20.【2015高考湖北，文18】某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解 析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-.数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-.【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据可得：5A =，32ππωϕ+=，5362ππωϕ+=，解得π2,6ωϕ==-. 数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，因此 πππ()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z .即()y g x =图象的对称中心为ππ0212k -（，），k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-. 【考点定位】本题考查五点作图法和三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质，属基础题.【名师点睛】将五点作图法、三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质联系在一起，正确运用方程组的思想，合理的解三角函数值，准确使用三角函数图像的平移和三角函数的图像及其性质是解题的关键，能较好的考查学生基础知识的实际应用能力、准确计算能力和规范解答能力.21.【2015高考湖南，文17】（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =. （I ）证明：sin cos B A =； (II) 若3sin sin cos 4C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C . 【答案】（I ）略；(II) 30,120,30.A B C === 【解析】试题分析：（I ）由题根据正弦定理结合所给已知条件可得sin sin cos sin A AA B =，所以sin cos B A = ；(II)根据两角和公式化简所给条件可得3sin sin cos cos sin 4C A B A B -==，可得23sin 4B =，结合所给角B 的范围可得角B,进而可得角A,由三角形内角和可得角C.【考点定位】正弦定理及其运用【名师点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．22.【2015高考山东，文17】 ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知cos ()B A B ac =+==求sin A 和c 的值.【解析】在ABC ∆中，由cos B =sin B =因为A B C π++=，所以sin sin()C A B =+=， 因为sin sin C B <，所以C B <，C为锐角，cos C =因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+==. 由,sin sin a cA C =可得sin sin c A a C ===，又ac =，所以1c =. 【考点定位】1.两角和差的三角函数；2.正弦定理.【名师点睛】本题考查了两角和差的三角函数、正弦定理及函数方程思想，在正确理解题意的情况下，准确计算是关键.解答本题的一个易错点是忽视对角的范围的讨论，使解答陷入误区.本题是一道能力题，属于中等题，重点考查两角和差的三角函数、解三角形等基础知识，同时考查考生的计算能力、思维的严密性、函数方程思想及应用数学知识解决问题的能力.23.【2015高考陕西，文17】ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()m a =与(cos ,sin )n A B =平行.(I)求A ； (II)若2a b ==求ABC ∆的面积.【答案】(I) 3A π=；(II)【解析】试题分析： (I)因为//m n ，所以sin cos 0a B A -=，由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A -=，又sin 0B ≠，从而tan A =0A π<<，所以3A π=；(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，代入数值求得3c =，由面积公式得ABC ∆面积为1sin 2bc A =.2sin B =，从而sin B =，又由a b >知A B >，所以cos B =，由sin sin()sin()3C A B B π=+=+，计算得sin C =，所以ABC ∆面积为1sin 2ab C =.试题解析：(I)因为//m n ，所以sin cos 0a B A -=由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A -=，又sin 0B ≠，从而tan A =由于0A π<< 所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，而2a b ==，3A π=，得2742c c =+-，即2230c c --= 因为0c >，所以3c =，故ABC ∆面积为1sin 2bc A =.2sin B=从而sin B =又由a b >知A B >，所以cos B =故sin sin()sin()3C A B B π=+=+sin coscos sin33B B ππ=+=所以ABC ∆面积为1sin 2ab C =. 【考点定位】1.正弦定理和余弦定理；2.三角形的面积.【名师点睛】1.本题考查解三角形和三角形的面积，利用正弦定理进行边角互化，继而求出A 的值；可利用余弦定理求出c 的值，代入到三角形面积公式求解计算.2.高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，其中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是 “变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.24.【2015高考四川，文19】已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，tanA 、tanB 是关于方程x 2px －p ＋1＝0(p ∈R )两个实根. (Ⅰ)求C 的大小(Ⅱ)若AB ＝1，AC ，求p 的值【解析】(Ⅰ)由已知，方程x 2px －p ＋1＝0的判别式△＝p )2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0所以p ≤－2或p ≥23由韦达定理，有tanA ＋tanB p ，tanAtanB ＝1－p 于是1－tanAtanB ＝1－(1－p )＝p ≠0从而tan (A ＋B )＝tan tan 1tan tan A B A B +==-所以tanC ＝－tan (A ＋B ) 所以C ＝60° (Ⅱ)由正弦定理，得sinB ＝sin AC C AB ==解得B ＝45°或B ＝135°(舍去) 于是A ＝180°－B －C ＝75°则tanA ＝tan 75°＝tan (45°＋30°)＝000tan 45tan 3021tan 45tan 30+==+- 所以p(tanA ＋tanB )(21)＝－1【考点定位】本题主要考查和角公式、诱导公式、正弦定理、一元二次方程根与系数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.【名师点睛】本题利用一元二次方程的韦达定理，给出三角形两个内角正切值的关系式，求解过程中要注意对判别式的判定，表面上看，判别式对结论没有什么影响，但这对考查学生思维习惯及其严谨性是很有必要的.第(Ⅰ)问得到C ＝60°后，第(Ⅱ)问中要注意舍去B ＝135°，否则造成失误.属于中档题.25.【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC的面积为,12,cos ,4b c A -==-（I ）求a 和sin C 的值; （II ）求πcos 26A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（I ）a=8,sin C =（II【解析】（I ）由面积公式可得24,bc =结合2,b c -=可求得解得6, 4.b c ==再由余弦定理求得a =8.最后由正弦定理求sin C 的值;（II ）直接展开求值. 试题解析:（I ）△ABC 中,由1cos ,4A =-得sin A =由1sin 2bc A =,得24,bc = 又由2,b c -=解得6, 4.b c == 由2222cos a b c bc A =+- ,可得a =8.由sin sin a cA C=,得sin C =（II）)2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,=【考点定位】本题主要考查三角变换及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查基本运算求解能力.【名师点睛】解三角形问题实质是附加条件的三角变换,因此在解三角形问题的处理中,正弦定理、余弦定理就起到了适时、适度转化边角的作用,分析近几年的高考试卷,有关的三角题,大部分以三角形为载体考查三角变换. 26.【2015高考新课标1，文17】（本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.（I ）若a b =，求cos ;B（II ）若90B =，且a = 求ABC ∆的面积.【答案】（I ）14（II ）1 【解析】试题分析：（I ）先由正弦定理将2sin 2sin sin B A C =化为变得关系，结合条件a b =，用其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角B 的余弦值；（II ）由（I ）知22b ac =，根据勾股定理和即可求出c ，从而求出ABC ∆的面积.试题解析：（I ）由题设及正弦定理可得22b ac =. 又a b =，可得2b c =,2a c =,由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==.（II ）由(1)知22b ac =.因为B =90°，由勾股定理得222a c b +=.故222a c ac +=，得c a ==. 所以D ABC 的面积为1.考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力【名师点睛】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择合理的变形复方向，本题考查利用正余弦定理解三角形和计算三角形面积，是基础题. 27.【2015高考浙江，文16】（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A+的值；（2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积.【答案】(1)25；(2)9 【解析】(1)利用两角和与差的正切公式，得到1tan 3A =，利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；(2)利用正弦定理得到边b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.试题解析：(1)由tan(A)24π+=，得1tan 3A =，所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++.(2)由1tan 3A =可得，sin A A ==3,4a B π==，由正弦定理知：b =又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，所以11sin 3922ABC S ab C ∆==⨯⨯=. 【考点定位】1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.【名师点睛】本题主要考查三角函数的基本计算以及解三角形应用.根据两角和的正切公式，计算角A 的正切值，利用同角三角函数基本关系式计算得到第一题的结论；根据角A 的正切值计算得到其正弦值，利用正弦定理计算得到边b 的值，根据三角形内角和为180及两角和的正弦公式计算得到角C 的正弦值，有两边一夹角的面积公式计算得到面积.本题属于中等题，主要考查学生三角函数有关公式的正确应用以及正弦定理、余弦定理、面积公式的灵活应用，考查学生基本的计算能力.28.【2015高考重庆，文18】已知函数f(x)=122cos x . (Ⅰ)求f （x ）的最小周期和最小值，(Ⅱ)将函数f （x ）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图像.当x ∈,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，求g(x)的值域.【答案】（Ⅰ）()f x 的最小正周期为p ，最小值为-，（Ⅱ）. 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先用降幂公式将函数21()sin 22f x x x =-的解析式化为()sin()f x A x B ωϕ=++的形式，从而就可求出()f x 的最小周期和最小值，（Ⅱ）由题目所给变换及（Ⅰ）的化简结果求出函数()g x 的表达式，再由,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦并结合正弦函数的图象即可求出其值域．试题解析： (1) 211()sin 2sin 2cos 2)22f x x x x x =-=-+1sin 22sin(2)23x x x p =--=--,因此()f x 的最小正周期为p ，最小值为-(2)由条件可知：g()sin()3x x p =--当[,]2x p p Î时，有2[,]363x p p p-?， 从而sin()3x p -的值域为1[,1]2，那么sin()3x p --的值域为.故g()x 在区间[,]2pp 上的值域是. 【考点定位】1. 三角恒等变换，2.正弦函数的图象及性质，3.三角函数图象变换.【名师点睛】本题考查三角恒等变形公式及正弦函数的图象及性质，第一问采用先降幂再用辅助角公式将已知函数化为()sin()f x A x B ωϕ=++的形式求解，第二小问在第一问的基础上应用三角函数图象变换知识首先求出函数()g x 的解析式，再结合正弦函数的图象求其值域.本题属于中档题，注意公式的准确性及变换时的符号. 28.【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为,12,cos ,4b c A -==-（I ）求a 和sin C 的值; （II ）求πcos 26A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】（I ）a =8,sin C =（II 【解析】（I ）由面积公式可得24,bc =结合2,b c -=可求得解得6, 4.b c ==再由余弦定理求得a =8.最后由正弦定理求sin C 的值;（II ）直接展开求值.试题解析:（I ）△ABC 中,由1cos ,4A =-得sin A = 由1sin 2bc A =,得24,bc = 又由2,b c -=解得6, 4.b c == 由2222cos a b c bc A =+- ,可得a =8.由sin sin a cA C=,得sin C =（II ）)2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,=【考点定位】本题主要考查三角变换及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查基本运算求解能力.【名师点睛】解三角形问题实质是附加条件的三角变换,因此在解三角形问题的处理中,正弦定理、余弦定理就起到了适时、适度转化边角的作用,分析近几年的高考试卷,有关的三角题,大部分以三角形为载体考查三角变换.。
