必修四：1.2.2同角三角函数的基本关系(第2课时)

提示：由sin2α+cos2α=1和已知等式可解出sinα和cosα.
由已知条件得
分子分母同除以cos2α可得关于tanα的方程.
(cos 2sin )2 sin2 cos2
5，
第十二页，共46页。
【解析( jiě xī)】方法一：因为cosα+2sinα5，=
所以cosα=-2sinα 5，
10
10
10
方法二：(cosα+2sinα)2= cos2 4sincos 4sin2
sin2 cos2
由 1tan4tαtaan=n23，4知1tanα2为第1一 4象3限23角14 或3第2 三140(9dì sān)象限角，
所以cosα+2sinα= 7 10 . 10
第十八页，共46页。
第九页，共46页。
【总结提升】 对同角三角函数基本关系的五点说明(shuōmíng) (1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规 律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使 函数有意义的前提下).关系式成立与角的表达形式无关，如 sin23α+cos23α=1. (2)sin2α是(sinα)2的简写，不能写成sinα2.
5.
第二十三页，共46页。
类型二 利用同角三角函数基本关系(guān xì)化简
【典例】1.(2015·六安高一检测)已知α是第一象限角，则
1 cos =( )
1 cos
A. 2
B. 2
2.化sin简：(1)
cos
sin cos .
(2)
θtan是 第1二象限角.
sin2 sin4，
C.2tan

1.2.2同角三角函数的基本关系（教案）云大附中数学组黄波一、教学目标：1.知识与技能目标：（1）能根据三角函数的几何、代数定义导出同角三角函数的基本关系式；（2）会用同角三角函数的基本关系式求任意角的三角函数值、化简三角函数式、证明简单的三角恒等式.2、过程与方法目标：（1）通过对同角三角函数关系式的探究，体会从特殊到一般的分析问题的方法和数形结合思想；（2）已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，进一步树立分类思想；解题时，注重化归的思想，将新题目化归到已经掌握的知识点上；3.情感、态度、价值观目标：通过教学，让学生体会解决数学问题一般方法观察类比猜想检验证明.二、教材分析：本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学必修4》第1.2.2节，课型为新授课，所用的教材为人民教育出版社A版，课时安排为1课时，所用教具主要为多媒体、实物投影仪.本节课是在完成了任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义、符号等教学之后进行的.是对前面三角知识的延续，同时为后续进行三角函数相关内容打下重要基础。

因此本节内容具有承前启后的作用.另外，本节内容是三角函数部分的重要内容，是三角计算的基础.三、学情分析：本节课的教学对象是高一学生，时间为高一下学期.学生的数学基础较好.四、教学重、难点： 教学重点：公式1cossin22=α+α和α=ααtan cos sin 的推导及其应用教学难点：同角三角函数的基本关系式的应用五、教学过程：（一）、复习导入并提出问题1、22(3,4),sin cos .P ααα-+已知角的终边经过点求的值2、22sincos33ππ+=3、22sin 20cos 20+=学生猜测22sin 20cos 20+等于多少.（二）、探究新知：1、利用几何画板检验学生的猜测结果.2、22sin cos 1αα+=的证明.3、在证明22sin cos 1αα+=过程中导出sin tan cos ααα=.4、结论：（1）22sin cos 1αα+=；（2）sin tan cos ααα=.此处暂不谈α所满足的条件.5、为了让学生及时熟悉公式，同时为后续学生归纳“同角”作铺垫，要求学生完成以下的课堂练习：2222(1)sin ()cos ()33ππ-+-22(2)sin (2)cos (2)44x x ππ+++22(3)sin 30cos 45+sin 60(4)cos 60sin 90(5)cos 907、学生交流、讨论，最终在教师的引导下得到上述两个公式中应该注意的问题： （1）注意“同角”指相同的角，指出此公式运用的条件是同角. 例如： 12cos2sin22=+αα、12cos2sin22=+αα；此处学生可能会误认为只有角相同时正余弦平方和才等于1，角不同时一定不等于1. 比如：22sin 60cos 420+=1。

cos (1 sin ) 2 1 sin
1 sin 右边 cos cos 1 sin 因此 1-sin cos
cos (1 sin ) cos 2
例6 求证： (2)sin cos 2sin 1
4 4 2
证明：原式左边=(sin cos )(sin cos )
2 2 2 2
sin cos 2 2 sin (1 sin ) 2 2sin 1 右边
2 2
因此 sin cos 2sin 1
4 4 2
例6 求证：
2 2
变形运用
求值、化简、证明
3、思想方法
方程的思想、数形结合、化归 抓住问题的关键、利用三角函数的定义
4、研究问题的方法
作业：
教材34页 习题1-2 A组zxxk
8、9 选作 习题1-2 B组
1、(1) 2、3
课后思考 sin 1、你能探讨一下关系式 tan cos 的几何意义吗？
2、已知tan =2 sin +cos 求 的值. sin -cos
谢谢大家！
变形
切化弦、 “1”的代 换
cosx 1 sin x 例7 求证 1-sinx cos x
证明：因为 （ 1-sinx）(1+sinx )=1-sin x cos x cos x cos x
2 2
所以原式成立.
注:证明的方法
1、化繁为简，即将较复杂的一边进行恒等变 形，证明它与另一边相等。 2、左右归一，当等式两边都比较复杂时，可 对两边同时变形为相同的结果。 3、等价转化，当给定的恒等式不容易证明时 ，可考虑转化为与之等价且较为简单的等式 的证明。 4、作差，判断两个式子的差为零。

所以 cos2α＝190，由 α 为第二象限角，易知 cosα<0，所以 cos α＝－31010，sin α＝ 1100，
C．sin 54π＋α＝12
B．cos π4－α＝12 D．cos 54π－α＝－12
解析：由 sin π4＋α＝12，可得 cos (π4＋α)＝± 23，sin 54π＋α＝sin π＋π4＋α＝－sin π4＋α＝－12，cos π4－α＝cos [π2－π4＋α]＝sin π4＋α＝12，cos 54π－α＝cos π＋π4－α＝ －cos π4－α＝－12.
(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α；
sin α＝tan αcos αα≠π2＋kπ，k∈Z；
sin
2α＝sin
sin 2α 2α＋cos
2α＝tanta2nα2＋α 1；
cos2α＝sin
cos 2α 2α＋cos
2α＝tan21α＋1.
【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若 α，β 为锐角，则 sin2α＋cos2β＝1.( ) (2)sin(π＋α)＝－sin α 成立的条件是 α 为锐角．( ) (3)若 α∈R，则 tan α＝csoins αα恒成立．( ) (4)若 sin (kπ－α)＝13(k∈Z)，则 sin α＝13.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．三角函数的诱导公式
组数
一
二
三
四
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α
－α
π－α
正弦 余弦 正切
口诀
__s_in__α__ __c_o_s_α__ __ta_n__α__
__－__s_i_n_α__ __－__s_in__α__ __s_in__α__ __－__c_o_s_α__ __co_s__α__ _－___co_s__α__ __t_an__α__ __－__t_a_n_α__ _－___ta_n_α___