高中数学必修四课件1.2.2同角三角函数的基本关系

一 同角三角函数的基本关系
例 6 已知tan α＝k，且角α在第三象限，求sin α，cos α .
解 由角α在第三象限知：sin α ＜0，cos α ＜0.
由
sin cos
tan
k
，得sin
α＝kcos
α
.
将上式代入 sin2α＋cos2α ＝1，
பைடு நூலகம்
得 k2cos2α＋cos2α＝1，
即
cos2α＝
同角三角函数的基本关系
一 同角三角函数的基本关系
我们给一个角α定义了正弦、余弦、正切这三种三角函数．从定义中可以 看出这些函数是相互关联的，我们希望可以由其中一个函数计算出其他函数 的值．
为此我们需找出同一个角的正弦、余弦、正切的关系式．
一 同角三角函数的基本关系
如图5.2-7，设α＝∠xOM是任意角．以点O为圆心作单位圆与角α的终边交于 点P，并作角α的正弦线DP和余弦线OD.在Rt△OPD中，由勾股定理得
图5.2-7
一 同角三角函数的基本关系
例 5 已知 sin 5 ，并且α是第四象限角，求cos α，tan α .
13 解 由sin α，cos α之间的关系式sin2α＋cos2α ＝1及第四象限角的余弦cos α＞0
得
cos
1 sin2
1
5 13
2
12， 13
tan sin 5 13 5 . cos 13 12 12
α＋cos
α＝
1 5
，求sin
α·cos
α的值．
解
因为sin
α＋cos
α＝
1 5
，
两边平方，得(sin α＋cos α)2＝ 1 ， 25

知识探究（一）：基本关系
思考1：如图，设α是一个任意角，它
的终边与单位圆交于点P，那么，正弦
线MP和余弦线OM的长度有什么内在联
系？由此能得到什么结论？
y P
1
MO
x
思考2：上述关系反应了角α的正弦和 余弦之间的内在联系，根据等式的特点， 将它称为平方关系.那么当角α的终边 在坐标轴上时，上述关系成立吗？
y P
P Ox
思考3：设角α的终边与单位圆交于点
P（x，y），根据三角函数定义，有
，
，
，
由此可得sinα，cosα，tanα满足什
么关系？
思考4：上述关系称为商数关系，那么商 数关系成立的条件是多么？
思考5：平方关系和商数关系是反应同一 个角的三角函数之间的两个基本关系， 它们都是恒等式，如何用文字语言描述 这两个关系？
同一个角的正弦、余弦的平方和等于1， 商等于这个角的正切.
知识探究（二）：基本变形 思考1：对于平方关系 可作哪些变形？
sin2 cos2 1
思考2：对于商数关系 哪些变形？
可作
思考3：结合平方关系和商数关系， 可得到哪些新的恒等式？
思考4：若已知sinα的值，如何求cosα 和tanα的值？
思考5：若已知tanα的值，如何求sinα 和cosα的值？
理论迁移
例1 求证：
例2 已知
,求
若α是第三象限角，则
若α是第四象限角，则
， 的值.
，
.
，
.
例3 已知tanα=2，求下列各式的值.
（1）
；（2）
5 2
例4 已知 求
， 的值.
小结作业
1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个 角而言的，由此可以派生出许多变形公式， 应用中具有灵活、多变的特点.

故 tan ������
1 sin2������
-1
=
tan
������
1-sin2������ sin2������
=
tan
������
cos������ sin������
=
sin������ cos������
·-scions������������
=
−1.
(2)证法一:sin2α+cos2α=1⇒1-cos2α=sin2α
sin������ 1 + cos������ ∴ 1-cos������ = sin������ .
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
题型四 已知 tan α 的值求其他代数式的值
【例4】 已知tan α=7,求下列各式的值.
(1)
sin������+cos������ 2sin������-cos������
则 sin α=−
1-cos2 ������
=
−
15 17
,
tan
������
=
sin������ cos������
=
185.
反思已知cos α(或sin α)求tan α时,先利用平方关系求出sin α(或 cos α),再利用商关系求出tan α.注意在求sin α(或cos α)时,往往需分 类讨论α所在的象限.
证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统 一的过程,证明的方法在形式上显得较为灵活.常用的有以下几种:
(1)直接法——从等式的一边开始直接化为等式的另一边,常从比 较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性.
(2)综合法——由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到 所要证明的等式,其依据是等价转化的思想.

cos (1 sin ) 2 1 sin
1 sin 右边 cos cos 1 sin 因此 1-sin cos
cos (1 sin ) cos 2
例6 求证： (2)sin cos 2sin 1
4 4 2
证明：原式左边=(sin cos )(sin cos )
2 2 2 2
sin cos 2 2 sin (1 sin ) 2 2sin 1 右边
2 2
因此 sin cos 2sin 1
4 4 2
例6 求证：
2 2
变形运用
求值、化简、证明
3、思想方法
方程的思想、数形结合、化归 抓住问题的关键、利用三角函数的定义
4、研究问题的方法
作业：
教材34页 习题1-2 A组zxxk
8、9 选作 习题1-2 B组
1、(1) 2、3
课后思考 sin 1、你能探讨一下关系式 tan cos 的几何意义吗？
2、已知tan =2 sin +cos 求 的值. sin -cos
谢谢大家！
变形
切化弦、 “1”的代 换
cosx 1 sin x 例7 求证 1-sinx cos x
证明：因为 （ 1-sinx）(1+sinx )=1-sin x cos x cos x cos x
2 2
所以原式成立.
注:证明的方法
1、化繁为简，即将较复杂的一边进行恒等变 形，证明它与另一边相等。 2、左右归一，当等式两边都比较复杂时，可 对两边同时变形为相同的结果。 3、等价转化，当给定的恒等式不容易证明时 ，可考虑转化为与之等价且较为简单的等式 的证明。 4、作差，判断两个式子的差为零。

能力训练(化简)
例3.化简 : 1 2 sin 2 10 cot 10 sin 10 1 sin 2 10
sin 10 cos 10 1. (sin 10 cos 10 ) (sin 10 cos 10 ) 2 sin 10 cos 10
补充题 : 已知cot m(m 0), 求cos .
同角三角函数基本关 系式的记忆方法
sin
cos
tan
1.倒三角形上两角数的平 方等于下角数的平方.
1
sec
csc
cot
2.实线的端点数的乘积等 于中间数 3.虚线的端点数的乘积等于中间数.
第二课时
学习本节的目的要求:
5.已知tan m(m 0), 求的其他三角函数值 .
同角三角函数基本关 系式的记忆方法
sin
cos
tan
1.倒三角形上两角数的平 方等于下角数的平方.
1
sec
csc
cot
2.实线的端点数的乘积等 于中间数 3.虚线的端点数的乘积等于中间数.
能力训练(化简)
例1.化简 : 1 sin 2 440
2.三角函数的定义域
三角函数 定义域
R R

sin cos tan
{ | R且
cot sec
2 { | R且 k , k Z }
k , k Z } k , k Z }
{ | R且
csc
2 { | R且 k , k Z }
1 2
2 2 2 2
3 2
1
0 1
0
cos

cos2 a =
1,
1 + tan2 a
sin2 a
=
tan2 a 1 + tan2 a
.
思考4：若已知sinα 的值，如何求cosα 和tanα 的值？
cos a = ? 1 sin2 a , tan sin .
cos
思考5：若已知tanα 的值，如何求sinα 和cosα 的值？
cos a = ?
sin2 cos2 1
y P
P Ox
思考3：设角α 的终边与单位圆交于点
P（x，y），根据三角函数定义，有
s由in此可 得y s，icnoαs，coxsα，t，antanxyα(x
0) ， 满足什
么关系？
sin tan cos
思考4：上述关系称为商数关系，那么商 数关系成立的条件是多么？
cos

4 ，tan
5


3.
4
例3 已知tanα =2，求下列各式的值.
（1） sin
a
1 ×cos
a
；（2）1 -
1+ 1 sin a 1 + sin a
5 2
例4 已知 sin q + cos q = 1，
2
求 sin4 q + cos4 q 的值.
小结作业 1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个 角而言的，由此可以派生出许多变形公式， 应用中具有灵活、多变的特点.
1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系
问题提出
1.任意角的正弦、余弦、正切函数分别
是如何定义的？
sin y cos x tan y (x 0)

5
A. 4 3
B. 3 4
C. 4 3
D. 3 4
达标测试：
4、已知tan 4, 求(1) sin 2cos
2sin 5cos
1
(2) sin2 2sin cos
解：(1)原式分子分母同除以cos得 tan 2 4 2 2 2 tan 5 2 4 5 13
(2)原式可变形为
a2 a
a(a 0)
a(a 0)
达标测试：
1、sin2 2011 cos2 2011 A
A、1 B、2 C、2011 D、不能确定
2、已知tan 5 , 且是第四象限角,则sin等于D
12
A. 1 5
B. 1 5
C. 5 13
D. 5 13
3、已知cos 4 , (0, ),则tan的值为 B
2.两种关系式(公式)都必须在定义域允许的范围内成立.
基本变形
思考1：对于平方关系 sin2 cos2 1
可作哪些变形？
sin2 1 cos2 , cos2 1 sin2 ,
sin 1 cos2 cos 1sin2
思考2：对于商数关系 sin tan 可作
哪些变形？
1 1（
3)2
16 cos
25
4 5
4
当为第二象限角时，sin 3 , cos 4
5
5
当为第四象限角时，sin 3 , cos 4
5
5
小结
同角三角函数的基本关系式
1、掌握同角三角函数基本关系式并牢记.
sin2 cos2 1, sin tan,
2、应用（1）求值
cos
①应用公式（重点） ②列方程组
sin 2 cos2 sin2 2sin • cos

5
55
5
5
3.已知cos α= 1 ，且α是第四象限角，则sin α=（ ）
2
A . 1
B .3 C .3 D . 1
2
2
2
2
【解析】选C.因为α是第四象限角，所以sin α＜0，
所以 sin 1cos21(1)23.
22
6
4.化简：s i n =_______.
tan
【解析】
sin tan
10
10 10
方法二：(cosα+2sinα)2= cos24sincos4sin2
sin2cos2
1 4 ta n 4 ta n 2 1 4 3 4 3 2 4 9
由已知条件得
分子分母同除以cos2α可得关于tanα的方程.
(cos2sin)2 sin2cos2
5，
12
【解析】方法一：因为cosα+2sinα= 5 ， 所以cosα=-2sinα 5 ， 又因为sin2α+cos2α=1，所以sin2α+(-2sinα- )2=5 1， 整理得5sin2α+4 s5 inα+4=0，( si5 nα+2)2=0，
sin sin
cos.
答案：cos θ cos
7
5.已知tan φ=- 2 ，φ∈( ，π)，则sin φ=_____.
2
sin 2 cos 2 1，
【解析】由已知得
sin cos
所以
2，
sin2(sin)2 1， 2
所以sin2φ= 2 ，由φ∈( ， π)得sin φ＞0，
3
2
限决定的，不可凭空想象.
11

1.2.2 同角三角函数的基本关系
复习回顾
1.任意角的三角函数定义？
2.任意角的三角函数线定义？
归纳探索
sin 30 45 60 150
1 2
2 2
3 2
cos tan
3 2
2 2
sin cos
2 2
3 3
1 1 1 1
sin cos 3 3
1
3
3 3
1
1）从左向右证
2）从右向左证
3）左右两边同时证
4）证其等价变形的成立性
单方向证明时选取“由繁到简”的方向.
练习
2sin 3cos (1)已知 tan 3求 sin 4cos
(2) ( 3) 已知 tan 3求角三角函数的基本关系
sin cos sin cos cos sin cos sin cos cos
sin cos cos cos sin cos cos cos
弦化切
tan 1 tan 1
21 3 21

同角三角函数基本关系:
sin cos 1
2 2
称为平方关系
sin tan cos
关于两种关系
1.“同角”的概念与角的表达形式无关.
称为商数关系
如 : sin 2 3 cos 2 3 1;
2.关系式(公式)必须在定义域允许的范围内成立. 3.掌握公式的正用、逆用、变形用。
3
3 3
1 2
1 2
3 2
sin cos 1
2 2
sin tan cos

17
分析：∵cosα＜0 ∴α是第二或第三象限 角．因此要对α所在象限分类讨论. 解：当α是第二象限角时，
s in1 c o s2 1 ( 8 )2 1 5 , 1 7 1 7
15
tansin 17 15.
cos 8 8
17
2020/10/16
7
当α是第三象限角时，
s in 1 c o s 2 1 ( 8 )2 1 5 , 1 7 1 7
A(1,0)
思考 当角α 的终边在坐标轴上时,关系式是否还成立？
当角 α 的终边在x 坐标轴上时, s2 i n c2 o 0 s 1 1
当2角020/α10/的16 终边在y坐标轴上时, s2 i n c2 o 1 s0 12
探究2 观察任意角α的三角函数
siny, c o s x ,tany,(x0) x
2020/10/16
tan tan21
2
22
1
2 5
13
例 3、已知 tan 2，求下面各式的值。
( 4 ) sin cos 2
5
2020/10/16
14
应用2:化简三角函数式:
例4:化简： 1sin2440
解： 1 sin 2 440 1 sin 2 80 cos 2 80 cos 80
1 sin 2 440 cos 2 440 cos 440 cos 80
cos 80
2020/10/16
cos 80 15
1co tsan 212c2os2sin21
切化 ta弦 ncs： ions
解 co ： ts an co •s c si o nssin
2020/10/16
角.2020/10/16

互动探究 探究点1 同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？
提示 同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都
有意义．所以sin2α＋cos2α＝1对于任意角α∈R都成立，而
sin cos
αα＝tan
α并不是对任意角α∈R都成立，这时α≠kπ＋π2，k∈
Z.
探究点2 在利用平方关系求sin α或cos α时，其正负号应怎样确 定？
＝tan
tan2αsin2α α－sin αtan
αsin
α＝tatnanαα－sisninαα＝左边，
∴原等式成立．
[规律方法] (1)证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异， 有目的的化简． (2)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简． (3)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【活学活用2】 化简：
1－2sinα2cosα2＋ 1＋2sinα2cosα20<α<π2.
解 原式＝
cosα2－sinα22＋
cosα2＋sinα22
＝cosα2－sinα2＋cosα2＋sinα2.
∵α∈0，π2，∴α2∈0，π4.
利用tan α＝csoins αα和sin2α＋cos2α＝1向等号左边式子进行转化；
也可利用tan
α＝
sin cos
α α
将等号左、右两边式子进行切化弦，结
合sin2α＋cos2α＝1达到两边式子相等的目的．
证明
∵右边＝ tan
tan2α－sin2α α－sin αtan αsin
α
＝tantaαn2－α－sintaαn2tαacnoαs2sαin α＝tantαan－2αsi1n－αctaons2ααsin α

【例】 已知 tanα＝2，则 (1)24ssiinnαα－ －39ccoossαα＝________； (2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝________.
【思维导图】
【解】 (1)24ssiinnαα－ －39ccoossαα＝24ttaannαα－－39＝24× ×22－ －39＝－1. (2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α ＝4sin2α－si3ns2iαn＋αccoossα2－α 5cos2α， 因为 cos2α≠0，所以分子和分母同除以 cos2α， 则 4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝4tan2tαa－n2α3＋tan1α－5 ＝4×4－4＋3×1 2－5＝1.
(2)sin2α是(sinα)2的简写，不能写成sinα2.
(3)在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意 义，如式子tan90°＝csoins9900°°不成立．
(4)注意公式变形的灵活应用． (5)在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角 α所在的象限决定的．当角所在象限不明确时，要进行分类 讨论．
cos2α sin2α
(2)原式＝1－sincoαsα·
csoinsαα－sinα csoinsαα＋sinα
＝1－sincoαsα·
1－cosα 1＋cosα
＝1－sincoαsα·
1－cosα2 1－cos2α
＝1－sincoαsα·1－|sincoαs| α
＝±1.
通法提炼 同角三角函数关系化简常用方法有： ①化切为弦，减少函数名称；②对含根号的，应先把 被开方式化为完全平方，去掉根号；③对含有高次的三角 函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化 简．
【评析】 形如(2)式的求解，应灵活利用“1”的代换， 将整式变为分式，即可利用分式的性质将式子变为关于 tanα 的代数式，从而代入求值．

(2)平方关系： sin cos 1 ；
2 2
y ， x r . y
sec tan 1 ；
2 2
csc cot 1 ；
2 2
知识探究（一）：同角三角函数公式
1. 同角三角函数公式：
y x (1)三角函数定义： sin ， cos ， tan r r x r cot ， sec ， csc y x
sin cos (2)商数关系： tan ； cot . cos sin
y ， x r . y
知识探究（二）：利用三角公式求值步骤
2. 利用同角三角函数公式 求值的步骤： 第一步：定号：由角所 在象限来确定； 第二步：换名：
同名：弦化弦；切化切 ；割化割； 正化余；余化正； 异名：切割化弦，弦化 切割；
5 例1. 已知是第二象限角，且sin . 13 (3)求 cot的值.
问题探究（一）：利用同角三角公式求值
4 例2. 已知 cos ，求 sin ， tan ， cot 的值. 5
问题探究（一）：利用同角三角公式求值
例3. 已知2 sin cos . cos 3 sin (1)求 的值； cos 4 sin
8. 求证： sin 4 cos4 sin 2 cos2 .
问题探究（四）：用公式证明三角恒等式
例9. 求证： sin 4 sin 2 cos2 cos2 1.
作业安排：
1. 预习内容：三角函数的诱导 公式及教材上的练习；
y ， x r . y
(2)倒数关系： sin csc 1 ； cos sec 1 ； tan cot 1 ；

§1.2.2 同角三角函数的基本关系
一、问题导学 1、任意角的三角函数是如何定义的？
2、设P(x,y)是角 α 终边与单位圆的交点， x与y之间有什么关系？sinα 与 cosα 之间有 什么关系？这个关系对于任意角都成立吗？
y 角 的终边
P(x,y)
Mo
A(1,0) x
二、探讨新知
探究：sin ,cos , tan 之间有何关系？
不成立. 如sin230º+cos260º≠1. 2.同角不要拘泥于情势 α， ，6α 等等都可以.
2
如sin24α+cos24α=1. 3. 商数关系中注意限制条件. 即 cosα≠0， k (k Z)
2
4. 公式变形：
sin2 1 cos2 sin 1 cos2
sin2 cos2 1 cos2 1 sin2 cos 1 sin2
sin y 3
r5
cos x 4
r5
（2）当 III 时 x 0, y 0
不妨设x=-4，y=-3 r x2 y2 5
sin y 3
r5
cos x 4
r5
例3、已知tan 2,求下面各式的值。
（1）sin cos sin cos
sin cos (2) sin2 cos 2
cos
2
2.同角三角函数关系的基本关系的应用
求值、化简、证明等式
17 17
15
tan
sin cos
17 8
15 . 8
17
（ⅱ）当α是第三象限角时，
sin 15 , tan 15 .
17
8
例2、已知
tan
3 4
，求
sin , cos 的值。

• P23 练习5〔2〕
s i n 4 s i n 2 c o s 2 c o s 2 1
si2 nco 2s1
第七页，编辑于星期五：十五点 五十四分。
同角公式的应用：证明
• P25 A13〔1〕 1co2xs2sixnscixon2xs11 ttaaxxnn
分析： 12sixncoxs s2 ix n c2 o x s 2 sixc no x s
2cos2 1 (2) 12sin2
1换s为 i2n co2s
解 ： 1 2 c o 2 s2 si n 2 12 (s c io n s 2 2 c (o ss in 2 2 ) 2 c s o is n 2 2 )
cos2sin2 cos2sin2
1
第三页，编辑于星期五：十五点 五十四分。
• P 22 例7
(1six)n1 (six)n
1sin2x
cos2 x
第十页，编辑于星期五：十五点 五十四分。
小结
1.证明方法 〔1〕由左往右证 〔2〕由右往左证
由复杂的一端向简 单的一端化简
〔3〕两面夹
2.技巧
(1) 1换s为 i2 nco 2s
(2)切化ta弦 n： csions
(3 )1 2 sixc no x (ssx ic no x )2s
• P23 练习5〔1〕
s4 in c4 o s2 in c2 o s
分析：由左往右证
证明： s左 i4n边 co4s
(s2i n c2 o)s(2 s icn2 o)s
si2 nco 2s1
si2n co2s 右边
原式成立
第六页，编辑于星期五：十五点 五十四分。P23 练习4
(1)costan

5 (2011～2012· 琼海高一检测)已知sinθ＝ 13 ，求cosθ，tanθ 的值． [分析] 首先由正弦值判断角θ所在象限，再据此利用同
角三角函数的基本关系分别求解cosθ，tanθ的值．
第一章
1.2.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
5 ∵sinθ＝ >0，∴θ是第一或第二象限角．当θ为 13
第一章
1.2.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
自主预习 认真阅读教材P18－20回答下列问题． 同角三角函数的基本关系 (1)关系式： ①平方关系：sin2α＋cos2α＝1. sinα π ②商关系：cosα＝ tanα (α≠kπ＋2，k∈Z)． (2)文字叙述：同一个角α的正弦、余弦的 平方和 等于1， 商等于角α的 正切 ．
第一章 1.2.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
7 15 已知sinα＝8，cosα＝ 8 ，则tanα等于( 7 A.8 15 C. 7
[答案] D
)
15 B. 8 7 D.15 15
第一章
1.2.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
sin22013° ＋cos22013° ＝________.
第一章 1.2.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
sinα 1 (1)tanα＝cosα＝－2，∴cosα＝－2sinα
又sin2α＋cos2α＝1，∴sin2θ＋4sin2α＝1 1 5 ∴sin α＝5，∴sinα＝± 5
2
2 5 当α为第二象限角时，cosα＝－ 5 ， 5 sinα＋2cosα＝－ ， 5
[答案] A