精品高考理科数学(人教版)一轮复习练习：第二篇第9节函数模型及其应用

第九节 函数模型及其应用【最新考纲】 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y ＝kx ＋b(k≠0)． (2)反比例函数模型：y ＝kx(k≠0)．(3)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a ≠0)． (4)指数函数模型：y ＝a·b x ＋c(b>0，b ≠1，a ≠0)型． (5)对数函数模型：y ＝mlog a x ＋n(a>0，a ≠1，m ≠0)型． (6)幂函数模型：y ＝a·x n＋b(a≠0)型． 2．三种函数之间增长速度的比较1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝2x的函数值比y ＝x 2的函数值大．( ) (2)幂函数增长比直线增长更快．( ) (3)不存在x 0，使ax 0<x n0<log a x 0.( )(4)f(x)＝x 2，g(x)＝2x ，h(x)＝log 2x ，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)<f(x)<g(x)．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y ＝alog 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到( )A ．200 只B ．300 只C ．400 只D ．500 只解析：依题意100＝alog 3(2＋1)，得a ＝100， ∴y ＝100 log 3(8＋1)＝200 (只)． 答案：A3．(2015·某某卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8. 答案：C4．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )解析：前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A 、C 图象符合要求，而后3年年产量保持不变．产品的总产量应呈直线上升，故选A.答案：A5．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价收费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另外每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析：设出租车行驶了x km ，付费y 元，由题意得 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋2.15×（x －3）＋13<x≤8，8＋2.15×5＋2.85×（x －8）＋1，x>8. 当x ＝8时，y ＝19.75<22.6，因此由8＋2.15×5＋2.85×(x－8)＋1＝22.6得x ＝9. 答案：9一个程序解决实际应用问题的一般步骤(四步八字)1．审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； 2．建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；3．求模：求解数学模型，得出数学结论： 4．还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：三点注意1．认真分析题意，合理选择函数模型是解决应用问题的基础．2．要特别关注实际问题的自变量的取值X围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．一、选择题1．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象是( )解析：注意到y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.答案：D2．(2014·某某卷)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p＋q2B.（p＋1）（q＋1）－12C.pqD.（p＋1）（q＋1）－1解析：设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p ＋1)(q ＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则(1＋x)2＝(p ＋1)(q ＋1)，解得x ＝（p ＋1）（q ＋1）－1.答案：D3．某个体企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪都比上一年增加20%，另外每年新招3名工人，每名新工人的第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，如果将第n 年企业付给工人的工资总额y(万元)表示成n 的函数，则其表达式为( )A ．y ＝(3n ＋5)1.2n＋2.4 B ．y ＝8×1.2n＋2.4n C ．y ＝(3n ＋8)1.2n＋2.4 D ．y ＝(3n ＋5)1.2n －1＋2.4解析：第一年企业付给工人的工资总额为：1×1.2×8＋0.8×3＝9.6＋2.4＝12(万元)，而对4个选择项来说，当n ＝1时，C 、D 相对应的函数值均不为12，故可排除C 、D ，A 、B 相对应的函数值都为12，再考虑第2年企业付给工人的工资总额及A 、B 相对应的函数值，又可排除B.答案：A4．一高为H ，满缸水量为V 的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h 时的水的体积为v ，则函数v ＝f(h)的大致图象可能是图中的( )解析：当h ＝0时，v ＝0可排除A 、C ；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h 在H2附近时，体积变化较快；h 小于H 2时，增加越来越快；h 大于H2时，增加越来越慢．答案：B二、填空题6．A 、B 两只船分别从在东西方向上相距145 km 的甲乙两地开出，A 从甲地自东向西行驶．B 从乙地自北向南行驶，A 的速度是40 km/h ，B 的速度是16 km/h ，经过________小时，AB 间的距离最短．解析：设经过x h ，A ，B 相距为y km ， 则y ＝（145－40x ）2＋（16x ）2(0≤x≤298)，求得当函数取最小值时x 的值为258.答案：2587．(2006·某某模拟)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝ae－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝ae－8b＝12a ， ∴e－8b＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时， 即y ＝ae－bt＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b， 则t ＝24，所以再经过16 min. 答案：168．要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)解析：设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4xm ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ×4x＝160⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取等号，所以该容器的最低总造价为160元．答案：160 三、解答题10．某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时．本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x－0.4)元成反比例．又当x＝0.65时，y＝0.8.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]解析：(1)∵y与(x－0.4)成反比例，∴设y ＝kx －0.4(k≠0)．把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式， 得0.8＝k0.65－0.4，k ＝0.2.∴y ＝0.2x －0.4＝15x －2，即y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2. (2)根据题意，得⎝⎛⎭⎪⎫1＋15x －2·(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)． 整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0， 解得x 1＝0.5，x 2＝0.6.经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根． ∵x 的取值X 围是0.55～0.75， 故x ＝0.5不符合题意，应舍去． ∴x ＝0.6.∴当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.B 级 能力提升1．(2016·海淀一模)已知A(1，0)，点B 在曲线G ：y ＝ln x 上，若线段AB 与曲线M ：y ＝1x 相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点．那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：设B(t ，ln t)，则AB 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫1＋t 2，ln t 2，所以有ln t 2＝21＋t ，lnt ＝41＋t ，因此关联点的个数就为方程ln t ＝41＋t 解的个数，由于函数y ＝ln t ，y ＝41＋t 在区间(0，＋∞)上分别单调递增及单调递减，所以只有一个交点．答案：B2．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f(n)＝12n(n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是______年．解析：设第n(n∈N *)年的年产量为a n ， 则a 1＝12×1×2×3＝3；当n≥2时，a n ＝f(n)－f(n －1)＝12n(n ＋1)·(2n＋1)－12n(n －1)(2n －1)＝3n 2. 又a 1＝3也符合a n ＝3n 2，所以a n ＝3n 2(n∈N *)．令a n ≤150，即3n 2≤150，解得－52≤n ≤52，所以1≤n≤7，n ∈N *，故最长的生产期限为7年.答案：73．(2015·某某卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，以l 1，l 2所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型． (1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为l. ①请写出公路l 长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．解：(1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)． 将其分别代入y ＝ax 2＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 25＋b ＝40，a400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x 2(5≤x≤20)，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t ，1 000t 2，设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，y ′＝－2 000x3，则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t3(x －t)，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2.故f(t)＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22＝32t 2＋4×106t4，t ∈[5，20]．②设g(t)＝t 2＋4×106t 4，则g′(t)＝2t －16×106t 5. 令g′(t)＝0，解得t ＝10 2.当t∈(5，102)时，g ′(t)<0，g(t)是减函数； 当t∈(102，20)时，g ′(t)>0，g(t)是增函数；从而，当t ＝102时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min ＝300，此时f(t)min＝15 3.故当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米．基本初等函数与函数的应用指数函数、对数函数是高考考查的热点，题型多以小题的形式出现，中低档难度；二次函数、函数的零点问题是高考考查的重点与热点，题型多以小题或大题的关键一步出现，中高档难度；备考时应理解相关概念，掌握其性质，并切实加强等价转化、数形结合、分类讨论思想的应用意识．强化点1 二次函数（多维探究）三个二次即二次函数、二次方程、二次不等式等知识交汇命题是高考考查的高频考点．常见的命题角度有：(1)二次函数的最值问题；(2)二次函数中恒成立问题；(3)二次函数的零点问题．角度一 二次函数的最值问题1．已知a 是实数，记函数f(x)＝x 2－2ax 在区间[0，1]上的最小值为f(x)min ，求f(x)min的解析式．解：∵f(x)＝x 2－2ax ＝(x －a)2－a 2，对称轴为x ＝a. ①当a<0时，f(x)在[0，1]上是增函数， ∴f(x)min ＝f(0)＝0.②当0≤a≤1时，f(x)min ＝f(a)＝－a 2. ③当a>1时，f(x)在[0，1]上是减函数， ∴f(x) min ＝f(1)＝1－2a ，综上所述，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，a<0，－a 2，0≤a ≤1，1－2a ，a>1.角度二 二次函数中恒成立问题2．已知a 是实数，函数f(x)＝2ax 2＋2x －3在[－1，1]上恒小于零，某某数a 的取值X 围．解：2ax 2＋2x －3<0在[－1，1]上恒小于0. 当x ＝0时，适合．当x≠0时，a<32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a<12.综上，实数a 的取值X 围是a<12.角度三 二次函数的零点问题3．(2016·某某二检)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x>ax 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g(x)＝f(x)－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值X 围是( )A ．[－1，1)B ．[0，2]C ．[－2，2)D ．[－1，2)解析：由题意知g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x>ax 2＋3x ＋2，x ≤a .因为g(x)有三个不同的零点，所以2－x ＝0在x>a 时有一个解，由x ＝2得a<2. 由x 2＋3x ＋2＝0得x ＝－1或x ＝－2， 由x≤a 得a≥－1.综上，a 的取值X 围为[－1，2)． 答案：D二次函数图象与性质问题解题策略1．对于二次项系数含参数的二次函数、方程、不等式问题，应对参数分类讨论，应以x 2的系数是否为0为标准分类讨论．2．当二次函数的对称轴不确定时，应分类讨论，分类讨论的标准就是对称轴在区间的左、中、右三种情况．3．求解过程中，求出的参数的值或X 围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．强化点2 指数函数与对数函数【例2】 已知0<a<1，则函数f(x)＝a －x与函数g(x)＝log a x 的图象在同一坐标系中可以是( )解析：因为0<a<1，所以1a >1，所以函数f(x)＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 的图象过点(0，1)且单调递增，函数g(x)＝log a x 的图象过点(1，0)且单调递减．答案：D已知含参函数的解析式，判断其图象的关键是：根据函数解析式明确函数的定义域、值域，函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断，即可得出正确选项．若能熟记基本初等函数图象特征与性质，则解答此类题目就可事半功倍．【变式训练】 已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f(log 47)，b ＝f(log 123)，c ＝f(0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c<a<bB ．c<b<aC ．b<c<aD ．a<b<c 解析：log 123＝－log 23＝－1og 49，b ＝f(log 123)＝f(－log 49)＝f(log 49)，log 47<log 49，0.2－0.6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35＝5125>532＝2>log 49，又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数， 故f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的， ∴f(0.2－0.6)<f(log 123)<f(log 47)，即c<b<a.答案：B强化点3 函数的应用【例3】 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f （x －1），x>0，若方程f(x)＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－∞，0]B ．[0，1)C ．(－∞，1]D ．[0，＋∞) 解析：函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f （x －1），x>0的图象如图所示，当a<1时，函数y ＝f(x)的图象与函数f(x)＝x ＋a 的图象有两个交点，即方程f(x)＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根．答案：C解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值X 围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值X 围内的大前提，以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能．【变式训练】 (1)函数f(x)＝3x＋12x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)解析：因为函数f(x)在定义域上单调递增， 又f(－2)＝3－2－1－2＝－269<0，f(－1)＝3－1－12－2＝－136<0，f(0)＝30＋0－2＝－1<0.f(1)＝3＋12－2＝32>0，所以f(0)f(1)<0.所以函数f(x)的零点所在区间是(0，1)． 答案：C(2)(2014·某某卷)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x 2－3x ，则函数g(x)＝f(x)－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}解析：令x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋3x ＝x 2＋3x. 因为f(x)是定义在R 上的奇函数， 当x<0时，f(x)＝－x 2－3x. 所以当x≥0时，g(x)＝x 2－4x ＋3.令g(x)＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3. 当x<0时，g(x)＝－x 2－4x ＋3.令g(x)＝0，即x 2＋4x －3＝0，解得x ＝－2＋7>0(舍去)或x ＝－2－7. 所以函数g(x)有三个零点，故其集合为{－2－7，1，3}． 答案：D一、选择题1．若函数f(x)＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0，2B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12解析：∵2a＋b ＝0，∴g(x)＝－2ax 2－a x ＝－ax(2x ＋1)． ∴零点为0和－12.答案：C2．(2015·某某卷)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．a<c<b C ．b<a<c D ．b<c<a解析：因为函数y ＝0.6x是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，即b<a<1.因为函数y ＝x 0.6在(0，＋∞)上是增函数，1<1.5，所以1.50.6>10.6＝1，即c>1.综上，b<a<c.答案：C3．已知a ，b ，c ∈R ，函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( ) A ．a>0，4a ＋b ＝0 B ．a<0，4a ＋b ＝0 C ．a>0，2a ＋b ＝0 D ．a<0，2a ＋b ＝0解析：由f(0)＝f(4)知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，即－b 2a ＝2，所以4a ＋b ＝0，又f(0)>f(1)且f(0)，f(1)在对称轴同侧，故函数f(x)在(－∞，2]上单调递减，则抛物线开口方向朝上，知a>0.答案：A4．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1，或x>12}，则f(10x)>0的解集为( )A ．{x|－1<x<－lg 2}B ．{x|x<－1，或x>－lg 2}C ．{x|x>－lg 2}D ．{x|x<－lg 2}解析：由题意知，f(x)>0的解集为{x|－1<x<12}．由f(10x )>0，∴－1<10x <12，解得x<lg 12，即x<－lg 2.答案：D5．如图是函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的图象，则函数g(x)＝ln x ＋f′(x)的零点所在区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．(1，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(2，3) 解析：由f(x)的图象知0<b<1，f(1)＝0，从而－2<a<－1，g(x)＝ln x ＋2x ＋a ，g(x)在定义域内单调递增，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋1＋a<0，g(1)＝2＋a>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·g(1)<0. 答案：C6．当x∈[－2，2]时，a x <2(a>0，且a≠1)，则实数a 的X 围是( )A ．(1，2) B.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1∪(1，2) D ．(0，1)∪(1，2) 解析：x∈[－2，2]时，a x <2(a>0，且a≠1)，若a>1，y ＝a x 是一个增函数，则a 2<2，得a< 2.故有1<a< 2.若0<a<1，y ＝a x 是一个减函数，则a －2<2，a>22.故有22<a<1.综上知a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1∪(1，2)．答案：C二、填空题7．(2015·课标全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，则a ＝________．解析：∵f(x)＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，∴4＝a×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.答案：－28．(2015·某某卷)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________． 解析：lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2 ＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.答案：－19. 已知函数f(x)＝ax 2＋4x ＋1在区间(－∞，1)有零点，则实数a 的取值X 围为________．解析：当a ＝0时，f(x)＝4x ＋1，函数f(x)的零点为x ＝－14，符合题意． 当a>0时，只需Δ＝16－4a≥0，即0<a≤4.当a<0时，函数f(x)在(－∞，1)上一定有零点．综上知，a ≤4.答案：(－∞，4]三、解答题10．函数f(x)＝m ＋log a x(a>0且a≠1)的图象过点(8，2)和(1，－1)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)令g(x)＝2f(x)－f(x －1)，求g(x)的最小值及取得最小值时x 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧f （8）＝2，f （1）＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1， 解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f(x)＝－1＋log 2x.(2)g(x)＝2f(x)－f(x －1)＝2(－1＋log 2x)－[－1＋log 2(x －1)]＝log 2x 2x －1－1(x>1)． ∵x 2x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥2 （x －1）·1x －1＋2＝4.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，则log 2x 2x －1－1≥log 24－1＝1， 故当x ＝2时，函数g(x)取得最小值1.。

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答案(dáàn) -n2+19n-60(n∈N*);5
解析(jiě xī) f(n)=26n-[680- (6=-n22n+)]19nn-60(n∈N*),设此经销商从第n
年开始盈利,
2
则
即 f (n 1) 0,
解得 f n
(n∴) n=05, . N*,
(n 1)2 19(n 1) 60 0, n2 19n 60 0,
n N*,
n 5或n 16, 4 n 15, n N*,
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考点(kǎo diǎn)突破
考点(kǎo diǎn)一 一次函数与二次函数模型 典例1 牧场中羊群的最大蓄养量为m只,为保证羊群的生长空间,实际 蓄养量不能达到最大蓄养量,必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增 长量y只与实际蓄养量x只和空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0). (1)写出y关于x的函数关系式; (2)求羊群年增长量的最大值; (3)当羊群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.
长2
4
量的和小于最大蓄养量,所以0<x+y<m.
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因为(yīn wèmi)当x= 时k,mymax= , 所以0< + 2 <m,解得-24<k<2. 又因为(ymī2n wkè4mi)k>0,所以0<k<2.
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易错警示(jǐnɡ shì) 一次函数与二次函数模型问题的3个注意点 (1)二次函数的最值问题一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定 要注意函数的定义域,否则极易出错; (2)确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法; (3)解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.

对于选项 B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客 量逐年增加，故 B 正确；
对于选项 C，D，由图可知显然正确．故选 A.
触类旁通 用函数图象刻画实际问题的解题思路
将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、 最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增 加、减少的缓急等)相吻合即可．
[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)函数 y＝2x 的函数值比 y＝x2 的函数值大．( × ) (2)幂函数比一次函数增长速度快．( × ) (3)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内 变化量较大的实际问题中．( √ )
(4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的 变化规律．( √ )
对数函数型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0)
幂函数型
f(x)＝axn＋b(a，b 为常数，a≠0)
考点 2 指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图 象与性质
[必会结论] “f(x)＝x＋ax(a＞0)”型函数模型 形如 f(x)＝x＋ax(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模 型： (1)该函数在(－∞，－ a]和[ a，＋∞)上单调递增，在 [－ a，0]和(0， a]上单调递减． (2)当 x＞0 时，x＝ a时取最小值 2 a， 当 x＜0 时，x＝－ a时取最大值－2 a.
第2章 函数、导数及其应用
第9讲 函数模型及其应用
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点 1 常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数型 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
二次函数型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)

第九节函数模型及其应用A组基础达标1.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=12x2+2x+20(万元).每一万件的售价是20万元,为获取最大利润,该企业一个月应生产该商品数量为()A.36万件B.18万件C.22万件D.9万件2.我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求.衡量音量大小的单位是分贝(dB),对于一个强度为I的声波,其音量的大小η可由如下公式计算:η=10lg II0(其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度),则70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的 ()A.76倍 B.1076倍 C.10倍 D.ln76倍3.(2020新高考Ⅰ,6,5分)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69) ()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天4.(2020湖南衡阳高三二模)2020年3月,国内新冠肺炎疫情得到有效控制,人们开始走出家门享受春光.某旅游景点为吸引游客,推出团体购票优惠方案如下表:购票人数1~50 51~100 100以上门票价格13元/人11元/人9元/人两个旅游团队计划游览该景点.若分别购票,则共需支付门票费1 290元;若合并成一个团队购票,则需支付门票费990元,那么这两个旅游团队的人数之差为()A.20B.301 / 19C.35D.405.(2020衡水中学实验学校高三一模)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k、b为常数),若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是小时.答案246.意大利著名科学家伽利略说:“给我空间,时间以及对数,我就可以创造一个宇宙.”他把对数与最宝贵的时间和空间相提并论,可见对数在人类科学史上是多么重要.在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg、火箭(除燃料)的质量m kg满足函数关系v= ).当燃料质量是火箭质量的倍时,火箭最大速度可达12 km/s.(e6≈403.429, 2 000ln(1+Mm结果保留整数)7.某公司有员工1 000名,平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力,公司决定优化产)万业结构,调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为10(a-x250元(a>0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润,则调整员工从事第三产业的人数应在什么范围?(2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,求a的取值范围.8.2018年10月24日,世界上最长的跨海大桥——港珠澳大桥正式通车.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是关于车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到220辆/千米时,将造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度小于20辆/千米,车流速度为100千米/时.研究表明当20≤x≤220时,车流速度v是关于车流密度x的一次函数.(1)当20≤x≤220时,求函数v(x)的表达式;(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)f(x)=x·v(x)可以达到最大?并求出最大值.B组能力拔高2 / 193 / 199.光线通过一块玻璃,强度要损失10%.设光线原来的强度为k ,通过x 块这样的玻璃以后强度为y ,则经过x 块这样的玻璃后光线强度为y =k ·0.9x ,要想使光线强度减弱到原来的14以下,至少需要通过这样的玻璃的块数是(lg 3≈0.477,lg 2≈0.3)( ) A.12 B.13 C.14 D.1510.因市场战略储备的需要,某公司1月1日起,每月1日购买了相同金额的某种物资,连续购买了4次.由于市场变化,5月1日该公司不得不将此物资全部卖出.已知该物资的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易,且该公司在买卖的过程中没有亏本,那么下面3个折线图中,可以反映这种物资每份价格(单位:万元)的变化情况的是 ( )图①图②图③A.①②B.①③C.②③D.③4 / 1911.将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中,t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y =a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min 甲桶中的水只有a4 L,则m 的值为( ) A.5 B.8 C.9 D.1012.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品x (百台),其总成本为G (x )(万元),其中固定成本为2万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入R (x )(万元)满足R (x )={-0.4x 2+4.2x -0.8(0≤x ≤5),10.2(x >5),假定该产品产销平衡,那么根据上述统计规律: (1)要使工厂有赢利,产量x 应控制在什么范围? (2)工厂生产多少台产品时,可使赢利最多?答案解析A 组 基础达标1.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )=12x 2+2x +20(万元).每一万件的售价是20万元,为获取最大利润,该企业一个月应生产该商品数量为 ( ) A.36万件 B.18万件 C.22万件 D.9万件 答案 B2.我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求.衡量音量大小的单位是分贝(dB),对于一个强度为I 的声波,其音量的大小η可由如下公式计算:η=10lg II 0(其中I 0是人耳能听到声音的最低声波强度),则70 dB 的声音的声波强度I 1是60 dB 的声音的声波强度I 2的 ( ) A.76倍 B.1076倍 C.10倍 D.ln 76倍 答案 C3.(2020新高考Ⅰ,6,5分)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69) ()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天答案 B4.(2020湖南衡阳高三二模)2020年3月,国内新冠肺炎疫情得到有效控制,人们开始走出家门享受春光.某旅游景点为吸引游客,推出团体购票优惠方案如下表:购票人数1~50 51~100 100以上门票价格13元/人11元/人9元/人两个旅游团队计划游览该景点.若分别购票,则共需支付门票费1 290元;若合并成一个团队购票,则需支付门票费990元,那么这两个旅游团队的人数之差为()A.20B.30C.35D.40答案B易知990不能被13整除,设两个旅游团队的人数分别为a,b,所以两个团队的人数之和a+b≥51,若51≤a+b≤100,则11(a+b)=990,可得a+b=90,①由分别购票,共需支付门票费为1 290元,可知11a+13b=1 290,②联立①②可得b=150,a=-60(舍去).若a+b>100,则9(a+b)=990,可得a+b=110,③由分别购票,共需支付门票费为1 290元,可知1≤b≤50,51≤a≤100,所以11a+13b=1 290,④5 / 19联立③④可得a=70,b=40,所以两个旅游团队的人数之差为70-40=30.5.(2020衡水中学实验学校高三一模)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k、b为常数),若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是小时.答案246.意大利著名科学家伽利略说:“给我空间,时间以及对数,我就可以创造一个宇宙.”他把对数与最宝贵的时间和空间相提并论,可见对数在人类科学史上是多么重要.在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg、火箭(除燃料)的质量m kg满足函数关系v=2 000ln(1+Mm).当燃料质量是火箭质量的倍时,火箭最大速度可达12 km/s.(e6≈403.429,结果保留整数)答案402解析∵v=2 000ln(1+Mm),∴火箭的最大速度可达12 km/s,即12 000=2 000ln(1+Mm ),可得ln(1+Mm)=6,∴1+Mm =e6,解得Mm=e6-1≈402.7.某公司有员工1 000名,平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力,公司决定优化产业结构,调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为10(a-x250)万元(a>0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润,则调整员工从事第三产业的人数应在什么范围?(2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,求a的取值范围.解析(1)由题意得10(1 000-x)(1+0.2%x)≥10×1 000,即x2-500x≤0,又x>0,6 / 197 / 19∴0<x ≤500(x ∈N *).(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a -x250)x 万元,从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000-x )(1+0.2%x )万元,则10(a -x250)x ≤10(1 000-x )(1+1500x), ∴ax -x 2250≤1 000+2x −x −1500x 2, 即a ≤x500+1 000x +1恒成立,令y =x 500+1 000x+1,由均值不等式知x500+1 000x≥2√2,当且仅当x 500=1 000x时取等号,解得x =500√2>500,由对勾函数的性质可知函数y =x500+1 000x+1在(0,500]上是减函数,∴函数y =x500+1 000x+1在x =500时取得最小值4,∴0<a ≤4.即a 的取值范围为(0,4].8.2018年10月24日,世界上最长的跨海大桥——港珠澳大桥正式通车.在一般情况下,大桥上的车流速度v (单位:千米/时)是关于车流密度x (单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到220辆/千米时,将造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度小于20辆/千米,车流速度为100千米/时.研究表明当20≤x ≤220时,车流速度v 是关于车流密度x 的一次函数. (1)当20≤x ≤220时,求函数v (x )的表达式;(2)当车流密度x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位: 辆/时)f (x )=x ·v (x )可以达到最大?并求出最大值. 解析 (1)由题意知,当0≤x <20时,v (x )=100, 当20≤x ≤220时,设v (x )=ax +b (a ≠0), 则{20a +b =100,220a +b =0,解得a =−12,b =110,∴v (x )={100,0≤x <20,-12x +110,20≤x ≤220,(2)由题意得,f(x)={100x,0≤x<20,-12x2+110x,20≤x≤220,当0≤x<20时, f(x)<f(20)=2 000;当20≤x≤220时, f(x)=-12(x-110)2+6 050, f(x)的最大值为f(110)=6 050,∴当车流密度为110辆/千米时,车流量最大,最大值为6 050辆/时.B组能力拔高9.光线通过一块玻璃,强度要损失10%.设光线原来的强度为k,通过x块这样的玻璃以后强度为y,则经过x块这样的玻璃后光线强度为y=k·0.9x,要想使光线强度减弱到原来的14以下,至少需要通过这样的玻璃的块数是(lg 3≈0.477,lg 2≈0.3)()A.12B.13C.14D.15答案C光线经过x块玻璃后,强度变为y=0.9x k.由题意得0.9x k<k4,即0.9x<14,两边同取对数,可得x lg 0.9<lg14, ∵lg 0.9<lg 1=0,∴x>lg14lg0.9=-2lg22lg3−1≈-0.60.954−1≈13.04,又x∈N*,∴至少通过14块玻璃,光线强度能减弱到原来的14以下,故选C.10.因市场战略储备的需要,某公司1月1日起,每月1日购买了相同金额的某种物资,连续购买了4次.由于市场变化,5月1日该公司不得不将此物资全部卖出.已知该物资的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易,且该公司在买卖的过程中没有亏本,那么下面3个折线图中,可以反映这种物资每份价格(单位:万元)的变化情况的是()图①8 / 19图②图③A.①②B.①③C.②③D.③答案B设公司每月1日用于购买某种物资的金额为a.题图①中四次购买的物资为(a1.25+a+a0.75+a)=6215a,5月1日一次卖出物资得到1.25×6215a=15.53a>4a,公司盈利,故①正确;题图②中四次购买的物资为(a+a1.25+a0.75+a1.25)=5915a,5月1日一次卖出物资得到1×5915a=5915a<4a,公司亏损,故②错误;题图③中四次购买的物资为(a1.25+a+a0.75+a0.5)=7715a,5月1日一次卖出物资得到1×7715a=7715a>4a,公司盈利,故③正确.11.将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=a e nt.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min甲桶中的水只有a4L,则m的值为() A.5 B.8 C.9 D.10答案A∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等,∴函数y=f(t)=a e nt满足f(5)=a e5n=12a,可得n=15ln12,∴f(t)=a·(12)t5,因此,当k min后甲桶中的水只有a4L时,9 / 1910 / 19f (k )=a ·(12)k 5=14a ,即(12)k 5=14,∴k =10,由题可知m =k -5=5.12.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品x (百台),其总成本为G (x )(万元),其中固定成本为2万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入R (x )(万元)满足R (x )={-0.4x 2+4.2x -0.8(0≤x ≤5),10.2(x >5),假定该产品产销平衡,那么根据上述统计规律: (1)要使工厂有赢利,产量x 应控制在什么范围? (2)工厂生产多少台产品时,可使赢利最多? 解析 由题可知,G (x )=x +2.设利润函数为f (x ), 则f (x )=R (x )-G (x )={-0.4x 2+3.2x -2.8(0≤x ≤5),8.2−x(x >5).(1)要使工厂有赢利,则f (x )>0, ∴当0≤x ≤5时,-0.4x 2+3.2x -2.8>0, 即x 2-8x +7<0,解得1<x <7, ∴1<x ≤5;当x >5时,8.2-x >0,解得x <8.2, ∴5<x <8.2.综上所述,要使工厂赢利,x 应满足1<x <8.2, 即产量应控制在大于100台,小于820台的范围内. (2)当0≤x ≤5时, f (x )=-0.4(x -4)2+3.6, 故当x =4时, f (x )有最大值3.6; 当x >5时, f (x )<8.2-5=3.2,∴当工厂生产400台产品时,赢利最多.高中数学各知识点公式定理记忆口诀大全《集合与函数》内容子交并补集，还有幂指对函数。