第2章 线性回归的基本思想：双变量模型

个原因.
思考：相关系数r与随机误差e有什么关系？
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课后作业
作业
见B本第5a bx e
其中a和b为模型的未知参数，e是y与 y bx a 之间的误差，通常e为随机变量，称为随机误差.
y bx a e 线性回归模型的完整表达式为： 2 E (e ) 0, D(e )
线性回归模型适用范围比一次函数的适用范围大得多.
虽然这种向中心回归的现象只是特定领域里的结论，并不具有 普遍性，但从它所描述的关于X为自变量，Y为不确定的因变量这种 变量间的关系看，和我们现在的回归含义是相同的。
不过，现代回归分析虽然沿用了“回归”一词，但内容已有很大变 化，它是一种应用于许多领域的广泛的分析研究方法，在经济理论 5 研究和实证研究中也发挥着重要作用。
当随机误差e恒等于0时，线性回归模型就变成一次函 数模型.即：一次函数模型是线性回归模型的特殊形式， 线性回归模型是一次函数模型的一般形式.
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其中：均值E(e)=0，方差D(e)=σ2>0
其他因素的影响
ˆ 与真实值y之间的误差的原因 随机误差是引起预报值 y 之一，其大小取决于随机误差的方差. ˆ 为截距和斜率的估计值，它们与真实值a和b之间 ˆ和 b a ˆ 与真实值y之间的误差的另一 存在误差是引起预报值 y
估计值 60.316kg. P83 认为她的平均体重的估计值是
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因为所有的样本点不共线，所以线性函数 模型只能近似地刻画身高和体重之间的关系， 即：体重不仅受身高的影响，还受其他因素的 影响，把这种影响的结果用e来表示，从而把 线性函数模型修改为线性回归模型： y=bx+a+e.其中，e包含体重不能由身高的线性 函数解释的所有部分(如：饮食/运动/遗传…).

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重庆商学院经济系
总体分布
200
150
Y
100 50 50
100
150 X
200
250
300
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总体回归曲线 （Popular Regression Curve）

条件分布：以X取定值为条件的Y的条件分布 条件概率：给定X的Y的概率，记为P(Y|X)。 例如，P(Y=55|X=80)=1/5；P（Y=150|X=260）=1/7。 条件期望（conditional Expectation）：给定X的Y的 期望值，记为E(Y|X)。 例如，E(Y|X=80)=55×1/5＋60×1/5＋65×1/5＋ 70×1/5＋75×1/5＝65 （总体回归曲线的几何意义）：当解释变量给定值时 因变量的条件期望值的轨迹。
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§2.1 线性回归模型概述
一、 线性回归模型的特征 二、 线性回归的普遍性 三、 线性回归模型的基本假设
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单方程回归模型概述

单方程回归模型分为；线性和非线性 线性模型（按变量划分）；变量以1次的形式出现 线性模型（按参数划分）；参数以1次的形式出现 线性回归模型是线性模型的一种，参数以1次形式出现， 通常可以通过一些变换，将非1次的变量化为1次。 线性回归模型的数学基础；回归分析，企图通过回归 模型的形式揭示变量之间的因果关系 线性回归模型是是一类最为普遍的计量经济模型
展开泰勒级数，得到一个线性近似公式
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三、线性回归模型的基本假定

2586
4000
2037 2210 2325 2419 2522 2665 2799 2887 2913 3038 3167 3310 3510
2754
4500
2277 2388 2526 2681 2887 3050 3189 3353 3534 3710 3834
3039
5000 5500
2469 2924 2889 3338 3090 3650 3156 3802 3300 4087 3321 4298 3654 4312 3842 4413 4074 4165
Yi 与 E(Yi Xi )不应有偏差。若偏
差u i 存在，说明还有其他影响因素。
Xi
X
u i实际代表了排除在模型以外的所有因素对 Y 的影
响。 u i
◆性质 是其期望为 0 有一定分布的随机变量
重要性：随机扰动项的性质决定着计量经济分析结19
果的性质和计量经济方法的选择
引入随机扰动项 u i 的原因
特点：
●总体相关系数只反映总体两个变量 X 和 Y 的线性相关程度 ●对于特定的总体来说，X 和 Y 的数值是既定的，总体相关系
数 是客观存在的特定数值。
●总体的两个变量 X 和 Y的全部数值通常不可能直接观测，所
以总体相关系数一般是未知的。
7
X和Y的样本线性相关系数：
如果只知道 X 和 Y 的样本观测值，则X和Y的样本线性
计量经济学
第二章 一元线性回归模型
1
未来我国旅游需求将快速增长，根据中国政府所制定的 远景目标，到2020年，中国入境旅游人数将达到2.1亿人 次；国际旅游外汇收入580亿美元，国内旅游收入2500亿 美元。到2020年，中国旅游业总收入将超过3000亿美元， 相当于国内生产总值的8%至11%。

i
i
注：令 x X X
i
i
y Y Y
i
i
ˆ Y ˆ X
1
2
(ˆ2
(
Xi X )(Yi Y (Xi X )2
)

S XY
S
2 X
)
ˆ

x i
y i
2
x 2
i
Yˆi ˆ1 ˆ2 Xi
截距项 ˆ ：当解释变量为零时，被解释变量的取值； 1
变动 斜ˆ 个率单项位ˆ。2：当解释变量每变动一个单位时，被解释变量平均 2 25
样本回归函数的表现形式：
Yˆi ˆ1 ˆ2 Xi
(2.1.7)
Yi ˆ1 ˆ2 Xi ei (2.1.8)
yˆi ˆ2xi
(2.2.16) (离差表现形式)
注： yˆi Yˆi Y
去估计
Yi 1 2 X i i
E(Y X i ) 1 2 X i
18
第二节 简单线性回归模型的最小二乘法
一、古典（基本）假定
简单线性回归模型： Y X u
i
1
2i
i
(一) 对变量和模型的假定
1）重复抽样中，解释变量X 是一组固定的值或虽然是随机的， i
这些数据是否能揭示出Whitney公司所做的报纸广告带来的真 实收益？
5
广告费与销售额的散点图
2600000
2400000
2200000
2000000
1800000
1600000 0
10000 20000 30000 40000 50000 X1
Y
6
广告费与市场占有率的散点图