选用适当方法解二元一次方程组

初二解二元一次方程组方法解二元一次方程组是初中数学中的重要知识点，它涉及到两个未知数的求解问题。

下面我将介绍初二阶段解二元一次方程组的方法。

解二元一次方程组的基本思路是通过消元和代入的方法来求解。

我将分别介绍这两种方法的步骤和注意事项，帮助同学们更好地理解和掌握解题技巧。

一、消元法消元法是解二元一次方程组的常用方法之一，它的基本思路是通过相加或相减的方式，使得两个方程的其中一个未知数的系数相同，从而达到消去该未知数的目的。

步骤如下：1.观察两个方程，选择其中一个方程，使得它的一个未知数的系数与另一个方程的相应未知数的系数相等或者相差倍数。

2.对于这两个方程，如果系数相等，可直接相减或相加消去其中一个未知数；如果系数相差倍数，可通过乘以适当的倍数使得系数相等，再相减或相加消去其中一个未知数。

3.消去一个未知数后，得到一个只含有另一个未知数的一元一次方程，解该方程，得到该未知数的值。

4.将求得的未知数的值代入任意一个原方程中，求出另一个未知数的值。

需要注意的是，在进行消元的过程中，要保持方程组的平衡性，即对等号两边同时进行相同的运算。

此外，要注意简化计算，化简方程时避免出错。

二、代入法代入法也是解二元一次方程组的常用方法之一，它的基本思路是通过将一个方程的其中一个未知数用另一个方程的未知数表示出来，然后代入到另一个方程中，将方程组转化为只含有一个未知数的方程，进而求解。

步骤如下：1.选择一个方程，将其中一个未知数用另一个方程的未知数表示出来。

2.将表示出来的未知数代入到另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的方程。

3.解该方程，得到该未知数的值。

4.将求得的未知数的值代入到代入的方程中，求出另一个未知数的值。

需要注意的是，在代入的过程中，正确地将一个方程的未知数代入另一个方程，避免出错。

此外，要注意简化计算，化简方程时避免漏项或计算错误。

综上所述，初二阶段解二元一次方程组的方法主要包括消元法和代入法。

小专题（四）二元一次方程组的解法类型1 用代入法解二元一次方程组1.解方程组：42 5.x yx y-=⎧⎨+=⎩，①②2.（2020.南阳唐河县期中）解方程组：34252 1.x x yx y--=⎧⎨-=⎩（），①②类型2 用加减法解二元一次方程组3.（2019·怀化）解二元一次方程组：373 1.x yx y+=⎧⎨-=⎩，①②4.（2019·新乡卫辉市期中）解方程组：23135 2.x yx y+=⎧⎨+=⎩，①②类型3 选择适当的方法解二元一次方程组5.解方程组：5243=65.yxx y-⎧=⎪⎨⎪+⎩，①②6.（2020·淄博）解方程组：13=8212 2.2x y x y ⎧+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，①②类型4 用换元法解二元一次方程组7.（2019·周口鹿邑县期末）小明同学遇到下面的问题：解方程组232374323238.32x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的（2x +3y ）看作一个数，把（2x -3y ）看作一个数，通过换元，可以解决问题，以下是他的解题过程：令m =2x +3y ，n =2x -3y ，这时原方程组化为743832m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得6024.m n =⎧⎨=-⎩，把6024m n =⎧⎨=-⎩， 代入m =2x +3y ，n =2x -3y ，得2+3602324x y x y =⎧⎨-=-⎩，，解得914.x y =⎧⎨=⎩，所以，原方程组的解为914.x y =⎧⎨=⎩，请你参考小明同学的做法，解决下面的问题： 解方程组3240.42x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩，参考答案1.解：31. xy==-⎧⎨⎩，2.解：31. xy==⎧⎨⎩，3.解：41. xy==⎧⎨⎩，4.解：11.xy=-=⎧⎨⎩，5.解：515. xy=⎩=⎧⎨，6.解：24. xy==⎧⎨⎩，7.解：由题意可设x+y=m，x-y=n，则方程组变形为32442m nm n⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得84.mn==-⎧⎨⎩，∴84x yxу+⎨=-=-⎧⎩，，解得26.xy==⎧⎨⎩，。

【2022春人教版七下数学压轴题突破专练】专题04 解二元一次方程组一．选择题1．（2020春•南丹县期末）解方程组，用加减法消去y，需要（）A．①×2﹣②B．①×3﹣②×2 C．①×2+②D．①×3+②×2 【思路引导】先把的系数化成绝对值相等的方程，再相加即可．【完整解答】解：①×2得：4x+6y＝2③，③+②得：7x＝9，即用减法消去y，需要①×2+②，故选：C．【考察注意点】本题考查了解二元一次方程组的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．2．（2018秋•乐清市校级月考）已知x，y是整数，满足x﹣y+3＝0，ax﹣y﹣a＝0，则整数a的所有可能值有（）个．A．4 B．5 C．6 D．8【思路引导】用含x的代数式表示出y，得到关于x的一次方程，再用含a的代数式表示出x，根据x、a都是整数，得结论．【完整解答】解：∵x﹣y+3＝0，∴y＝x+3∴ax﹣x﹣3﹣a＝0，整理，得（a﹣1）x＝a+3∴x＝＝＝1+由于x、a都是整数，所以a﹣1＝±1或±2或±4即a所有可能的值有：0、2、3、﹣1、5、﹣3．故选：C．【考察注意点】本题考查了方程、整数解等知识点．解决本题的关键是用含a的代数式表示出x后变形代数式为整数+分式的形式．3．（2012春•黄州区校级期末）如果方程组有唯一的一组解，那么a，b，c的值应当满足（）A．a＝1，c＝1 B．a≠b C．a＝b＝1，c≠1 D．a＝1，c≠1 【思路引导】此题的解法在于将两式的y用x来代替然后列出y关于x的方程，因为有唯一解，根据方程可得出a，b，c的值的条件．【完整解答】解：根据题意得：，∴1﹣x＝，∴（a﹣b）x＝c﹣b，∴x＝，要使方程有唯一解，则a≠b，故选：B．【考察注意点】该题考查的是对题意的理解和对方程组的解法的认识，结合了对分式性质的理解，考查了考生对方程、分式的理解．4．（2011春•三亚校级月考）代数式x2+ax+b，当x＝2时，其值是3，当x＝﹣3时，其值是4，则代数式a﹣b的值是（）A．﹣1B．﹣3C．8D．3【思路引导】将x＝2，其值是3，x＝﹣3，其值是4分别代入代数式中，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值，即可求出a﹣b的值．【完整解答】解：根据题意得：，解得：，则a﹣b＝+＝3．故选：D．【考察注意点】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．5．如果，则2x：3y等于（）A．﹣2 B．C．2 D．【思路引导】因为求2x：3y，所以必须通过解方程组求出x和y的值，然后进行解答．【完整解答】解：在中，①×4﹣②，得3x＝9，x＝3．代入①，得y＝1．∴2x：3y＝2×3：3×1＝2．故选：C．【考察注意点】这类题目的解题关键是掌握方程组解法中的加减消元法和代入消元法．6．（2021秋•榆林期末）用代入消元法解关于x、y的方程组时，代入正确的是（）A．2（4y﹣3）﹣3y＝﹣1 B．4y﹣3﹣3y＝﹣1C．4y﹣3﹣3y＝1 D．2（4y﹣3）﹣3y＝1【思路引导】把第一个方程的x代入第二个方程整理得到结果，即可作出判断．【完整解答】解：，把①代入②得：2（4y﹣3）﹣3y＝﹣1．故选：A．【考察注意点】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．7．（2021春•黄埔区校级期中）二元一次方程组的解是（）A．B．C．D．【思路引导】方程组利用加减消元法求解即可．【完整解答】解：，①×2+②，得2.7x＝5.4，解得x＝2，把x＝2代入①，得0.6﹣0.5y＝﹣0.9，解得y＝3，所以方程组的解为．故选：D．【考察注意点】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．二．填空题8．（2021春•铜梁区期末）方程组的解是．【思路引导】根据解二元一次方程组的方法可以解答此方程组．【完整解答】解：，由①，得x＝3，将x＝3代入②，得y＝﹣1，故原方程组的解是，故答案为：．【考察注意点】本题考查解二元一次方程组，解答本题的关键是明确解二元一次方程组的方法．9．（2020春•密山市期末）单项式3x2m+3n y8与﹣2x2y3m+2n是同类项，则m+n＝ 2 ．【思路引导】根据同类项定义可得，再①+②得：5m+5n＝10，进而可得答案．【完整解答】解：由题意得：，①+②得：5m+5n＝10，m+n＝2，故答案为：2．【考察注意点】此题主要考查了同类项的定义，关键是掌握所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．10．（2018春•岳阳期末）若方程组，则x﹣y＝10 ．【思路引导】两方程相减即可得出2x﹣2y＝20，两边除以2即可求出答案．【完整解答】解：①﹣②得：2x﹣2y＝20，x﹣y＝10，故答案为：10．【考察注意点】本题考查了解二元一次方程组和求代数式的值，能选择适当的方法解方程组是解此题的关键．11．（2016•广饶县开学）方程组的解一定是方程5x﹣3y＝8 与3x+8y＝9 的公共解．【思路引导】利用方程组解的定义判断即可．【完整解答】解：方程组的解一定是方程5x﹣3y＝8与3x+8y＝9的公共解．故答案为：5x﹣3y＝8；3x+8y＝9．【考察注意点】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（2015春•通化校级期中）若的解是方程ax﹣3y＝2的一组解，则a的值是﹣8 ．【思路引导】先求出方程组的解，再代入方程，即可求出a．【完整解答】解：解方程组得：，把代入方程ax﹣3y＝2得：﹣a﹣6＝2，解得：a＝﹣8，故答案为：﹣8．【考察注意点】本题考查了解二元一次方程组的解，解一元一次方程的应用，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．13．（2021春•长兴县月考）已知二元一次方程组，则8x+7y＝25 ．【思路引导】方程组中两方程左右两边相加即可求出所求式子的值．【完整解答】解：，①+②得：8x+7y＝25，故答案为：25．【考察注意点】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（2018春•杭州期中）已知方程组，则代数式的值为﹣．【思路引导】先将原式化简，再由方程组得出4x+3y＝5，代入计算可得．【完整解答】解：原式＝+＝＝4x+3y﹣，解方程组，∴4x+3y＝5，则原式＝5﹣＝﹣．【考察注意点】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．15．（2017秋•抚州期末）对于实数x，y，定义新运算x*y＝ax+by+1，其中a，b为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若3*5＝14，4*7＝19，则5*9＝24 ．【思路引导】按照定义新运算x*y＝ax+by+1，用已知的两个式子建立方程组，求得a，b 的值后，再求5*9的值【完整解答】解：根据题意知，解得：，则x*y＝x+2y+1，所以5*9＝5+2×9+1＝24，故答案为：24．【考察注意点】本题是新定义题，考查了定义新运算，解方程组．要注意运算顺序与运算符号．16．（2018春•汶上县期末）对于有理数x，y定义新运算：x*y＝ax+by﹣5，其中a，b为常数，已知1*2＝﹣9，（﹣3）*3＝﹣2，则2a﹣b＝﹣3 ．【思路引导】首先根据1*2＝﹣9，（﹣3）*3＝﹣2，可得，据此求出a、b的值各是多少；然后应用代入法，求出2a﹣b的值是多少即可．【完整解答】解：∵1*2＝﹣9，（﹣3）*3＝﹣2，∴①×3+②，可得：9b﹣20＝﹣29解得b＝﹣1，把b＝﹣1代入①，解得a＝﹣2，∴2a﹣b＝2×（﹣2）﹣（﹣1）＝﹣3．故答案为：﹣3．【考察注意点】此题主要考查了解二元一次方程的方法和应用，以及有理数的混合运算的运算方法，要熟练掌握，注意加减法在解二元一次方程组中的应用．17．（2017秋•沙坪坝区校级月考）小文同学在求解关于x、y的二元一次方程组时，解得，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数⊗、⊙，请你帮忙找回这两个数⊗＝23 ，⊙＝8 ．【思路引导】把x的值代入方程组第二个方程求出y的值，再将x与y的值代入计算即可求出值所求．【完整解答】解：把x＝5代入2x﹣y＝2得：10﹣y＝2，解得：y＝8，把x＝5，y＝8代入得：15+8＝23，则⊗＝23，⊙＝8，故答案为：23；8【考察注意点】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（2017春•临淄区校级期中）解方程组时，甲正确解得，乙因把c写错解得，求a、b的值是a＝﹣4，b＝﹣5 ．【思路引导】直接把，，分别代入ax+by＝﹣2中可得关于a、b的方程，然后再解方程组即可．【完整解答】解：把代入ax+by＝﹣2可得：3a﹣2b＝﹣2①，把代入ax+by＝﹣2可得：﹣2a+2b＝﹣2②，①+②得：a＝﹣4，把a＝﹣4代入①得：﹣12﹣2b＝﹣2，b＝﹣5，故答案为：a＝﹣4，b＝﹣5．【考察注意点】此题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握解方程组的方法是解题关键．三．解答题19．（2020秋•宣城期末）解方程（组）：（1）；（2）．【思路引导】（1）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可；（2）方程组利用加减消元法求解即可．【完整解答】解：（1），去分母，得﹣2（2x﹣1）+（x﹣2）＝4，去括号，得﹣4x+2+x﹣2＝4，移项，得﹣4x+x＝4+2﹣2，合并同类项，得﹣3x＝4，系数化为1，得x＝﹣；（2），①×2+②，得，解得x＝2，把x＝2代入②，得8﹣2y＝10，解得x＝﹣1，故方程组的解为．【考察注意点】此题主要考查了解一元一次方程以及解二元一次方程组，解方程组的基本思想是消元，基本方法是代入消元和加减消元．20．（2016春•万州区期末）我们用f（x）表示不大于x的最大整数，例如：f（2.3）＝2，f （4）＝4，f（﹣1.5）＝﹣2；用g（y）表示不小于y的最小整数．例如：g（2.5）＝3，g（5）＝5，g（﹣3.5）＝﹣3．解决下列问题：（1）根据以上运算规律：f（﹣5.4）＝，g（4.5）＝．（2）若f（x）＝3，则x的取值范围是；若g（y）＝﹣2，则y的取值范围是．（3）已知x，y满足，求x，y的取值范围．【思路引导】（1）直接根据定义即可得；（2）由定义可得x、y的范围；（3）先解方程组求得f（x）、g（y）的值，再根据定义可得答案．【完整解答】解：（1）由题意，得：f（﹣5.4）＝﹣6、g（4.5）＝5，故答案为：﹣6、5；（2）∵f（x）＝3，∴x的取值范围是3≤x＜4；∵g（y）＝﹣2，∴y的取值范围是﹣3＜y≤﹣2，故答案为：3≤x＜4，﹣3＜y≤﹣2．（3）解方程组得，∴x的取值范围为﹣1≤x＜0、y的取值范围为1＜y≤2．【考察注意点】本题主要考查解二元一次方程组的能力，理解新定义得出x、y的范围，并熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键．21．（2021春•通许县期末）对于任意的有理数a、b、c、d，我们规定，如．若x、y同时满足．求x，y的值．【思路引导】根据，得3y﹣2x＝﹣2①，2x﹣（﹣y）＝8②，进而解决此题．【完整解答】解：∵，∴3y﹣2x＝﹣2①，2x﹣（﹣y）＝8②．∴①+②，得4y＝6．∴y＝．把y＝代入②，得x＝．∴x＝，y＝．【考察注意点】本题主要考查解二元一次方程组，根据新定义得出关于x，y的二元一次方程组并熟练掌握解二元一次方程组的步骤是解决本题的关键．22．（2020春•莘县期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得；乙解题时看错了n，解得．请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．【思路引导】把甲的结果代入第二个方程，乙的结果代入第一个方程，联立求出m与n 的值，即可确定出原方程组的解．【完整解答】解：把代入得：7+2n＝13，把代入得：3m﹣7＝5，解得：n＝3，m＝4，∴原方程组为，解得：．【考察注意点】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．23．（2018春•新罗区校级期中）对于实数，规定新运算：x*y＝ax+by，其中a、b是常数．已知2*1＝7，﹣1*3＝1．（1）求a、b的值；（2）求1*5的值．【思路引导】（1）利用新定义和两组对应值得到，然后利用加减法解方程组即可；（2）由（1）得新运算为：x*y＝2x+3y，然后把x＝1，y＝5代入计算即可．【完整解答】解：（1）根据题意得，解得a＝，b＝；（2）由（1）得x*y＝x+y，所以1*5＝×1+×5＝．【考察注意点】本题考查了解二元一次方程组：利用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组．24．（2018春•泌阳县期末）善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5，③把方程①代入③，得2×3+y＝5．∴y＝﹣1．把y＝﹣1代入①，得x＝4．∴原方程组的解为．请你解决以下问题：（1）模仿小军的“整体代换法”解方程组：（2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2的值．【思路引导】（1）仿照小军的方法将方程②变形，把方程①代入求出y的值，即可确定出x的值；（2）方程组两方程变形后，利用加减消元法求出所求即可．【完整解答】解：（1）由②得：3（3x﹣2y）+2y＝19③，把①代入③得：15+2y＝19，解得：y＝2，把y＝2代入①得：x＝3，则方程组的解为；（2）由①得：3（x2+4y2）﹣2xy＝47③，由②得：2（x2+4y2）+xy＝36④，③+④×2得：7（x2+4y2）＝119，解得：x2+4y2＝17．【考察注意点】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．25．（2017春•鼓楼区校级期末）先阅读，然后解方程组．解方程组时，可由①得x﹣y＝1，③然后再将③代入②得4×1﹣y＝5，求得y＝﹣1，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组．【思路引导】仿照所给的题例先把①变形，再代入②中求出y的值，进一步求出方程组的解即可．【完整解答】解：，由①得，2x﹣3y＝2③，代入②得+2y＝9，解得y＝4，把y＝4代入③得，2x﹣3×4＝2，解得x＝7．故原方程组的解为．【考察注意点】本题考查的是在解二元一次方程组时整体思想的应用，利用整体思想可简化计算．26．（2017春•高平市期中）阅读理解：善于思考的小淇在解方程组时，发现方程①和方程②之间存在一定的关系，他的解法如下：解：将方程②变形为2x﹣3y﹣2y＝5③，把方程①代入方程③，得3﹣2y＝5，解得y＝﹣1．把y＝﹣1代入方程①，得x＝0．所以原方程组的解为小淇的这种解法叫“整体换元”法，请用“整体换元”法完成下列问题：（1）解方程组：i．把方程①代入方程②，则方程②变为4x+3﹣2x＝5 ；ii．原方程组的解为．（2）解方程组：．【思路引导】根据换元法，可得答案．【完整解答】解：（1）解方程组：i．把方程①代入方程②，则方程②变为 4x+3﹣2x＝5；ii．原方程组的解为；故答案为：4x+3﹣2x＝5；；（2），由①得2y＝3x﹣5③，把③代入②，得7x﹣2（3x﹣5）＝14，解得x＝4，将x＝4代入①，得12﹣2y＝5，解得y＝，原方程组的解为．【考察注意点】本题考查了解二元一次方程组，利用代入消元法是解题关键。

课题
§ 8．2消元——解二元一次方程组（一）
课时
第1课时
课型
新授
教
学
目
标
知识
与
技能
1．知道消元思想和代入法的概念；
2．会用代入消元法解二元一次方程组。
过程
与
方法
1．通过探究，了解解二元一次方程的“消元”思想，初步体会数学的化归思想．
2．培养探索、自主、合作的意识，提高解题能力．
情感、态度
与价值观
1．在消元的过程中体会化未知为已知、化复杂为简单的化归思想，从而享受数学的化归美，提高学习数学的兴趣．
学生回答，教师点评，强调。
二、提出问题：
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
在上述问题中，我们可以设出两个未知数，列出二元一次方程组.
这个问题能用一元一次方程解决吗？
三、讲授新课：
1、怎样求解二元一次方程组呢?上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?
②代入（把变形好的方程代入到另一个方程，即可消元）
③求解（解一元一次方程，得一个未知数的值）；
④回代（把求得的未知数代入变形的方程，求另一个未知数的值）；
⑤写解（用x=a
y=b的形式写出方程组的解）。
⑥验算（把方程的解代回原方程组验算）
简记：变形→代入→求解→回代→写解→验算
四、例题分析：
例1、课本P91
课本P97习题8.2第2题
板书设计
消元——解二元一次方程组
1、基本思路：“消元”——把“二元”变为“一元”
2、主要步骤：变形→代入→求解→回代→写解→验算
教学反思