第一章练习题参考答案
一、1． 57,51--
； 2．1313，3
arctan 2(0,1,)2
k k -+=±π；
3． (1)(1)cos sin (0,1,2,3)44k k i k ππ++⎡⎤⎡⎤
+=⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
；
4．)1(216i -； 5． 2cos()sin()33i ππ⎡
⎤
-+-⎢⎥⎣
⎦；
6． 11()(cos sin )z x iy i αα=++； 7.
i
i
e e 125124
2,
2π
π
； 二、1．A ； 2．B ； 3．A ； 4．C ． 5．A 6．B 三、1．56π- ； 2．
310π ； 3．43arctg π-+ ； 4．
2
πθ
-． 四、1． 121()
(01)z z t z z t =+-≤≤；
2． (42)(32)z t t i =-+- (t 为实数)； 3． 1z ti =+ (t 为任意实数)； 4．
)10(,)1(≤≤+=t t i z ；
五、1．直线2
3)Im(=
z ；
2． 以 (-3,0), (-1,0)为焦点,长半轴为2的椭圆：
22
(2)143
x y ++=； 3． 直线4y =； 4． 以i 为起点的射线10(0)y x x --=>；
六、1．上半平面,无界单通区域；
2．由直线0x =及1x =所构成的带形区域(不含两直线)，无界单连通区域； 3．以1z =为圆心,以4为半径的圆的内部(不含圆心)，有界多连通区域；
4．由射线arg 1z =-逆时针旋转到射线arg 1z π=-+构成的半平面，无界单连通区域． 七、证明: ()()nt i nt i nt nt i nt e e z
z n n
sin 2sin cos sin cos 1
int int =--+=-=-
- 八、由 2
z zz = 即可证明。几何意义：平行四边形两对角线的平方和等于两邻边平方和的两倍。
九、多项式2
012()n n p z a a z a z a z =+++
+的系数是实数，n k a a k k ,,1,0, == 故
01()n n p z a a z a z =++
+ 01n n a a z a z =+++ 01n n a a z a z =++
+
()p z =
十、当z 沿实轴趋于0时，
1z
z =，极限值为1； 当z 沿虚轴趋于0时，1z
z =-，极限值为-1
故 当0z →时，()z
f z z
=的极限不存在．
十一、证明：令1
011()n n n n p z a z a z a z a --=++
++
则 ()()p z p z =
又因 a ib +是实系数方程的根，那么()0p a ib += 于是 ()()()0p z p a ib p a ib =-=+= 所以 a ib -于是方程的根． 十二、 1,11x y ==.
第二章练习题参考答案
一、1．充分条件 2．充分必要条件
3．ⅰ),u v 在z x iy =+处可微； ⅱ)
u v x y ∂∂=∂∂
u v
y
x ∂∂=-∂∂在z x iy =+处成立 4．(,)(,)(,)(,)
()u x y v x y u x y v x y f z i i y y x x
∂∂∂∂'=
+=+∂∂∂∂ 5． （2，-3，2）
二、1．C 2．C 3．D 4. D 5.A 6.D 7.D 8.A
三、1．解：
4u
x x
∂=∂ 218v y y ∂=∂
0u y ∂=∂ 0v
x
∂=∂ 故()f z 在2
29x y =上可导,没有解析点． 2．解：
cos cos u
v
xchy xchy x y ∂∂==∂∂ sin sin u
v
xshy xshy y
x
∂∂==-∂∂ 故 ()f z 在全平面内可导,在全平面内解析．
3．解：
20u
u x x y ∂∂==∂∂ 01v v
x y
∂∂==-∂∂ 仅当12x =-
时，C-R 条件成立，故此函数在直线1
2
x =-上处处可导，而在复平面上处处不解析. 4．解：
260u
u x x y ∂∂==∂∂ 209v
v
y x
y
∂∂==∂∂ 因此仅在两相交直线2
2
23x y =上处处可导，在平面处处不解析． 5．解：
cos sin x x u
u e y e y x y ∂∂==-∂∂ sin cos x x v v
e y e y x y
∂∂==∂∂ C-R 条件处处成立，且,u v 偏导数处处连续，因而处处可微，即()f z 处处解析． 6．解：令2
2
,2u x y x v xy y =--=-，则,u v 在z 平面上处处可微且
211u
u x x y ∂∂=-=-∂∂ 222v v
y x y x y
∂∂==-∂∂ 从而要使
u v x y ∂∂=∂∂，v u
x
y ∂∂=-∂∂ 只需：2122x x y -=-，从而在直线
1
2
y =
上，可导，在z 平面上处处不解析 7．解：设z x yi =+，则
