华师在线复变函数作业答案

2011/2012学年（一）学期月考试卷《复变函数》试卷参考答案专业 电子信息工程 年级2010班级 姓名 学号一、填空题（每小题3分，共15分）： 1、设),2)(32(i i z +--=则arg z =8arctan -π2、设C 为正向圆周2ξ=，3sin()() C f z d z πζζζ=-⎰，其中2z <，则1'()f =i 32π3、积分||711cos z zdz z =+=-⎰ .12i π 解：11cos zz+-在圆周7z =内部有三个孤立奇点1230,2,2z z z ππ===-2422211111111cos ()1(1)2!4!2!4!zz z z z z z zz z z ϕ++++==⋅=⋅---++-+因为212!4!z -+ 为复平面内的收敛幂级数，和函数()z ϕ是解析的，并且在0z =处不等于零，所以1()z ϕ在0z =处解析，可以展开为0z =处的泰勒级数。

又因为它是偶函数，泰勒级数中必不含z 的奇次幂项，所以可以写成24242c z c z +++ ，故242422221122(2)1cos z z c z c z c c z z z z z ++=⋅+++=++++- ，1Re [,0]21coszs z+=- 24222211111(2)(2)1(2)1cos 1cos(2)(2)1[1]2!4!2!4!1112(2)1(2)(2)(2)(2)z zz z z z z z z z z z z z z z ππππππππϕππϕπ++++===⋅---------++-++++-=⋅=⋅----令2u z π=-，得211211cos ()z u z u u πϕ+++=⋅-。

类似前面的讨论可得1Re [,2]21cos z s z π+=-。

同理可得1Re [,2]21cos zs zπ+-=- 故||712(222)121cos z zdz i i z ππ=+=++=-⎰4、若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=, 那么)(z f = c ic z ,2+为实常数.5、在01z <<内，函数1(2)(1)z z z -+的罗朗展式是101(1)112362n n n n z z ∞+=⎛⎫--+- ⎪⎝⎭∑二、选择题（每小题3分，共15分）：1、设)(z f 在点a 解析，点b 是)(z f 的奇点中离点a 最近的奇点，于是，使∑∞=-=0)()(n n n a z c z f 成立的收敛圆的半径等于（C ）． (A) 1++b a (B) 1+-a b(C) b a - (D) b a +2、若点a 为)(z f 的可去奇点，则Res((),)f z a =（C ）． (A) 21 (B) 21- (C) 0 (D) i3、设1:1=z c 为负向, 3:2=z c 为正向, 则⎰+=212sin c c c dz zx= ( B ) (A) i π2-(B) 0 (C) i π2(D)i π44、幂级数()!()!n n z n n+=∞∑120的收敛半径为（ D ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) +∞5、若,sin 1)(z z z f =则0,Re [(),]k s f z k π≠=（ C ） (A) πk 1 (B) 0 (C) πk k 1)1(-(D)k )1(-三、计算题（15分）（1）计算函数12)2)(1()(--+=z z z z f 在孤立奇点处的留数． 解：1()(2)zf z z z +=-的孤立奇点有两个120,2z z ==，它们都是一级极点。

Ａ.1 复数与复变函数（第一章）1.1 复数1．选择题 (1) Re()iz =( B )（A ）Re()iz - （B ）Im()z - （C ）Im()z （D ）Im()iz (2) 下列对任意复数z 均成立的等式为（ A ）（A ）22zz= （B ）()22zz=（C ）()22arg arg z z = （D ）()22Re Re z z =(3) 复数2z =所属区域为（ B ）（A ）01z << （B ）0arg 2z π≤≤ （C ）12z << （D ）11z i>- (4) 设复数z 满足：arg(2)3z π+=，且5a r g (2)6z π-=，则z =（A ）（A ）1- （B ）i（C ）12- (D ）12i +2. 将下例函数化为三角表达式和指数表达式 (1) i +1 解 因 2|1|=+i ，ππk i Arg 24)1(+=+，0,1,2,k =±±所以，1cos 2sin 244i k i k ππππ⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭24i k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=(2) i解 cos 2sin 222i k i k ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22k e ππ+=，0,1,2,k =±±(3) 21i -解 241cos 2sin 2244k i k i k ππππππ--⎫⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 0,1,2,k =±±3. 证明：当1z<时，()2Im 12z z -+<.证 因()()222Im 1Im 12z z x iy x y i xy -+=-++-+=22y xy y xy +≤+,又因1y z ≤=<,且22221x y x y z ⋅≤+=<,所以,()2Im 12z z -+<4. 填空题(1) 设8214z i i i =-+,则复数z x iy =+的形式为 13i -复数z 的模为辐角主值为 arctan3-(2) 设121i z i-=+，则其实部为12-虚部为32-共轭复数为1322i-+(3) 设复数5z i =-，则其三角形式5cos sin 22i i ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭指数形式 25i eπ⎛⎫- ⎪⎝⎭(4) 当z 满足12z i =+条件时，21zz +是实数． (5) 设811i z i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则663322z z +-的值为___1__5．选择题(1) 设12z i =+，则3Im z =（ A ）（A ）-2 （B ）1 （C ）8 （D ）14(2) 设)2z i =-，则100501z z ++的值为（ A ） （A ）i - （B ）i （C ）1 （D ）-16．计算下例各题的值(1) 8(1)i -+解8833(1)cos 2sin 244i k i k ππππ⎤⎫⎛⎫⎛⎫-+=+++⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎦()()()42cos 616sin 616k i k ππππ=+++16=(2) 13(1)i + 解132244(1)sin )33k k i i ππππ+++=+,0,1,2k =解()()16cos 2sin 2k i k ππππ=+++⎡⎤⎣⎦=22cos sin 66k k i ππππ++⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 0,1,,6k =(4) 10(1)-解10(1)-102cos 2sin 233k i k ππππ-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=1010102cos sin 33i ππ-⎛--⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()1121--+1.2 复变函数7. 选择题 (1) 12(1)-=（ Ｄ ）（A ）无定义 （B ）－１ （C ）cos()2k ππ+（D ）sin()2i k ππ+(2) 方程()2Re 1z =所代表的曲线为（ Ｃ ）（A ）圆周 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 (3) 下例正确的是（ Ｄ ）（A ）()Ln z 在1z =-处无定义 （B ）(1)0Ln -= （C ）(1)Ln -的虚部等于π （D ）(1)Ln -的实部等于０(4) 若z e 为纯虚数，则z 有（ Ｃ ）（A ）Re()0z = （B ）Im()z k π=（C ）Im()2z k ππ=+ （D ）Im()2z π=(5) 下例中为单值函数的为（ A ）（A ）rg a z （B ）rg A z （C（D ）求z 的值 (1) 23iz e π-= 8.解 2223333cos sin 33i ii i z e e ee i ππππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2312e ⎛=- ⎝⎭(2) 211z e -=解 因211z e -=，有211z Ln -=，所以，()11ln 112z iArg =++＝()()1122i k π+ 0,1,2,k =±±(3)(1)z Ln =解(1)z Ln =()ln 11iArg =+ln 223i k ππ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭0,1,2,k =±±(4) ln(1)z i =-解 ln(1)z i =-()1ln 1arg 1ln 224i i i i π⎛⎫=-+-=+- ⎪⎝⎭9. 选择题 (1) 设函数1z e i =-则Im z =（ C ）（A ）4π- （B ）4π （C ）24k ππ- （D)24k ππ+(2) 设0y >，则sin()iy 的模为（ Ｄ ）（A ）2y ye e i -- （B ）2y ye e i -- （C ）2y ye e -- （D ）2y ye e --(3) 设{}01D z z =<<，则D 为（ Ｂ ）（A ）无界区域 （B ）复连通域（C ）单连通域 （D ）闭区域(4) 下例正确的是（ Ｄ ）（A ）z e 为单调函数． （B ）z e 为有界函数．（C ）z e 为多值函数． （D ）z e 为周期函数．10. 判断正误(1) 因为12(1)i i +<+，所以12(1)i i +<+. ( × )(2)sin ,cos z z为有界函数． ( × )(3)2()2Ln z Lnz=．( × )(4) {}Re()D z z z=≤所表示的为整个复平面.( √ )11. 计算下例各值(1) (1)i i + 解()1ln22124(1)i i k iLn i ii eeππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+==12ln 242k i eππ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=,0,1,2,k =±±(2)解))l n 11221i A r g i k eπ+===,0,1,2,k =±±(3) 32(1)-解 (3233ln2212322(1i k Ln eeππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭-==()()3l n 232i k ee ππ+=⋅=±12. 计算下例各值(1) cos(2)i -解 ()(2)(2)12121cos(2)22i i i i i ie e i e e ---+--+-==+ 11cos 2sin 222e e e e i --+-=⋅+⋅(2) sin i解1s i n 22i i i i e e e e i ii ⋅-⋅---==(3) ()tan 2Arc i解()()221211t a n 2l n 22122323ii i i A r c i L n L n i k i ππ+-⎡⎤=-=-=-++⎢⎥-⎣⎦1ln322i k π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭0,1,2,k =±±。

习题一答案1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+ （2）(1)(2)i i i --（3）131i i i-- （4）8214i i i -+-解：（1）1323213iz i -==+， 因此：32Re , Im 1313z z ==-，1232, arg arctan , 3131313z z z i ==-=+（2）3(1)(2)1310i i iz i i i -+===---， 因此，31Re , Im 1010z z =-=，1131, arg arctan , 3101010z z z i π==-=--（3）133335122i i iz i i i --=-=-+=-， 因此，35Re , Im 32z z ==-，34535, arg arctan , 232i z z z +==-=（4）82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+因此，Re 1, Im 3zz =-=，10, arg arctan3, 13z z z i π==-=--2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2）13i -+ （3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cossin22iii e πππ=+=（2）13i -+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 22sin [cossin]2sin 2222ii eπθθπθπθθ---=+=3． 求下列各式的值：（1）5(3)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-（5）3i （6）1i +解：（1）5(3)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin())16(3)66i i ππ=-+-=-+（2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin )332[cos()sin()][cos()sin()]44i i i i ππθθππθθ-+-+=-+--+-2[cos()sin()](cos2sin 2)1212i i ππθθ=-+-+(2)122[cos(2)sin(2)]21212ii eπθππθθ-=-+-=（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)i i i ϕϕϕϕϕϕ+==+-+- （5）3i 3cossin22i ππ=+11cos (2)sin (2)3232k i k ππππ=+++31, 02231, 122, 2i k i k i k ⎧+=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩（6）1i +2(cossin )44i ππ=+ 4112[cos (2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++48482, 02, 1i i e k e k ππ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩4． 设121, 3,2iz z i +==-试用三角形式表示12z z 与12z z解：12cossin, 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+，12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5． 解下列方程： （1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=>解：（1）51,z i += 由此2551k i z i ei π=-=-， (0,1,2,3,4)k =（2）4444(cos sin )za a i ππ=-=+11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4个根分别为：(1), (1), (1), (1)2222a a a ai i i i +-+--- 6． 证明下列各题：（1）设,zx iy =+则2x y z x y+≤≤+证明：首先，显然有22z x y x y =+≤+；其次，因222,x y x y +≥固此有2222()(),x y x y +≥+ 从而222x y z x y +=+≥。

创作编号：BG7531400019813488897SX创作者：别如克*习题一答案1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+（2）(1)(2)ii i--（3）131ii i--（4）8214i i i-+-解：（1）1323213i zi-==+，因此：32 Re, Im1313 z z==-，232arg arctan,31313z z z i==-=+（2）3(1)(2)1310i i izi i i-+===---，因此，31Re, Im1010z z=-=，131arg arctan,31010 z z z iπ==-=--（3）133335122i i iz ii i--=-=-+=-，因此，35Re, Im32z z==-，535,arg arctan,232iz z z+ ==-=（4）82141413z i i i i i i=-+-=-+-=-+因此，Re1,Im3z z=-=，arg arctan3,13z z z iπ==-=--2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2）1-+ （3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ-（5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cossin22iii e πππ=+=（2）1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 22sin [cossin]2sin 2222ii eπθθπθπθθ---=+=3． 求下列各式的值：（1）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-（5（6解：（1）5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin()))66i i ππ=-+-=-+（2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin)33)sin()][cos()sin()]44i ii iππθθππθθ-+-+=-+--+-)sin()](cos2sin2)1212i iππθθ=-+-+(2)12)sin(2)]1212iiπθππθθ-=-+-=（4）23(cos5sin5)(cos3sin3)iiϕϕϕϕ+-cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)iiiϕϕϕϕϕϕ+==+-+-（5=11cos(2)sin(2)3232k i kππππ=+++1,0221,122,2i ki ki k+=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩（6=11(2)sin(2)]2424k i kππππ=+++88,0,1iie ke kππ==⎪=⎩4．设12,z z i==-试用三角形式表示12z z与12zz解：12cos sin, 2[cos()sin()]4466 z i z iππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+，12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5． 解下列方程： （1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=>解：（1）z i += 由此25k i z i ei π=-=-， (0,1,2,3,4)k =（2）z==11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4个根分别为：(1), 1), 1), )i i i i +-+--- 6． 证明下列各题：（1）设,zx iy =+z x y≤≤+证明：首先，显然有z x y =≤+；创作编号：BG7531400019813488897SX创作者： 别如克*其次，因222,x y x y +≥ 固此有2222()(),x y x y +≥+从而z =≥。

习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++. ①解：i 4πππecos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②解：()()()()35i 17i 35i 1613i 7i 11+7i 17i 2525+-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解：()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 333;;;.n z i①解： ∵设z =x +iy 则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++, ()222Im z a xy z a x a y -⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+-∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭．④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩ ． ∴当2n k =时，()()Re i 1kn =-，()Im i 0n =；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=．()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数． 证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明：∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z w z w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了． 下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--++ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--=== 其中8πarctan 19θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e ii =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-==-.∴()2πi 38π116πe--=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcos isin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根. ⑴i 的三次根．()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=z ．2551cos πi sin πi 662=+=z3991cos πi sin πi 662=+=-z ⑵-1的三次根()()132π+π2ππcos πisin πcos isin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cosisin 332=+=z 2cos πisin π1=+=-z3551cos πi sin π332=+=--z的平方根．解：πi 4e ⎫=⎪⎪⎝⎭)()1π12i 44ππ2π2π44e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe ,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1 从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

第一章思考：已知 1212rg()rg rg A z z A z A z =+是否可推出，当12z z z ==时，2rg 2rg A z A z = 成立；左：221rg rg 2A z a z k π=+ ， 整数10,1,2,k =±± 其中，随着点z 在z 平面上的位置不同，2rg a z 有如下 三种不同的情况：1．arg 22z ππ-<≤时，2rg 2rg a z a z =； 2．arg 2z ππ<≤时，2rg 2rg 2a z a z π=-；3．arg 2z ππ-<≤-时，2rg 2rg 2a z a z π=+； 下面仅以 arg 22z ππ-<≤情况为例，进行讨论（仿此，可对其它两种情况进行讨论）：左：21rg 2rg 2A z a z k π=+ ， 整数10,1,2,k =±± 右：22rg 2(rg 2)A z a z k π=+ 整数20,1,2,k =±± 如果满足左=右，则应存在：122k k =显然，当1k 给定为奇数时，122k k =不成立，找不到与1k 对应的2k ；所以，不能推出2rg 2rg A z A z = ； 当然，更不能推出rg rg n A z nA z = ；例如：z i =，21z =-，21rg rg(1)2,A z A k ππ=-=+222rg 2rg 2(2)42A z A i k k ππππ==+=+， 显然，当1k 为奇数时，122k k =不成立，于是2rg 2rg A z A z ≠；练习：当1z =-时，验证2rg 2rg A z A z ≠1z =-，21z =，221rg(1)rg(1)2A a k π-=-+=111[2rg(1)2]2(22)22a k k k ππππππ=--+=-+=2222rg(1)2[rg(1)2]2(2)2(12)A a k k k ππππ-=-+=+=+ 显然，当1k 为偶数时，1212k k =+不成立，于是2rg 2rg A z A z ≠；练习：证明当n 为负整数时，(cos sin )cos sin n i n i n θθθθ+=+仍然成立；证：当n 为负整数时，取m 为正整数，且n m =-； 1(cos sin )(cos sin )(cos sin )n m m i i i θθθθθθ-+=+=+ cos 0sin 0cos(0)sin(0)cos sin i m i m m i m θθθθ+==-+-+这时，分子、分母两个复数的模都为1，利用两复数之商的辐角关系，cos()sin()cos sin m i m n i n θθθθ=-+-=+ ；证法二：用复数的指数式证当n 为负整数时，取m 为正整数，且n m =-；i z re θ=；m m m i z r e θ=；n n n i z r e θ---=；左端转到右端，右端转到左端，得到n n i n r e z θ= ，即：当n 为负整数时，n n n i z r e θ=仍然成立；内点的集合称为开集，开集不包含边界点；连通的开集称为区域，区域不包含边界点，闭域包含边界点；圆心在原点的单位圆可以用两个参数方程表示为： cos x t =，sin y t =，t ππ-<≤；或者用一个复数形式的方程表示为：cos sin z t i t =+⋅，t ππ-<≤；无洞的区域称为单连通域，有洞的区域称为多连通域；复变函数的定义复变数w 是复变数z 的函数，简称w 是复变函数， 记作 ()w f z =；如果对定义域内的每一个复变数z ，有唯一确定的复变数w 与之对应，称()w f z =是单值函数，如：w z =；如果一个复变数z ，对应着两个或两个以上的w 值，称()w f z =是多值函数，如：w =；练习：判断以下函数是单值函数还是多值函数；1．w z = ；2．arg w z = , (0z ≠) ；3．rg w A z = ，(0z ≠) ；映射的概念：映射也称为复变函数的几何解释； 在研究一元、二元函数性质时，()y f x =与(,)z f x y =的几何图形给了我们很多直观的帮助， 对于复变函数，因为 z x i y =+⋅ ，给定z 值，,x y 便唯一确定； 因为 ()w f z = ，给定z 值，w 便有确定的值； 如果把()w f z =写成实、虚部的形式，则(,)(,)w u x y i v x y =+⋅ ，w 一旦确定，从而 ,u v 也有确定的值；在几何上，取两张复平面：w 平面和z 平面，从而避免涉及到 x y u --、x y v --两个三维空间，w 平面：w u i v =+⋅ ；z 平面：z x i y =+⋅ ；（在个别情况下，也可将两张复平面重叠成一张平面）， 这样，就把复变函数()w f z =理解为：从定义域中的点z 到值域中的点w 的映射，w 称为z 的像，z 称为w 的原像；练习： 按照映射2w z =，将z 平面的以下曲线， 分别映射到w 平面上；1. 222x y -= ；2. 222x y -=- ；3. 1x y ⋅=± ；4. 1x = ； 22u x y =- （1）2v xy = （2）由（1）得：22y x u =- （3）由（2）得：2224v x y =⋅ （4）当把x 作为参数时，设法由（3）、（4）消去y ， 将（3）代入（4），得到：2224()v x x u =- （5）把（5）中的x 看作参数，表明u 与v 之间呈抛物线关系，例如 1x =时，24(1)v u =- ；5. 1y = ；22u x y =- （1）2v xy = （2）由（1）得：22x y u =+ （3）由（2）得：2224v x y =⋅ （4）当把y 作为参数时，设法由（3）、（4）消去x ， 将（3）代入（4），得到： 2224()v y y u =+ （5）把（5）中的y 看作参数，表明u 与v 之间呈抛物线关系，例如 1y =时，24(1)v u =+ ；练习：在映射2w z =下，求z 平面上以下图形的像：1. 由 2,04r πθ=≤≤ 所围成的区域；2. 圆弧：2,02r πθ=≤≤； 3. 倾角3πθ=的直线，且0z ≠；。

华中师范大学 2005 –2006学年第二学期期末考试试卷（B 卷）参考答案课程名称 复变函数 课程编号 83410010任课教师 陈世荣 郑高峰 代晋军一、单项选择题：（共6题，每题3分）1. 设,1 , 10=<z z 记 zz z z l 001--=，则以下判断正确的是 [ C ] .(A) .1>l (B) .1<l (C) .1=l (D) l 的值无法确定. 2. 函数 2)(z z f =+1 在 0=z 处是[ B ].(A) 不可导的. (B) 可导但不解析. (C ) 解析的. (D) 可导且解析.3. 设)(z f 在单连通区域D 内解析且恒不为0, L 为D 内一条简单闭曲线, 则必有 [ D ].(A) .0)](Im[ =⎰dz z f L(B) .0)](Re[ =⎰dz z f L(C) .0)( =⎰dz z f L(D).0 )(1=⎰dz L z f4 . 设),2 ,1( 2)1(n =++-=n in ni n α，则 =+∞→n αn lim [ B ]. (A) 0. (B) 1. (C) i . (D) 不存在.5. 设 a z =为解析函数)(z f 的m 阶零点，则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛'a f f ,Res [ A ].(A) m . (B) m -. (C) .1-m(D) ).1(--m6. 设函数)( ),(z g z f 分别以a z =为极点和本性奇点，则a z =为函数)()(z f z g 的[ B ].(A) 可去奇点. (B) 本性奇点. (C) 极点. (D) 无法确定a z =的奇点类别. 二、填空题： （共4题，每题 3分）1．设 ii w +=1，则)Im(w = ().,2Z k e k ∈+-ππ 2．复平面上取正实轴作割线，取定多值函数 )01( <<-ααz 在割线上沿取正实值的一个单值 解析分支，则该分支在 i z =处的值为2ie απ3．设⎰=-++=22,172 )(ςςςςςd z z f 这里2≠z ，则 =+')1(i f )114(2i +-π4．幂级数∑+∞=012n n n z 的收敛半径为 =R 1 .三、计算题： （共50分）1. 设)3)(1(1)(--=z z z f .(1)求)(z f 在1<z 内的泰勒展式. (8分)(2)求)(z f 在圆环31<<z 内的洛朗展式. (7分) (3)求)(z f 在圆环3>z 内的洛朗展式. (5分)解：).1131(21)(---=z z z f ---------------------------------------------------(3分) (1) 当1<z 时.3112121361]11)1(31[21)(0100nn n n n nn zz z z z z f ∑∑∑∞+=+∞+=∞+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+--=------(8分)(2) 当21<<z 时=)(z f .121321])1(1)1(31[2101113∑∑+∞=+∞=+--=----n n n n n zzz z z -----------------------------(15分)(3) 当3>z 时.1321]1131[21])1(1)1(1[21)(210013∑∑∑∞+=-∞+=∞+=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=---=n n n nn nn zz z z z z z z z z f ---------(20分) ■2. 利用留数定理计算实积分.(1) ⎰+-=πθθ0 2 cos 21a a d I ,其中 .1>a (15 分) 解： ⎰-+-=ππθθ 2 cos 21 21a a d I ，令θi e z =，-------------------------(3分)则()121cos -+=z z θ，],[,ππθθ-∈=iz dz d ----(6分).11 ,))((1Re 22 ))((21)1(21211111122-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=---=++-=---=-=⎰⎰a a a a a a z a z s ai i a z a z dz ai a z a az dz i I z z πππ-----------(11分) -----------------------------------------(15分)(2) dx x a x I ⎰∞++=02222)( (0>a ) (15 分)解：令,)()(2222z a z z f +=取如图积分路径R L 有： ----------------------(2分) ()⎰⎰⎰Γ-=++=RRai f s i dz z f x a dxx dz z f L RR ,Re 2)()()(2222π-------------------(6分)而)(,0)()(2222+∞→→-≤⎰ΓR R a R R dz z f Rπ--------------------------(9分) a ai z azi ai z z i f s aiz ai z 41)(2)(),(Re 322=+='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=== ----------------------(12分)令+∞→R 得到aai i dx x a x I 441221)(212222ππ=⋅⋅=+=⎰∞+∞-。

1、参考答案：D 2、参考答案：C 3、参考答案：B 4、参考答案：D 5、参考答案：C 6、参考答案：A 7、参考答案：B 8、参考答案：D 9、参考答案：D 10、参考答案：D 11、参考答案：C 12、参考答案：B 13、参考答案：A 14、参考答案：D 15、参考答案：B 16、参考答案：D 17、参考答案：B 18、参考答案：A 19、参考答案：A 20、参考答案：C填空题21、参考答案有一个奇点22、参考答案23、参考答案按段光滑曲线24、参考答案25、参考答案26、参考答案127、参考答案实部与虚部都是连续函数28、参考答案解析29、参考答案30、参考答案退化连续点集31、参考答案32、参考答案处处可导33、参考答案某个去心领域内34、参考答案35、参考答案36、参考答案无穷远点37、参考答案38、参考答案39、参考答案40、参考答案内闭一致收敛41、参考答案42、参考答案43、参考答案可去奇点44、参考答案聚点45、参考答案46、参考答案47、参考答案48、参考答案聚点49、参考答案条件收敛50、参考答案1、参考答案：C 2、参考答案：B 3、参考答案：A 4、参考答案：A 5、参考答案：B 6、参考答案：D 7、参考答案：D 8、参考答案：D 9、参考答案：C 10、参考答案：A 11、参考答案：C 12、参考答案：C 13、参考答案：A 14、参考答案：B 15、参考答案：B 16、参考答案：D 17、参考答案：D 18、参考答案：D 19、参考答案：D 20、参考答案：B 填空题21、参考答案聚点22、参考答案23、参考答案24、参考答案1 25、参考答案解析26、参考答案27、参考答案28、参考答案一致连续29、参考答案单连通区域30、参考答案无穷远点31、参考答案32、参考答案内闭一致收敛33、参考答案处处可导34、参考答案35、参考答案36、参考答案能达到它的最大最小值37、参考答案38、参考答案39、参考答案实部与虚部都是连续函数40、参考答案连续点集41、参考答案42、参考答案43、参考答案有一个聚点44、参考答案可去奇点45、参考答案46、参考答案有一个奇点47、参考答案48、参考答案149、参考答案绝对收敛50、参考答案1、参考答案：A2、参考答案：C 3、参考答案：C 4、参考答案：C 5、参考答案：C 6、参考答案：B 7、参考答案：B 8、参考答案：D 9、参考答案：A 10、参考答案：D 11、参考答案：D 12、参考答案：A 13、参考答案：C 14、参考答案：D 15、参考答案：B16、参考答案：D 17、参考答案：C 18、参考答案：C 19、参考答案：B 20、参考答案：A填空题21、参考答案内闭一致收敛22、参考答案二连通区域23、参考答案聚点24、参考答案无穷远点25、参考答案26、参考答案绝对收敛27、参考答案单连通区域28、参考答案有一个聚点29、参考答案可去奇点30、参考答案131、参考答案32、参考答案33、参考答案1 34、参考答案连续35、参考答案绝对收敛参考答案37、参考答案单连通区域38、参考答案39、参考答案恒等40、答案参考答案1 42、参考答案切线43、参考答案44、参考答案45、参考答案条件收敛46、参考答案47、参考答案某个去心领域内48、参考答案有一个奇点49、参考答案50、参考答案边界点1、参考答案：C 2、参考答案：B 3、参考答案：C 4、参考答案：B 5、参考答案：D 6、参考答案：A 7、参考答案：D 8、参考答案：A 9、参考答案：D 10、参考答案：C 11、参考答案：C 12、参考答案：C 13、参考答案：B 14、参考答案：D 15、参考答案：C 16、参考答案：C 17、参考答案：D 18、参考答案：C 19、参考答案：B 20、参考答案：C 填空题21、参考答案22、参考答案聚点23、参考答案绝对收敛24、参考答案25、参考答案退化连续点集26、参考答案27、参考答案28、参考答案29、参考答案30、（2 分）参考答案31、参考答案32、参考答案切线33、参考答案34、参考答案有一个聚点35、参考答案36、参考答案解析37、参考答案38、参考答案39、参考答案某个去心领域内40、参考答案连续点集41、参考答案恒等42、参考答案解析43、参考答案能达到它的最大最小值44、参考答案45、参考答案46、参考答案47、参考答案单连通区域48、参考答案绝对收敛49、参考答案50、参考答案按段光滑曲线。