第五章 刚 体 力 学(一）
第五章
刚体是由许许多多质点组成的，可以说是质点组．但刚体又是一种特殊的质点组，它的特点在于：刚体的大小与形状始终不变，也即是刚体内任意两质点之间的距离保持不变．
一个自由的质点有三个自由度，N个质点所组成的质点组，如果没有什么约束，显然有3N个自由度．而刚体由于内部任意两质点间的距离保持不变，却只有六个自由度：三个移动自由度，三个转动自由度．刚体还常受到一些约束条件的限制，例如转动轴是固定不变的等等．这样，它的自由度还会少于六个．
刚体既然有六个自由度，它的一般运动就可以归结为六个运动方程．
刚体的质心遵守质心运动定理，这归结为三个分量方程
000000xxyyzzFmaFmaFma （5. 1）
式中 xF是刚体受到的 x方向的外力的和， 0m是整个刚体的质量． 0xa是刚体的质心在 x方向的加速度。 00xxFma是质心在 x方向的运动方程，同理，另外二个式子是 y， z方向的质心运动方程．
除质心的运动以外，刚体还可以绕质心转动，这包括转轴通过质心而平行于 x轴， y轴， z轴三个自由度．刚体的任意运动，可以看成是整个刚体随质心平动和绕质心转动的合成．
刚体的转动遵守绕 x， y， z轴的动量矩定理
xxyyzzMJMJMJ （5. 2） （5．2）式也可以用单个矢量式表示，即
ddtJM
其中力矩 iiiMrF，动量矩 iiiimJrv。
这样，六个运动方程对应于刚体的六个自由度，刚体的运动情况就可以完全确定了．
质心是刚体上很重要的一点，质心的质量就等于整个刚体的质量．质心的位置可用下面的积分式来求：
000xdmxdmydmydmzdmzdm （5. 3）
力学中的刚体运动
刚体运动是力学中的基础概念之一，涉及物体在空间中的平移和旋转运动。刚体指的是一个具有无穷多个质点的物体，其内部任意两点之间的相对位置保持不变。本文将介绍刚体运动的基本原理、刚体运动的类型以及刚体运动的相关公式。
一、刚体运动的基本原理
刚体运动的基本原理是“刚体上的任一质点在任意时刻的平面运动状态都完全相同”。这意味着无论刚体如何运动，刚体上的各个质点之间的相对位置都保持不变。这种相对位置的不变性使得刚体的运动可以用一个简化的模型来描述。
二、刚体运动的类型
刚体运动可以分为平面运动和空间运动两种类型。
1. 平面运动
平面运动指的是刚体在一个平面内的运动。在平面运动中，刚体的质心沿直线或曲线轨迹运动，同时围绕质心进行旋转。平面运动可以进一步分为平行轴定理和垂直轴定理两种类型。
- 平行轴定理：当刚体的所有质点在一个平面内运动，且对于每个平行于该平面的轴，刚体质量对该轴的转动惯量都相等，则刚体的转动可以看作是质心绕着某个轴的转动。 - 垂直轴定理：当刚体的所有质点在一个平面内运动，且对于每个垂直于该平面的轴，刚体质量对该轴的转动惯量都相等，则刚体的转动可以看作是绕着该轴的转动。
2. 空间运动
空间运动指的是刚体在三维空间中的运动。在空间运动中，刚体的质心和各个质点都可以沿直线或曲线轨迹进行平移和旋转。空间运动需要考虑刚体在三个方向上的运动和转动，其描述较为复杂，常用欧拉角和四元数等方法进行分析和计算。
三、刚体运动的相关公式
刚体运动的描述离不开相关的公式和定理。以下是一些常用的刚体运动公式：
1. 质心运动的描述：
- 质心速度公式：v = ds/dt，其中v为质心速度，s为质心位移，t为时间。
2. 刚体的平面运动：
- 转动惯量公式：I = ∑mi ri²，其中I为转动惯量，mi为每个质点的质量，ri为质点到旋转轴的距离。
- 角动量公式：L = Iω，其中L为角动量，ω为刚体的角速度。
第五章 刚体力学
引言：
前面一章我们讨论了质点组在外力和内力作用下的运动规律，在此基础上，本章就开始讨论一种特殊形式的质点组---即刚体在外力作用下的运动规律。对刚体在力的作用下运动规律的研究就称为刚体力学.
一、刚体的定义和自由度：
什么叫刚体？[对刚体的概念在普通力学中讲过，可由学生回答，然后再得出它正确的定义]，一个质点组，无论所受的作用力如何，只要质点组内任意两个质点之间的距离保持不变，这样的质点组就叫做刚体，这也就是刚体的含义。由刚体的定义可知，刚体不同于质点的概念，质点是忽略大小和形状，只具备一定质量的几何点，而刚体则是要考虑物体的大小和形状，但忽略其大小和形状变化的一种理想的力学模型。对物体形状、大小的改变与所研究的问题无关或者关系不大的物体我们都可以将它看作刚体。因为刚体是质点组的一种特殊情况，所以在上一章中涉及到的所有定理对刚体也同样成立。把上一章得出的结论应用到刚体上来是研究刚体力学的基本出发点和基本方法。在上章曾经讲过，一个自由质点需要三个独变量才能确定它在空间的位置。为确定一个力学系统的位置所需要的独立变量的个数，就叫做这个力学系统的自由度数。因此一个质点有三个自由度，由N个自由质点组成的质点组，显然就有3N个自由度。刚体虽然由大量质点组成，但是根据刚体内任意两质点间的距离始终保持不变的这一特征，刚体的自由度并不是很多，那么刚体的自由度到底有几个？我们知道刚性联系的两个质点组成的质点组，它们两者之间存在着在一个刚性的几何约束条件。因此它的自由度应该是6-1=5，刚性联系的三个质点组成的质点组的自由度是5+3-2=6[2个质点是5个，加上一个质点的3个自由度，再减去增加的2个几何约束条件，所以……]由此可以推知三个以上质点组成的刚体，其自由度也都只有六个,所以,刚体的自由度最多是六个,其实一个刚体,只要它上面不在同一直线上的三个点的位置确定了,刚体的位置也就确定了,所以说一个自由刚体的自由度只有六个。
第七章 刚体力学
1 教学时数:16
教学目的与要求:
（1）本章以刚体绕固定轴的转动为重点，要使学生熟练掌握有关规律。
（2）着重讲述角速度、角加速度及转动惯量的概念。
（3）要指出质心与重心的联系和区别。
（4）讲授动量矩定理与动理矩守恒定律时均应包括质点的与质点组的两个方面。通过实例说明动量矩守恒定律的重要性。
（5）对刚体的平面运动不作一般研究，仅讨论圆柱体滚动问题，可结合车轮的滚动进行讲授。
（6）对回转仪的运动可通过演示进行观察，并应用矢量方法定性地说明其初级原理，不作深入分析。
教学重点:
刚体的平动、转动和定轴转动；刚体在定轴转动中的力矩，转动定律，转动惯量，力矩的功和转动动能，角动量和角动量守恒定律。质心，质心运动定律；刚体的平面运动；进动。
教学难点:
定轴转动；刚体在定轴转动中的力矩，转动定律; 转动动能，角动量和角动量守恒定律;
刚体的平面运动
本章主要阅读文献资料:
顾建中编 《力学教程》 人民教育出版社
赵景员、王淑贤编 《力学》 人民教育出版社
漆安慎 杜婵英 《〈力学基础〉学习指导》 高等教育出版社
刚体力学
刚体 定义：物体内任意二点距离不变的物体称为刚体。
说明：⑴刚体是理想模型
⑵刚体模型是为简化问题引进的。
刚体运动
（1）平动：刚体内任一直线方位不变。
特点：各点运动状态一样，如：a、v等都相同，故可用一个点来代表刚体运动。
（2）转动：(a）绕点转动
(b）绕轴转动：刚体中所有点都绕一直线作圆周运动
说明：刚体的任何运动都可看作平动与转动的合成。（乒乓球飞行等）
定轴转动
定义：转轴固定时称为定轴转动。
转动特点：⑴刚体上各点的角位移相同（如：皮带轮），各点的、相同。
⑵刚体上各点的)(rv、)(2ran、rat一般情况下不同。
