高中数学第一章统计1.8最玄乘估计学案北师大版必修3

课时作业8 最小二乘估计|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到线性回归方程y ＝bx ＋a ，那么下面说法不正确的是( )A ．直线y ＝bx ＋a 必经过点(x －，y －)B ．直线y ＝bx ＋a 至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点C ．直线y ＝bx ＋a 的斜率为∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2D ．直线y ＝bx ＋a 与各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的接近程度∑i ＝1n[y i －(bx i ＋a )]2是该坐标平面上所有直线与这些点的最接近的直线解析：直线y ＝bx ＋a 一定过点(x －，y －)，但不一定要过样本点． 答案：B2．下列有关回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的叙述正确的是( ) ①反映y ^与x 之间的函数关系 ②反映y 与x 之间的函数关系 ③表示y ^与x 之间的不确定关系④表示最接近y 与z 之间真实关系的一条直线 A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④解析：y ^＝b ^x ＋a ^表示y ^与x 之间的函数关系，而不是y 与x 之间的函数关系．但它所反映的关系最接近y 与x 之间的真实关系．答案：D3．已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为( )A.y^＝1.5x＋2B.y^＝－1.5x＋2C.y^＝1.5x－2D.y^＝－1.5x－2解析：设回归方程为y^＝b^x＋a^，由散点图可知变量x，y之间负相关，回归直线在y 轴上的截距为正数，所以b^<0，a^>0，因此方程可能为y^＝－1.5x＋2.答案：B4．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t.那么下列说法正确的是( )A．直线l1和l2有交点(s，t)B．直线l1和l2相交，但是交点未必是点(s，t)C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行D．直线l1和l2必定重合解析：设线性回归直线方程为y^＝b^x＋a^，而a^＝y－－b^x－.所以点(s，t)在回归直线上．所以直线l1和l2有公共点(s，t)．答案：A5．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(元)与居民人均消费水平y(元)统计调查，y与x具有相关关系，线性回归方程为y＝0.66x＋1562，若某城市居民人均消费水平为7675元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( ) A．83% B．72%C．67% D．66%解析：将y＝7675代入回归方程，可计算得x≈9262，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7675÷9262≈0.83，即约为83%.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．下列说法：①回归方程适用于一切样本和总体；②回归方程一般都有局限性；③样本取值的X围会影响回归方程的适用X围；④回归方程得到的预测值是预测变量的精确值．正确的是________(将你认为正确的序号都填上)．解析：样本或总体具有线性相关关系时，才可求回归方程，而且由回归方程得到的函数值是近似值，而非精确值，因此回归方程有一定的局限性．所以①④错．答案：②③7．某地区近10年居民的年收入x 与支出y 之间的关系大致符合y ＝0.8x ＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是________亿元．解析：由题意知，y ＝0.8×15＋0.1＝12.1(亿元)，即年支出估计是12.1亿元． 答案：12.18．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：x 3 4 5 6 y2.5t44.5根据上表达提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ＝0.35＋0.7x ，那么表中t 的值为________．解析：因为x －＝3＋4＋5＋64＝4.5.y －＝0.35＋0.7x －＝0.35＋0.7×4.5＝3.5. 又y －＝2.5＋t ＋4＋4.54＝11＋t 4，所以3.5＝11＋t4，所以t ＝3.答案：3三、解答题(每小题10分，共20分)9．根据有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语．吸烟和健康之间有因果关系吗？每一个吸烟者的健康问题都是因为吸烟引起的吗？你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法正确吗？解析：吸烟和健康之间存在一定的相关关系，但不是每一个吸烟者的健康问题都是因为吸烟引起的．“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”是不正确的．10．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y (元)，与该周每天销售这种服装件数x 之间的一组数据关系见表x 3 4 5 6 7 8 9 y66697381899091已知∑i ＝1nx 2i ＝280，∑i ＝1ny 2i ＝45 209，∑i ＝1nx i y i ＝3 487.(1)求x －，y －； (2)求回归方程．解析：(1)x －＝17×(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6，y －＝17×(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)＝5597.(2)b ^＝3 487－7×6×5597280－7×36＝194，∴a ^＝5597－194×6＝71914，∴所求回归方程为y ^＝194x ＋71914.|能力提升|(20分钟，40分)11．已知x 与y 之间的几组数据如下表：x 1 2 3 4 5 6 y21334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′B.b ^>b ′，a ^<a ′C.b ^<b ′，a ^>a ′D.b ^<b ′，a ^<a ′解析：由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y ＝2x －2，从而b ′＝2，a ′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b ^＝∑i ＝16x i y i －6x －·y －∑i ＝16x 2i －6x－2＝58－6×72×13691－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫722＝57，a ^＝y －－b ^x －＝136－57×72＝－13，所以b ^<b ′，a ^>a ′. 答案：C12．某公司的广告费支出x 与销售额y (单位：万元)之间有下列对应数据(由资料显示y 与x 呈线性相关关系)：x 2 4 5 6 8 y3040605070根据上表提供的数据得到回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^＝6.5，预测销售额为115万元时约需________万元广告费．解析：x －＝15(2＋4＋5＋6＋8)＝5，y －＝15(30＋40＋60＋50＋70)＝50，由b ^＝6.5知，a ^＝y －－b ^·x －＝50－6.5×5＝17.5， 所以y ^＝17.5＋6.5x ，当y ^＝115时，解得x ＝15. 答案：1513．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份 2010 2011 2012 2013 2014 时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y (千亿元)567810(1)求y 关于t 的回归方程y ^＝b ^t ＋a ^.(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t ＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程y ^＝b ^t ＋a ^中，b ^＝∑i ＝1nt i y i －n t －y －∑i ＝1n t 2i －n t －2，a ^＝y －－b ^t －.解析：(1)列表计算如下：it iy it 2it i y i1 1 5 1 52 2 6 4 123 3 7 9 214 4 8 16 325 5 10 25 50 ∑153655120这里n ＝5，t －＝1n，∑i ＝1nt i ＝155＝3，y －＝1n∑i ＝1ny i ＝365＝7.2.又∑i＝1nt2i－n t－2＝55－5×32＝10，∑i＝1nt i y i－n t－y－＝120－5×3×7.2＝12，从而b^＝1210＝1.2，a^＝y－－b^t－＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回归方程为y^＝1.2t＋3.6.(2)将t＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y^＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．14．如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明．(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：∑i＝17y i＝9.32，∑i＝17t i y i＝40.17，参考公式：相关系数r＝∑i＝1nt i－t－y i－y－∑i＝1nt i－t－2∑i＝1ny i－y－2，回归方程y^＝a^＋b^t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1nt i －t－y i －y－∑i ＝1nt i －t－2，a ^＝y －－b ^t －.解析：(1)由折线图中的数据和附注中参考数据得 t －＝4，∑i ＝17(t i －t －)2＝28， ∑i ＝17y i －y－2＝0.55.∑i ＝17(t i －t －)(y i －y －)＝∑i ＝17t i y i －t －∑i ＝17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89， ∴r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99. 因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y －＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑i ＝17t i －t－y i －y－∑i ＝17t i －t－2＝2.8928≈0.103，a ^＝y －－b ^t －≈1.331－0.103×4≈0.92.所以，y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t .将2016年对应的t ＝9代入回归方程得：y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．。

2．线性回归方程 用 x 表示x1＋x2＋n …＋xn，用 y 表示y1＋y2＋n …＋yn，则用最小 二乘法可求得
b＝x1－
x
y1－ y ＋x2－ x y2－ y ＋…＋xn－ x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2
x
yn－
y
x1y1＋x2y2＋…＋xnyn－n x y ＝_______x_21＋__x_22_＋__…__＋__x_2n－__n__x_2__________. a＝___y_－__b_x___.
解：(1)如图：
4
(2) x iyi ＝ 6×2 ＋ 8×3 ＋ 10×5 ＋ 12×6 ＝ 158 ， x ＝
i＝1
6＋8＋410＋12＝9， y ＝2＋3＋4 5＋6＝4，i＝41x2i ＝62＋82＋102＋122
＝344，b＝15384－4－4×4×9×924＝1240＝0.7，a＝ y －b x ＝4－0.7×9＝ －2.3，故线性回归方程为 y＝0.7x－2.3.
8
参考数据： x ＝77.5， y ≈85， (xi－ x )2＝1 050，
i＝1
8
8
(yi－ y )2≈457， (xi－ x )(yi－ y )≈688，
i＝1
i＝1
1 050≈32.4， 456≈21.4， 550≈23.5.
解：(1)应选女生 25×480＝5(人)，男生 15×480＝3(人)． (2)若以数学成绩 x 为横坐标，物理成绩 y 为纵坐标做散点图 (图略)，从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并 且在逐步上升，故物理成绩与数学成绩是高度正相关，设 y 与 x 线性回归方程 y＝bx＋a，根据所给的数据，可以计算出 b＝1608580 ≈0.66，a＝85－0.66×77.5＝33.85，所以 y 与 x 的线性回归方程 为 y＝0.66x＋33.85.

考纲定位重难突破1.会作散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.2.知道最小二乘法的思想，能够根据给出的线性回归系数公式建立线性回归方程.重点：作散点图，会建立线性回归方程.难点：准确理解变量的相关关系并求线性回归方程.授课提示：对应学生用书第16页[自主梳理]1．散点图在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．2．变量之间的相关关系从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称为曲线拟合．若两个变量x和y 的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的，而若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关为非线性相关．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．3．最小二乘法与线性回归方程如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a ＋bx的接近程度：[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[y n－(a＋bx n)]2使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．说明：线性回归方程y＝a＋bx中，b＝x1y1＋x2y2＋…＋x n y n－nx－y－x21＋x22＋…＋x2n－nx－2(其中x－＝x1＋x2＋…＋x nn，y－＝y1＋y2＋…＋y nn)；a＝y－－bx－__．[双基自测]1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是()A．正方体的棱长与体积B．单位圆中圆心角的度数与所对弧长C．单位面积的产量为常数时，土地面积与总产量D．日照时间与水稻的亩产量解析：选项A，B，C均为函数关系，日照时间与水稻的亩产量有一定的关系，日照时间长，水稻的亩产量就高，但这种情况也不是绝对的，二者是相关关系．答案：D2．已知x，y之间的一组数据如下：x 01234 5y 135579则y关于xA．(2，2)B．(1，3)C．(2.5，5)D．(4，6)解析：因为x －＝0＋1＋2＋3＋4＋56＝2.5，y －＝1＋3＋5＋5＋7＋96＝5，所以y 关于x 的回归直线必经过样本点的中心(2.5，5)．故选C.答案：C3．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的线性回归方程：y ＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元． 解析：由y ＝0.254x ＋0.321知，当x 增加1万元时，年饮食支出y 增加0.254万元． 答案：0.254授课提示：对应学生用书第16页探究一 变量之间的相关关系的判断[编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高/cm 165 157 155 175 168 157 178 160 163 体重/kg 52 44 45 55 54 47 6250 53[解析] 法一：根据经验可知，人的身高和体重之间存在相关关系．法二：观察表格数据可知，人的体重随着身高的增高而增加，因此人的身高和体重之间存在相关关系．法三：以x 轴表示身高，以y 轴表示体重，得到相应的散点图如图所示．我们会发现，随着身高的增高，体重基本上呈增加的趋势．所以体重与身高之间存在相关关系．两个变量x 和y 相关关系的确定方法(1)散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断．(2)如果发现点的分布从整体上看大致在一条线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．1．某化妆品公司2013～2018年的年利润x (单位：百万元)与年广告支出y (单位：百万元)的统年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 利润x 12.2 14.6 16.2 18.4 20.4 22.3 支出y 0.62 0.74 0.81 0.89 1.00 1.11根据统计资料，可知( )A ．利润的中位数是16.2，x 与y 有正相关关系B ．利润的中位数是17.3，x 与y 有正相关关系C ．利润的中位数是17.3，x 与y 有负相关关系D ．利润的中位数是18.4，x 与y 有负相关关系解析：年利润的6个数据的中间两个为16.2，18.4，则中位数为17.3；又x 增加时，y 也随之增加，因此x 与y 成正相关．故选B. 答案：B探究二 求线性回归方程[典例2] 关于人体的脂肪含量(百分比)和年龄关系的研究中，得到如下一组数：年龄x 23 27 39 41 45 49 50 53 脂肪y 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6(1)判断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作一条拟合直线； (2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程．[解析] (1)以x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量(百分比)画出散点图，如图．进一步观察，发现上图中的点分布在一条直线附近，这说明这一正相关可以用这一直线来逼近，根据图中分析，人体的脂肪含量(百分比)和年龄具有相关关系． (2)设回归直线为y ＝bx ＋a ， 那么结合题中数据，可得x －＝40.875，y －＝23.25，∑8i ＝1x i y i ＝8 092.8，∑8i ＝1x 2i ＝14 195， 则b ＝∑8i ＝1x i y i －8x － y －∑8i ＝1x 2i －8x －2，＝8 092.8－8×40.875×23.2514 195－8×40.8752≈0.591 2， a ＝y －－bx －＝23.25－0.591 2×40.875＝－0.915 3， 所以所求的线性回归方程是y ＝0.591 2x －0.915 3.(1)最小二乘法的适用条件：两个变量必须具有线性相关性，若题目没有说明相关性，必须对两个变量进行相关性检验． (2)注意事项：①利用求回归方程的步骤求线性回归方程的方法实质是一种待定系数法．②计算a ，b 的值时，用列表法理清计算思路，减少计算失误．同时，计算时，尽量使用计算机或科学计算器．2．某研究机构对中学生记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：记忆能力x 4 6 8 10 识图能力y 3 * 6 85.5.(1)经过分析，知道记忆能力x 和识图能力y 之间具有线性相关关系，请用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ；(2)已知某一学生记忆能力值为12，请预测他的识图能力值．解析：(1)设丢失的数据为m ，依题意，得3＋m ＋6＋84＝5.5，解得m ＝5，即丢失的数据值是5.由表中的数据，得x －＝4＋6＋8＋104＝7，y －＝5.5，∑4i ＝1x i y i ＝4×3＋6×5＋8×6＋10×8＝170， ∑4i ＝1x 2i ＝42＋62＋82＋102＝216， b ＝∑4i ＝1x i y i －4x －y －∑4i ＝1x 2i －4x －2＝170－4×7×5.5216－4×72＝0.8，a ＝y －－bx －＝5.5－0.8×7＝－0.1， 所以所求线性回归方程为y ＝0.8x －0.1.(2)由(1)，得当x ＝12时，y ＝0.8×12－0.1＝9.5， 即预测他的识图能力值是9.5.探究三 线性回归方程的应用[典例3] 某5名学生的总成绩和数学成绩(单位：分)如下表所示：学生 A B C D E 总成绩(x ) 482 383 421 364 362 数学成绩(y ) 78 65 71 64 61(1)作出散点图；(2)求数学成绩y 对总成绩x 的线性回归方程；(3)如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个学生的数学成绩． [解析] (1)散点图如图所示：(2)列表如下：i 12 3 4 5 x i 482 383 421 364 362 y i 78 65 71 64 61 x i y i37 596 24 895 29 891 23 296 22 082x －＝2 0125，y －＝3395，∑5i ＝1x 2i ＝819 794，∑5i ＝1x i y i ＝137 760. b ＝∑5i ＝1x i y i －5x － y －∑5i ＝1x 2i －5x －2＝137 760－5×2 0125×3395819 794－5×（2 0125）2≈0.132，a ＝y －－bx －≈3395－0.132×2 0125≈14.683.所以线性回归方程为y ＝0.132x ＋14.683. (3)当x ＝450时，y ≈74，即当一个学生的总成绩为450分时，他的数学成绩约为74分．回归方程的应用体现在以下几个方面：(1)描述两变量之间的依赖关系：利用线性回归方程可定量地描述两个变量间的依赖关系． (2)利用回归方程可以进行预测，把预报因子(相当于随机变量x )代入回归方程对预报量(相当于因变量y )进行估计，即可得到个体y 值的允许区间．(3)利用回归方程进行统计控制，规定y 值的变化，通过控制x 的范围来实现统计控制的目标．3x (单位：m 2)的数据：x 115 110 80 135 105 y 44.8 41.6 38.4 49.2 42(1)画出散点图； (2)求线性回归方程；(3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格． 解析：(1)散点图如图所示．(2)由散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，可求线性回归方程．由表中的数据，得x －＝109，y －＝43.2，∑5i ＝1x 2i ＝60 975，∑5i ＝1x i y i ＝23 852.则b ＝∑5i ＝1x i y i －5x －y －∑5i ＝1x 2i －5x －2＝23 852－5×109×43.260 975－5×1092＝3081 570≈0.196，a ＝y －－bx －≈43.2－0.196×109＝21.836. 故所求线性回归方程为y ＝0.196x ＋21.836.(3)根据上面求得的回归方程知，当房屋面积为150 m 2时，销售价格的估计值为0.196×150＋21.836＝51.236(万元)．利用线性回归方程对总体进行预测[典例] (本题满分12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据：x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ [规范解答] (1)散点图，如图所示．①………………………………………………………………………………………2分 (2)由题意，得∑ni ＝1x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5， x －＝3＋4＋5＋64＝4.5，y －＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑ni ＝1x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86，………………………………………………………6分所以b ＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7，②………………………………………………………………………………………8分 a ＝y －－bx －＝3.5－0.7×4.5＝0.35，…………………………………………………9分 故线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35. ………………………………………………10分(3)根据回归方程预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，………………………………………………………………………11分 故耗能约降低了90－70.35＝19.65(吨标准煤)．③……………………………………………………………………………………12分[规范与警示]①处散点图的画法中，纵、横坐标的刻度选取要适当．②处计算量较大易出错，失分点．③处由回归方程计算的该值只是一个预测值，是实际问题的一个估计值，因此最后应进行回答．用线性回归方程预测的一般步骤为：(1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；(2)如果散点在一条直线附近，用公式求a、b并写出线性回归方程；(3)根据线性回归方程对总体进行预测．[随堂训练]对应学生用书第18页1．根据如下样本数据x 345678y 4.0 2.5－0.50.5－2.0－3.0A．a>0，b>0B．a>0，b<0C．a<0，b>0 D．a<0，b<0解析：画出散点图，知a>0，b<0.答案：B2．下图各选项中的两个变量具有相关关系的是()解析：选项A、C中变量x与变量y之间是确定的函数关系，选项D中，点不在某条直线附近波动，因此两变量非线性相关，而点也不在某条曲线附近波动，故两变量不具有相关关系．选项B中所有点都在某条直线附近波动，故选B.答案：B3．已知高三学生高考成绩y(单位：分)与高三期间有效复习时间x(单位：天)正相关，且回归直线方程是y＝3x＋50.若期望甲同学高考成绩不低于500分，那么他的有效复习时间应不低于________天．解析：由3x＋50≥500，得x≥150.答案：1504．某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70(1)画出散点图；(2)如果x 与y 具有线性相关关系，求线性回归方程，并说明b 的意义． 解析：(1)散点图如图所示．(2)由散点图知x 与y 具有线性相关关系．x －＝5，y －＝50，∑5i ＝1x i y i ＝1 380，∑5i ＝1x 2i ＝145， 所以b ＝∑5i ＝1x i y i －5x －y －∑5i ＝1x 2i －5x －2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6.5，a ＝y －－bx －＝50－6.5×5＝17.5. 所求线性回归方程为y ＝6.5x ＋17.5.b 表示广告费每增加100万元，销售额平均增加650万元．。

[学习目标]1.了解最小二乘法.2.理解线性回归方程的求法.3.掌握线性回归方程的意义．知识点一最小二乘法1．定义：如果有n 个点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y ＝a ＋bx 的接近程度：[y 1－(a ＋bx 1)]2＋[y 2－(a ＋bx 2)]2＋…＋[y n －(a ＋bx n )]2.使得上式达到最小值的直线y ＝a ＋bx 就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法． 2．应用：利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散点图．如果散点图呈现出线性关系，可以用最小二乘法估计出线性回归方程；如果散点图呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的工具进行拟合． 知识点二回归直线的求法 1．回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． 2．回归方程与最小二乘法我们用y i －y ^i 来刻画实际观察值y i (i ＝1,2，…，n )与y ^i 的偏离程度，y i －y ^i 越小，偏离越小，直线就越贴近已知点．我们希望y i －y ^i 的n 个差构成的总的差量越小越好，这才说明所找的直线是最贴近已知点的．由于把y i －y ^i 这个差量作和会使差量中的正负值相互抵消，因此我们用这些差量的平方和即Q ＝i ＝1n (y i －a －bx i )2作为总差量，回归直线就是所有直线中Q 取最小值的那一条．因为平方又叫二乘方，所以这种使“差量平方和最小”的方法叫做最小二乘法．用最小二乘法求回归方程中的a ^，b ^有下面的公式：⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝i ＝1n (x i －x )(y i－y )i ＝1n (x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i－n x 2，a ^＝y －b ^x ，其中x ＝1n ∑i ＝1n x i ，y ＝1n ∑i ＝1ny i .这样，回归方程的斜率为b ^，截距为a ^，即回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^. 思考任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归方程吗？答用最小二乘法求回归方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系(可利用散点图来判断)，否则求出的回归方程是无意义的．题型一变量间相关关系的判断例1某种产品的广告费支出x (单位：百万元)与销售额y (单位：百万元)之间有如下对应数据：(1)画出散点图； (2)求回归方程． 解(1)散点图如图所示．(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.于是可得，b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝1380－5×5×50145－5×52＝6.5，a ^＝y －b ^x ＝50－6.5×5＝17.5.于是所求的回归方程是y ^＝6.5x ＋17.5. 反思与感悟1.求回归方程的步骤 (1)列表x i ，y i ，x i y i . (2)计算x ，y ，∑i ＝1nx 2i ，∑i ＝1ny 2i ，∑i ＝1nx i y i .(3)代入公式计算b ^，a ^的值．(4)写出回归方程y ^＝a ^＋b ^x . 2．求回归方程的适用条件两个变量具有线性相关性，若题目没有说明相关性，则必须对两个变量进行相关性判断．跟踪训练1某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据：已知记忆力x 和判断力y 解x ＝6＋8＋10＋124＝9，y ＝2＋3＋5＋64＝4，∑4i ＝1x 2i ＝62＋82＋102＋122＝344， ∑4i ＝1x i y i ＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，b ＝158－4×9×4344－4×81＝1420＝0.7，a ＝y －b x ＝4－0.7×9＝－2.3. 则所求的线性回归方程为y ＝0.7x －2.3. 题型二利用线性回归方程对总体进行估计例2有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；(3)求回归方程；(4)如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数．解(1)散点图如图所示：(2)从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此气温越高，卖出去的热饮杯数越少．(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式求出回归方程的系数．利用计算器容易求得回归方程y＝－2.352x＋147.772.(4)当x＝2时，y＝143.068.因此，某天的气温为2℃时，这天大约可以卖出143杯热饮．反思与感悟用线性回归方程进行数据拟合的一般步骤是：(1)把数据列成表格；(2)作散点图；(3)判断是否线性相关；(4)若线性相关，求出系数b，a的值(一般也列成表格的形式，用计算器或计算机计算)；(5)写出回归直线方程y＝a＋b x.跟踪训练22014年元旦前夕，某市统计局统计了该市2013年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出． (参考数据：∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406)解(1)依题意可计算得：x ＝6，y ＝1.83，x 2＝36， x y ＝10.98，又∵∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406，∴b ＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x 2≈0.17，a ＝y －b x ＝0.81，∴y ＝0.17x ＋0.81.∴所求的线性回归方程为y ＝0.17x ＋0.81. (2)当x ＝9时，y ＝0.17×9＋0.81＝2.34.可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．1．炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间有() A ．确定性关系B ．相关关系 C ．函数关系D ．无任何关系 答案B解析炼钢时钢水的含碳量除了与冶炼时间有关外，还受冶炼温度等的影响，故为相关关系．2．设有一个回归方程为y ^＝－1.5x ＋2，则变量x 增加一个单位时() A ．y 平均增加1.5个单位B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少1.5个单位D ．y 平均减少2个单位 答案C解析∵两个变量线性负相关，∴变量x 增加一个单位，y 平均减少1.5个单位．3．某商品的销售量y (单位：件)与销售价格x (单位：元/件)负相关，则其回归方程可能是()A.y ^＝－10x ＋200B.y ^＝10x ＋200C.y ^＝－10x －200D.y ^＝10x －200 答案A解析结合图象(图略)，知选项B ，D 为正相关，选项C 不符合实际意义，只有选项A 正确． 4．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是()A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 答案D解析当x ＝170时，y ^＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79kg.5．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重y (kg)对身高x (cm)的回归方程为y ^＝0.72x －58.2，张明同学(20岁)身高178cm ，他的体重应该在________kg 左右． 答案69.96解析用回归方程对身高为178cm 的人的体重进行预测，当x ＝178时，y ^＝0.72×178－58.2＝69.96(kg)．1.判断变量之间有无相关关系，简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可看出两个变量是否具有相关关系，是否线性相关，是正相关还是负相关． 2．求回归直线的方程时应注意的问题(1)知道x 与y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．(2)用公式计算a ^、b ^的值时，要先算出b ^，然后才能算出a ^.3．利用回归方程，我们可以进行估计和预测．若回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则x ＝x 0处的估计值为y ^0＝b ^x 0＋a ^.。