数量积 向量积 混合积

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4. 向量积的坐标表示式
设 a ax i ay j az k , b bx i by j bz k ,
则
( ax i ay j az k ) (bx i by j bz k )
axbx ( i i )
ayby ( j j )
azbz ( k k )
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例1. 证明三角形余弦定理
c2 a2 b2 2abcos
证: 如图 . 设
CB a, C A b, AB c
则
Ab
c
C
Ba
c 2 (a b)(a b) aa bb2ab
a 2 b 2 2 a b cos
a a ,b b ,c c
c2 a2 b2 2abcos
(aybz azby ) i (azbx axbz ) j
k
(axby aybx ) k
YANGZHOU UNIVERSITY
ij
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向量积的行列式计算法
(aybz azby ) i (azbx axbz ) j (axby aybx ) k
i jk ax ay az
Pr jc a Pr jc b Pr jc ( a b)
事实上, 当 c 0 时, 显然成立 ; 当c 0时
a b c c Pr jc a b c Prjc a Prjc b
c Pr jc a c Pr jc b a c b c
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模 : c a b sin
称 c 为向量 a 与b 的向量积 , 记作
b
c a b (叉积)
a

茨 不
等
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--向量的数量积
若向量a与b的夹角为m,则称向量a与b正交或垂直，并记作a丄b. alb = a・b = O
特别地，当a =（㈤,a2,（13）, b =（如M如），则 alb。+ a2b2 + a3b3 = 0
对于三维空间的基向量，有 i・i = j・j = k・k=l』i・j = j・k = k・i = O.
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--向量的数量积
定理1设a，b为三维向量空间依3中的向量，且夹角为6^^ <n\ 则关于它们的数量积有a・b = |a||b|cos0.
常力做功问题
向量a, b的夹角6也记作
6= b
第54讲向量的数量积、向量积与混合积
W = |F||S|cos。= F S.
\________________________ ______________)
A = |a| |b|sin。= |a x b|
第54讲向量的数量积、向量积与混合积--向量的向量积
关于向量积，有 (1) axb与a、b分别垂直； (2) a、b与a x b服从右手法则;
(3)|a x b| = |a| |b|sinQ，其中。为a与b的夹角.
力F作用在杠杆上的力矩M为
L
M = OP x F
=」
b
I0
%
G]
b2
3 ~a2
b
%
a\ a2
+ G b] b2
] 第54讲向量的数量积、向量积与混合积--向量的向量积
a %%
x
% =0
a b2
x
b
例5 证明：ixj = k, jxk = i, kxi = j . 关于向量积，有 (l)a x b与a、b分别垂直； (2)a、b与a x b服从右手法则;

数量积 向量积 *混合积
二、两向量的向量积
1. 定义
实例 设O为一根杠杆L的支点, 有一个力F
作用于这杠杆上P点处.力F 与OP 的夹角为 ,
力F 对支点O的力矩是一 向量 M , 它的模为
| M || OQ || F |
F
| OP || F | sin
OP Q
M 的方向垂直于OP与F
L 所决定的平面, 指向符合 右手系.
ax ay az
[abc ] (a b ) c bx by bz
cx cy cz
混合积的坐标表达式
2021/4/21
7-2-23
数量积 向量积 *混合积
关于混合积的说明：
b
(1) 向量混合积的几何意义
ca
((是它以[23a))这 的 向b三 [向ca样 绝 量]向 b量的 对ca量(的],一 值aba,混(个 表c、ab为合示数)b棱积b,、 c)的cc平共行面 (b六面c)体ba[a的ab体c(b]c积a.0ac
两向量夹角
ax2
a
2 y
az2
bx 2 by2 bz 2
余弦的坐标 表示式
由此可知两向量垂直的充要条件为
ab
a x bx
ayby
azbz
0
2021/4/21
7-2-10
数量积 向量积 *混合积
例
已知a
(1,1,4),b
(1,2,2),
求
(1) a b;
(2) a与b的夹角;
(3) a在b上的投影.
结论 两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积. (两向量的数量积的几何意义)
2021/4/21

方向 : c a , c b 且符合右手规则 模:
a b sin
b
a
(叉积)
称 c 为向量 向量积 , 记作 a 与 b 的 引例中的力矩 M OP F
思考: 右图三角形面积
S＝
2019/3/9
1 2
ab
9
a
b
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2. 性质
( 1 )a a0
为非零向量, 则 a b 0 (2 ) a, b 证明: 当 a 0 ,b 0 时 ,
2019/3/9 10
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4. 向量积的坐标表示式
设a 则 b i b j b k , a i a j a k ,b x y z x y z
( b i b b k ) ( a i a a k ) a b x yj z x yj z
( a b)
b
( a ) ( b ) a ( b )
( a b )
(3) 分配律 a b c a c b c
( a )b a( b ) ( a b )
c
a Pr j b Prjc c
P rj a b ) c(
的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力
矩是一个向量 M :
OQ F OP F
sin
F
O
符合右手规则 OP F M


P
L
M OP
M F
2019/3/9
F
Q
P
OQ OP sin
o
8
M
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